精品解析：2025年浙江省杭州市上城区建兰中学中考数学三模试卷

2025年浙江省杭州市上城区建兰中学中考数学三模试卷 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2025的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. “近地点”在天文学上是指月球绕地球公转轨道距地球最近的一点，月球的近地点距离千米，将用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是【 】 A. B. C. D. 5. 为了了解某校初中学生晚上的睡眠时间，从中抽取了以下几个样本，比较合适的是（　　） A. 调查九（1）班学生的睡眠时间 B. 调查九年级所有男生的睡眠时间 C. 随机在七年级调查100名学生的睡眠时间 D. 随机在七、八、九年级各调查两个班学生的睡眠时间 6. 数学实践课上老师用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中菱形的对角线的长为（ ） A. B. 20 C. D. 7. 不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，游乐场有一个长跷跷板，O为的中点，它的支撑柱垂直于地面，垂足为点H，当一端A着地时，，则支撑柱的长可表示为（　　） A. B. C. D. 9. 反比例函数的图象上有三点．下列选项正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 如图，四边形为正方形，点P是边上方一点，且满足，下列各式的值为定值的是（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：___________． 12. 命题“若，那么”的逆命题为_____，此逆命题是_____命题（填“真”或“假”）． 13. 已知圆锥的底面直径为6，母线长为4，则它的侧面积等于_______． 14. 如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为______． 15. 为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．如图所示，药物燃烧阶段，教室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间（分）成正比例；燃烧后，与成反比例．若，则的取值范围是_______． 16. 如图，，为菱形的对角线，将绕点O逆时针旋转至，使得点E在线段上，若，则_____．（用含k的代数式表示） 三．解答题（共8小题，共72分） 17. （1）计算：； （2）解分式方程：． 18. 如图，在中，，． （1）尺规作图：请在图中的左侧作．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，在射线上取点D，连结交于点O，若，求的长． 19. 如图是用相同材料做成的A，B两种造型的长方形窗框，已知窗框的长都是x米，宽都是y米． （1）制作这两种造型的窗框各一个，共需要多少材料？ （2）若一位用户需要A型的窗框5个，B型的窗框3个，且这种材料每米的价格为a元，求这位用户共需要花多少钱？（接缝处忽略不计） 20. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育时间是的人数约为多少？ 21. 为方便市民绿色出行，临沂市政府推出共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在地面上实物图，图②是其示意图，其中、均与地面平行，车轮半径为，，坐垫与点的距离为． （1）若，，求的度数； （2）根据经验，当坐垫到的距离为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约，，求调整后的长度．（结果精确到，参考数据：，，） 22. 如图，为半圆O的直径，A为延长线上一点，切半圆O于点E，于点C，交半圆O于点F．连接． （1）求证：平分． （2）若，，求半径的长． 23. 已知二次函数图象经过点． （1）求二次函数的图象的对称轴． （2）若的最小值为，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和． （3）设的图象与x轴的交点分别为，，且．若，求a的取值范围． 24. 如图，在矩形中，是边上的点（不与，重合），过，，三点的圆交对角线于点，交于点，延长交于点，连结，已知． （1）求证：等腰三角形； （2）已知，，求的长； （3）若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年浙江省杭州市上城区建兰中学中考数学三模试卷 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2025的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，熟知相反数的概念是关键； 根据相反数的定义，数值相同但符号相反的两个数互为相反数即可得到答案. 【详解】解：相反数的定义为：一个数的相反数是在其前面添加负号所得的数； 2025是正数，其相反数为；选项中B符合相反数的定义； A是原数，C和D分别为倒数和负倒数，均不符合题意； 故选B. 2. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，根据轴对称的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形逐一排除即可，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：、轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. “近地点”在天文学上是指月球绕地球公转轨道距地球最近的一点，月球的近地点距离千米，将用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值大于1的数表示为科学记数法的形式为，，n为整数位数减去1，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】题目主要考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题关键． 4. 下列计算正确的是【 】 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项的知识，解答本题的关键是熟练掌握合并同类项的法则. 据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，逐一判断即可. 【详解】A．和不是同类项，不能合并，故此选项错误； B．运算正确，故本选项正确； C．与不是同类项，不能直接合并，故本选项错误； D．与不是同类项，故本选项错误； 故选B. 5. 为了了解某校初中学生晚上的睡眠时间，从中抽取了以下几个样本，比较合适的是（　　） A. 调查九（1）班学生的睡眠时间 B. 调查九年级所有男生的睡眠时间 C. 随机在七年级调查100名学生的睡眠时间 D. 随机在七、八、九年级各调查两个班学生的睡眠时间 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了抽样调查的方式．抽样调查抽取的样本要具有代表性，即全体被调查对象都有相等的机会被抽到． 在抽样调查中，样本的选取应注意广泛性和代表性，据此进行分析． 【详解】解：比较合适的是随机在七、八、九年级各调查两个班学生的睡眠时间， 故选：D． 6. 数学实践课上老师用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中菱形的对角线的长为（ ） A. B. 20 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形性质，菱形的性质，解直角三角形，等边三角形性质和判定， 利用正方形性质和等腰直角三角形，得到，连接菱形中的相交于点，证明为等边三角形，进而得到，利用菱形的性质得到，利用直角三角形的性质和勾股定理得到，进而可得，即可解题． 【详解】解：∵正方形中对角线，， ， 连接菱形中的相交于点． ∴． ， 是等边三角形，， ， ， ， 故选：C． 7. 不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求得不等式组的解集是解答的关键．先求解每个不等式的解集，再求得它们的公共部分得到不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可，注意端点是空心还是实心． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 解集在数轴上表示为： ， 故选：B． 8. 如图，游乐场有一个长的跷跷板，O为的中点，它的支撑柱垂直于地面，垂足为点H，当一端A着地时，，则支撑柱的长可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据线段中点的定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：为的中点，， ， 在中，， ， 故选：A． 9. 反比例函数的图象上有三点．下列选项正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，结合各选项中k的取值范围，分析各点所在象限及函数增减性，比较的大小关系． 【详解】解：选项A：当时，若k较小（如），A点的横坐标为负数，位于第三象限，而点位于第一象限．此时为负数，为正数，故不可能最大，选项A错误． 选项B：当时，若点位于第二象限，随x增大而增大；C点位于第四象限，为负数．此时，选项B错误． 选项C：当时，均为正数，三点均位于第一象限．反比例函数在第一象限内y随x增大而减小，故，选项C正确． 选项D：当时，若点位于第三象限，为负数；B、C点位于第一象限，为正数，此时，不满足，选项D错误． 故选：C． 10. 如图，四边形为正方形，点P是边上方一点，且满足，下列各式的值为定值的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点．过点B作，交的延长线于点E，则，根据得，根据正方形性质得，进而得，判定和全等得，则，在中由勾股定理得，继而得，据此即可得出答案． 【详解】解：过点B作，交的延长线于点E，如图所示： ， 在中，， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 即， 在和中 ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即， 为定值， 故选：D． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，运用提公因式法进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为： 12. 命题“若，那么”的逆命题为_____，此逆命题是_____命题（填“真”或“假”）． 【答案】 ①. 若，那么 ②. 真 【解析】 【分析】本题考查命题及逆命题，把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再根据实数的平方判断真假．熟记逆命题的概念、真假命题的判断方法是解题的关键． 【详解】解：命题“若，那么”的逆命题为“若，那么”，此逆命题是真命题． 故答案为：若，那么；真． 13. 已知圆锥的底面直径为6，母线长为4，则它的侧面积等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据圆锥底面直径求出底面半径，再明确圆锥侧面积公式为（是底面半径，是母线长 ），最后代入数据计算．本题主要考查了圆锥侧面积的计算，熟练掌握圆锥侧面积公式（为底面半径，为母线长 ）是解题的关键． 【详解】解：∵圆锥底面直径为， ∴底面半径， ∴侧面积， 故答案为：． 14. 如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了概率的计算，能够正确的写出所有的可能情况，清楚概率的计算方法是解答该题的关键． 根据概率计算方法解答即可； 【详解】解：当闭合开关，时，灯泡发光；当闭合开关，时，灯泡发光；当闭合开关，时，灯泡发光；总共有三种可能情况，2种情况灯泡发光，故灯泡能发光的概率为； 故答案为 15. 为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．如图所示，药物燃烧阶段，教室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间（分）成正比例；燃烧后，与成反比例．若，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由函数图象得出相应函数关系式，再根据题目要求求出x的取值范围即可； 【详解】解：函数图象可知， 燃烧时，与成正比例函数： ， 将代入得，即， ∴， 燃烧后，与成反比例函数：， 将代入得，即， ∴， ∵， ∴即；即， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正比例函数、反比例函数的应用，正确理解题意并列出函数关系式是解题的关键． 16. 如图，，为菱形的对角线，将绕点O逆时针旋转至，使得点E在线段上，若，则_____．（用含k的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，设，证明，，，，证明，可得，可得，求解，，，，再进一步利用正切的含义求解即可． 【详解】解：如图，连接，设， ∵，为菱形的对角线， ∴，，，， ∵将绕点O逆时针旋转至，点E在线段上， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴ ∴ ； 故答案为： 【点睛】本题考查的是菱形的性质，旋转的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三．解答题（共8小题，共72分） 17. （1）计算：； （2）解分式方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂、分式方程的解法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据相关运算法则计算即可； （2）先解方程，然后检验解是否有意义即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ， ， ， ， 经检验：是分式方程的解． 18. 如图，在中，，． （1）尺规作图：请在图中的左侧作．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，在射线上取点D，连结交于点O，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）利用平行线分线段成比例定理求解． 【小问1详解】 解：图形如图所示： 作法：①以点为圆心，小于线段长度为半径画弧，交于，交于； ②以点为圆心，线段长为半径画弧，交于； ③以点为圆心，线段长为半径画弧，交②中的弧于，作射线经过点K，即为所求； ④由作图步骤可知，，易证≌，则； 【小问2详解】 解：如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 如图是用相同材料做成的A，B两种造型的长方形窗框，已知窗框的长都是x米，宽都是y米． （1）制作这两种造型的窗框各一个，共需要多少材料？ （2）若一位用户需要A型的窗框5个，B型的窗框3个，且这种材料每米的价格为a元，求这位用户共需要花多少钱？（接缝处忽略不计） 【答案】（1）米的材料 （2）元 【解析】 【分析】（1）由长方形图形特征，列代数式表示图形中线段长即可求解； （2）根据题意，知共需材料的长度为：，去括号，合并同类项，得原式，相应求解所需钱数． 【小问1详解】 解：根据题意得，制作A种造型的窗框一个，需要材料米， 制作B种造型的窗框一个，需要材料米， 则 (米)． 即制作这两种造型的窗框各一个，共需要米的材料； 【小问2详解】 解：共需材料的长度为： (米)， ∵这种材料每米价格为a元， ∴这位用户共需要花的钱数为元． 【点睛】本题考查列代数式，整式的运算；根据几何图形构建代数式是解题的关键． 20. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 【答案】（1） （2）8.36 （3）150人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据的人数和百分比可以求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和的人数即可求出m； 根据条形统计图中的数据，可以得到这50个样本数据的众数、中位数； （2）根据平均数定义进行解答即可； （3）在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，用八年级共有学生数乘以即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人， ， ， 在这组数据中，8出现了17次，次数最多， 众数是8， 将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第25，26名学生的分数都是8， 中位数是， 故答案为：． 【小问2详解】 这组数据的平均数是8.36． 【小问3详解】 在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占， 根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，有． 估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150． 21. 为方便市民绿色出行，临沂市政府推出共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在地面上的实物图，图②是其示意图，其中、均与地面平行，车轮半径为，，坐垫与点的距离为． （1）若，，求的度数； （2）根据经验，当坐垫到的距离为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约，，求调整后的长度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质，三角形内角和定理进行计算即可； （2）过点作，垂足为，交直线于点，根据题干数据求出和的长，根据，即可求出的长． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， 即的度数为； 【小问2详解】 过点作，垂足为，交直线于点， 由题意得，， 当坐骑比较舒适时，， ∵，即， ∴， 答：调整后长度为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，平行线的性质，三角形内角和定理等知识点，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 22. 如图，为半圆O的直径，A为延长线上一点，切半圆O于点E，于点C，交半圆O于点F．连接． （1）求证：平分． （2）若，，求半径的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由切线性质可得，即可证明．由平行线性质可得．再根据等边对等角即得，从而可推出，即平分； （2）根据勾股定理可求出．设圆O半径为x，则，．由，即可得出，代入数据，求出x，即为圆O半径长． 【小问1详解】 证明：如图，连接． ∵切半圆O于点E， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 解：在中，． 设圆O半径x，则，． ∵， ∴， ∴，即， 解得：． ∴圆O的半径长为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，连接常用的辅助线是解题关键． 23. 已知二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的图象的对称轴． （2）若的最小值为，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和． （3）设的图象与x轴的交点分别为，，且．若，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、图象的平移、根与系数的关系、不等式，熟练掌握以上基础知识点并灵活运用是解题的关键． （1）把代入二次函数中，整理可得解； （2）由的最小值为，可得，结合（1），可得二次函数的表达式和平移后的新二次函数表达式，分别计算最大值和最小值即可； （3）由根与系数的关系进行变形求解． 【小问1详解】 解：把代入二次函数中， 得：， 整理可得：， ∴， 即对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵的最小值为， 即当时，， 又∵， ∴有， 解得：， ∴二次函数的表达式为：， ∴向右平移2个单位后的新二次函数表达式为：， 可得对称轴为：直线， 故当时，； 开口向上，距离对称轴比距离对称轴更远， ∴函数最大值在处取到，即， ∴新的二次函数的最大值与最小值的和为； 【小问3详解】 解：由（1）知， ∴， 图象与轴的交点分别为，，且， ∴，， ∵， 而， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， 解得：． 24. 如图，在矩形中，是边上的点（不与，重合），过，，三点的圆交对角线于点，交于点，延长交于点，连结，已知． （1）求证：为等腰三角形； （2）已知，，求的长； （3）若，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设过，，三点的圆的圆心为，连接，由矩形的性质得，则是的直径，所以，证明，即可证明结论； （2）由已知得证明得，代入数据可得答案； （3）连接，证明，推出，继而得到，则，进一步证明，则，得到，即可得证． 【小问1详解】 证明：设过，，三点的圆的圆心为，连接， ∵四边形是矩形，点是边上的点，交于点， ∴， ∴是的直径， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴的长是； 【小问3详解】 证明：连接， ∵四边形内接于，， ∴，， ∵， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 即． 【点睛】本题考查矩形的性质，的圆周角所对的弦是直径，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$