浙江省杭州市萧山区第八高级中学2025届高三上学期期初考试数学模拟卷2

2025届高三数学模拟卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设，已知集合，，且，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.已知向量，满足，，则(    ) A. B. C. D. 3.已知为复数，为虚数单位，则“”是“为实系数一元二次方程的解”的      条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4.若，且，则    ． A. B. C. D. 5.的展开式中常数项为(    ) A. B. C. D. 6.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 7.若关于的不等式对于恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.已知数列满足，，存在正偶数使得，且对任意正奇数有，则实数的取值范围是． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知函数的部分图象如图所示，则(    ) A. B. 函数的图象关于对称 C. 函数的图象关于对称 D. 函数在上单调递增 10.如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是(    ) A. 直线平面； B. 三棱锥的体积为定值； C. 异面直线与所成角的取值范围是； D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 11.直线与双曲线交于，两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则(    ) A. 若，则 B. 若，则的面积为 C. D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知有个男生和个女生，若从中选择个男生和个女生在狂欢节中表演一个小品节目，共有种不同的选法，则______． 13.已知，，且，则的最小值为          ． 14.已知，分别为直线和曲线上的点，则的最小值_______ 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 的内角、、的对边分别为，，，已知 求；若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 16.本小题分 已知函数． 讨论的单调性当时，证明：． 17.本小题分 如图，在三棱锥中，侧面底面，， 求证：； 已知，，，是线段上一点，当时，求平面与平面所成角的余弦值． 18.本小题分 第届亚运会将于年月日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设至年地铁运行的里程数达到公里，排位全国第六同时，一张总长公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求． 一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究请完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？精确到 单位：人 出行方式 国际大都市 中小型城市 合计 偏好地铁 _____ 偏好其他 _____ _____ 合计 _____ _____ 国际友人来杭游玩，每日的行程分成段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第段行程上坐地铁的概率为，易知， 试证明为等比数列； 设第次选择共享单车的概率为，比较与的大小． 附：，． 19.本小题分 平面内有一点和直线，动点满足：到点的距离与到直线的距离的比值是点的运动轨迹是曲线，曲线上有四个动点． 求曲线的方程． 若在轴上方，，求直线的斜率； 若都在轴上方，，直线，求四边形的面积的最大值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目． 根据集合的定义与运算性质，进行化简、运算即可． 【解答】 解：，集合， ， ， 又， 实数的取值范围是． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用向量的数量积求向量的模长，属于基础题． 根据题意，先利用求出，再利用即可求出 【解答】 解：，，， ， 解得． 则． 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查复数的运算，考查复数的相等，属于基础题． 根据题意可得，化简即可． 【解答】 解：由题知，， 故选C． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数基本关系式的应用，三角恒等变换等知识，考查计算能力．属于基础题   利用两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式化简已知条件，然后利用同角三角函数基本关系式求解即可． 【解答】解：因为，且， 则， 显然，可得． 所以， 即． 所以， 解得：舍去． 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二项式定理的应用，属于中档题． 由的通项公式，即可得解． 【解答】 解：由的通项公式， 当即时，， 当即时，， 的展开式中常数项． 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题． 先计算出两条动直线经过的定点，即和，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有，再利用基本不等式即可得出的最大值． 【解答】 解：由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过定点， 注意到动直线和动直线始终垂直，又是两条直线的交点， 则有，． 故当且仅当时取“” 故选：． 7.【答案】  【解析】解：由题意得在上恒成立， 即当时，函数的图象不在图象的上方， 由图知：当时，函数的图象在图象的上方； 当时，，解得． 故选：． 两个函数的恒成立问题转化为最值问题，此题对恒成立，函数的图象不在图象的上方．对数函数另一方面要注意分类对底数讨论．即可求解 本题考查了函数在其定义域内值域的问题，两个函数的恒成立问题转化为最值问题．对数函数另一方面要注意分类对底数讨论．属于中档题． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查数列与不等式． 利用累加法求出，对分为奇数、偶数两种情况讨论的单调性，结合能成立与恒成立的处理方法求出答案． 【解答】 解：当时， ， 所以，且， 易得，当为奇数时，严格减当为偶数时，严格增， 又当为正偶数时，存在，即， 所以，此时有，所以， 又对于任意的正奇数，，即， 所以或恒成立，所以或， 综上，实数的取值范围是， 故选：． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了根据部分三角函数图象确定三角函数解析式以及函数的性质，属于中档题． 由题意可求函数周期，利用周期公式可求，根据图象可求，，结合范围，可求，可得函数解析式为，进而根据正弦函数的性质即可逐项求解． 【解答】解：因为，所以， 因为最大值为，所以， 因为，所以，， 又因为，所以， 所以，所以A正确； 对于，，不是最大或最小值，所以不正确； 对于，， 的图象关于点对称，所以C正确； 对于，，，则函数单调递增，所以D正确． 故选：． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查线面平行的判定，异面直线所成角，线面角等，考查空间想象能力及逻辑推理能力，属于拔高题． 在选项A中，设正方体的棱长为，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可；在选项B中，由  平面  ，得到到平面  的距离为定值，再由   的面积是定值，从而三棱锥  的体积为定值；在选项C中，可得异面直线与 所成角的取值范围是 在选项D中，利用空间向量法进行求解即可． 【解答】 解：以为原点，为轴，为轴， 为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则，，，， 所以，，设平面的法向量为 ，取， 则可取，， 所以直线平面，所以A正确 在选项B中，    ，  平面  ，  平面  ，   平面  ，  点在线段 上运动， 到平面  的距离为定值， 又   的面积是定值， 三棱锥  的体积为定值，故B正确 在选项C中，  ，异面直线与 所成角为直线与直线 的夹角． 易知 为等边三角形， 当为 的中点时，  ； 当与点 或重合时，直线与直线 的夹角为 ． 故异面直线与 所成角的取值范围是 ，故C错误 在选项D中， 由选项解析可知 是平面  的一个法向量， 直线 与平面  所成角的正弦值为：   ， 当 时，直线 与平面  所成角的正弦值的最大值为 ，故D正确． 故选ABD． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系，属于中档题．  根据直线与双曲线的位置关系的应用，结合双曲线的几何性质逐项判断即可． 【解答】 解：设双曲线右焦点为，由题意可知，四边形为平行四边形，由双曲线可知：，，， 对于，因为，所以，所以四边形为矩形，所以，故A正确； 对于，根据双曲线定义可知：，，若，则四边形为矩形，则， 所以，即，所以，所以，所以，故B错误； 由双曲线的方程可知，在中，，又因为双曲线渐近线方程为：，所以，所以，即，故C错误； 对于，，当且仅当时，取到最小值为，故D正确，故选：． 12.【答案】  【解析】解：由题，，． 故答案为：． 由分步乘法计数原理列式，再由组合数公式求解． 本题考查排列组合相关知识，属于中档题． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了基本不等式的运用，主要考查了“”的代换的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题． 将所求解的式子变形，然后利用“”的代换，结合基本不等式求解最值即可． 【解答】 解：因为，则， 所以， 因为， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为， 则的最小值为． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查求曲线上一点的切线方程斜率、倾斜角，点到直线的距离，考查学生的分析与运算能力，属于中档题． 由题意的最小值为到直线上距离的最小值，再设，则当处的切线与平行时取得最小值． 【解答】 解：设，则为增函数， 令 ，解得；令 ，解得； 可知 在内单调递减；在内单调递增， 则，即， 可知在曲线下方． 由题意的最小值为曲线上点到直线距离的最小值， 即处的切线与平行， 设，对求导有， 由 ，可得 ，且， 故当 为时，取得最小值． 故答案为：． 15.【答案】解：由题设及正弦定理得， 因为，所以， 由，可得， 故， 因为，故， 由由于，即，故，即 由题设及知的面积， 由正弦定理得， 由于为锐角三角形，故，， 由知，所以， 故，从而， 因此，面积的取值范围是．   【解析】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，以及化简运算能力，属于中档题． 运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角； 由题设及知的面积，由正弦定理及计算得，由于为锐角三角形及，所以，即可得到答案． 16.【答案】解：的定义域为， ． 若，则当时，，故在区间内单调递增 若，则当时，，当时，， 故在区间内单调递增，在区间内单调递减． 证明：由知，当时，， 所以要证，即证， 即证 设，则， 当时，，当时，， 所以在区间内单调递减，在区间内单调递增， 故当时，取得极小值且为最小值，最小值为， 所以当时，， 故当时，， 即．  【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，导数中的函数不等式，属于中档题． 求出的定义域和导数，对的取值范围分类讨论，判断的正负，从而得到的单调性； 由知，要证，即证设，求导判断即可得证． 17.【答案】解：  取中点，连接、，由  ，  ，故  、  ， 又  平面、  平面，  ， 则  平面，又  平面，故  ；  由侧面  底面，且  ，  平面， 平面  平面  ，故  平面， 又  平面，故  ， 即有、、两两垂直，故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，由  ，  ，  ，  ，  ， 则  ，  ，即  、  、  、  、  ，  、  、  ，令  ，则  ，由  ，故  ，解得  ， 故  ，设平面的法向量为  ， 则有  ，令  ，则有  ，由轴  平面， 故平面的法向量可为  ， 则  ， 故平面与平面所成角的余弦值为    【解析】本题考查线面垂直的判定、性质定理，以及利用向量法求二面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．取中点，连接、，证得  平面，即可得出  ； 首先证得、、两两垂直，故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，即可用向量法求解． 18.【答案】解：列联表如下： 出行方式 国际大都市 中小型城市 合计 首选地铁 首选其他 合计 零假设为：城市规模与出行偏好地铁无关， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为城市规模与出行偏好地铁有关，此推断犯错误的概率不大于； 证明：第段行程上坐地铁的概率为， 则当时，第段行程上坐地铁的概率为，不坐地铁的概率为， 则， 从而， 又，所以是首项为，公比为的等比数列； 由可知， 则，又，故．  【解析】根据题意即可完成列联表，再根据公式求出，再对照临界值表即可得出结论； 根据全概率公式结合等比数列的定义即可得出结论； 先求出的表达式，进而可求出，，即可得解． 本题主要考查数列的应用，考查转化能力，属于中档题． 19.【答案】解：由题意， 两边平方得，化简得． 直线的斜率是正数，设，直线的斜率为， 设，，联立化简得， 所以，， 由题意知，代入，，消，可得，，解得， 所以直线的斜率是 延长，交椭圆于点，， ，由知，， 所以，即， 令，，所以， 当且仅当时，取到最大值，此时、分别在、正上方．  【解析】本题考查直接法求曲线轨迹方程，考查直线斜率的运算方法，考查直线与曲线的关系，属于中档题． 根据题意建立关于，的方程，化简即可； 设，，直线与椭圆联立，利用韦达定理求出和，进而可得直线斜率．   延长，交椭圆于点，，由可得及，即可求四边形面积。 学科网（北京）股份有限公司 $$