专题14 三角形中常见的数学思想-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学习题课件(沪科版2024)安徽专版

第15章　轴对称图形与等腰三角形 专题14　三角形中常见的数学思想 1 1. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为 （　　） A. 40° B. 36° C. 30° D. 25° B 思想1　方程思想 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC. （1）求证：AD⊥BC. 解： （1）证明：如图，连接AE. ∵EF垂直平分AB，∴AE=BE. ∵BE=AC，∴AE=AC. ∵D是EC的中点，∴AD⊥BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2）若∠BAC=75°，求∠B的度数. 解：（2）设∠B=x°. ∵AE=BE，∴∠BAE=∠B=x°， ∴由三角形外角的性质，得∠AEC=2x°. ∵AE=AC，∴∠C=∠AEC=2x°. 在△ABC中，3x°+75°=180°，解得x°=35°，∴∠B=35°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.（池州期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF. （1）求证：CF=EB. 解： （1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°， DE⊥AB于点E，∴DC=DE. 在Rt△CDF与Rt△EDB中，∵ ∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF=EB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2）若AB=12，AF=8，求CF的长. 解：（2）设CF=x，则由（1）知，EB=CF=x，∴AE=12-x. ∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DC=DE. 在Rt△ACD与Rt△AED中，∵ ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC=AE，即8+x=12-x，解得x=2，∴CF=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE=3 cm，△ADC的周长为9 cm，则△ABC的周长是 （　　） A. 10 cm B. 12 cm C. 15 cm D. 17 cm C 思想2　整体思想 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 如图是三个等边三角形任意摆放组成的图形，则∠1+∠2+∠3的度数为 （　　） A. 90° B. 120° C. 180° D. 无法确定 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 6. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠ABC=60°，已知OB=8，△ABC的周长为30，则△ABC的面积为________. 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O分别作OM⫽AB，ON⫽AC，分别交BC于点M，N. （1）若∠BAC=76°，则∠BOC的度数为________，∠MON的度数为________； （2）若△OMN的周长是6，则BC=________. 128° 76° 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. （安庆期末）已知等腰三角形两边长分别是7 cm和2 cm，则该等腰三角形的周长是 （　　） A. 9 cm B. 9 cm或11 cm C. 11 cm或16 cm D. 16 cm D 思想3　分类讨论思想 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. （合肥庐阳期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D是直线AB上的一点，且满足BD=AB，则∠CDB的度数为________. 30°或60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.（淮南八公山期末）如图，已知∠AOB=α（0°<α<60°），在射线OA上取一点M，以OM为边在OA下方作等边三角形OMN，点P为射线OB上一点. 若∠MNP=α，则∠OMP=___________. 30°或120°-α 【解析】分两种情况讨论：①当P位于MN左侧时，如图1. ∵△OMN是等边三角形，∴MN=MO=ON，∠MON=∠MNO=60°.∵∠MNP=∠AOB=α， ∴∠PON=∠PNO，∴PO=PN，∴△MPO≌△MPN（SAS），∴∠OMP=∠NMP=∠OMN=×60°=30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ②当点P位于MN右侧时，如图2，在射线OB上取OQ=NP， 可得△OQM≌△NPM（SAS）， ∴∠OMQ=∠NMP，MQ=MP. ∵∠OMN=60°，∴∠OMQ+∠QMN=60°， ∴∠QMN+∠NMP=60°， ∴∠QMP=60°，△MPQ是等边三角形， ∴∠MPQ=60°，∴∠OMP=180°-∠MPQ-∠MOP=180°-60°-α=120°-α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 如图，在长方形ABCD中，AB=6 cm，BC=8 cm.有一动点P从A出发以2 cm/s的速度，沿长方形的边A-B-C-D-A运动，返回到点A停止，设点P运动的时间为t s. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （1）当t=2时，BP=________cm； （2）连接CP，DP，求当△CDP是等腰三角形时t的值. 2 解：（2） ①如图1，当点P在AB上，且PC=PD时，△CDP是等腰三角形. 在长方形ABCD中，AD=BC，∠A=∠B=90°，∴△DAP≌△CBP（HL），∴AP=BP. ∴AP=AB=3 cm，∴t=3÷2=1.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ②如图2，当点P在BC上，且CP=CD时，△CDP是等腰三角形. ∵CP=CD=6 cm，∴BP=CB-CP=8-6=2（cm）， ∴t=（AB+BP）÷2=（6+2）÷2=4. ③如图3，当点P在AD上，且DP=CD时，△CDP是等腰三角形. ∵DP=CD=6 cm，∴t=（AB+BC+CD+DP）÷2=（6+8+6+6）÷2=13. 综上所述，当t的值为1.5或4或13时，△CDP是等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 在等边三角形ABC中，点E是边AB上的动点，点E与点A，B不重合，点D在CB的延长线上，且EC=ED. 思想4　从特殊到一般思想 （1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD=AE； 解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°. ∵点E是AB的中点，∴CE平分∠ACB，AE=BE， ∴∠BCE=∠ACB=30°.∵ED=EC，∴∠D=∠BCE=30°. ∵∠ABC=∠D+∠BED=60°，∴∠BED=30°，∴∠D=∠BED， ∴BD=BE，∴BD=AE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD=AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE的数量关系，若成立，请给予证明. 解： （2）成立. 证明如下： 如图，过点E作EF⫽BC，交AC于点F. ∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB. ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°， 即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF是等边三角形. ∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠DEB=∠ECF+∠ECD=60°. ∵ED=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠DEB=∠ECF. 在△DEB和△ECF中， ∵∴△DEB≌△ECF（AAS），∴DB=EF，∴BD=AE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. （六安霍邱期末）在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AC，AB上，连接BD，CE，且CE=BD. （1）如图1，若∠BAC=90°，求证：AE=AD. 解： （1）证明：在Rt△BAD和Rt△CAE中， ∵ ∴Rt△BAD≌Rt△CAE（HL），∴AE=AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2）如图2，若∠BAC=α（90°<α<180°），则线段AE与AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由. 解： （2）相等. 证明如下：如图，过点C作CM⊥BA， 交BA的延长线于点M，过点B作BN⊥CA， 交CA的延长线于点N，∴∠M=∠N=90°. 在△CAM和△BAN中，∵∴△CAM≌△BAN（AAS），∴CM=BN，AM=AN. 在Rt△CME和Rt△BND中，∵ ∴Rt△CME≌Rt△BND（HL），∴EM=DN. 又∵AM=AN，∴AE=AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 22 $$