精品解析：四川成都市第四十三中学2024-2025学年八年级下学期期末模拟考试数学试题

2024-2025学年四川省成都市第四十三中学校八年级（下）月考数学试卷（6月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 道路交通标志是用文字和图形符号对车辆、行人传递指示、指路、警告、禁令等信号的标志．下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别．根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：选项A、C、D的图形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形； 选项B的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 2. 下列因式分解正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是利用公式法，十字乘法分解因式，掌握因式分解的方法是解本题的关键；根据因式分解的定义逐项分析即可得解． 【详解】解：,故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，分解正确，故C符合题意； ，故D不符合题意； 故选C 3. 如图表示关于的不等式的解，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，直接利用已知不等式的解集得出关于a的等式进而得出答案． 【详解】解：解不等式得， 由数轴解集可得， 解得， 故选：A． 4. 下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的加减法，分式的基本性质，根据分式加减法的计算方法以及分式的基本性质逐项进行判断即可 【详解】解：A. ，故选项A不符合题意； B. ，故选项B不符合题意； C. ，故选项C符合题意； D. 的分子、分母没有公因式，不能约分，因此选项D不符合题意； 故选：C 5. 在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后，对应点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可． 【详解】解：将点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后，对应点的坐标为 故选：A． 6. 如图，在平行四边形中，点在对角线上，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和与外角的性质，熟练掌握相关性质，并灵活运用，是解题的关键．据平行四边形的性质，得到，进而得到，，设的度数为，列式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设的度数为，则：， ∴， ∴， ∴； 故选B． 7. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转30°得到，连接，则的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 45° 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，由，将绕点逆时针旋转得到，得，，得，即可得． 【详解】解：由，将绕点逆时针旋转得到， 得，， 得， 得． 故选：B． 8. 下列说法中，正确的结论有（ ） ①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上； ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； ③“对顶角相等”的逆命题是真命题； ④反证法证明“一个三角形中最小角不大于”应先假设这个三角形中最小角大于． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质、命题及逆命题的判断、反证法，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．根据角平分线的性质，垂直平分线的性质、命题及逆命题的判断、反证法判断即可． 【详解】解：①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，说法正确； ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，说法正确； ③“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，则这两个角为对顶角，此命题为假命题，本小题说法错误； ④反证法证明“一个三角形中最小角不大于”先应假设这个三角形中最小角大于，说法正确； 则正确的结论有①②④共三个， 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，共20分． 9. 分解因式： ______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式法与公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式法与公式法进行因式分解是解题的关键． 综合提公因式法与公式法进行因式分解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 10. 若点与点关于点对称， 则________， ________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了坐标在对称的变化，由对称得，，即可求解；会利用对称求中点坐标是解题的关键． 【详解】解：点与点关于点对称， 是、的中点， ， ， 故答案：，． 11. 关于的不等式的解集是，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质3，可得、的关系，根据不等式的性质3，可得答案．本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出是解题关键． 【详解】解：的解集是， ∴ ，， ， ， ， ． 故答案为： 12. 定义一种新运算：对于任意的非零实数、，，若，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程．根据新定义列出关于x的方程，解出方程即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 故答案为：12 13. 如图，在中，以点为圆心、适当长度为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心、大于的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，过点作交于点．若周长为，，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查作图角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定和定义．由题意得出为的平分线是解题关键．根据角平分线的作法和定义得出，再结合平行线的性质得，即可得出，最后求周长即可． 【详解】解：由题意可知为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵周长为， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题：解答题：本题共5小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. （1）解方程：； （2）解不等式组 【答案】(1)；(2) 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解分式方程； （1）根据解分式方程的步骤求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：（1）去分母，得， 去括号，得， 解得：， 当时，分母， 故原分式方程的解为； （2）解不等式，得：， 解不等式得：， 则不等式组的解集为． 15. 先化简，再求值：，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．利用分式的运算法则将原式进行化简，然后根据分式有意义的条件确定x的值，再将其代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵，， ∴，，， ∴， ∴原式． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，，． （1）画出关于原点成中心对称的图形； （2）画出绕点O按顺时针旋转后的图形； （3）在平面直角坐标系内作点D，使得点A、B、C、D围成以为边的平行四边形，并写出所有符合要求的点D的坐标为______． 【答案】（1） 如图，即为所求作： （2）如图，即为所求作： （3）如图，坐标为，坐标为 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形—旋转变换、平行四边形的判定，正确画出图形是解答的关键． （1）根据中心对称图形的性质得到对应点，然后顺次连接即可； （2）根据旋转性质得到对应点，然后顺次连接即可； （3）根据平行四边形的判定得到点D位置，进而写成坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：四边形、四边形是平行四边形，则坐标为，坐标为． 17. 如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF． 求证： （1）△DOF≌△BOE； （2）DE=BF． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点， ∴AB∥DC，OB=OD， ∴∠OBE=∠ODF． 在△BOE和△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（ASA）； （2） 证明：∵△BOE≌△DOF， ∴EO=FO， ∵OB=OD， ∴四边形BEDF是平行四边形． ∴DE=BF． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，利用ASA即可证明△DOF≌△BOE； （2）证明四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，证明三角形全等是解决问的关键． 18. 如图，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点H，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）如图2，若，，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵是对角线的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴； （2）证明：如图，延长交的延长线于，延长交的延长线于， ， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴，， ∴，即， 同理可得：， ∵， ∴， ∴，， ∴ 由（1）可得：， ∴， ∴，即， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，由平行线的性质可得，证明，得出，由折叠的性质可得，即可得证； （2）延长交的延长线于，延长交的延长线于，由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，，，证明，得出，，由（1）可得，由全等三角形的性质可得，从而得出，即可得证； （3）过点作交的延长线于，过点作于，连接，求出，，从而即可得出，由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，求出，证明是等腰直角三角形，得出，，再求出，最后由直角三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作交的延长线于，过点作于，连接，设交于点P， ， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 作于，则，， ∵， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的长为． B卷（50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，直接提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式进而得出答案 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：6 20. 一个多边形所有的内角与它所有的外角之和是，过这个多边形的一个顶点可画出________条对角线． 【答案】 【解析】 【分析】根据n边形的内角和是，边形的内角和是，可以先求出多边形的边数．再根据过多边形的一个顶点的对角线的条数与边数的关系，即可得到过这个多边形的一个顶点的对角线的条数． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得：． 那么过这个多边形的一个顶点可作条对角线． 故答案为：2． 【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，过多边形的一个顶点的对角线的条数边数． 21. 若关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是 ____． 【答案】且 【解析】 【分析】将分式方程变为整式方程求出解，再根据解为正数且不能为增根，得出答案． 【详解】解：去分母，得， 解得， ∵方程的解为正数， ∴且． ∴且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程、一元一次不等式的步骤是解题关键． 22. 如图，▱ABCD中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F，连接BE，点G为BE中点，连接GF．当GF最小时，线段AF的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长到点H，使，连接，可求，进一步证是等边三角形，，为定角，由中位线定理，；当时，最小，此时，，勾股定理求得，中，． 【详解】如图，延长到点H，使，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，最小，此时，， ，解得， 中， ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查中位线的性质，垂线段最短，三角形内角和定理，等腰三角形性质，等边三角形判定和性质，等腰直角三角形，勾股定理，添加辅助线构造中位线，寻求线段间的数量关系是解题的关键． 23. 定义：在平面直角坐标系中，如果直线上的点经过一次变换后得到点，那么称这次变换为“逆倍分变换”．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B．点P为该直线上一点，若经过一次“逆倍分变换”后，得到的对应点与点P重合，则点P的坐标为______；点Q为该直线上一点，若经过一次“逆倍分变换”后，得到的对应点，使得和的面积相等，则点Q的坐标为______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，设为，可得为，又与重合，进而建立方程计算可以得解；依据题意，和的面积相等，画出图象可得在过且平行于的直线上或在上方4个单位且平行于，故所在直线为或，进而可设为或，则为或，又在上，求出即可得解． 【详解】解：由题意，设为， 为． 又与重合， ． ． ． 如图，和的面积相等， 在过且平行于的直线上或在上方4个单位且平行于． 所在直线为或． 故可设为或． 为或． 又在上， 或． 或． 或． 故答案为：；或． 二：解答题（本大题3个小题，共30分） 24. 随着中国动画电影哪吒之魔童闹海的大火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价贵元按售价购买，用元购买的“哪吒”手办的数量是用元购买的“敖丙”手办的数量的倍． （1）求每个“哪吒”手办和“敖丙”手办的售价分别是多少元． （2）某班举办爱心义卖活动，准备从该玩具公司购进“哪吒”手办和“敖丙”手办共个进行售卖，且将每个“哪吒”手办的售价定为元，每个“敖丙”手办的售价定为元若本次购进“哪吒”手办的数量不少于购进“敖丙”手办数量的，应如何设计购买方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）每个“哪吒”手办的售价是元，每个“敖丙”手办的售价是元 （2）购进“哪吒”手办个，“敖丙”手办个才能获得最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设每个“哪吒”手办的售价是元，则每个“敖丙”手办的售价是元，根据用元购买的“哪吒”手办的数量是用元购买的“敖丙”手办的数量的倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进“哪吒”手办个，则购进“敖丙”手办个，根据本次购进“哪吒”手办的数量不少于购进“敖丙”手办数量的，列出一元一次不等式，解得，再设利润为元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：设每个“哪吒”手办的售价是元，则每个“敖丙”手办的售价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程得解，且符合题意， （元）， 答：每个“哪吒”手办的售价是元，每个“敖丙”手办的售价是元； 【小问2详解】 解：设购进“哪吒”手办个，则购进“敖丙”手办个， 由题意得：， 解得：， 设利润为元， 由题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值， 此时，（个）， 答：购进“哪吒”手办个，“敖丙”手办个才能获得最大利润，最大利润是元． 25. 如图，在四边形中，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）点E为边的中点，连接，过E作交边于点F，连接． ①求证：； ②若，求与的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2） ①证明：延长交于点G， ∵， ∴， ∵点E为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②的长是，的长是 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）先证明，而，所以，则，即可证明结论； （2）①延长交于点G，先证明，则，由垂直平分得，可得结论； ②先求出，由勾股定理得出，可求出，证明，可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长是，的长是． 26. 【阅读理解】 在平面直角坐标系中，已知点R，S为平面内不重合的两点．给出如下定义：将点R绕点S顺时针旋转90度得到点，点关于y轴的对称点为，则称点为点R关于点S的“旋对点”． 【迁移应用】 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．平面内有一点． （1）请在图中画出点M关于点O的“旋对点”，并直接写出点M的坐标； （2）点Q为直线上一动点． ①若点Q关于点M的“旋对点”为点，试探究直线经过某一定点，并求出该定点的坐标； ②在①的条件下，设直线所经过的定点为H，取的中点N，连接，求的最小值． 【答案】（1）如图，即为所求， （2）①；②的最小值为． 【解析】 【分析】（1）根据新定义的含义结合网格特点逐步画图即可，再根据点的位置可得其坐标； （2）①如图，设，过作轴的平行线，过作轴的平行线，两直线交于点，则，延长与交于点，则，，而，，，，结合新定义可得；，从而可得答案；②证明，即在直线上运动，如图，连接，，作关于直线的对称点，则，由分别为的中点，则，当三点共线时，，此时最小；记与轴的交点为，则，直线与轴的交点坐标为，连接，都是等腰直角三角形，而，则，再利用勾股定理可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①如图，∵点Q为直线上一动点． 设，过作轴的平行线，过作轴的平行线，两直线交于点， 则，延长与交于点，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，而， ∴，， ∴， 结合新定义可得；，而， ∴的中点坐标为：， ∴直线经过定点； ②∵， ∴， ∴，即在直线上运动， 如图，连接，，作关于直线的对称点，则， 由分别为的中点，则， ∴当三点共线时，，此时最小； 记与轴的交点为，则，直线与轴的交点坐标为，连接， ∴都是等腰直角三角形，而， ∴， ∴． 即的最小值为． 【点睛】本题考查的是一次函数的几何应用，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，理解题意，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年四川省成都市第四十三中学校八年级（下）月考数学试卷（6月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 道路交通标志是用文字和图形符号对车辆、行人传递指示、指路、警告、禁令等信号的标志．下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列因式分解正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图表示关于的不等式的解，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 4. 下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后，对应点的坐标为( ) A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，点在对角线上，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转30°得到，连接，则的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 45° 8. 下列说法中，正确的结论有（ ） ①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上； ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； ③“对顶角相等”的逆命题是真命题； ④反证法证明“一个三角形中最小角不大于”应先假设这个三角形中最小角大于． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共5小题，共20分． 9. 分解因式： ______________． 10. 若点与点关于点对称， 则________， ________． 11. 关于的不等式的解集是，则不等式的解集是______． 12. 定义一种新运算：对于任意的非零实数、，，若，则的值为______． 13. 如图，在中，以点为圆心、适当长度为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心、大于的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，过点作交于点．若周长为，，则的周长为______． 三、解答题：解答题：本题共5小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. （1）解方程：； （2）解不等式组 15. 先化简，再求值：，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为的值代入求值． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，，． （1）画出关于原点成中心对称的图形； （2）画出绕点O按顺时针旋转后的图形； （3）在平面直角坐标系内作点D，使得点A、B、C、D围成以为边的平行四边形，并写出所有符合要求的点D的坐标为______． 17. 如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF． 求证： （1）△DOF≌△BOE； （2）DE=BF． 18. 如图，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点H，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）如图2，若，，，，求的长． B卷（50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，，则______． 20. 一个多边形所有的内角与它所有的外角之和是，过这个多边形的一个顶点可画出________条对角线． 21. 若关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是 ____． 22. 如图，▱ABCD中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F，连接BE，点G为BE中点，连接GF．当GF最小时，线段AF的值为_____． 23. 定义：在平面直角坐标系中，如果直线上的点经过一次变换后得到点，那么称这次变换为“逆倍分变换”．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B．点P为该直线上一点，若经过一次“逆倍分变换”后，得到的对应点与点P重合，则点P的坐标为______；点Q为该直线上一点，若经过一次“逆倍分变换”后，得到的对应点，使得和的面积相等，则点Q的坐标为______． 二：解答题（本大题3个小题，共30分） 24. 随着中国动画电影哪吒之魔童闹海的大火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价贵元按售价购买，用元购买的“哪吒”手办的数量是用元购买的“敖丙”手办的数量的倍． （1）求每个“哪吒”手办和“敖丙”手办的售价分别是多少元． （2）某班举办爱心义卖活动，准备从该玩具公司购进“哪吒”手办和“敖丙”手办共个进行售卖，且将每个“哪吒”手办的售价定为元，每个“敖丙”手办的售价定为元若本次购进“哪吒”手办的数量不少于购进“敖丙”手办数量的，应如何设计购买方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 25. 如图，在四边形中，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）点E为边的中点，连接，过E作交边于点F，连接． ①求证：； ②若，求与的值． 26. 【阅读理解】 在平面直角坐标系中，已知点R，S为平面内不重合的两点．给出如下定义：将点R绕点S顺时针旋转90度得到点，点关于y轴的对称点为，则称点为点R关于点S的“旋对点”． 【迁移应用】 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．平面内有一点． （1）请在图中画出点M关于点O的“旋对点”，并直接写出点M的坐标； （2）点Q为直线上一动点． ①若点Q关于点M的“旋对点”为点，试探究直线经过某一定点，并求出该定点的坐标； ②在①的条件下，设直线所经过的定点为H，取的中点N，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $