专题12 与等腰三角形有关的辅助线作法-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学习题课件(沪科版2024)安徽专版

第15章　轴对称图形与等腰三角形 专题12　与等腰三角形有关的辅助线作法 1 类型1　作平行线构造等腰三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 针对训练 1. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，连接DE交BC于点F. 求证：DF=EF. 证明：如图，过点D作DG⫽AC，交BC于点G. ∵AB=AC，∴∠B=∠ACB. ∵DG⫽AC，∴∠DGB=∠ACB，∠DGF=∠ECF. ∴∠DGB=∠B，∴DG=DB. ∵BD=CE，∴DG=CE. 在△DFG和△EFC中，∵∴△DFG≌△EFC（AAS），∴DF=EF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. 如图，在△ABC中，CA=CB，点D在AC的延长线上，点E在BC上，且CD=CE. 求证：DE⊥AB. 证明：证法1：如图，作DF⫽AB，交BC的延长线于点F， 则∠ADF=∠A，∠F=∠B.∵CA=CB，∴∠A=∠B， ∴∠ADF=∠F. ∵CD=CE，∴∠CDE=∠CED. ∵在△DEF中，∠ADF+∠F+∠CDE+∠CED=180°，即2（∠ADF+∠CDE）=180°，∴∠ADF+∠CDE=90°，∴DE⊥DF，∴DE⊥AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 证明：证法2：如图，作CF⫽DE，交AB于点F， 则∠ACF=∠D，∠BCF=∠CED. ∵CD=CE，∴∠D=∠CED. ∴∠ACF=∠BCF. 又∵CA=CB，∴CF⊥AB，∴DE⊥AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型2　“角平分线+垂线”构造等腰三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 针对训练 3. 如图，已知S△ABC=24 m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC=________m2. 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. （芜湖期中）如图，已知∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD的延长线于点E. 求证：BD=2CE. 证明： 如图，延长CE，交BA的延长线于点F. ∵∠BAC=90°，CE⊥BE， ∴∠ACF+∠F=90°，∠EBF+∠F=90°，∴∠EBF=∠ACF. 在△ABD和△ACF中，∵∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF. ∵BD是∠ABC的平分线，BE⊥CF，∴∠EBC=∠EBF，∠BEC=∠BEF=90°，∴∠BCF=∠F，∴BC=BF，∴CE=EF.∴CF=2CE. ∴BD=2CE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型3　构造等腰三角形“三线合一” 1 2 3 4 5 6 7 8 9 针对训练 5. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=8，F为AB边的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动（不与端点重合），且保持AD=CE，连接DE，DF，EF. 在此运动的过程中，下列结论： ①△DEF是等腰直角三角形； ②四边形CDFE的面积保持 不变；③AD+BE>DE. 其中正确的是 （　　） A. ①②③ B. ① C. ② D. ①② A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE=∠ABC. 若BE=2，则BC=________. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7. 如图，在△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，连接BE，CE，EA=EC. 求证：EB⊥AB. 证明： 如图，过点E作EF⊥AC，垂足为点F. ∵EA=EC，∴AF=FC=AC.∵AC=2AB，∴AF=AB. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD. 在△BAE和△FAE中，∵∴△BAE≌△FAE（SAS），∴∠ABE=∠AFE=90°.∴EB⊥AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型4　利用“截长补短”法构造等腰三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. 如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，且AB+BD=DC，那么∠C的度数为________. 20° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 9. （一题多解）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC，交AC于点D. 求证：BC=AB+CD. 证明： 证法1（截长法）： 如图，在线段BC上截取BE=BA，连接DE. ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD. 在△ABD和△EBD中，∵∴△ABD≌△EBD（SAS）.∴∠BED=∠A=108°，∴∠DEC=180°-∠BED=72°.∵AB=AC，∴∠C=×（180°-∠A）=36°，∴∠CDE=180°-∠DEC-∠C=180°-72°-36°=72°， ∴∠CDE=∠DEC. ∴CD=CE. ∴BC=BE+EC=AB+CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 证明： 证法2（补短法）： 如图，延长BA至点F，使BF=BC，连接DF. ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD. 在△FBD和△CBD中， ∵∴△FBD≌△CBD（SAS）. ∴DF=DC，∠F=∠C. ∵AB=AC，∠BAC=108°，∴∠C=×（180°-∠BAC）=36°，∴∠F=36°.∵∠FAD=180°-∠BAC=72°， ∴∠FDA=180°-∠F-∠FAD=180°-36°-72°=72°， ∴∠FAD=∠FDA，∴FA=FD，∴AF=CD，∴BC=BF=AB+AF=AB+CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 $$