复习篇 07 圆锥曲线定值问题【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高二数学寒假进阶学习讲义人教A版2019

07 圆锥曲线定值问题 【基础知识】 1 定值问题 在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征. 2 解决此类问题的基本策略 定值问题往往涉及到一连串的“运动变化”，要确定某几何量的定值，我们要先理解题意，明确“变化的源头”，再找到源头与含定值特征的几何量之间的代数或几何关系，来确定解题的突破口. ① 参数法 把相关几何量用曲线里的参变量表示，再证明结论与求参数无关； 解题步骤 引进参数--列出关系式--化简消参，求出定值. ② 由特殊到一般法 把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关. ③ 几何法 根据几何关系确定相关几何量的不变. 【题型1】 向量的定值问题 【经典例题】 【例1】（23-24高二上·福建厦门·期末）已知双曲线的左顶点为A，为上（异于A）一点. (1)已知点，求当取得最小值时直线的方程； (2)若直线与直线交于点，证明：为定值. 【巩固练习】 1（23-24高二上·广西河池·期末）已知直线l过抛物线的焦点，且与抛物线分别交于A，B两点，则（O为坐标原点）的值为（    ） A．0 B． C． D． 2（2024高三·全国·专题练习）已知点分别为椭圆的左､右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，垂足分别为点．    (1)求证：； (2)求证：为定值，并求出该定值； 3（2023·湖南衡阳·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点 (1)求双曲线的离心率及方程； (2)已知点，点，过点的直线与双曲线交于两点，是否为常数？若为常数，求出此常数及的值；若不为常数，请说明理由. 【题型2】斜率的定值问题 【经典例题】 【例1】（22-23高二上·吉林长春·期末）已知，是椭圆长轴上的两个端点，是椭圆上一点，直线，的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高三上·北京·开学考试）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16． (1)求椭圆C的标准方程； (2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值． 【巩固练习】 1（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知椭圆，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线，的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 2（2024·湖南长沙·二模）已知分别为双曲线 的左、右顶点，过双曲线的左焦点作直线交双曲线于两点(点 异于)，则直线的斜率之比（     ） A． B． C． D． 3（24-25高二上·广西河池·阶段练习）设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为2． (1)求抛物线的方程； (2)已知是双曲线左右焦点，过右焦点的直线与交于两点．证明：． 【题型3】 线段的定值问题 【经典例题】 【例1】（2024·甘肃定西·一模）已知椭圆的离心率为是上任意一点，为坐标原点，到轴的距离为，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 【例2】（2024·河南商丘·模拟预测）已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线经过点，且其渐近线的斜率为． (1)求的方程． (2)若动直线与交于两点，且，证明：为定值． 【巩固练习】 1（22-23高三下·河南·阶段练习）已知拋物线C：焦点为F，准线为l，点在C上，直线AF与l交于点B，则（    ） A．1 B． C． D．2 2（2025·浙江·模拟预测）已知为椭圆的右焦点，点是直线上的动点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 3（2025·全国·模拟预测）已知为坐标原点，点在椭圆上，若点分别在直线，上，若四边形为平行四边形，且为定值，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4（24-25高三上·上海·阶段练习）已知椭圆的长轴长为4，焦距为．设的左顶点为A，过定点（）作与轴不重合的直线交于，两点，直线、分别交轴于、两点． (1)求的方程； (2)设．若以为直径的圆经过的右焦点，求直线的方程； (3)是否存在点，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【题型4】 其他量的定值问题 【经典例题】 【例1】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系xOy中，点，在椭圆C：上，且直线OA，OB的斜率之积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（2024·山西运城·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为的左顶点，点为右支上一点（非顶点），的平分线交轴于 (1)过右焦点作于，求； (2)求证：. 【巩固练习】 1（23-24高二上·山西晋城·阶段练习）已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且椭圆C的离心率为，点P是椭圆C上的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 2（24-25高三上·上海·期中）已知抛物线经过点，直线过点且与抛物线有两个不同的交点，. (1)求抛物线的准线方程； (2)求直线的斜率的取值范围； (3)若直线交轴于，直线交轴于，设为原点，，，求的值. 3（2024·重庆·模拟预测）已知抛物线：与双曲线：相交于点． (1)若，求抛物线的准线方程； (2)记直线l：与、分别切于点M、N，当p变化时，求证：的面积为定值，并求出该定值． 【A组---基础题】 1（22-23高二下·湖北·期中）已知点，过点作直线l与抛物线相交于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为，，则（    ） A． B． C．2 D．无法确定 2（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左焦点为，右顶点为，过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，且，直线与双曲线的左支交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3（23-24高三上·山东菏泽·期末）设坐标原点为，抛物线与过焦点的直线交于A、B两点，则（    ） A． B． C．3 D． 4（22-23高三上·全国·阶段练习）已知点，在椭圆上，为坐标原点，记直线，的斜率分别为，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5（23-24高三下·浙江嘉兴·阶段练习）已知，过抛物线的焦点作直线交于，两点，若上存在点，使得四边形为平行四边形，则t（    ）． A．是定值 B．有最大值 C．有最小值 D．以上说法均不正确 6（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的离心率为2，焦点到一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程． (2)若过双曲线的左焦点的直线交双曲线于，两点，交轴于，设．试判断是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由． 7（23-24高二下·广东·期末）设点为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与交于两点（为坐标原点）． (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条斜率分别为的直线，它们分别与抛物线交于点和．已知，问：是否存在实数，使得为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 8（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 【B组---提高题】 1（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为、，右顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆的另外一个交点为，当的面积最大时，求直线的方程； (3)若点、是直线上不同的两点，则向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量，当直线时，直线的方向向量称为直线的法向量．设、为实数，直线的一个法向量为，为直线上任一点，点为坐标平面内的定点，我们把称为点在直线上的投影数量．当与椭圆相切时，点、在直线上的投影数量的乘积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由． 2（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示. (1)如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵； (2)在平面直角坐标系中，求双曲线绕原点按逆时针旋转（到原点距离不变）得到的双曲线方程； (3)已知由（2）得到的双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于，两点（在第一象限），与轴交于点.设直线，的倾斜角分别为，，求证：为定值. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 07 圆锥曲线定值问题 【基础知识】 1 定值问题 在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征. 2 解决此类问题的基本策略 定值问题往往涉及到一连串的“运动变化”，要确定某几何量的定值，我们要先理解题意，明确“变化的源头”，再找到源头与含定值特征的几何量之间的代数或几何关系，来确定解题的突破口. ① 参数法 把相关几何量用曲线里的参变量表示，再证明结论与求参数无关； 解题步骤 引进参数--列出关系式--化简消参，求出定值. ② 由特殊到一般法 把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关. ③ 几何法 根据几何关系确定相关几何量的不变. 【题型1】 向量的定值问题 【经典例题】 【例1】（23-24高二上·福建厦门·期末）已知双曲线的左顶点为A，为上（异于A）一点. (1)已知点，求当取得最小值时直线的方程； (2)若直线与直线交于点，证明：为定值. 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）设，其中，，用两点间距离公式得到，代换转换成二次函数求最值问题，然后利用点斜式求出直线方程； （2）设，写出直线AP的方程，得到Q点坐标，计算即可得证. 【详解】（1）设，其中， 所以当时，取得最小值为，此时， 此时，所以直线：， 化简得或 （2）设，，则直线的方程为：，所以 所以， 所以为定值. 【巩固练习】 1（23-24高二上·广西河池·期末）已知直线l过抛物线的焦点，且与抛物线分别交于A，B两点，则（O为坐标原点）的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理即可求出结果. 【详解】抛物线的焦点为，显然直线l的斜率不为0， 设直线l的方程为， 联立，得，设, 所以，， ， 故选：D. 2（2024高三·全国·专题练习）已知点分别为椭圆的左､右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，垂足分别为点．    (1)求证：； (2)求证：为定值，并求出该定值； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析，定值为1 【分析】（1）联立直线与椭圆方程得，然后利用判别式法化简证明即可； （2）结合（1）的结论，利用点到直线的距离和数量积的定义即可求得为定值1. 【详解】（1）联立与消y得：， 由直线与椭圆有一个公共点可知：， 化简得：； （2）由题意得：， 因为，所以∥，故， 其中，， 所以， 为定值，该定值为1. 3（2023·湖南衡阳·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点 (1)求双曲线的离心率及方程； (2)已知点，点，过点的直线与双曲线交于两点，是否为常数？若为常数，求出此常数及的值；若不为常数，请说明理由. 【答案】(1)， (2)存在，得为常数. 【分析】（1）由已知双曲线的渐近线方程得出的关系，可得双曲线的离心率，由双曲线上的定点坐标，代入方程，可得的值，进而得出双曲线方程； （2）由已知设出直线，与双曲线方程联立，消元得出韦达定理，再将题目中的用坐标表示，化简计算得出的值以及的值． 【详解】（1）双曲线的渐近线为， 由题意，一条渐近线为，，， ， 则双曲线的离心率， 双曲线的方程可写为， 经过点，， 双曲线的方程为； （2）双曲线的方程为， 假设存在点，满足题设条件， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，，与双曲线无交点； 直线的斜率存在时，设为，直线的方程为，与交点， 联立方程组：，消去可得： ， 由题可知，且 ， 则， 所以 ， 若为常数，则，解得或， ，常数为，且， ，且，所以存在，得为常数. 【题型2】斜率的定值问题 【经典例题】 【例1】（22-23高二上·吉林长春·期末）已知，是椭圆长轴上的两个端点，是椭圆上一点，直线，的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据离心率求出，设 ，表示出，，再代入计算可得. 【详解】解：依题意可得，，设 ， 所以，，， 因为椭圆的离心率为，所以，所以， 所以. 故选：C 【例2】（24-25高三上·北京·开学考试）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16． (1)求椭圆C的标准方程； (2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件结合椭圆定义、离心率公式，确定的值，得出椭圆的标准方程. （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到，，再把用，表示出来，化简即可得解. 【详解】（1）由的周长为16，及椭圆的定义，可知：，即， 又离心率为所以 ． 所以椭圆C的方程为：． （2）依题意，直线l与x轴不重合， 设l的方程为：． 联立得：， 因为在椭圆内，所以， 即，易知该不等式恒成立， 设， 由韦达定理得． 又，则 注意到，即： . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【巩固练习】 1（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知椭圆，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线，的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，可得，代入中即可得. 【详解】设，则有，即有， 由椭圆方程不妨设短轴端点的坐标分别为、， 则. 故选：C. 2（2024·湖南长沙·二模）已知分别为双曲线 的左、右顶点，过双曲线的左焦点作直线交双曲线于两点(点 异于)，则直线的斜率之比（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将所求的斜率之比用坐标表示，再设出直线的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，结合根与系数之间的关系进行坐标运算即可求解. 【详解】如图所示，设 ，由题意得， 所以  ，所以  ， 当直线斜率存在时，设直线方程为 ， 所以联立双曲线方程得: ， 消元得  ， 所以 ①， 因为 ， 所以 将①代入得 ， 因为过双曲线的左焦点作直线交双曲线于两点， 所以  比值为负数，所以， 当直线 斜率不存在时，容易验证 故选：C. 3（24-25高二上·广西河池·阶段练习）设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为2． (1)求抛物线的方程； (2)已知是双曲线左右焦点，过右焦点的直线与交于两点．证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用点到圆上点的最大距离为2，求出，可得答案； （2）设设的方程为，，与抛物线方程联立，由结合韦达定理可得答案． 【详解】（1）点到圆上点的最大距离为， 即，得， 故抛物线C的方程为． （2）由题意可知， 设的方程为，， 联立方程，得， 易得，由根与系数的关系得， ， 所以 ， 所以， 侧直线与直线的倾斜角互补，所以． 【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键点是由韦达定理判断. 【题型3】 线段的定值问题 【经典例题】 【例1】（2024·甘肃定西·一模）已知椭圆的离心率为是上任意一点，为坐标原点，到轴的距离为，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 【答案】D 【分析】观察选项，设，从而表示出，再利用椭圆离心率的定义求得，进而得到椭圆方程，从而配凑出关于的式子，由此得解. 【详解】依题意，设，则， 因为椭圆的离心率为， 所以，解得， 所以的方程为，即，即， 所以，故D正确，显然ABC错误. 故选：D. 【例2】（2024·河南商丘·模拟预测）已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线经过点，且其渐近线的斜率为． (1)求的方程． (2)若动直线与交于两点，且，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由渐近线的斜率设，再将代入求解即可； （2）分两种情况证明，当直线的斜率存在，设，与双曲线联立，根据韦达定理及得出，设点到直线的距离为，则由等面积法即可证明；当直线的斜率不存在，设直线的斜率为1，分别求出，即可证明． 【详解】（1）由题可设双曲线的方程为． 因为经过点， 所以，解得， 故的方程为． （2）若直线的斜率存在，设， 由，消去得， 则，即， 设，则， 因为，所以，即， 所以，整理得， 设点到直线的距离为，则由等面积法得，所以， 又，所以； 若直线的斜率不存在，则直线的斜率为， 不妨设直线的斜率为1，则， 将点的坐标代入方程，得， 所以， 所以． 综上，为定值． 【巩固练习】 1（22-23高三下·河南·阶段练习）已知拋物线C：焦点为F，准线为l，点在C上，直线AF与l交于点B，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】点在C上，代入抛物线方程可得，过点A作l的垂线，垂足为H， l与x轴交于点G，有，所以为中点，可求. 【详解】由在上，有，得，所以，， 过点A作l的垂线，垂足为H，由抛物线的定义可知，设l与x轴交于点G，则，有，又，所以为中点，有，． 故选：A． 2（2025·浙江·模拟预测）已知为椭圆的右焦点，点是直线上的动点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】设，，可得切线，的方程，再将点代入两切线方程中可得直线的方程为 ，而，所以可得直线过，从而可得结果 【详解】解：由已知可得，设， 则切线，的方程分别为，， 因为切线，过点， 所以，，所以直线的方程为 ， 因为，所以，所以点在直线上， 所以三点共线，所以， 故选：D 3（2025·全国·模拟预测）已知为坐标原点，点在椭圆上，若点分别在直线，上，若四边形为平行四边形，且为定值，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知四边形可得，再用，，的坐标表示出斜率，得到，最后由定值条件求出离心率. 【详解】四边形为平行四边形， ． 设，，，则，， ，，， ， 当时，为定值，即为定值， 椭圆的离心率为． 故选：C． 4（24-25高三上·上海·阶段练习）已知椭圆的长轴长为4，焦距为．设的左顶点为A，过定点（）作与轴不重合的直线交于，两点，直线、分别交轴于、两点． (1)求的方程； (2)设．若以为直径的圆经过的右焦点，求直线的方程； (3)是否存在点，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意求出即可得到椭圆方程； （2）由题意知，求出点的坐标即可知道直线的斜率，进而可得直线方程； （3）联立直线和椭圆得到韦达定理，求出点的坐标，进而可求，代入化简，结合=即可求出的值. 【详解】（1）因为椭圆的长轴长为4，焦距为, 所以, 解得, 则植圆的方程为； （2）由（1）可知椭圆的右焦点为， 设，因为且以为直径的圆经过椭圆的右焦点， 所以， 又点Q在椭圆上，，联立解得 ，不妨设 则， 此时直线的方程为， 由圆和椭圆的对称性可知也满足题意， 故直线的方程为. （3）易知直线的斜率存在且不为0，, 设直线的方程为,), 联立,消去并整理得 此时 由韦达定理得, 直线方程为, 令，解得，可得，同理得, 所以 若,解得或， 当时,，解得或,满足条件； 当时,恒成立. 所以存在点，使得等于定值, 此时或. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将用坐标来表示，进而可用韦达定理整体代入，体现的是设而不求的思想. 【题型4】 其他量的定值问题 【经典例题】 【例1】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系xOy中，点，在椭圆C：上，且直线OA，OB的斜率之积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先由题意得到，平方后，利用点在椭圆上，变形得到的值，即可求解. 【详解】因为点，在椭圆上， 所以， 因为直线的斜率之积为，所以， 得到，得， . 故选：C 【例2】（2024·山西运城·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为的左顶点，点为右支上一点（非顶点），的平分线交轴于 (1)过右焦点作于，求； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）延长交于点，即可得到，，再由双曲线的定义得到，即可得解； （2）当，直接求出、，当时，设，求出，，利用二倍角公式求出，即可得证. 【详解】（1）延长交于点，因为平分，， 所以，所以，， 所以为的中点，又为的中点，所以且， 又，所以， 所以. （2）依题意可知，， 当时，解得，不妨取，则， ，所以，满足； 当时，设，则， 所以，， 则， 所以， 又，，则， 所以， 综上可得. 【巩固练习】 1（23-24高二上·山西晋城·阶段练习）已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且椭圆C的离心率为，点P是椭圆C上的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设是椭圆上的点，设，求出为定值，从而能求出的值，然后根据求解. 【详解】设代入椭圆方程，则 整理得：设， 又，,所以 而，所以，所以 故选：B 2（24-25高三上·上海·期中）已知抛物线经过点，直线过点且与抛物线有两个不同的交点，. (1)求抛物线的准线方程； (2)求直线的斜率的取值范围； (3)若直线交轴于，直线交轴于，设为原点，，，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3)2. 【分析】（1）将点代入求参数，即可得准线方程； （2）设且，联立抛物线结合判别式求参数范围； （3）根据题意，设直线，和，由向量的线性关系求得、，应用韦达定理化简求值即可. 【详解】（1）由在抛物线上，可得，故，则准线为； （2）由题意，直线的斜率存在且不为0， 设且，联立抛物线得， 所以，则，故直线的斜率范围是. （3）由题意，根据（2）易知，当直线与抛物线相切，即时过， 令，，且，且，， 若，得，所以， 同理得，而，故，， 由题意，同理可得， 所以 ，而，， 所以. 3（2024·重庆·模拟预测）已知抛物线：与双曲线：相交于点． (1)若，求抛物线的准线方程； (2)记直线l：与、分别切于点M、N，当p变化时，求证：的面积为定值，并求出该定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析，. 【分析】（1）求出，代入求出即可求出准线方程. （2）把直线的方程分别与、联立，用表示出，进而求出切点的坐标，再求出三角形面积即得结果. 【详解】（1）由，得，将其代入，得， 所以抛物线的方程为，其准线方程为. （2）由，得， 由直线与相切，得，解得，切点， 由，得， 由直线与相切，得，解得，切点， 于是，令，则直线的方程为， 点，由，得， 所以， 点到直线的距离为， 所以， 所以的面积为定值，该定值为. 【A组---基础题】 1（22-23高二下·湖北·期中）已知点，过点作直线l与抛物线相交于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为，，则（    ） A． B． C．2 D．无法确定 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线方程，得到，代入两点斜率公式即可化简求解. 【详解】设直线方程为，联立抛物线方程可得， 设，，可得， 则 故选：A 2（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左焦点为，右顶点为，过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，且，直线与双曲线的左支交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直渐近线且，可得，从而不妨设，可得及，这样就可得轴，从而可得求解. 【详解】易知，于是，故离心率，不妨设，则， ，，不难求得，于是轴，所以． 故选：B 3（23-24高三上·山东菏泽·期末）设坐标原点为，抛物线与过焦点的直线交于A、B两点，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】求出焦点坐标，设直线的方程为代入抛物线方程中化简利用根与系数的关系，再结合向量的数量积公式求解即可 【详解】抛物线的焦点为，设直线的方程为，， 由，得， 则， 所以， 故选：D 4（22-23高三上·全国·阶段练习）已知点，在椭圆上，为坐标原点，记直线，的斜率分别为，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】联立方程得出，，再由距离公式得出. 【详解】设直线的斜率为，则直线的斜率为， 则直线，的方程分别为，， 由得，，即， 由得，，即， 所以 故选：D 5（23-24高三下·浙江嘉兴·阶段练习）已知，过抛物线的焦点作直线交于，两点，若上存在点，使得四边形为平行四边形，则t（    ）． A．是定值 B．有最大值 C．有最小值 D．以上说法均不正确 【答案】A 【分析】设直线，的中点为，，联立直线方程和抛物线方程后可用表示，从而可得. 【详解】由抛物线方程可得： 设直线，的中点为， 由可得，故，所以， 故，所以， 所以， 故选：A. 6（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的离心率为2，焦点到一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程． (2)若过双曲线的左焦点的直线交双曲线于，两点，交轴于，设．试判断是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由． 【答案】(1) (2)为定值 【分析】（1）利用点到直线的距离公式及双曲线的离心率公式即可求解； （2）根据已知条件利用点斜式设出直线的方程，利用向量的线性运算，将直线方程与双曲线方程联立方程组，再利用韦达定理即可求解. 【详解】（1）不妨取双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为， 因为焦点到一条渐近线的距离为， 所以解得. 又，且，解得. 所以双曲线的方程为. （2）由（1）可知左焦点. 由题意可知，直线的斜率存在，且不等于.如图所示 设直线的方程为则. 因为， 所以 可得 由，消去整理得 所以 所以为定值. 7（23-24高二下·广东·期末）设点为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与交于两点（为坐标原点）． (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条斜率分别为的直线，它们分别与抛物线交于点和．已知，问：是否存在实数，使得为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在 【分析】（1）写出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合三角形面积，即可求解； （2）联立直线与抛物线的方程，结合弦长公式，求出，由已知建立关系推理，即可说明理由. 【详解】（1）物线的焦点为， 直线的方程， 由，得， 设， 所以， 所以， 所以，且 所以， 所以抛物线的方程为． （2）存在，使得为定值， 由题意可得直线的方程，直线的方程为， 联立，得， 设， 所以， ， 所以， 设， 同理可得， 所以， 由，得， 即，而， 所以， 所以存在，使得为定值0． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用坐标表示弦长，并结合韦达定理，即可求解. 8（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）面积的最大值为. 【分析】（1）依据题意列出关于的方程组求出即可得解； （2）（i）依据题意分直线斜率为0时和直线斜率不为0时两种情况结合韦达定理计算分析即可求证；（ii）由（i）先求出，再由面积公式结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意可得椭圆焦点在x轴上，且， 所以椭圆的方程为. （2）（i）证明：由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然，所以； 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立， 则， 设，则， 所以， 因为， 所以. 综上，为定值0. （ii）由（i）可得， 所以， 所以 ，当且仅当即时等号成立， 所以面积的最大值为. 【B组---提高题】 1（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为、，右顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆的另外一个交点为，当的面积最大时，求直线的方程； (3)若点、是直线上不同的两点，则向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量，当直线时，直线的方向向量称为直线的法向量．设、为实数，直线的一个法向量为，为直线上任一点，点为坐标平面内的定点，我们把称为点在直线上的投影数量．当与椭圆相切时，点、在直线上的投影数量的乘积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，且定值为 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）求出直线的方程，设点，其中，利用点到直线的距离公式，辅助角公式可求得点到直线距离的最大值及其对应的的值，可得出点的坐标，进而可求得直线的方程； （3）设直线与椭圆相切于点，则，先证明椭圆在点处的切线方程为，可得出直线的一个法向量，再利用投影的概念可求得点、在直线上的投影数量的乘积，即可得出结论. 【详解】（1）由题意可得，解得， 因此，椭圆的方程为. （2）易知点，直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 若的面积最大，则点到直线的距离取最大值， 设点，其中， 则点到直线的距离为， 因为，则， 故当时，即当时，取最大值，此时点， 所以，直线的斜率为，则直线的方程为， 故当的面积最大时，直线的方程为. （3）若直线的方程为，则该直线的斜率为，该直线的一个方向向量为， 该直线的一个法向量为， 设直线与椭圆相切于点，则， 首先证明椭圆在点处的切线方程为， 联立可得，解得， 所以，椭圆在点处的切线方程为，即， 所以，直线的一个法向量为， ，， 所以，点在直线上的投影为， 点在直线上的投影为， 所以，点、在直线上的投影数量的乘积为. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示. (1)如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵； (2)在平面直角坐标系中，求双曲线绕原点按逆时针旋转（到原点距离不变）得到的双曲线方程； (3)已知由（2）得到的双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于，两点（在第一象限），与轴交于点.设直线，的倾斜角分别为，，求证：为定值. 【答案】(1)公式为，二阶矩阵为 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设，，通过，计算整理可得答案； （2）利用（1）的结果代入计算即可； （3）设直线的方程为，与联立，求出的斜率，然后利用韦达定理计算，进而求出，则可得为定值. 【详解】（1）设，，则，，， 故， ， 所以坐标变换公式为， 该变换所对应的二阶矩阵为； （2）设曲线上任意一点在旋转角是的旋转变换下所得点坐标为. 则，即， 得，则，所求曲线方程为； （3） ①直线斜率存在时，可设直线的方程为， 设， 由，得， 所以，，且， 当时，取，，所以直线方程为：， 直线方程与双曲线方程联立可得，解得或， 所以，. 所以，所以，可得； 当时，设的斜率分别为， ，， 所以， ， 所以. 因为在第一象限，所以，所以，所以. ②直线斜率不存在时，可得， 可得，， 所以，同理可得. 综上可得，为定值，得证. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$