精品解析：重庆市鲁能巴蜀中学校2025年中考数学冲刺试题

数 学 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 3的相反数为（　　） A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数计算即可． 【详解】解：3的相反数是﹣3． 故选：A． 【点睛】此题考查求一个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念． 2. 下面四个几何体中，主视图为三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案． 【详解】解：A、主视图是长方形，故A不符合题意； B、主视图是圆，故B不符合题意； C、主视图是等腰梯形，故C不符合题意； D、主视图是三角形，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 3. 若点是反比例函数图象上一点，则常数m的值为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数解析式的求解，将点A的坐标代入反比例函数解析式，即可求解； 【详解】解：将点代入得： ， 解得：， 故选：A 4. 下列调查中，适合采用抽样调查的是（ ） A. 调查重庆市鲁能巴蜀中学九年级（1）班50名同学的视力情况 B. 重庆西站对乘坐高铁的旅客进行安检 C. 为保证飞机的飞行安全，工人对其零部件进行检查 D. 调查重庆市中学生的周末作业完成时间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查与全面调查．抽样调查是通过对样本调查来估计总体特征，其调查结果是近似的；而全面调查得到的结果比较准确；根据对调查结果的要求对选项进行判断即可． 【详解】解：A、调查重庆市鲁能巴蜀中学九年级（1）班50名同学的视力情况，人数较少，应采用全面调查，故不符合题意； B、重庆西站对乘坐高铁的旅客进行安检，安全责任重大，应采用全面调查，故不符合题意； C、为保证飞机的飞行安全，工人对其零部件进行检查，安全责任重大，应采用全面调查，故不符合题意； D、调查重庆市中学生的周末作业完成时间，应采用抽样调查，故符合题意； 故选：D． 5. 如图，和是位似图形，位似中心是O，若，，那么（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似图形及其性质，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质．先求出两个三角形的相似比，再根据面积之比等于相似比的平方，即可得出答案． 【详解】解： 与是位似图形， ，， ∴， ∴， ∵， ， ， ， 故选：C． 6. 估计 的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法可得，即得，进而即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 7. 五一期间，重庆无人机为游客呈现了一幕幕精彩的表演，在其中一幕表演中，小明发现 无人机的数量具有规律，第①个图案中有4架无人机，第②个图案中有9架无人机，第③个图案中有14架无人机，观察图形，按此规律，第⑥个图案中的无人机数量是（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形变化的规律，代数式求值，根据图形归纳出第个图案无人机的数量是解题的关键． 根据前4个图案无人机的数量，推算出第n个图案无人机的数量为架，再将代入，即可求解． 【详解】解：第①个图案无人机的数量为（架）， 第②个图案无人机的数量为（架）， 第③个图案无人机的数量为（架）， 第④个图案无人机的数量为（架） …… 第个图案无人机的数量为架， 当时，（架）． 故选B． 8. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，E 在上 ， 若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质是解题的关键． 根据是的直径，，可得，从而得到，再根据圆内接四边形的性质，即可求解． 【详解】解：连接，如图 ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴． 故选C． 9. 如图，在正方形中，点E在边上，点F在的延长线上，G在上，，且，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． 连接，过点G作直线于点M，交于点N，证明和全等得，再证明进而可证明和全等得，由此得，则是等腰直角三角形，由勾股定理得，继而得，即可解答． 【详解】解：连接，过点G作直线于点M，交于点N，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ∴ ∴， ， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ， ， ， ， ， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ， ， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：，且， ∴． 故选：A． 10. 已知整式M：，其中n，，，为自然数，为正整数，且满足，其中表示中最大的数．下列说法： ①满足条件的整式M 中只有4个单项式； ②在所有满足条件的整式M中，整式M 的系数和的最大值为6； ③当时，满足条件的整式M 共有19个． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的相关定义，熟练理解题意，并分别列式讨论是解题的关键．先根据题意结合对时、时、时、时、时进行讨论，再判断各选项即可． 【详解】解：当时，， ∵ ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴对应的值为，，，，，； 当时，， ∵， ∴， ∴对应的值为，，，，，，，，，，，，，； 当时，， ∵， ∴， ∴对应的值为，，，，，，，； 当时， ∵为正整数， ∴，即不满足题意， 综上，满足题意得单项式有，，，，共4个，故①正确； 在所有满足条件的整式M中，整式M 的系数和的最大值为当，对应的值为时，为（或当，对应的值为时），故②正确； 当时，满足条件的整式M 共有个，故③错误； 综上，正确的有2个， 故选：B． 二 、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 在一个不透明的袋子中装有只有颜色不同的9个球，其中有4个红球和5个白球，从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的求法， 用红球的个数除以球的总数即可求得答案． 【详解】解：∵在一个不透明的袋子中装有只有颜色不同的9个球，其中有4个红球和5个白球， ∴摸出的球是红球的概率为． 故答案为：． 12. 端午节前，小鲁购进了一批粽子进行销售，第一天销售了256个，第二、三天的销售量 持续走高，第三天的销售量达到400个，则第二、三天销售量的平均增长率为________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，解题的关键是根据增长率的等量关系列出方程并求解． 设第二、三天销售量的平均增长率为第一天销售了个，那么第二天的销售量为个，第三天的销售量为个；根据第三天销售量达到个，可列方程求解方程得到（即或（舍去）． 【详解】解：设第二、三天销售量的平均增长率为x． 根据题意，第一天销售量为个，则第三天销售量为个． 可列方程： 方程两边同时除以，得： 两边开平方，得： 解得：,（增长率不能为负，舍去） 故答案为：． 13. 如图，，直线分别交于点E、F，的平分线与交于点G，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识．利用平行线的性质以及角平分线的定义即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 若关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，二元一次方程组，解题的关键是掌握：是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．先把方程组的两个方程相加得到，则，从而得到，再根据根的判别式的意义得到，则可求出的值，然后计算的值． 【详解】解：， 得：， 即， ∵， ∴， 解得：， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴， 即的值为． 故答案为：． 15. 如图，⊙是的外接圆，过点A作的切线与的延长线交于点D，E在上且，连接，，已知，，则__________；若点F在的延长线上，与交于点G且，则__________． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线性质、平行线的判定与性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用切线和垂线条件得到平行线，进而推导角的等量关系，通过相似三角形对应边成比例求解线段长度。 由是切线和得，推出角相等；结合圆周角定理和圆内接四边形性质证，利用相似比和已知比例求出；设长度，结合与的关系表示通过延长构造直径，利用切线性质和圆周角定理推导角相等，证，根据相似比列方程求出。 【详解】解： ∵是的切线， ∴ ∵ ∴ ∴,即, 根据圆周角定理得： ∴, ∵四边形是内接四边形， ∴ ∴ ， ，， , ∴ 连接如图所示： 设 ∵ ∴ ∴ ∵, ∴ 如图延长与相交于点连接. ∵是的切线，则,即, 由是直径得：,即, ∴,又, ∴又由知, ∴, 又∵, ∴ ， (不合题意,舍去) . 故答案为：4；. 16. 一个四位自然数，其中各数位上数字均不为零．如果的千位数字和十位数字组成的两位数与的百位数字和个位数字组成的两位数的和等于，那么就称这个数为“源数”．把“源数”的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数，设．例如：四位数，∵，∴为“源数”，且 ．按照这个规定，最大的“源数”是______；若是“源数”，与均为完全平方数，，则满足条件的为_________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，有理数的混合运算，根据定义及题意可得，，，，，要使最大，则越大越好，则，继而确定、、的值；先确定，根据为完全平方数，，，，，推出，即，然后分情况讨论即可得出结论．根据题意列出代数式再计算求值是解题的关键， 【详解】解：∵一个四位自然数，其中各数位上数字均不为零，， ∴，即， ∴，，，， 要使最大，则越大越好， ∴，， ∴， ∴， 要使最大，则越大越好， ∴，， ∴最大的“源数”是； ∵， ∴， ∴， ， ∵为完全平方数，，，，， ∴，此时， ∴，即， 当时，，则，，得， ∵不是完全平方数，则不符合题意； 当时，，则，，得， ∵不是完全平方数，则不符合题意； 当时，，则，，得， ∵不是完全平方数，则不符合题意； 当时，，则，，得， ∵是完全平方数，则符合题意； ∴满足条件的为． 故答案为：；． 三、解答题：（本大题共9个小题，共86分） 17. 解不等式组，并写出不等式组的所有整数解． 【答案】，这个不等式组的所有整数解为：，，，0，1． 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，求出每个不等式的解集，写出公共部分，并写出解集中的整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以，原不等式组的解集为， 因此，这个不等式组的所有整数解为：，，，0，1． 18. 在学习了矩形的相关知识后，九年级（2）班的数学小组进行了更深入的研究，通过研究，他们有了新的发现．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在矩形中，点E是边上的一点．利用直尺和圆规在下方作，与相交于点F（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：四边形是矩形，点E，F在上，且．求证：． 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ，， ∴ ∴． ∴ 又，， ∴． 【答案】（1） 解：图形如图所示： ； （2），， 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据作一个角等于已知角的方法作出图形即可； （2）证明可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ． ∵， ，， ∴， ∴． ∴， 又，， ∴． 故答案为：，，． 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】;6 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法、分式混合运算及零指数幂、立方根的计算，解题的关键是正确化简代数式并代入求值． 先计算a的值；再化简整式与分式部分，合并后代入的值计算． 【详解】解：． 代入：原式． 20. 为加强国家安全知识普及情况，某校八、九年级部分学生参加了安全教育知识竞赛活动．现从八、九年级参赛学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩进行整理、描述、分析 ．成绩（用x 表示，单位：分）分为A，B，C，D 四个等级，分别是：A．；B．；C．；D．．下面给出了部分信息： 九年级名学生的竞赛成绩为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级B 等级的学生竞赛成绩为： ，，，，，，，． 八 、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级 a 八年级 b 八年级所抽学生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中， ， ， ； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好? 请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有名学生、九年级有名学生参加了此次竞赛，估计该校八、 九年级参加此次竞赛成绩为A 等的学生人数总共是多少 【答案】（1）90；；45 （2） 解：九年级学生竞赛成绩较好，理由：九年级成绩的中位数为，高于八年级的，说明九年级中间水平学生的成绩更优． （3） 【解析】 【分析】本题考查了统计中的众数、中位数、百分比计算及用样本估计总体，解题的关键是从数据和图表中提取有效信息，正确计算统计量并进行分析推断． （1）通过九年级成绩中出现次数最多的数确定众数根据八年级各等级人数占比和为，结合B等级人数求出将八年级成绩排序，找第、位数据求中位数 （2）通过对比中位数、众数等统计量分析成绩优劣； （3）分别计算八、九年级A等级的样本百分比，再用样本估计总体求出A等总人数． 【小问1详解】 解：九年级名学生成绩中，出现的次数最多次），故 八年级B等级有8人，占比为，由统计图知C占，D占，则A占比故 八年级成绩从小到大排列后，第、位在B等级，B等级成绩排序为， 第位为，第位为，故中位数． 故答案为：90；；45． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：八年级A等人数估计：（人）； 九年级样本中A等有人，占比为，故九年级A等人数估计：（人）； 总人数：（人）． 答：该校八、九年级参加此次竞赛成绩为A等的学生人数总共是人． 21. 街头摆摊，是拥抱自由的态度，更是生活的艺术展现．面包师鲁小巴制作的巧克力面 包和抹茶面包凭借出色的口感， 一推出就圈粉无数．已知每个巧克力面包的成本比每 个抹茶面包的成本多2元，2个巧克力面包和3个抹茶面包的成本相同． （1）请问每个巧克力面包和抹茶面包的成本各是多少元? （2）当这两款面包的销售额都为400元时，巧克力面包比抹茶面包少售出10个．若 每个巧克力面包的售价比每个抹茶面包的售价高，则每个抹茶面包的售价是多少元? 【答案】（1）每个巧克力面包的成本是6元，每个抹茶面包的成本是4元 （2）每个抹茶面包的售价是8元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用． （1）设每个巧克力面包的成本是x元，每个抹茶面包的成本是y元，根据每个巧克力面包的成本比每个抹茶面包的成本多2元，2个巧克力面包和3个抹茶面包的成本相同，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设每个抹茶面包的售价是m元，则每个巧克力面包的售价是元，根据当这两款面包的销售额都为400元时，巧克力面包比抹茶面包少售出10个，列出分式方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设每个巧克力面包的成本是x元，每个抹茶面包的成本是y元， 由题意得：， 解得：， 答：每个巧克力面包的成本是6元，每个抹茶面包的成本是4元； 【小问2详解】 解：设每个抹茶面包的售价是m元，则每个巧克力面包的售价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每个抹茶面包的售价是8元． 22. 如图1，在平行四边形中，，对角线、交于点O，，，点P沿折线方向运动，运动路程为x，记的面积为，的面积与点P运动的路程之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2） 画图如下： 当时，有最大值8（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）过点D作交延长线于点H，证明出四边形是正方形，得到，然后分两种情况讨论，分别表示即可； （2）列表，描点，然后画出图象，然后根据图象写出性质即可； （3）由图象求解即可． 【小问1详解】 解：过点D作交延长线于点H ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵， ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ 当时，； 当时，； ∴； ∵的面积 ∴； 【小问2详解】 解：∵， 列表如下： 2 4 6 4 8 0 4 2 画图如下： 由图象得，当时，有最大值8（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：由图象得，当时x的取值范围为． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质和判定，一次函数和反比例函数的图象和性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 如图，A、B、C、D分别是某旅游城市的四个景区．D在A的正南方向，千米．B 在A的北偏东方向，且在D的东北方向．C在A的北偏西方向，且在D的西北 方向．（参考数据： ，，） （1）求的长度（结果精确到1千米）； （2）小鲁、小能两人驾车从景区A出发去景区D．小鲁选择的路线为：A→C→D，小能选择的路线为：A→B→D．已知小鲁比小能早出发半小时，小鲁的速度为35千米/小时，小能的速度为55千米/小时．请通过计算说明谁先到达景区D? 【答案】（1）的长度约为39千米； （2）小鲁先到达景区D． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，30度所对的直角边等于斜边的一半，外角的性质，方向角，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）根据题意，结合图形，在中求出，，在中求出，即可得到结果； （2）根据题意，分别计算出两人所走过的路程，结合两人的速度，即可得到两人所用的时间，得到结果． 【小问1详解】 解：如图，过A作于点E，过B作，交的延长线于点F， 根据题意，，，，，千米，， ∴，，， ∵在中，，，千米， ∴（千米）， ∴（千米）， ∵在中，， ∴（千米）， ∵， ∴（千米）， ∴（千米），  ，， （千米）, 答：的长度约为39千米； 【小问2详解】 解：由（1）知（千米）， ∵小鲁的速度为35千米/小时， ∴小鲁从A→C→D，所用时间为（小时）， 在中，，不妨设，则，， ∴， ∵在中，，， ∴，即， 解得（千米）， ∴（千米），（千米）， ∴（千米）， ∴（千米）， ∵小能的速度为55千米/小时， ∴小能从A→B→D，所用时间为（小时）， ∵， ∴小鲁先到达景区D． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，． （1）求该抛物线的表达式： （2）过点作，交抛物线于点，点 为直线 下方抛物线上一动点，连接交于点F．将线段沿轴左右平移，线段的对应线段为线段，当四边形的面积最大时，求点的坐标及的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点，点在新抛物线上． 在（2）中，当四边形 的面积最大时，若，求点的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 【答案】（1）； （2）当四边形的面积最大时，点的坐标为，的最小值为； （3）点的横坐标为或． 【解析】 【分析】（1）将点，点代入，解方程组，可得和的值，从而可得抛物线的表达式； （2）用点的横坐标表示四边形的面积，由二次函数的性质，可得当面积最大时点的横坐标，从而可得点的坐标，作平行四边形，作点关于轴的对称点，连接，，由两点之间线段最短，结合勾股定理，即可得的最小值； （3）将原抛物线向右平移一个单位，向下平移一个单位，可得新抛物线，由点和点的坐标可得直线的解析式，作轴，点在直线上，作，结合已知可得与新抛物线的交点为点，作关于对称的直线，作，交于点，可得，从而可得点的坐标，进而求得的解析式，与新抛物线联立，解方程组，得到满足题意的另一个点的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点和， ∴将两点坐标代入得： 解方程组得：， ∴抛物线表达式为． 【小问2详解】 解：在中，令，得， ∴， 设直线的解析式为，则 解得，， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， 设与轴交于点，则， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得，， ∴直线的解析式为， 由得或， ∴， 设所在直线解析式为，则， 解得，， ∴所在直线解析式为， 设， ∵， ∴， 当四边形的面积： 作轴于点，连接， , ∴, ∴， 当时，四边形的面积最大，． 此时，， 作平行四边形，则，， ∵， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，，则， ∴，， ∴， 答：当四边形的面积最大时，点的坐标为，的最小值为． 【小问3详解】 解：∵，，， ∴新函数， 即， 对称轴为， 作轴，交新函数图象于点， ∵， ∴， ∵点，点， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 在中，令，得， ∴直线与的交点坐标为， ∵， ∴为直线与新抛物线的交点， ∵轴， ∴，， 作，则， ∴， ∵， ∴， ∴与新抛物线的交点为， 过点作轴，交于点， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴点纵坐标为， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由得或， ∴， ∵，，，， ∴，， 连接，，则四边形为平行四边形， 与交点记为，则为的中点， ∵，， ∴， 作与关于对称，作，交于点，则， ∴， 连接并延长，交于， ∴， ∴与关于点对称， 设，则， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得，， ∴直线的解析式为， 由得或， ∴， 答：点的横坐标为或． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数与几何综合，求一次函数的解析式，直线与抛物线的交点，勾股定理，二次函数图象的平移，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，正确作出辅助线． 25. 在中，，于点D．点E 是线段上一点，点E 关于直线的对称点为点F，连接．在线段上取点G， 使得，的延长线与交于点H． （1）如图1，若，，求的度数（用含，的式子表示）； （2）如图2，若，用等式表示线段与 之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若，当时，请直接写出此时的值． 【答案】（1） （2） ，证明如下： 如图所示，连接，过点作于点，延长交于点， 设，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，是等腰直角三角形， ， 点E 关于直线的对称点为点F， ，，， ，，， ，是等腰直角三角形，四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，易得，推出，由已知得，即可求 的度数； （2）连接，过点作于点，延长交于点，设，，，先证明是等腰直角三角形，得，再由点E 关于直线的对称点为点F，得，，，易得是等腰直角三角形，四边形是矩形，得，接下来证明，，，进而证明，得，易得，即可证得； （3）如图所示，连接，过点作于点，连接，设，，由题意，易得是等边三角形，是的垂直平分线，，由点E 关于直线的对称点为点F，易得，，，推出，从而得到，当时，即，和均为等腰直角三角形，进而得到，，，设，求出，，，，即可求出答案． 【小问1详解】 ， ， ， ， ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图所示，连接，过点作于点，连接， 设，， ，， ， ，， 是等边三角形，是的垂直平分线， ，， ， ， ， 点E 关于直线的对称点为点F， ，，， ，， ， ， ， ， ， 当时，，即， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 设， 在中，，， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了图形的变换—对称、等腰三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、矩形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、三角函数等，熟练掌握以上知识点、能够添加适当的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数 学 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 3的相反数为（　　） A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3 2. 下面四个几何体中，主视图为三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若点是反比例函数图象上一点，则常数m的值为（ ） A. B. 6 C. D. 4. 下列调查中，适合采用抽样调查的是（ ） A. 调查重庆市鲁能巴蜀中学九年级（1）班50名同学的视力情况 B. 重庆西站对乘坐高铁的旅客进行安检 C. 为保证飞机的飞行安全，工人对其零部件进行检查 D. 调查重庆市中学生的周末作业完成时间 5. 如图，和是位似图形，位似中心是O，若，，那么（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 6. 估计 的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 7. 五一期间，重庆无人机为游客呈现了一幕幕精彩的表演，在其中一幕表演中，小明发现 无人机的数量具有规律，第①个图案中有4架无人机，第②个图案中有9架无人机，第③个图案中有14架无人机，观察图形，按此规律，第⑥个图案中的无人机数量是（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 8. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，E 在上 ， 若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点E在边上，点F在的延长线上，G在上，，且，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 10. 已知整式M：，其中n，，，为自然数，为正整数，且满足，其中表示中最大的数．下列说法： ①满足条件的整式M 中只有4个单项式； ②在所有满足条件的整式M中，整式M 的系数和的最大值为6； ③当时，满足条件的整式M 共有19个． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二 、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 在一个不透明的袋子中装有只有颜色不同的9个球，其中有4个红球和5个白球，从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是_________ 12. 端午节前，小鲁购进了一批粽子进行销售，第一天销售了256个，第二、三天的销售量 持续走高，第三天的销售量达到400个，则第二、三天销售量的平均增长率为________． 13. 如图，，直线分别交于点E、F，的平分线与交于点G，，则________ 14. 若关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_______． 15. 如图，⊙是的外接圆，过点A作的切线与的延长线交于点D，E在上且，连接，，已知，，则__________；若点F在的延长线上，与交于点G且，则__________． 16. 一个四位自然数，其中各数位上数字均不为零．如果的千位数字和十位数字组成的两位数与的百位数字和个位数字组成的两位数的和等于，那么就称这个数为“源数”．把“源数”的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数，设．例如：四位数，∵，∴为“源数”，且 ．按照这个规定，最大的“源数”是______；若是“源数”，与均为完全平方数，，则满足条件的为_________ 三、解答题：（本大题共9个小题，共86分） 17. 解不等式组，并写出不等式组的所有整数解． 18. 在学习了矩形的相关知识后，九年级（2）班的数学小组进行了更深入的研究，通过研究，他们有了新的发现．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在矩形中，点E是边上的一点．利用直尺和圆规在下方作，与相交于点F（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：四边形是矩形，点E，F在上，且．求证：． 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ，， ∴ ∴． ∴ 又，， ∴． 19. 先化简，再求值：，其中 20. 为加强国家安全知识普及情况，某校八、九年级部分学生参加了安全教育知识竞赛活动．现从八、九年级参赛学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩进行整理、描述、分析 ．成绩（用x 表示，单位：分）分为A，B，C，D 四个等级，分别是：A．；B．；C．；D．．下面给出了部分信息： 九年级名学生的竞赛成绩为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级B 等级的学生竞赛成绩为： ，，，，，，，． 八 、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级 a 八年级 b 八年级所抽学生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中， ， ， ； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好? 请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有名学生、九年级有名学生参加了此次竞赛，估计该校八、 九年级参加此次竞赛成绩为A 等的学生人数总共是多少 21. 街头摆摊，是拥抱自由的态度，更是生活的艺术展现．面包师鲁小巴制作的巧克力面 包和抹茶面包凭借出色的口感， 一推出就圈粉无数．已知每个巧克力面包的成本比每 个抹茶面包的成本多2元，2个巧克力面包和3个抹茶面包的成本相同． （1）请问每个巧克力面包和抹茶面包的成本各是多少元? （2）当这两款面包的销售额都为400元时，巧克力面包比抹茶面包少售出10个．若 每个巧克力面包的售价比每个抹茶面包的售价高，则每个抹茶面包的售价是多少元? 22. 如图1，在平行四边形中，，对角线、交于点O，，，点P沿折线方向运动，运动路程为x，记的面积为，的面积与点P运动的路程之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 如图，A、B、C、D分别是某旅游城市的四个景区．D在A的正南方向，千米．B 在A的北偏东方向，且在D的东北方向．C在A的北偏西方向，且在D的西北 方向．（参考数据： ，，） （1）求的长度（结果精确到1千米）； （2）小鲁、小能两人驾车从景区A出发去景区D．小鲁选择的路线为：A→C→D，小能选择的路线为：A→B→D．已知小鲁比小能早出发半小时，小鲁的速度为35千米/小时，小能的速度为55千米/小时．请通过计算说明谁先到达景区D? 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，． （1）求该抛物线的表达式： （2）过点作，交抛物线于点，点 为直线 下方抛物线上一动点，连接交于点F．将线段沿轴左右平移，线段的对应线段为线段，当四边形的面积最大时，求点的坐标及的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点，点在新抛物线上． 在（2）中，当四边形 的面积最大时，若，求点的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 25. 在中，，于点D．点E 是线段上一点，点E 关于直线的对称点为点F，连接．在线段上取点G， 使得，的延长线与交于点H． （1）如图1，若，，求的度数（用含，的式子表示）； （2）如图2，若，用等式表示线段与 之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若，当时，请直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $