精品解析：山东省聊城市莘县甘泉学校2024-2025学年七年级下学期第四次测试数学试题

第四次数学 一、单选题 1. 石墨烯是单层碳原子组成的二维材料，结构是六边形晶格，当两层石墨烯以特定角度堆叠时，会出现超导现象．石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为米．数用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，根据定义求解即可． 【详解】解：， 给选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法，整式的加减计算即可． 【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意； B. ，故该选项错误，不符合题意； C. ，故该选项错误，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法，整式的加减，熟练掌握公式是解题的关键． 3. 如果是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（    ） A. 2 B. 2或 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程定义，绝对值，关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 利用二元一次方程定义可得答案． 【详解】解：是关于x、y的二元一次方程， 且， 解得， 故选：D． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查积的乘方，将原式进行正确的变形是解题的关键．利用积的乘方法则将原式变形后计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 5. 若关于x的多项式展开合并后不含项，则a的值是（ ） A. 3 B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，多项式乘以多项式，解题关键是掌握多项式乘以多项式法则． 先利用多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，然后根据不含二次项，得到关于待定字母的方程求解． 【详解】解：， ∵关于x的多项式展开合并后不含项， ∴，解得, 故选：A． 6. 若等腰三角形的一边是9，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（　　） A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分类进行讨论，解题的关键还应验证是否能构成三角形进行解答．等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：分情况讨论，假设9作腰长，则三边分别为9，9，4，能构成三角形 周长为：； 假设4作腰长，则三边分别为4，4，9，而，不能构成三角形， 所以此等腰三角形的周长是． 故选：B． 7. 若关于x，y的方程组的解满足，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查方程组的解，解二元一次方程组．得出，再代入，得到关于a的方程，求解即可． 【详解】解： ， 得，即 ∵， ∴ 解得． 故选：B． 8. 如图，在中，已知点D、E、F分别为、、的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求有关三角形中线的面积问题，由三角形的面积得，，，即可求解；掌握三角形中线将三角形面积平分是解题的关键． 【详解】解：点D、E、F分别为、、的中点， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 9. 已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引（ ）条对角线 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形外角和和内角和综合，多边形对角线条数问题，设这个多边形的边数为，边形的内角和为，外角和为，从边形的一个顶点出发可以引条对角线，据此根据一个多边形的内角和是它外角和的4倍建立方程求出的值即可得到答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形是十边形， ∴从这个多边形一个顶点可以引条对角线， 故选：B． 10. 如图，正五边形的顶点B、D分别在一把直尺的两边上（直尺为长方形），若，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，正多边形的内角，三角形的内角和定理，根据平行线的性质求出的度数，根据正多边形的内角和公式以及每一个内角都相等，求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵直尺的对边平行， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴； 故选B． 二、填空题 11. 如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作于点，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点与点重合时，最小． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，，为边上的高，， ， ， ， 解得：， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小， 即最小值为． 12. 已知方程组和方程组的解相同，则__________． 【答案】0 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 联立不含与的方程组成方程组求出与的值，代入剩下的方程求出与的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：联立得：， 得：，即， 把代入①得：， 解得：， 代入得：， 解得：， 则， 故答案为：0． 13. 若规定符号的意义是：，当时，的值为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．根据定义的新运算进行计算，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 原式． 故答案为12． 14. 若，则的结果是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法以及幂的乘方．根据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 15. 若是完全平方式，则m的值是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式．因为首末两项是x和7的平方，所以中间项为加上或减去x和7的乘积的2倍，故，解得m的值即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 解得或， 故答案为：或． 16. 设a，b，c是的三边，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用、化简绝对值，由三角形三边关系可得，，，再根据绝对值的意义化简即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17. 分解因式． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键． （1）先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可求解； （2）先提公因式，再利用平方差公式求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组；方程组整理后，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：原方程组可化为：， ，得：， 解得：， 把代入②，得：， 解得：； ∴方程组的解为． 19. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中 ，． 【答案】（1）；（2），4 【解析】 【分析】本题考查了0指数和负整数指数幂的运算以及整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先计算有理数的乘方、0指数和负整数指数幂，去掉绝对值，再计算加减即可； （2）先计算中括号内的完全平方公式、平方差公式，合并后再计算整式的除法，然后代值计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； 当，时， 原式． 20. “机器人的一小步，是人类科技发展的一大步．”某校机器人社团对学生进行“最喜欢的人形机器人”随机抽样调查，受访者从“A．天工；B．小顽童；C．行者；D．城市之间；E．钢宝”五款机器人中选择最喜欢的一款，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）这次调查的学生共有______人，图②中的值为______，图②中所在扇形的圆心角是______度； （2）将图①中的条形统计图补充完整； （3）若该校有名学生，请估计全校选择的人数是多少？ 【答案】（1），， （2） 补全统计图， （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角，用样本估计总体．从统计图中获取正确的信息是解题的关键． （1）根据的人数与占比求得总人数，再求得的占比，进而求得的值，根据的占比乘以，即可得出图②中所在扇形的圆心角； （2）先求得、的数量，再补全统计图，即可求解； （3）用，即可求解． 【小问1详解】 解： 的占比为 ∴，则， 图②中所在扇形的圆心角是， 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：的人数是：人， 的人数是：人， 【小问3详解】 估计全校选择的人数是人 21. 为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 1200 1800 （1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ （2）请你设计一种租车方案，要求每位师生都有座位，费用又最省？ 【答案】（1）600人，13辆 （2）租用45座12辆，60座1辆费用最省 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解问题，解题关键是找到题目中的等量关系． （1）根据题目中等量关系：45座客车的座位数45座客车车辆数总人数，60座客车座位数（45座客车车辆数-3）等于总人数，列方程组求解即可； （2）设租辆45座客车，辆60座客车，刚好师生都有座位，则得，取正整数解，计算相应的费用，并与只租用45座客车和只租用60座客车的费用进行比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：设参加此次研学活动的师生人数是人，原计划租用辆45座客车， 根据题意，得，解得， 答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车． 【小问2详解】 解： 设租辆45座客车，辆60座客车，刚好师生都有座位，则 ， 解得整数解为，，， 当时，费用：， 当时，费用：， 当时，费用： ， 由（1）得只租用45座客车，则需要14辆，费用：， 只租用60座客车，则需要10辆，费用：， ， 租用12辆45座客车，1辆60座客车费用最省． 22. 如图，D，E，G分别是，，，． （1）求证：； （2）请说明的理由； （3）若平分，，判断与的位置关系． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区别平行线的判定与性质并熟练运用； （1）根据已知条件和对顶角相等可证明； （2）根据平行线的性质得角相等，再等量代换可得，进而可得，再根据平行线的性质得角相等； （3）根据已知条件可得，可以证明，再由，即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：． 理由如下：∵平分， ∴， ∵， ∴∠， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 23. 如图，在中，平分． （1）求的度数； （2）求与之间的数量关系． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分的定义，三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，根据外角的性质得出； （2）根据三角形外角的性质得出，由（1）得的度数，根据，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：∵是的外角， ∴， ∴， ∴． 24. （1）如图1，试探究与，，并说明理由．（请补充下面的证明过程） 解：连接并延长至点，如图2，由外角定理可得 ，，且，，相加可得 ； （2）如图3，，分别平分，，它们交于点，，，请求出的度数． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形外角定理，根据三角形外角定理证得是解题关键． （1）根据三角形外角定理“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，证得，，再利用角度的计算即可得出与，的关系； （2）根据（1）的结论得，即可得到，再根据角平分线的性质“角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半”，即可得到，再根据结论（1）得，计算即可得出答案． 【详解】解：（1）连接并延长至点，如图2， 由外角定理可得，， 且，， 相加可得， 故答案为：；． （2）由（1）的结论可知：， ，， ， ，分别平分，， ，， ， 由（1）结论得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四次数学 一、单选题 1. 石墨烯是单层碳原子组成的二维材料，结构是六边形晶格，当两层石墨烯以特定角度堆叠时，会出现超导现象．石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为米．数用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（    ） A. 2 B. 2或 C. 1 D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的多项式展开合并后不含项，则a的值是（ ） A. 3 B. C. 0 D. 6. 若等腰三角形的一边是9，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（　　） A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 无法确定 7. 若关于x，y的方程组的解满足，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 如图，在中，已知点D、E、F分别为、、的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 9. 已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引（ ）条对角线 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10. 如图，正五边形的顶点B、D分别在一把直尺的两边上（直尺为长方形），若，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 12. 已知方程组和方程组的解相同，则__________． 13. 若规定符号的意义是：，当时，的值为_______． 14. 若，则的结果是______． 15. 若是完全平方式，则m的值是_______． 16. 设a，b，c是的三边，则_______． 三、解答题 17. 分解因式． （1） （2） 18. 解下列方程组：． 19. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中 ，． 20. “机器人的一小步，是人类科技发展的一大步．”某校机器人社团对学生进行“最喜欢的人形机器人”随机抽样调查，受访者从“A．天工；B．小顽童；C．行者；D．城市之间；E．钢宝”五款机器人中选择最喜欢的一款，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）这次调查的学生共有______人，图②中的值为______，图②中所在扇形的圆心角是______度； （2）将图①中的条形统计图补充完整； （3）若该校有名学生，请估计全校选择的人数是多少？ 21. 为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 1200 1800 （1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ （2）请你设计一种租车方案，要求每位师生都有座位，费用又最省？ 22. 如图，D，E，G分别是，，，． （1）求证：； （2）请说明的理由； （3）若平分，，判断与的位置关系． 23. 如图，在中，平分． （1）求的度数； （2）求与之间的数量关系． 24. （1）如图1，试探究与，，并说明理由．（请补充下面的证明过程） 解：连接并延长至点，如图2，由外角定理可得 ，，且，，相加可得 ； （2）如图3，，分别平分，，它们交于点，，，请求出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $