第一章勾股定理训练2025—2026学年北师大版数学八年级上册

第一章 勾股定理 训练 一、单选题 1．下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A． B． C． D． 2．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（   ） A．4cm， 5cm， 6cm B．1cm， 1cm，cm C．6cm， 8cm， 11cm D．5cm， 12cm， 23cm 3．一个三级台阶如图所示，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁想到点B处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为8，3和2，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为（   ） A．23 B．17 C．15 D．13 4．如图，在中，，为上一点．若，的面积为90，则的长为（   ） A．9 B．12 C．14 D．24 5．如图，一棵大树在离地面两处折断成了三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（   ） A． B． C． D． 6．如图，正方形面积，，则正方形的边长为（   ） A．12 B．13 C．5 D．25 7．如图是一块长为80米，宽为60米的长方形菜地，王大伯要从A处到C处去，则沿比沿少走（   ） A．20米 B．30米 C．40米 D．50米 8．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 9．如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，若，，则小正方形的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）    A． B． C． D． 二、填空题 11．一辆装满货物、宽为的卡车想要通过如图所示的单向通行的隧道（隧道截面上侧为半圆，下侧为长方形），则卡车的高必须低于 ． 12．如图，等腰三角形的底边，腰上的高，则的面积是 ． 13．如图，在水塔O的东北方向处有一抽水站A，在水塔O的东南方向处有一建筑工地B．若要在之间修建一条直水管，则水管的长为 m． 14．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图．此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，则的值是 ． 15．如图，已知正方形网格中的，若小方格边长为1，则 ， ， ，判断的形状为 三角形． 三、解答题 16．如图，在中的垂直平分线分别交于点D，E，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 17．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，小正方形的顶点称为格点． (1)请在网格中画出格点三角形，使，，； (2)求的面积． 18．如图，在长方形中，，E是边上一点．将四边形沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为．若恰好经过点A，求： (1)的长． (2)的面积． 19．一辆装满货物的卡车，高，宽，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞（如图所示）．已知半圆的直径为，长方形的另一条边长为． (1)这辆卡车能否安全通过桥洞？请说明理由． (2)为了适应车流量的增加，要将桥洞改为双行道．如果要使宽为、高为的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？ 20．如图，在中，于点，，． (1)求的长； (2)若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第一章 勾股定理 训练2025—2026学年北师大版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B D D C C D A C 1．B 【分析】本题主要考查勾股数；根据勾股数的条件，三个数为正整数，且满足逐一判断即可． 【详解】解：A． 不是正整数，故不是勾股数， B． ，故是勾股数， C． ，故不是勾股数， D． 不是正整数，故不是勾股数， 故选：B． 2．B 【分析】利用勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴不能构成直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴能构成直角三角形， 故B符合题意； ∵， ∴不能构成直角三角形， 故C不符合题意； ∵， ∴这样的三角形不存在， 故D不符合题意； 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题．用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 【详解】解：如图， 三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为8， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长， 即． 故选：B 4．D 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据的面积为90，可求出，再由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：∵的面积为90，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D 5．D 【分析】本题考查了勾股定理和矩形性质的应用，通过构造直角三角形并利用勾股定理求解斜边长度，进而计算大树折断前的高度，解题的关键在于准确识别和应用几何图形的性质，特别是利用矩形对边相等及勾股定理进行线段长度的计算．通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断部分的长度得到大树折断前的高度。 【详解】解：过点B作于点E，则， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在中，， ， 大树折断前的高度为． 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正方形的面积，掌握直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和是解题的关键．根据直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式，不难发现：，从而得到答案． 【详解】解：，， 直角三角形中以直角边的平方与斜边的平方分别为144和169， 根据勾股定理，另一条直角边的平方为， ， 正方形的边长为5， 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了长方形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是利用长方形的直角性质构造直角三角形，通过勾股定理求出对角线长度，进而计算两条路径的距离差． 先明确沿→的路径长度为因长方形中，为直角三角形，利用勾股定理求出对角线的长度；最后计算两条路径的长度差，即得沿比沿→少走的距离． 【详解】解：连接， ∵四边形是长方形， ∴（长方形的四个角都是直角）． 沿→的路径长度为已知米，米， ∴米． 在中，由勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）得： 代入数值可得： ∴米（边长为正数）． 则沿比沿→少走的距离为米． 故选：C． 8．D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，分别在和中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 时， 即A市经过个小时开始受到台风影响． 故选：D 9．A 【分析】本题考查了勾股定理等，先求出大正方形的面积为，由勾股定理得，求出小正方形的面积，即可求解；能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：正方形的面积为：， ， ， 小正方形的面积是， 故选：A． 10．C 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接，    ∵ ∴， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴． 故选：C． 11．4.1 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理求出当时，的长度，从而求出货车的最大高度． 【详解】解:如图,连接, ∵车宽， ∴欲通过隧道，只要比较距中线处的高度与车高， 在中，, ∴， ∴， ∴卡车装满货物后的高度必须低于． 故答案是：． 12． 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题关键． 先根据勾股定理得，再设，则，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：，腰上的高， ∴， 是等腰三角形的底边， ， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴的面积是． 故答案为：． 13．17 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可． 【详解】解：由题可知， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和勾股定理，利用对应边和对应角分别相等的全等三角形性质，可以得到正方形的边长为，然后，在中，运用勾股定理可得． 【详解】解：由题意可知，四个直角三角形全等，，， ，， 同理，可得， 在中，应用勾股定理得到： ． 故答案为：． 15． 8 32 40 直角 【分析】本题考查勾股定理及逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 根据勾股定理可以计算出的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状． 【详解】解：由图可得，，，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：8，32，40，直角． 16．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理（及逆定理）的应用，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到，进而通过边的关系转化证明直角或列方程求解． （1）连接，由垂直平分线性质得，结合已知等式转化为，利用勾股定理逆定理证； （2）设，用表示的长度，在中通过勾股定理列方程求解x． 【详解】（1）证明：连接 ∵是的垂直平分线 ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ∵，且 ∴ 即 ∴是直角三角形，且（勾股定理的逆定理） 即 （2）解：设的长为x ∵ ∴ ∵ ∴ 在中，由勾股定理得： 即 展开得： 化简得：,即 ∴ ∴的长为． 17．(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了作图——应用与设计作图，勾股定理，构图法求三角形的面积，读懂题目信息，理解构图法的操作方法是解题的关键． （）根据勾股定理画出图形即可； （）利用所在的长方形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，计算即可得解． 【详解】（1）解：如图， 理由：由网格可得，，， ∴即为所求作；（位置不唯一） （2）解：． 18．(1) (2) 【分析】题目主要考查折叠的性质，勾股定理解三角形，求三角形的面积，结合图形求解是解题关键． （1）根据长方形的性质得出，再由折叠的性质确定，利用勾股定理求解即可； （2）结合图形直接求面积即可． 【详解】（1）解：因为四边形为长方形， 所以． 由折叠的性质，得． 由勾股定理，得， 所以， 所以． 设，则． 所以， 解得， 所以． （2）． 19．(1)能安全通过，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据题目做出辅助线，利用勾股定理进行求解. （1）通过计算卡车在桥洞中间位置时顶部到桥洞顶部半圆的垂直距离，与卡车高度比较来判断能否通过. （2）根据给定卡车的尺寸，利用勾股定理求出桥洞半圆部分所需的半径，进而得到桥洞的宽度. 【详解】（1）解：这辆卡车能安全通过桥洞．理由如下： 如图①，为卡车的宽度． 过点分别作的垂线交半圆于两点， 连接，过点作于点E， 则， 所以． 因为， 所以在中，由勾股定理，得，所以， 所以． 因为，所以这辆卡车能安全通过桥洞． （2）解：如图②，为卡车的宽度，为道路的中点． 过点E作于点F，交半圆于点B， 连接，过点作，交的延长线于点G． 根据题意可知，，所以． 在中，根据勾股定理，得， 所以． 故此桥洞的宽至少应增加到． 20．(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质和平行线的性质，解题的关键是分类讨论和熟练全等三角形的相关知识． （1）结合已知条件，利用勾股定理即可求得； （2）①由勾股定理得，并利用证得，有，即可求得； ②分两种情况：当点在线段上时，由面积比得，求得，并得到和，可得，利用等角对等边即可求得；当在线段的延长线上时．由面积比得，可求得，同理，即可求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：； （2）解：①在中，由勾股定理得：． ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； ②分两种情况： 如图，当点在线段上时． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在线段的延长线上时． ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得： ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$