15.3 第2课时 角的平分线的性质与判定-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学习题课件(沪科版2024)安徽专版

第15章　轴对称图形与等腰三角形 15.3　角的平分线 第2课时　角的平分线的性质与判定 1 练基础 目 录 练提升 练素养 2 练基础 知识点1　角平分线的性质 1.（教材P139“思考”改编）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为点C，D，则下列结论错误的是 （　　） A. PC=PD B. ∠CPO=∠DOP C. ∠CPO=∠DPO D. OC=OD B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 3 【条件变式】　如图，点P在∠AOB的平分线上，过点P作PC⊥OA，垂足为点C，且PC=3，则点P到OB的距离为 （　　） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4 C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 2. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BE=2，BC=6，则△BDE的周长为 （　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 14 B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 5 3. 如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为78，AB=16，BC=10，求DE的长. 解：如图，过点D作DF⊥BC，垂足为点F.∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∴DE=DF.∵AB=16，BC=10，∴S△ABC=S△ABD+ S△BCD=AB·DE+BC·DF= （AB+BC）·DE= ×（16+10）·DE=13DE. 又∵△ABC的面积为78，∴13DE=78，∴DE=6. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 6 4. 如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，且PD=PE，则下列结论正确的是 （　　） A. ∠AOC=∠BOC B. ∠AOC>∠BOC C. ∠AOC<∠BOC D. 不能确定 A 知识点2　角平分线的判定 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 7 【条件变式】 如图，点P在射线OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，且PD=PE. 若∠AOB=70°，则∠OPE的度数为 （　　） A. 70° B. 35° C. 20° D. 55° D 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 5.（新趋势 动手操作题）如图，用一把直尺的一边压住射线OB，用另一把完全相同的直尺的一边压住射线OA，两把直尺的另一边交于点P，则射线OP就是∠AOB的平分线，判断的依据是___________________________________________________. 　　　　　　　　　　　　　　 　角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 9 6. 如图，BE=CF，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且BD=CD. 求证：AD是∠BAC的平分线. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED=∠CFD=90°. 在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵ ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 10 7. 如图，下列各点中，到∠AOB两边的距离相等的是 （　　） A. 点P B. 点Q C. 点M D. 点N B 练提升 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 11 8. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为 （　　） A. 15 B. 7.5 C. 8 D. 9 B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 12 9. 如图，直线AB⫽CD，且这两条直线间的距离为8，∠AEF与∠EFC的平分线交于点P，则点P到EF的距离为 （　　） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 【拓展变式】 如图，在∠AOB的边OA，OB上分别取点M，N，连接MN，PM平分∠AMN，PN平分∠MNB. 若MN=2，△PMN的面积是2，△OMN的面积是6，则OM+ON的长是________. 8 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 10. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE=BD，分别以点D，E为圆心，以大于DE长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F，作射线BF交AC于点G. 若CG=1，P为AB上一动点，则GP的最小值为________. 1 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 15 11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F. （1）求证：∠CEF=∠EFC； 解：（1）证明：∵∠ACB=90°， ∴∠CEF+∠CAE=90°. ∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠AFD+∠DAF=90°. ∵AE是∠BAC的平分线，∠AFD与∠EFC是对顶角， ∴∠CAE=∠DAF，∠AFD=∠EFC，∴∠CEF=∠EFC. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 16 （2）若点E在线段AB的垂直平分线上，写出AB与AC之间的数量关系，并说明理由； 解：（2）AB=2AC. 理由如下： 如图，过点E作EH⊥AB，垂足为点H. 由题意可知，EH垂直平分AB，∴AH=BH，即AB=2AH. ∵AE是∠BAC的平分线，且EC⊥AC，EH⊥AH， ∴EC=EH. 在Rt△ACE和Rt△AHE中，∵ ∴Rt△ACE≌Rt△AHE（HL）. ∴AC=AH. 又∵AB=2AH，∴AB=2AC. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 17 （3）在（2）的条件下，若EC=2，AC=2，求△ABE的面积. 解：（3）由（2）可知，AB=2AC=4，EH=EC=2， ∴S△ABE=AB·EH=×4×2=4. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 12.（新趋势 多模块综合）如图，在平面直角坐标系中，已知DA⊥x轴于点A，CB⊥x轴于点B，∠COD=90°，CO平分∠BCD，CD交y轴于点E. （1）求证：DO平分∠ADC. 练素养 解：（1）证明：∵CO平分∠BCD，∴∠BCD=2∠OCD. ∵DA⊥x轴，CB⊥x轴，∴DA⫽CB，∴∠ADC+∠BCD= 180°，∴∠ADC=180°-2∠OCD.∵∠COD=90°，∴∠ODC +∠OCD=90°，∴∠ADC=180°-2∠OCD=2（90°-∠OCD）=2∠ODC，∴DO平分∠ADC. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 19 （2）若点A的坐标是（-3，0），求点B的坐标. 解：（2）如图，过点O作OF⊥CD于点F. ∵A（-3，0），∴OA=3. ∵DO平分∠ADC，OA⊥DA，OF⊥DC， ∴OF=OA=3. ∵CO平分∠BCD，OB⊥BC，OF⊥CD， ∴OB=OF=3，∴B（3，0）. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 20 21 $$