黑龙江省龙东联盟2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

2024级高二年级上学期开学考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.C由空间直角坐标系，可得点M一1,4,2)关于平面xOk对称的点的坐标为（一1，一4,2）.故选C. 2.B由题知OA=(2,3),O范=(-1,4)，可得AB=O市-OA=(-1,4)-(2,3)=(-3,1),所以向量AB对应的 复数为一3+i,其虚部为1.故选B. 3.C由向量a=1x,2).b=(一44)共线，得=兰=岂，解得x=-1y-8,所以十)厂-9故选C B由余弦定理得osA=仔+2一正=之十之c 26c bc>派=立，因为0<A<,所以0<A<行.故选B 5.D 在△Px中，∠C=子，∠rC-音吾-吾，曲正弦定理得盟如→PB-S品 BC sn∠BP元= 8/2 空=16，在△PAB中，∠A=子，∠APB=不音吾=子，由正孩定理得m2 PB sin∠APB-sinA→AB= PB·sin∠APB 16X 2 =16 sin A 3 3.放选D 2 6.A如图，以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,3),B(2,0,0), D0,2.0).C2,20,K00,2),所以0（号，号1）.0i=(-号号-1)，D=(0,-2,2,放点0到直线 DM的距离为 市-（心·离}√月-(-故选A 第6题图 第7题图 第8题图 7.D如图所示：因为O为△ABC的外接圆圆心，OA=1,∠BAC=60°，所以∠BOC=2∠BAC=120°，且 1oA=O=10=1,所以A店.6元=⑥成-0A)·元=0成，0元-Oi.0元=-号-Oi·6= 一号一os∠A0C,放当O,心反向时，A.O心取到最大值号放选D. 8.A由AP=CP,知点P在四边形DDBB内，设BD,的中点为H,则AH=√瓦.因为DD⊥平面 ABCD,AHC平面ABCD,所以A1H⊥DD1.又因为AH⊥B1D1,BD∩DD=D,BD,DDC 平面DDBB,所以AH⊥平面DDBB,则HP=V√AP-AF=1,所以点P在以H为圆心，r=1的半 圆上运动，点P的轨迹长度为π.故选A 9.BC由题知2a十b=(-2,4),显然2a十b与b不平行，A错误，|a=√(-3)+下=√/10，|b=√4+2= 25,因此1bl=21al,B正确：设a与b的夹角为9，则cos0=TaTh=10×/2示 a·b -10 2,且0e[0,x], 因此a与6的夹角为率，C正确：a在6方向上的投影向量为1ao0合-而×（号）×需- (一2，一1)，D错误.故选BC. 【高二上学期开学考试·数学参考答案第1页（共4页）】 26-X-003B 10.ACD由题知，圆锥的侧面积xrl=4x,所以l=4,圆锥高h=√4一1下=√5， 体积V=号X1X,历=3，A正确：侧面展开图孤长【=2xX1=2,圆 心角a==经=受，B错误：当OCLAB，时三校锥S-ABC的体积最大，为B 号×？×2X1XV历=正，C正确：由B选项知，侧面展开图扇形圆心角。 吾，M在SB上且BM=1,则SM=SB-BM=3,展开后的扇形中，B与B(对应底面同一点)的圆心角为 受，最短路径为线段BM,BM=√SF+S部=√+3=5，D正确.故选ACD. 1L.ACD由正弦定理及2b4=Oe合.得2sinB一nA二8会，即2 sin Beos C=sin Acos C+cos Asin C=一 sin C sin(A+O=sinB,而sinB>0,则cosC=乞，又0<C<,所以C-号，A正确：设△ABC外接圆的半径为 25 R,则由正弦定理得2R=sn∠ACBn60=4,解得R=2,所以△ABC外接圆的面积为4，B错误： D 周为0-2所写器-2义：D:”-号所号=2a么在△A低中.南会 S△D zb.CD·sim30 弦定理得os∠ACB=些+卫=s60=号解得6=2，故a=4,所以公=6十c,所以△ABC为直角 46 三角形，C正确：因为C-受，所以∠ABC+∠BAC-要，因为△ABC的内心为O,所以∠ABO十∠BAO= 哥，放∠AOB=李设∠ABO=0(0<0晋），则∠BA0=受-在△AB0中，由正弦定理得， BO AO AB sim(ξ-0) sin0sin∠AOB 25=4,所以B0=4m(号-0），A0-4sin0,所以△ABO的周长为 4sin(受-0)+4sim0+25=4sim(0+吾)+23，因为0<0<子，所以受<0+吾<字，所以 s血(0+受)e(慢，1]，所以4(0+吾)+25∈(45,4+25]，D正确.故选ACD 12.1+i 依题意=2告-告-得20器=1-所以=1+i 3+i3+i 1a号 由题意可知平面a的一个法向量为m=(2,一1，一2)，平面3的一个法向量为a=(1,一1,0)，平面y的 个法向量为b=(23,,设直线1的方向向量为1=，，则9ny-4,1C.1C7,放：8：即 x-y=0 12x+3y+5z=0, 取x=1,则1=(1,1，-1)，设直线1与平面a所成角为0(0∈[0，受])，则sin0 1cos(,ml=5×33 3= 14.-是设∠BAC=0.0e(0,则|XAi+(3-3)A=√1A2+6x1-A心·AC91-A1AC= √欧+181-x0s0叶91-x0=√18aa-D-18a-1s0件9=√181-c0s0m[(A-2）°-]+9≥ √号+2ms0,当且仅当入=时等号成立，又AA+(3-3双0C(a∈R)的最小值为3号，所以 919 【高二上学期开学考试·数学参考答案第2页（共4页）】 26-X-003B V?+0s0=3y2 9+9 c0s0-0,又0E(0,x),则∠BAC=0=受，以 点A为坐标原点，AB,AC所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的 平面直角坐标系，设点M(x,0),其中0≤x≤3，且B(3,0)、C(0,1), BM=(x-3,0).CM=(x,-1),所以BM.CM=x(x-3)=x2-3x= M (x一是)》-一>-是，当且仅当=多时，脑陬最小值-是 A(O) 15.证明：(1)因为四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC,AD=3BC,M,N是线段AD的两个三等分点， 所以四边形BCNM为矩形，BMLAD. …3分 同理FM⊥AD…4分 又BM∩FM=M,BM,FMC平面BFM,所以AD⊥平面BFM.…6分 (2)由(1)知，BM∥CN. 因为BMC平面BFM,CN过平面BFM,所以CN∥平面BFM…8分 同理EN/∥平面BFM.…10分 又CN∩EN=N,CN,ENC平面CEN,所以平面BFM∥平面CEN.…I3分 16.解：(1)(2a-b)·(3a+2b)=6a2+a·b-26=6×32+3×2cos0-2×2=43, 4分 所以cos0=一 2· …5分 又0E[0,x],所以0=红 31 ……7分 (2)由题意知b:c=b·[a+(1+m)b]=m·b+1+m)6=mX3×2X(-号)+1+m)X2=0, 10分 即4十=0，解得=一4，… 11分 所以C=一4a-3b,…12分 所以|c|2=(-4a-3b)2=16a2+24a·b+9b=16X9+24×(-3)+9×4=108,…14分 所以|c=63 15分 17.解：(1)由正弦定理及3 asin C+acos C=b+2c,得3 sin Asin C+sin Acos C=sinB+2sinC,…2分 3sin Asin C+sin Acos C=sin Acos C+cos Asin C+2sin C, 所以/3 sin Asin C=sinC(cosA十2).... …4分 因为Ce(0,x),simC≠0，所以W3sinA-cosA=2,整理得sim(A-吾)=1. …5分 又因为A∈0，xA-吾∈(-吾，吾x),所以A-吾=受，所以A=号 …7分 (2)由题知BM=2MC,故Ai=号AB+号AC, …9分 两边平方得A:=(号A8+号AC)=号A亦+号AC+合A店·AC ……10分 因为AB=6,AC=b.AM=4,所以16=马+告+告b·cs经=寸C+ 即144=c2+4b-2c=(c+2b)2-6bc. 12分 因为S△c=183,即2 boesin A=18/5,所以c=72, 14分 所以C十2=24.…15分 18.(1)解：如图，在DD1上取点E,使得DE=AM,连接ME,EC 因为AM=DE,AM∥DE,所以四边形AMED是平行四边形. 所以ME=AD,ME∥AD. 又AD=BC,AD∥BC,所以ME=BC,ME∥BC, 所以四边形MECB是平行四边形，所以MB=EC,MB∥EC. 因为DE=CN=a一b,DE∥CN,所以四边形DECN为平行四边形， 所以DN=EC,DN∥EC, 所以DN=MB,DN∥MB,四边形D1NBM为平行四边形， 即过B,M,N三点的平面截正方体所得截面图形为平行四边形 …4分 (2)证明：以D为原点，DA,DC,DD所在直线为x,y,x轴建立空间直角坐 标系， 【高二上学期开学考试·数学参考答案第3页（共4页）】 26-X-003B 则Ba,a,0.C0,a,0,Ma0,3a),N0a,号a）,M=(-aa…3a.BC=（-a0.0 2 所以cosM衣，元=M成.B心 319 MN·IBC axv9 19 即直线MN与C所成角的余弦值为3四 19 ……9分 (3)证明：由题知AD⊥平面ABM,CD⊥平面BCN, 故平面ABM的法向量可取为n=(1,0,0),平面BCN的法向量可取为m=(0,1,0).…10分 又B(a,a,0),M(a,0,b),N(0,a,a-b),则BM=(0,-a,b),BV=(-a,0,a-b), BM·s=-ay+bx=0, 设平面BMN的法向量为s=(x,y,),则B贰.5=一a十(a-b)x=0, 所以s=(a一b,b,a),…12分 故cosa=coss,n)|= (aacos 0.=lcos (s.m) a-b b V/(a-b)2++a 又平面ABCD的法向量为k=(0,0,1),故cosA=cos(s,k)= ，…15分 √(a-b)+b+a b 于是cos0十cos0-cos0A= a-b 十 =0,得证 w(a-b)2+b+a2(a-b)2+b+a'(a-b++a2 …17分 19.(1)证明：因为E,F分别是CD,AC的中点，所以AD∥EF. 因为AD吐平面BEF,EF平面BEF,所以AD∥平面BEF,…3分 (2)解：(1)如图，连接DF. 因为△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，F为AC中点，所以点F是△ABC外接圆的圆心.·4分 因为△ACD是等边三角形，F是AC中点，所以△ACD外接圆的圆心在DF上. 又平面ABC⊥平面ACD,所以球O的球心O即为△ACD外接圆的圆心.…5分 因为球0的表面积4R=学，所以球O的半径R=4 3 …6分 所以DF=23,AC=4,AB=22, 所以三棱锥A-BCD的体积V=子Sar·DF=子×号×2反X2反X25-8 · …8分 (ⅱ)如图，以F为原点，直线FA,FB,FD分别为x,y,x轴，建立空间直角坐标系， 则F(0,0,0),D(0,0,23),A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),E(-1,0√3) 所以BE=(-1,-2,5),AB=(-2,2,0),BD=(0,-2,2/5),CA=(4,0,0), …9分 设B萨=AB币，则AP=AB+B乎-AB+1BD=(-2,2-2x,23x).…10分 设平面ACP的一个法向量为n=(x,y,), n.CA=4x=0, 则 n·AP=-2x+(2-2以)y+2,3λ=0， …12分 令y=5λ，得n=(0,w5λ，d-1), 设直线BE与平面ACP所成角为a, 则sma=cosm,硫1=n·到 -2×31+3(a-1) 3+1 BEI √3)+a-1)×√(-1)y+(-2)y2+/5)了2/2×√4纵-2+ 令t=入+1,1<t2,则sina= 31t山 .…14分 2√/2×√/41-101+7 当t≠0时，0<sina= 14 2x√9+4 2厄×√7（-号）+ 当且仅当1=子，即X=号时取等号。 综上所述，直线BE与平面ACP所成角的正弦值的最大值为四 …17分 【高二上学期开学考试·数学参考答案第4页（共4页）】 26-X-003B2024级高二年级上学期开学考试 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六一八章，选择性必修第一册第一章。 如 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.在空间直角坐标系Oxyz中，点M(一1,4,2)关于平面xOz对称的点的坐标是 A.(1,4,2) B.(1,-4,-2) C.(-1,-4,2) D.(-1,4,-2) 2.在复平面内，0为原点，向量OA,O对应的复数分别为2十3i,-1十4i,那么向量AB对应的复 数的虚部为 A-1 B.1 C.i D.-i 3.已知向量a=(1,x,2),b=(一4,4，y),若a与b共线，则x十y= A.12 B.9 C.-9 D.-12 4.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2a2=b+c2,则A的最大值为 A晋 B于 c n晋 5.如图，在△PAC中，B是边AC上的点，其中A=子，C=晋∠PBA=登，BC=8E,则AB= A.6√2 B.6√6 C.16E 3 D.166 3 【高二上学期开学考试·数学第1页（共4页）】 26-X-003B 6.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形， O为△PBC的重心，PM=号PA,且PA=3,AB=2,则点O到直线DM 的距离为 A.66 6 B66 4 c D.38 4 7.已知O为△ABC的外接圆圆心，OA=1,∠BAC=60°，则AB.OC的最大值为 A.2 B.√2 C.1 n含 8.已知正方体ABCD-A1B,C1D的棱长为2，P为正方体内一点，若AP=CP,A1P=√3，则 点P的轨迹长度为 A.元 B.√2π C.2π D.2√2π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知向量a=(一3,1)，b=(4,2),则 A.(2a+b)∥b B.|b=√2|al Ca与b的夹角为平 D.a在b方向上的投影向量的坐标为（一1，一2） 10.如图，AB是圆锥SO的底面圆O的直径，点C是底面圆O上异于A,B的动点，点M是母线 SB上一点，已知圆锥的底面半径为1，侧面积为4π，则下列说法正确的是 A该圆锥的体积为⑤x 3 B该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为？ C三棱锥S-ABC的体积的最大值为压 D.若BM=1,则从点B出发绕圆锥侧面一周到达点M的最短长度为5 L.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为ab,c且。2-C急=25，∠ACB的平分线 交AB于点D,则 A.C- B.△ABC外接圆的面积为8π C.若BD=2AD,则△ABC为直角三角形 D.若△ABC的内切圆的圆心为O,则△ABO周长的最大值为4+2√3 【高二上学期开学考试·数学第2页（共4页）】 26-X-003B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12,复数：=的共轭复数云一 13.在空间直角坐标系Oxyz中，过点P(x0,y%,2o)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面a的方程 为a(x一xo)十b(y一必)十c(z一)=0，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面a的方程为 2x一y-2z十5=0，直线1是平面B:x一y-3=0与平面Y:2x+3y+5z十2=0的交线，则直 线1与平面α所成角的正弦值为 14.已知△ABC中，-3，Ad-1,且A+(3-30ACa∈R)的最小值为3号，者M 为边AB上任意一点，则BM·CM的最小值是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC∥AD, EF∥AD,AD=3BC=3EF,M,N是线段AD的两个三等分点， 求证：(1)AD⊥平面BFM; (2)平面BFM∥平面CEN. 16.(本小题满分15分) 已知a=3,|b|=2,(2a-b)·(3a+2b)=43. (1)求a与b的夹角0； (2)若c=ma+(1十m)b,且b⊥c,求m及c. 17.(本小题满分15分) 设△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,W3 asin C十acos C:=b+2c (1)求A: (2)已知△ABC的面积为18√3，M是BC边上靠近点C的三等分点，AM=4,求c十2b的值， 【高二上学期开学考试·数学第3页（共4页）】 26-X-003B 18.(本小题满分17分) 如图，正方体ABCD-A1B1CD1的棱长为a,M,N是棱AA1,CC1上的点，且AM=C1N=b (a>b>0). (1)证明：过B,M,N三点的平面截正方体所得截面图形为平行四边形； (2)若b=子a,求直线MN与BC所成角的余弦值； (3)设平面DMB与MBA的夹角为01，平面D,NB与NBC的夹角为02，平面BMN与平 面ABCD的夹角为03，证明：cosA十cos一cosA=0. 19.(本小题满分17分) 如图，三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面ACD,△ACD是等边三角形，△ABC是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E,F分别是CD,AC的中点，P是BD上一点（不含端点）. (1)证明：AD∥平面BEF; (②)若三棱锥A-BCD的所有顶点都在球0的球面上，且球O的表面积为64红 31 (i)求三棱锥A-BCD的体积； (ⅱ)求直线BE与平面ACP所成角的正弦值的最大值. 【高二上学期开学考试·数学第4页（共4页）】 26-X-003B