第三章 圆锥曲线的方程（举一反三讲义·基础篇）高二数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程（举一反三讲义·基础篇） 【人教A版】 题型1 椭圆的定义 1．（24-25高二上·贵州安顺·期中）若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（　　） A．5 B．2 C．7 D．6 2．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）已知椭圆的两焦点分别为，点为椭圆上任意一点，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则 . 4．（24-25高二上·上海·课后作业）已知点在焦点为的椭圆上，若，求的值． 5．（24-25高二上·江西景德镇·期中）已知椭圆的焦点分别是、，点、分别为椭圆的长轴端点，点为椭圆的短轴端点，且. (1)求椭圆的方程； (2)设点在这个椭圆上，且，求的长. 题型2 椭圆的标准方程的求解 1．（25-26高二上·全国·课后作业）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽淮南·期中）中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏连云港·期末）经过两点的椭圆的标准方程为 . 4．（24-25高二上·四川达州·阶段练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标分别为，且经过点； (2)经过两点. 5．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）已知，是椭圆的焦点，，且过点. (1)求C的方程； (2)若点P在C上，，求的面积. 题型3 求椭圆的离心率或其取值范围 1．（24-25高二上·浙江·期末）已知椭圆的两个焦点为，，，点为上一点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖南娄底·期末）已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，是上的一点，若，且，则的离心率为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知和为椭圆上两点．求C的离心率． 5．（24-25高二上·北京·期中）椭圆的左、右焦点分别为，，经过右焦点且斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点． (1)写出椭圆C的焦点坐标和离心率； (2)求的面积． 题型4 利用双曲线的定义解题 1．（24-25高二下·湖南益阳·阶段练习）设是双曲线上一点，分别是双曲线左，右两个焦点，若，则等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．8 2．（24-25高二上·山东枣庄·阶段练习）设是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于（   ） A．3 B．9 C．27 D．3或27 3．（24-25高二上·河南濮阳·阶段练习）双曲线上一点P到该双曲线的一个焦点的距离为7，则点P到另一个焦点的距离是 ． 4．（2025高二·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别是，. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)如图，若P是双曲线左支上的点，且，求的面积. 5．（24-25高三上·浙江丽水·期中）如图所示，已知双曲线与抛物线有相同的焦点F，它们在第一象限内的交点为M. (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)若双曲线的焦距为其实轴长的2倍，求点M到双曲线两个焦点的距离之和. 题型5 双曲线的标准方程的求解 1．（25-26高二上·全国·课后作业）焦点在轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·课后作业）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的离心率，则双曲线的标准方程为 ． 4．（24-25高二·全国·课堂例题）分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8； (2)双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为； (2)与双曲线有公共焦点，且经过点； (3)与双曲线有共同渐近线，且过点. 题型6 求双曲线的离心率的值或取值范围 1．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的一条渐近线过点，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．4 2．（2025·陕西咸阳·三模）已知双曲线C：（，）的左焦点为，右顶点为，过作垂直于轴的直线与两渐近线分别交于点，，若为等边三角形，则的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 3．（24-25高二下·湖南长沙·期末）若双曲线的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线离心率为 ． 4．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线. (1)若双曲线的离心率为，求的值； (2)若直线与圆相切，证明：直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 5．（2025高三·全国·专题练习）设分别为双曲线的左右顶点，为双曲线左支上一点，记直线的斜率分别为，若. (1)求双曲线的离心率； (2)直线与轴交于点，求证：. 题型7 利用抛物线的定义解题 1．（24-25高二上·四川凉山·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25高二上·福建三明·期中）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知抛物线焦点为，抛物线上的点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离，则 . 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点的轨迹方程为，若动点所在轨迹上一点到的距离为2，求点的坐标. 5．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知抛物线，焦点为F (1)若点P为C上一点，且，求点P的横坐标. (2)若斜率为2的直线与抛物线交于不同的两点A，B，线段中点为M，求点M的轨迹方程． 题型8 求抛物线的标准方程 1．（24-25高二上·北京平谷·期末）以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·福建·模拟预测）已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为 ． 4．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点为； (2)焦点到准线的距离为. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点； (2)焦点在直线上； (3)焦点到准线的距离是4． 题型9 判断直线与圆锥曲线的位置关系 1．（24-25高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．（2025高二·全国·专题练习）直线与双曲线的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 3．（24-25高二上·浙江杭州·期中）若直线与椭圆有两个不同的交点，则m的范围是 ． 4．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知双曲线的中心在原点，右焦点为，过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线有且只有一个公共点，求实数的值. 5．（24-25高二上·重庆黔江·阶段练习）已知椭圆，直线. (1)求证：对，直线与椭圆总有两个不同交点； (2)直线与椭圆交于两点，且，求的值. 题型10 直线与圆锥曲线的实际应用 1．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.若某行星距太阳表面的最大距离为，最小距离，太阳半径为，则该行星运行轨迹椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知A，B两地相距600m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地早1s，且声速为．以线段AB的中点为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆·阶段练习）位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线的一部分．该桥的高度为米，跨径为米，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为 米．（结果用，表示） 4．（24-25高二下·上海·期中）已知、、是我方三个炮兵阵地，地在地的正东方向，相距6km；地在地的北偏西，相距4km．为敌方炮兵阵地．某时刻地发现地产生的某种信号，12s后地也发现该信号（该信号传播速度为km/s）．以方向为轴正方向，中点为坐标原点，与垂直的方向为轴建立平面直角坐标系．    (1)判断敌方炮兵阵地可能分布在什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程； (2)若地与地同时发现该信号，求从地应以什么方向炮击地？ 5．（24-25高二下·上海·期中）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆． (1)若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米） (2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米） 以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式． ②柱体的体积为底面积乘以高，，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 圆锥曲线的方程（举一反三讲义·基础篇） 【人教A版】 题型1 椭圆的定义 1．（24-25高二上·贵州安顺·期中）若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（　　） A．5 B．2 C．7 D．6 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用椭圆的定义求解. 【解题思路】椭圆的长轴长，由点到椭圆一个焦点的距离为3及椭圆定义， 得到另一个焦点的距离为. 故选：C. 2．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）已知椭圆的两焦点分别为，点为椭圆上任意一点，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【解题思路】根据已知条件求得，利用椭圆的定义求得正确答案. 【解题思路】由椭圆的标准方程可得，由椭圆的定义可得. 故选：D. 3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则 . 【答案】4 【解题思路】根据椭圆的对称性，利用三角形中位线定理求得，再由椭圆定义求解即可． 【解题思路】如图，根据椭圆的对称性，不妨设为左焦点，为右焦点， 由椭圆，得，， 是的中点，是的中点， 为的中位线， ， 由椭圆的定义得． 故答案为：4． 4．（24-25高二上·上海·课后作业）已知点在焦点为的椭圆上，若，求的值． 【答案】 【解题思路】利用勾股定理构造方程，结合椭圆定义可求得结果. 【解题思路】   由椭圆方程知：，，， ，， 由椭圆定义知：， ， 解得：. 5．（24-25高二上·江西景德镇·期中）已知椭圆的焦点分别是、，点、分别为椭圆的长轴端点，点为椭圆的短轴端点，且. (1)求椭圆的方程； (2)设点在这个椭圆上，且，求的长. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）由焦点得到，再由，即可求出、，从而求出椭圆方程； （2）根据椭圆的定义得到，解得即可. 【解题思路】（1）因为椭圆的焦点分别是、，所以， 又因为，即，联立可得， 所以椭圆的方程为； （2）因为点在这个椭圆上，所以，由小问（1）知， 所以，又，联立可得. 题型2 椭圆的标准方程的求解 1．（25-26高二上·全国·课后作业）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意可设椭圆方程为，且，利用椭圆定义及两点间的距离公式求得，结合隐含条件求得，则可求出椭圆方程． 【解题思路】由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 根据椭圆定义知，故，．因此所求椭圆方程为． 故选：B. 2．（24-25高二上·安徽淮南·期中）中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】依据题干信息得出的值即可得椭圆方程. 【解题思路】设椭圆方程为，则且，得，故椭圆方程为. 故选：A. 3．（24-25高二上·江苏连云港·期末）经过两点的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【解题思路】由待定系数法求方程即可. 【解题思路】设椭圆为，代入两点得，解得. 故椭圆的标准方程为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·四川达州·阶段练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标分别为，且经过点； (2)经过两点. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）解法一：根据焦点位置设椭圆方程，根据两点距离公式结合椭圆第一定义求出，进一步，即可得解； 解法二：根据焦点位置设椭圆方程，将点的坐标代入椭圆方程，结合，即可得解； （2）解法一：分椭圆的焦点在轴和椭圆的焦点在轴两种情况，设出椭圆的标准方程为，将点的坐标代入列方程组，求解即可； 解法二：设所求椭圆的方程为，将两点的坐标代入求解即可. 【解题思路】（1）解法一：椭圆的焦点在轴上， 设所求椭圆的标准方程为. 由题意知， ， 解得，. 所求椭圆的标准方程为. 解法二：椭圆的焦点在轴上， 设所求椭圆的标准方程为. 由题意得，解得， 所求椭圆的标准方程为. （2）解法一：（i）当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为， 依题意知解得 ， 焦点在轴上的椭圆不存在. （ii）当椭圆的焦点在轴上时， 设椭圆的标准方程为. 由题意得解得. 故所求椭圆的标准方程为. 解法二：设所求椭圆的方程为. 由题意得 解得 故所求椭圆的方程为， 即椭圆的标准方程为. 5．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）已知，是椭圆的焦点，，且过点. (1)求C的方程； (2)若点P在C上，，求的面积. 【答案】(1) (2)2. 【解题思路】（1）根据椭圆顶点坐标和焦距长代入标准方程即可求得结果； （2）利用椭圆定义以及勾股定理计算可得，再由的面积是的面积的一半即可求解. 【解题思路】（1）因为是椭圆短半轴的一个顶点，则， 又，则， 由，则， 所以C的方程为. （2）如下图所示： 根据椭圆的定义及可得 ① ② 联立①②得， 则的面积为， 因为的面积是的面积为， 所以的面积为2. 题型3 求椭圆的离心率或其取值范围 1．（24-25高二上·浙江·期末）已知椭圆的两个焦点为，，，点为上一点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用椭圆定义得出，在中利用余弦定理可得的值即可. 【解题思路】且，则， 因，，则在中利用余弦定理可得， ，解得， 又，则. 故选：C. 2．（24-25高二上·安徽·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由椭圆的定义可得，进而可得，可求椭圆的离心率的取值范围. 【解题思路】由椭圆的定义得，又，所以， 又，当且仅当点在椭圆下顶点时等号成立， 所以，即，则，即， 即椭圆的离心率的取值范围是. 故选：C. 3．（24-25高二上·湖南娄底·期末）已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，是上的一点，若，且，则的离心率为 ． 【答案】 【解题思路】设，根据题设有，，从而有，再结合，可得到，即可求解. 【解题思路】设，，又，， 则，， 所以，又，代入，整理得到， 所以，的离心率为， 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知和为椭圆上两点．求C的离心率． 【答案】 【解题思路】将两个点的坐标代入求得，结合离心率公式即可求解. 【解题思路】由点在椭圆上，代入椭圆方程，求出即可求解. 由题意得，解得， 所以． 5．（24-25高二上·北京·期中）椭圆的左、右焦点分别为，，经过右焦点且斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点． (1)写出椭圆C的焦点坐标和离心率； (2)求的面积． 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】（1）根据给定的椭圆方程直接求出焦点坐标及离心率. （2）求出直线的方程，与椭圆方程联立，结合三角形面积公式计算即得. 【解题思路】（1）椭圆的长半轴长，短半轴长，则半焦距， 所以，离心率. （2）由（1）知，直线的方程为，    由消去得：，解得， 所以的面积. 题型4 利用双曲线的定义解题 1．（24-25高二下·湖南益阳·阶段练习）设是双曲线上一点，分别是双曲线左，右两个焦点，若，则等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．8 【答案】B 【解题思路】先确定出点P的位置，再根据双曲线的定义求解. 【解题思路】对于，则，所以， 因为，所以P点在双曲线的左支，则有， 所以. 故选：B. 2．（24-25高二上·山东枣庄·阶段练习）设是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于（   ） A．3 B．9 C．27 D．3或27 【答案】C 【解题思路】根据双曲线的渐近线方程可求得的关系，进而求得的值，由双曲线定义进而求得答案． 【解题思路】因为双曲线的一条渐近线方程是，且， 所以，， ， 又，，所以点只在左支上， 所以，即. 故选：C. 3．（24-25高二上·河南濮阳·阶段练习）双曲线上一点P到该双曲线的一个焦点的距离为7，则点P到另一个焦点的距离是 ． 【答案】13 【解题思路】根据双曲线的定义求解即可. 【解题思路】由已知双曲线，可知，，， 设双曲线的两焦点分别为，，不妨设， 则，解得或， 又双曲线上的点到焦点的距离，所以． 故答案为：13. 4．（2025高二·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别是，. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)如图，若P是双曲线左支上的点，且，求的面积. 【答案】(1)10或22 (2) 【解题思路】（1）根据双曲线的定义求解； （2）由双曲线的定义和余弦定理得得解. 【解题思路】（1）双曲线的标准方程为， 故，，， 由双曲线的定义得， 又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16， 假设点M到另一个焦点的距离等于x， 则，解得或. 故点M到另一个焦点的距离为10或22. （2）由双曲线的定义和余弦定理得， ， 所以， 所以， 所以. 5．（24-25高三上·浙江丽水·期中）如图所示，已知双曲线与抛物线有相同的焦点F，它们在第一象限内的交点为M. (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)若双曲线的焦距为其实轴长的2倍，求点M到双曲线两个焦点的距离之和. 【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为； (2)12. 【解题思路】（1）根据抛物线的标准方程即得； （2）由题可得双曲线方程，进而可得，然后根据抛物线及双曲线的定义即得. 【解题思路】（1）因为抛物线， 所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为； （2）设双曲线的方程为， 则，， ∴，， ∴双曲线的方程为； 由，可得或(舍去) 所以， 由抛物线的定义可知， 由双曲线的定义可知，点M到左焦点的距离为7， ∴点M到双曲线两个焦点的距离之和为. 题型5 双曲线的标准方程的求解 1．（25-26高二上·全国·课后作业）焦点在轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知得，再由离心率和关系求，得到双曲线的标准方程. 【解题思路】 依题意，，，解得，， 所以， 故该双曲线方程为． 故选：A. 2．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意可得出，，即可求出双曲线的标准方程. 【解题思路】因为双曲线经过点，所以双曲线经的焦点在轴上， 且，又因为离心率为， 即，解得：， 又因为，所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 3．（25-26高二上·全国·课后作业）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的离心率，则双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【解题思路】与双曲线共离心率的双曲线方程可设为或，代入点的坐标求解. 【解题思路】设与双曲线共离心率的双曲线方程为或， 因为双曲线过点，所以，（舍去）， 所以双曲线的方程为，即． 故答案为：． 4．（24-25高二·全国·课堂例题）分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8； (2)双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意可得，求出结合焦点位置得出双曲线方程； （2）由焦点坐标及双曲线上点，利用双曲线定义求出，即可得出双曲线方程. 【解题思路】（1）由已知得5，．因此，且． 又因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求的双曲线的标准方程是． （2）由已知得双曲线的焦点在y轴上，且，所以另一个焦点坐标为. 因为点在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值为 ， 因此，从而． 因此，所求双曲线的标准方程是． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为； (2)与双曲线有公共焦点，且经过点； (3)与双曲线有共同渐近线，且过点. 【答案】(1)或 (2) (3) 【解题思路】（1）根据虚轴长及离心率计算可得结果； （2）求得双曲线的焦点坐标，根据过的点坐标构造方程组解得结果； （3）设双曲线方程为，代入点可得结果. 【解题思路】（1）设所求双曲线的标准方程为或. 由题意知且， 所以， 所以所求双曲线的标准方程为或. （2）双曲线的焦点为. 设所求双曲线的方程为， 则有,解得. 故所求双曲线的方程为. （3）设所求双曲线方程为， 将点代入得， 所以双曲线方程为，即. 题型6 求双曲线的离心率的值或取值范围 1．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的一条渐近线过点，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【解题思路】根据双曲线得渐近线为，结合已知求得，进而求离心率. 【解题思路】双曲线的渐近线方程为， 因为渐近线过点，即，则， 所以离心率. 故选：C. 2．（2025·陕西咸阳·三模）已知双曲线C：（，）的左焦点为，右顶点为，过作垂直于轴的直线与两渐近线分别交于点，，若为等边三角形，则的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题得，即，即，整理得即可求解. 【解题思路】根据题意，不妨取在的上方， 则，，双曲线的渐近线方程为：. 由得： 又为等边三角形，所以， 则，即， 整理得，即， 解得或（舍）， 所以. 故选A. 3．（24-25高二下·湖南长沙·期末）若双曲线的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线离心率为 ． 【答案】 【解题思路】由题意可得，再由离心率公式求解即可. 【解题思路】解：因为双曲线的一个焦点坐标为（2，0）， 所以，解得， 即有， 所以离心率. 故答案为：. 4．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线. (1)若双曲线的离心率为，求的值； (2)若直线与圆相切，证明：直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据双曲线的离心率公式可得出关于的等式，解之即可； （2）由直线与圆相切可得出，再将直线方程与双曲线方程联立，结合韦达定理可证得结论成立. 【解题思路】（1）由题意可得，因为，解得. （2）因为直线与圆相切，所以，可得， 联立得，即， 则，所以方程有两个不等的实根， 设这两个实根分别为、，则， 因此，直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 5．（2025高三·全国·专题练习）设分别为双曲线的左右顶点，为双曲线左支上一点，记直线的斜率分别为，若. (1)求双曲线的离心率； (2)直线与轴交于点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）设，由，及点在双曲线上，列出等式，化简即可求解； （2）通过方程求得的坐标，再由斜率公式即可求证； 【解题思路】（1） 设，则，即， 又，所以，于是， 所以，离心率. （2）直线的方程为，令，则， 所以， 由（1）知，所以，， 故. 题型7 利用抛物线的定义解题 1．（24-25高二上·四川凉山·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】根据抛物线的定义，结合焦半径公式即可求解. 【解题思路】由于抛物线的准线方程为，抛物线上点到直线的距离为5， 故点到直线的距离为4，故， 故选：B. 2．（24-25高二上·福建三明·期中）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【解题思路】先求出准线方程，再设点，，根据点P在抛物线上和得到方程组，求出m的值，根据抛物线的定义求出答案. 【解题思路】抛物线的准线方程为， 设，，点P在抛物线上，， 则，解得或（舍去）， 由抛物线定义可得. 故选：B． 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知抛物线焦点为，抛物线上的点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离，则 . 【答案】 【解题思路】首先求出焦点坐标，依题意点到坐标原点的距离等于该点到焦点的距离，从而得到，即可得解. 【解题思路】抛物线焦点为， 点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离， 点到坐标原点的距离等于该点到焦点的距离， ，解得； 故答案为：. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点的轨迹方程为，若动点所在轨迹上一点到的距离为2，求点的坐标. 【答案】或 【解题思路】根据抛物线的定义求出点的横坐标，代入抛物线方程即可得到结果. 【解题思路】由题意得，点的轨迹为除去顶点的抛物线，焦点为，准线方程为. 设点的坐标为，则. 由抛物线的定义得点到焦点的距离等于点到准线的距离，即，解得. ∵，∴， ∴点的坐标为或. 5．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知抛物线，焦点为F (1)若点P为C上一点，且，求点P的横坐标. (2)若斜率为2的直线与抛物线交于不同的两点A，B，线段中点为M，求点M的轨迹方程． 【答案】(1)3 (2) 【解题思路】（1）由抛物线的定义列方程即可求解； （2）设出直线方程，联立抛物线方程，结合韦达定理、中点坐标公式即可求解. 【解题思路】（1）抛物线的焦点，准线方程为， 由抛物线定义结合已知，其中为点的横坐标， 解得，即点P的横坐标为3； （2） 因为直线的斜率为，所以可设直线的方程为， 设， 联立抛物线方程得， ，由，解得， 所以，所以， 所以点M的轨迹方程为. 题型8 求抛物线的标准方程 1．（24-25高二上·北京平谷·期末）以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据抛物线焦点位置，设其标准方程，求出的值，即得. 【解题思路】由题意，抛物线方程形如，因，解得， 故以为焦点的抛物线标准方程是. 故选：D. 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出直线与y轴的交点坐标，得抛物线的焦点，进而可得抛物线的标准方程． 【解题思路】直线与y轴的交点为， 所以抛物线C的焦点为，故，解得， 所以抛物线C的标准方程为． 故选：D． 3．（2025·福建·模拟预测）已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为 ． 【答案】 【解题思路】根据题意可知抛物线的焦点在x轴正半轴上，且，即可得方程. 【解题思路】由题意可知：抛物线的焦点在x轴正半轴上，且，即， 所以该抛物线的标准方程为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点为； (2)焦点到准线的距离为. 【答案】(1) (2)或或或. 【解题思路】（1）根据条件确定焦点的位置，求出的值，得抛物线的标准方程； （2）根据条件求出的值，得抛物线的标准方程. 【解题思路】（1）由于焦点在轴的负半轴上，且，， 抛物线的标准方程为. （2）由焦点到准线的距离为，可知. 所求抛物线的标准方程为或或或. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点； (2)焦点在直线上； (3)焦点到准线的距离是4． 【答案】(1)或． (2)或． (3)或或或． 【解题思路】（1）分过点的抛物线开口向左或开口向上两种情况设抛物线的标准方程求解即可； （2）由直线与坐标轴的交点为焦点，再由抛物线的性质求解即可； （3）由抛物线的性质求解即可； 【解题思路】（1）由于点在第二象限，所以过点的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在轴上，设其标准方程为． 将点的坐标代入，可得，所以， 所以抛物线的标准方程为； 若抛物线开口向上，焦点在轴上，设其标准方程为． 将点的坐标代入，可得，所以，所以抛物线的标准方程为． 综上所述，所求抛物线的标准方程为或． （2）因为直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为，所以，解得， 所以抛物线的标准方程为． 因为直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为，所以，解得， 所以抛物线的标准方程为． 综上所述，所求抛物线的标准方程为或． （3）焦点到准线的距离，焦点可在轴或轴上，故有四种情况，所求抛物线的标准方程为或或或． 题型9 判断直线与圆锥曲线的位置关系 1．（24-25高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【解题思路】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【解题思路】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 2．（2025高二·全国·专题练习）直线与双曲线的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【解题思路】联立直线方程和双曲线方程消去y然后可解出x，从而得出直线和双曲线位置关系，得出答案. 【解题思路】由得  整理得，； 所以，故直线和双曲线只有一个交点； 又双曲线的渐近线方程为： 与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点. 所以直线和双曲线的位置关系为相交． 故选：B. 3．（24-25高二上·浙江杭州·期中）若直线与椭圆有两个不同的交点，则m的范围是 ． 【答案】 【解题思路】联立直线与椭圆方程，根据可得m的范围. 【解题思路】由得，， ∵直线与椭圆有两个不同的交点， ∴，解得， ∴m的范围是. 故答案为：. 4．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知双曲线的中心在原点，右焦点为，过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线有且只有一个公共点，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）设双曲线的方程为：,由，代入点，可得的值，可得双曲线标准方程； （2）联立直线与双曲线，可得，然后分二次项系数为零和二次项系数不为零，两种情况求解即可求的取值范围. 【解题思路】（1）由双曲线的中心在原点，焦点在轴上， ，过点， 设双曲线的方程为：，由， 过点，可得，可得，即得， 故双曲线标准方程为：； （2）由，得 由题意得，解得. 当，即时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点， 所以或. 5．（24-25高二上·重庆黔江·阶段练习）已知椭圆，直线. (1)求证：对，直线与椭圆总有两个不同交点； (2)直线与椭圆交于两点，且，求的值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【解题思路】（1）将直线方程代入椭圆方程中，利用一元二次方程根的判别式进行求解判断即可； （2）根据椭圆的弦长公式进行求解即可. 【解题思路】（1）将直线的方程代入椭圆方程中，得 ， 该一元二次方程根的判别式， 所以直线与椭圆总有两个不同交点； （2）设，则有， 因为，所以 ， 所以的值为. 题型10 直线与圆锥曲线的实际应用 1．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.若某行星距太阳表面的最大距离为，最小距离，太阳半径为，则该行星运行轨迹椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设椭圆的焦距为，长轴长为，根据题意得到，计算可得离心率. 【解题思路】设椭圆的焦距为，长轴长为， 则由已知可得， 两式相加可得，两式相减可得， 则，， 所以离心率. 故选：A. 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知A，B两地相距600m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地早1s，且声速为．以线段AB的中点为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据双曲线的定义求解． 【解题思路】设炮弹爆炸点P的坐标为，则， 所以P的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为340的双曲线的左支． 因为，所以．又， 所以， 故炮弹爆炸点的轨迹方程为． 故选：B． 3．（24-25高二上·重庆·阶段练习）位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线的一部分．该桥的高度为米，跨径为米，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为 米．（结果用，表示） 【答案】 【解题思路】以桥顶为坐标原点，建立直角坐标系，设该抛物线，代入点，即可求解. 【解题思路】如图所示，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为轴建立直角坐标系， 结合题意可知，该抛物线经过点，则，解得，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为． 故答案为：． 4．（24-25高二下·上海·期中）已知、、是我方三个炮兵阵地，地在地的正东方向，相距6km；地在地的北偏西，相距4km．为敌方炮兵阵地．某时刻地发现地产生的某种信号，12s后地也发现该信号（该信号传播速度为km/s）．以方向为轴正方向，中点为坐标原点，与垂直的方向为轴建立平面直角坐标系．    (1)判断敌方炮兵阵地可能分布在什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程； (2)若地与地同时发现该信号，求从地应以什么方向炮击地？ 【答案】(1)在以为焦点的双曲线右支上， (2)炮击的方位角为北偏东. 【解题思路】（1）依题意可得，根据双曲线的定义可知在以、为焦点的双曲线右支上，即可求出轨迹方程； （2）首先求出点坐标，依题意点在线段的垂直平分线上，求出的垂直平分线方程，再联立（1）中轨迹方程，求出点坐标，即可求出，从而确定方向. 【解题思路】（1）依题意，， 又，即， 故在以、为焦点的双曲线右支上， 设双曲线方程为 ，则且， 所以，所以双曲线方程为. （2）因为且，所以，， 所以， 因为，所以点在线段的垂直平分线上， 因为，中点， 所以直线的方程为， 由 （1） 知点还在上， 由，解得（负值已舍去），所以， 因此，则，所以， 故炮击的方位角为的北偏东.    5．（24-25高二下·上海·期中）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆． (1)若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米） (2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米） 以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式． ②柱体的体积为底面积乘以高，，． 【答案】(1) (2)拱高、拱宽 【解题思路】（1）建立直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，将点代入椭圆方程，即可求解； （2）由点在椭圆上或在椭圆内得，利用基本不等式即可求出半椭圆的面积的最小值，从而得解. 【解题思路】（1）如图建立平面直角坐标系， 依题意可得点在椭圆上， 又，将点代入椭圆方程得，解得， 此时， 因此隧道设计的拱宽约为米； （2）设隧道上方半椭圆部分的面积为， 由椭圆方程且点在椭圆上或椭圆内部，得， 因为，即，当且仅当时取等号， 所以， 由于隧道长度为米，故隧道上方半椭圆部分的土方工程量， 当取得最小值时，有且，得，， 此时，， 即拱高和拱宽，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$