精品解析： 福建省泉州市石狮市中英文实验学校2024-2025学年下学期第二次月考 八年级数学试题

2025年春石狮市中英文实验学校第二次月考 八年级数学 （满分：150分；时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 如果分式有意义，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分母不等于0是分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解:：∵有意义， ∴， 解得， 故选：A 【点睛】此题考查了分式，熟练掌握分式有意义条件是解题的关键． 2. 古代数学家祖冲之推算出的近视值为，它与π的误差小于0.0000003，将数字0.0000003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点所在的象限，根据象限内的点的坐标的特点即可求解，熟练掌握象限内的点的坐标的特点是解题的关键． 【详解】在平面直角坐标系中，点所在的象限是第四象限． 故选：D． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂．根据零指数幂、负整数指数幂的性质化简，再计算加减即可． 【详解】解：， 故选：C． 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘方．根据分式的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 6. 某校期末从德、智、体、美、劳五方面对学生进行综合素质评价，小明同学在本学期五项评价得分如图所示，则该同学五项评价的众数和中位数分别为（ ） A. 7，7 B. 8，8 C. 7，9 D. 10，8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的定义，理解基本定义是解决本题的关键．先从图中读取该同学五项评价得分，再根据众数是一组数据中出现次数最多的数据、中位数是把一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列后处在最中间的那个数据或最中间两个数据的平均数，依次求解即可． 【详解】解：该同学五项评价得分分别为：德9分、智8分、体10分、美8分、劳7分， 将这组数据从小到大排列后：7、8、8、9、10， 出现次数最多的数是8，所以众数为8， 位于中间位置的数是8，所以中位数是8． 故选：B ． 7. 已知四边形是平行四边形，下列条件不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，根据判定方法进行逐一判断，即可求解；掌握矩形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A.有一个角是的平行四边形是矩形， 平行四边形是矩形，故结论正确，不符合题意； B.四边形是平行四边形， ， ， ， ， 平行四边形是矩形，结论正确，故不符合题意； C.对角形相等的平行四边形是矩形， 平行四边形是矩形，结论正确，故不符合题意； D.无法判断平行四边形是矩形，结论不正确，故符合题意； 故选：D． 8. 在中，，则∠C的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质．由四边形内角和定理、平行四边形的对角相等即可得出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，， ， 故选：D． 9. 若点、、都在反比例函数 (为常数)的图象上，且，则下列关于、、大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意得出，从而推出反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，结合即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数 (为常数)，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴， 故选：C． 10. 如图，在正方形中，与交于点，以为斜边向外作，连结，若，，则（ ） A. 8 B. C. D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 证明，可得，，由等腰直角三角形的性质以及勾股定理可求解． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．   故选：D ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式的加减，先将分母化为同分母，再计算减法，约分即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 详解】解：， 故答案为：． 12. 如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图．那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了众数的概念：众数是一组数据中出现次数最多的数．据此解答即可． 【详解】解：根据众数的定义可知，一组数据中出现次数最多的数是众数，从统计图可知，出现次数最多的是8小时，即众数是8； 故答案为：8． 13. 如图，小强在作线段的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点、为圆心，大于线段长度一半的长为半径画弧，相交于点、，则直线即为所求．连接、、、，则根据她的作图方法可知，四边形是________． 【答案】菱形 【解析】 【分析】本题考查了作图复杂作图、作线段的垂直平分线、菱形的判定．根据四条边都相等的四边形是菱形即可得答案． 【详解】解： 分别以点，为圆心，以大于长度的长为半径画弧，两弧相交于，， ， 四边形是菱形． 故答案为：菱形 14. 已知一次函数与正比例函数的图象如图所示，则不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，通过图象可知时，的函数图象在的下方，从而可得到不等式的解集． 【详解】解：由图象可看出当，直线的图象在正比例函数的图象的下方，故不等式．即， 故不等式的解集是． 故答案为：． 15. 已知，且，则的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分和约分．先把已知条件中的等式的左边通分后相减，得到，然后把舍去分式中的换成，然后进行计算化简即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：2． 16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD与菱形GFED关于点D成中心对称，点C，G在x轴的正半轴上，点A，F在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，延长AB交x轴于点P（1，0），若∠APO＝120°，则k的值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、交于点，作轴于点，设线段，得，由菱形和菱形关于点成中心对称结合可得点和点的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征列出方程，求，最后求得． 【详解】连接、交于点，作轴于点， 设， ， ，， 菱形和菱形关于点成中心对称，点，在轴的正半轴上， 轴，， ， ， ， ，， 点，，， 点和点在反比例函数图象上， ， 解得：（舍或， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、含角的直角三角形三边关系、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用菱形的性质表达出点和点的坐标． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 解分式方程： 【答案】原分式方程无解 【解析】 【分析】先去分母，解得，经检验得原分式方程无解． 【详解】方程两边同乘以，得， 解这个整式方程得， 检验：把代入， ∴原分式方程无解. 【点睛】此题考查了解分式方程的问题，解题的关键是掌握解分式方程的方法和检验． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先根据分式加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： 原式 当时， 原式 19. 如图，中，点E在上，点F在上，且．求证． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由四边形是平行四边形，可得，又，得到四边形是平行四边形．则该平行四边形的对边相等：． 本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 20. 某市团委举办“我的中国梦”为主题的知识竞赛，甲、乙两所学校参赛人数相等，比赛结束后，发现学生成绩分别为70分、80分、90分、100分，并根据统计数据绘制了如下不完整的统计图表： 乙校成绩统计表 成绩/分 人数 70 7 80 90 1 100 8 （1）请你将图②补充完整； （2）求乙校成绩的平均分； （3）经计算知，请你根据这两个数据，对甲、乙两校成绩作出合理评价． 【答案】（1）补图见解析 （2）85分 （3）甲校20名同学的成绩相对乙校较整齐 【解析】 【分析】此题考查中位数、平均数的意义，条形统计图、扇形统计图的意义，理解各个概念的内涵和外延是正确解答的前提． （1）甲校得“90分”的有6人，占调查人数的，可求出调查人数，再用总人数减其它分数段的人数，求出得100分的人数，从而补全统计图； （2）根据平均数的计算公式求出乙校的平均成绩； （3）从方差的大小，得出数据的离散程度． 【小问1详解】 解：甲校参赛的总人数是：（人， 100分的人数有：（人，补全统计图如下： ； 【小问2详解】 解：乙校80分人数：（人， 乙校的平均成绩是：（分； 【小问3详解】 解：甲校的平均成绩是：（分， 乙校的平均成绩是：85（分， 甲、乙两校的平均分相同 ， ， 甲校的成绩离散程度较小，比较稳定．, 21. 如图，将矩形折叠，使A、C重合，折痕分别与、相交于E、F，连接，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若矩形的边，，求线段的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由对称性得，，利用“”得到，根据全等三角形的对应边相等得到，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，又根据对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证； （2）由勾股定理求出,再运用菱形面积公式求解即可． 【小问1详解】 由轴对称的性质可知：垂直平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ 又∵，， ∴， ∴ 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形 【小问2详解】 ∵四边形是菱形， ∴ 在矩形中，， ∴ 设，则 ∵， ∴ 解得：， ∴ ， ∴， ∴ 【点睛】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 22. 为了全面贯彻党的教育方针，保障学生在校小时体育活动时间．某班计划采购两种型号的跳绳．已知每条种跳绳的价格比每条种跳绳的价格多元．用元购买种跳绳与用元购买种跳绳的数量相等． （1）求每条两种跳绳的价格各多少元？ （2）若要购进两种跳绳共条，且种跳绳不少于种跳绳数量的倍，求购买这两种跳绳总费用的最小值． 【答案】（1）每条种跳绳的价格为元，每条种跳绳的价格为元 （2）购进种条跳绳，条种跳绳，总费用最小，最小值为元 【解析】 【分析】（1）设每条A种跳绳的价格为x元，根据题意列方程解方程即可解答； （2）设购进种跳绳条，则购进种跳绳条，总费用为元，根据题意可知一次函数的解析式，再根据一次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设每条A种跳绳的价格为x元， 依题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每条种跳绳的价格为15元，每条种跳绳的价格为25元． 【小问2详解】 解：设购进种跳绳条，则购进种跳绳条，总费用为元，根据题意得， ， 根据题意可知：， 解得， ∵， ∴随的增大而减小， ∵且为整数， ∴当时，有最小值， ∴（元）； 答：购进16条种跳绳，条种跳绳，总费用最小，最小值元． 【点睛】本题考查了分式方程与实际问题，一次函数与实际问题，掌握一次函数的性质是解题的关键． 23. 已知正方形中，E是对角线延长线上的一点，将线段绕点B顺时针旋转至，连接． （1）如图1，①求证：； ②若图中正方形的边长为4，点F为中点，求的最小值； （2）如图2，若，试证明：E、D、G三点共线． 【答案】（1）①见解析；② （2）见解析 【解析】 【分析】（1）①根据“边角边”证明即可；②由（1）知，可得动点G在与夹角为的射线上运动，当时，取得最小值，此时为等腰直角三角形，再进一步可得答案； （2）如图，连接，求解，，证明即可； 【小问1详解】 证明：正方形中， ∴，， ∵线段绕点B顺时针旋转至， ∴，， ∴， ∴ ∴． ②∵四边形是正方形，是对角线， ∴ ∴． 由（1）知， ∴． ∵为定值，则动点G在与夹角为的射线上运动， 当时，取得最小值，此时为等腰直角三角形， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接， 在正方形中，，，， ∴， ∴ 由（1）知， ∴，， ∴，， ∴． ∴， ∴E、D、G三点共线． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，正方形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 24. 已知正方形内有一动点E，是以C为直角顶点的等腰直角三角形，连接、，M为中点，连接． （1）如图（a），点E在正方形的对角线上，若，，求的长度； （2）如图（b），点E在在内部，求与的数量关系． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如图，过点E作，交于点G，易知是等腰直角三角形，由勾股定理求出，在在中，根据勾股定理，即可求出的长度； （2）过点C作交延长线于，连接，先证，所以，再由中位线定理证，等量代换得． 【小问1详解】 解：如图，过点E作，交于点G， ∵，， ∴是等腰直角三角形， 设，则， 解得：，负值舍去， 即， ∴， 在中， ， 答：的长度为； 【小问2详解】 解：；理由如下： 过点C作交延长线于，连接，如图所示： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，M为中点，， ∴ ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理和全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线．熟练运用上述知识求解求证． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，，试问在轴上是否存在一点，使的面积与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在（2）的条件下，坐标原点O关于点的对称点为，且点在轴的正半轴上，若点是反比例函数的第一象限图象上一个动点，连接，以为边作正方形，当顶点恰好落在直线上时，求点M的坐标． 【答案】（1） （2）存在，或 （3）点或 【解析】 【分析】（1）先根据待定系数法求出直线的解析式，再把点C坐标代入求出a，再代入反比例函数解析式即可求出k； （2）先求出点E坐标，当点D在x轴正半轴上时，由于的面积与的面积相等，进而可得，设直线的解析式为，把点代入即可求出c，进而可得点D坐标，再根据对称性求出另外一种情况即可； （3）由题意可知：，再分两种情况：当点F在M左侧时，如图，作出辅助线构建三垂直全等三角形，证明，推出，，设，然后用含t的代数式表示出点F的坐标，再代入直线的关系式求解；当点F在M右侧时，同理求解即可． 【小问1详解】 设直线的解析式为 将点，代入，得，解得， ∴， 将点代入，得，解得， ∴， 将点代入，得， ∴； 【小问2详解】 把点代入，得， ∴， 当点D在x轴正半轴上时， 设点到的距离为，点到的距离为 因为的面积与的面积相等，所以， ∴， 设直线的解析式为，把点代入得，， ∴，令得， ∴． 当点在轴的负半轴时，根据对称性可得， ∴， ∴或； 【小问3详解】 由题意可知：， 当点F在M左侧时，如图，过点作轴，过点作于点，过点G作于点， ∴， 在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵在双曲线上， ∴设点，则，， ∴点，代入，得：， 解得， ∴点． 当点F在M右侧时，如图，过点M作轴，交x轴于点Q，过点F作于点H， 同理可证， ∴，， ∵在双曲线上， ∴设点，则，， ∴点，代入，得：， 解得， ∴点． 综上，点或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、函数图象上点的坐标特点等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春石狮市中英文实验学校第二次月考 八年级数学 （满分：150分；时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 如果分式有意义，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 古代数学家祖冲之推算出的近视值为，它与π的误差小于0.0000003，将数字0.0000003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 某校期末从德、智、体、美、劳五方面对学生进行综合素质评价，小明同学在本学期五项评价得分如图所示，则该同学五项评价的众数和中位数分别为（ ） A. 7，7 B. 8，8 C. 7，9 D. 10，8 7. 已知四边形是平行四边形，下列条件不能判定这个平行四边形为矩形是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，则∠C的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 若点、、都在反比例函数 (为常数)的图象上，且，则下列关于、、大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，与交于点，以斜边向外作，连结，若，，则（ ） A. 8 B. C. D. 10 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11 计算：______． 12. 如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图．那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数是________． 13. 如图，小强在作线段的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点、为圆心，大于线段长度一半的长为半径画弧，相交于点、，则直线即为所求．连接、、、，则根据她的作图方法可知，四边形是________． 14. 已知一次函数与正比例函数的图象如图所示，则不等式的解集是__________． 15. 已知，且，则的值为__________． 16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD与菱形GFED关于点D成中心对称，点C，G在x轴的正半轴上，点A，F在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，延长AB交x轴于点P（1，0），若∠APO＝120°，则k的值是_____________． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 解分式方程： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，中，点E在上，点F在上，且．求证． 20. 某市团委举办“我的中国梦”为主题的知识竞赛，甲、乙两所学校参赛人数相等，比赛结束后，发现学生成绩分别为70分、80分、90分、100分，并根据统计数据绘制了如下不完整的统计图表： 乙校成绩统计表 成绩/分 人数 70 7 80 90 1 100 8 （1）请你将图②补充完整； （2）求乙校成绩的平均分； （3）经计算知，请你根据这两个数据，对甲、乙两校成绩作出合理评价． 21. 如图，将矩形折叠，使A、C重合，折痕分别与、相交于E、F，连接，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若矩形边，，求线段的长度． 22. 为了全面贯彻党的教育方针，保障学生在校小时体育活动时间．某班计划采购两种型号的跳绳．已知每条种跳绳的价格比每条种跳绳的价格多元．用元购买种跳绳与用元购买种跳绳的数量相等． （1）求每条两种跳绳的价格各多少元？ （2）若要购进两种跳绳共条，且种跳绳不少于种跳绳数量的倍，求购买这两种跳绳总费用的最小值． 23. 已知正方形中，E是对角线延长线上的一点，将线段绕点B顺时针旋转至，连接． （1）如图1，①求证：； ②若图中正方形的边长为4，点F为中点，求的最小值； （2）如图2，若，试证明：E、D、G三点共线． 24. 已知正方形内有一动点E，是以C为直角顶点的等腰直角三角形，连接、，M为中点，连接． （1）如图（a），点E在正方形的对角线上，若，，求的长度； （2）如图（b），点E在在内部，求与的数量关系． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，，试问在轴上是否存在一点，使的面积与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在（2）的条件下，坐标原点O关于点的对称点为，且点在轴的正半轴上，若点是反比例函数的第一象限图象上一个动点，连接，以为边作正方形，当顶点恰好落在直线上时，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $