精品解析：2025年江西省宜春市樟树市樟树第二中学中考三模数学试题

学考总复习·试题猜想·九年级 数学模拟试题（九） （满分：120分 时长：120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列各数中，是有理数的是（ ） A B. C. D. 2. 榫卯（sǔn mǎo）结构是中国古代建筑、家具及其他器械的主要结构方式，特点在于不用钉子就可以加固物件，体现了中国古代的文化智慧，其中凸出部分叫做榫，凹进部分叫做卯．如图所示的“榫”和“卯”中，“榫”的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列代数式中计算的结果等于a的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C D. 5. 烷烃是一类由碳、氢元素构成的有机化合物，如图是这类物质前三种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，如图，第1种有4个氢原子，第2种有6个氢原子，第3种有8个氢原子，…，按此规律，则第2025种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A. 4048 B. 4050 C. 4052 D. 4054 6. 如图，不等臂跷跷板的支撑点O到地面的高度为，当的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：______． 8. 截止到2025年4月6日，我国动漫电影《哪吒之魔童闹海》的票房排行世界第五，共计155.8亿元．155.8亿用科学记数法表示为______． 9. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值为______． 10. 如图，小军与小珠之间的距离为，他们在同一盏路灯下的影长分别为，．已知小军、小珠的身高分别为，，则路灯的高为______． 11. 如图，在中，，，把沿射线平移至处，与交于点M．若，，则图中阴影部分的面积为______． 12. 如图，在矩形中，，，点E为的中点，点P在下方矩形的边上，当为直角三角形，且点P为直角顶点时，的长为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点D，求的度数． 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 小明同学手上有四根长度分别为2，3，4，5的细木棒，他随机选择其中三根细木棒搭成一个三角形． （1）“小明同学选到的三根细木棒能够搭成一个直角三角形”是______（填“必然”“不可能”或“随机”）事件； （2）小明同学已经选中了一根长度为2细木棒，请用画树状图或列表的方法求出小明同学选中的剩下两根细木棒能够与长度为2的细木棒搭成三角形的概率． 16. 某市为响应国家家电补贴政策，推出了购买节能家电的补贴方案．补贴方案具体如下：购买1台节能冰箱可获得300元补贴，购买1台节能空调可获得500元补贴，每户家庭购买节能家电的总补贴金额不超过2000元． （1）小明家购买了若干台节能冰箱和节能空调，共获得补贴1900元，且小明家购买的节能冰箱比节能空调多1台，小明家购买了节能冰箱和节能空调各多少台？ （2）如果小明家希望购买节能冰箱和节能空调的总台数为6台，且总补贴金额不超过2000元，求小明家最多可以购买多少台节能空调？ 17. 如图，点在反比例函数的图象上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，作点A关于点O的对称点； （2）在图2中，若点B的坐标为，请作出直线． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E． （1）求反比例函数的解析式及点E的坐标； （2）若点F是边上的一点，且为等腰三角形，求直线的解析式． 19. 随着气温逐渐升高，溺水事故进入高发期，为进一步增强学生的安全意识，预防溺水事故的发生，某市教育局联合市应急管理局、市红十字会等多部门，于近日在全市范围内开展了一系列防溺水安全教育活动，并进行了防溺水安全知识测试．某校从七、八年级学生中各随机抽取了20名学生的成绩进行了统计分析（满分100分，成绩x均为整数，共分成四组：A组：；B组：；C组：；D组：）． ①八年级抽取的学生成绩为：81，83，87，90，90，90，92，93，95，96，97，98，98，100，100，100，100，100，100，100． ②七、八年级抽取的学生成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 满分率 七 93.25 95 b 八 a 96.5 100 ③七年级抽取的学生成绩扇形统计图如右图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上统计数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的测试成绩更好？请说明理由（写出一条合理理由即可）； （3）若该校七年级有700名学生，八年级有600名学生，试估计七、八两个年级学生的测试成绩为满分的总人数． 20. 【学科综合】我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中时会发生折射现象，如图1，我们把称为水的折射率（其中代表入射角，代表折射角），法线与界面垂直． 【观察实验】为了观察光线的折射现象，实验小组设计了图2所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块C，但该物块不在细管所在的直线上，图3是实验的示意图，四边形为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得，入射角的度数是，点P，D，B恰好共线． （1）求的长度； （2）若，求水的折射率n．（参考数据；，，） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，内接于，，是的外角的角平分线，连接并延长交于点M，连接并延长与交于点N． （1）求证：是的切线； （2）若的半径的长为5，． ①求的长； ②求的值． 22. 在坡度为3∶4的斜坡与水平地面的纵向截面示意图上，建立如图所示的平面直角坐标系，已知点在斜坡上，，从点向右斜向上发射出的小球（体积忽略不计）沿抛物线的轨迹运动，解决下列问题： （1）点坐标是______； （2）求，所满足的数量关系； 当小球恰好落到原点时，求抛物线函数解析式； （3）在点右侧处有一堵高为的墙，若要小球能碰触到墙面，求的取值范围． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【综合与实践】 如图，为直角三角形纸片，其中．在数学活动课上，进行如下探究活动． 【观察发现】 活动一：点O为上一点，将绕点O旋转，得到，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，连接，． （1）如图1，四边形的形状为______； 【深入探究】 （2）在（1）的条件下，如图2，若，，当四边形为矩形时，求的长； 【拓展提高】 活动二：如图3，取的中点P，连接，将绕点P顺时针旋转角（），得到，点A，C的对应点分别为点M，N，连接，． （3）①猜想与的位置关系，并给予证明； ②如图3，当时，的角平分线，若点P到的距离为1，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学考总复习·试题猜想·九年级 数学模拟试题（九） （满分：120分 时长：120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列各数中，是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数的分类判断即可． 本题考查了有理数的分类，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. 不是有理数，不符合题意； B. 不是有理数，不符合题意； C. 是有理数，符合题意， D. 不是有理数，不符合题意； 故选：C． 2. 榫卯（sǔn mǎo）结构是中国古代建筑、家具及其他器械的主要结构方式，特点在于不用钉子就可以加固物件，体现了中国古代的文化智慧，其中凸出部分叫做榫，凹进部分叫做卯．如图所示的“榫”和“卯”中，“榫”的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图的定义去判断即可． 本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键． 【详解】解：该几何体的左视图为, 故选：B． 3. 下列代数式中计算的结果等于a的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化除为乘，按照运算顺序计算解答即可． 本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算顺序是解题的关键． 详解】解：A. ，符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，不符合题意； 故选：A． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据大于方向向右，小于方向向左，有等号，数用实心点覆盖，无等号，数用空心圆圈覆盖，解答即可． 本题考查了解不等式组，不等式解集的数轴表示，正确掌握解集表示法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得的解集为， 数轴表示为， 故选：C． 5. 烷烃是一类由碳、氢元素构成的有机化合物，如图是这类物质前三种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，如图，第1种有4个氢原子，第2种有6个氢原子，第3种有8个氢原子，…，按此规律，则第2025种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A. 4048 B. 4050 C. 4052 D. 4054 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，第一个结构模型中有个氢原子，第二个结构模型中有个氢原子，第三个结构模型中有个氢原子，由此得到第2025个结构模型中有个氢原子，解答即可． 本题考查了规律探索，正确探索规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意，第一个结构模型中有个氢原子， 第二个结构模型中有个氢原子， 第三个结构模型中有个氢原子， 由此得到第2025个结构模型中有个氢原子． 故选：C． 6. 如图，不等臂跷跷板的支撑点O到地面的高度为，当的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点B到地面的距离为，点A端到地面的距离为，根据题意，得，，，列比例式计算解答即可． 本题考查了三角形相似的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设点B到地面的距离为，点A端到地面的距离为， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ 解得， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的几种常用方法是解题的关键． 利用公因式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 截止到2025年4月6日，我国动漫电影《哪吒之魔童闹海》的票房排行世界第五，共计155.8亿元．155.8亿用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，将155.8亿写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：155.8亿， 故答案为：． 9. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的解，一元二次方程的根与系数的关系，根据方程的解及一元二次方程根与系数的关系得，，，推出，将式子的值代入计算即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴ ． 10. 如图，小军与小珠之间的距离为，他们在同一盏路灯下的影长分别为，．已知小军、小珠的身高分别为，，则路灯的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．如图（见解析），根据题意可得，，，，，，再根据等腰三角形的判定与性质可得，然后根据，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 即路灯的高为， 故答案为：． 11. 如图，在中，，，把沿射线平移至处，与交于点M．若，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，利用平移的性质得到，，则，所以，然后根据梯形的面积公式计算． 【详解】解：∵沿射线方向平移至， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：30． 12. 如图，在矩形中，，，点E为的中点，点P在下方矩形的边上，当为直角三角形，且点P为直角顶点时，的长为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．当点P在边上时，可证明四边形是矩形，求得的长，再根据勾股定理求解即可；当点P在边上时，先证明，可得，设，列出方程求解即可． 【详解】解：当点P在边上时， 四边形是矩形， ，，， 点E为的中点， ， 为直角三角形，点P为直角顶点， ， 四边形是矩形， ， ； 当点P在边上时， 为直角三角形，点P为直角顶点， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得，或， 或； 综上所述，的长为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点D，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】该题考查了特殊角的三角函数值，零次幂，等腰三角形的性质，等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先计算零次幂、绝对值、特殊角的三角函数值，再合并即可． （2）由作图知，，即可得，结合，即可求解． 【详解】解：（1）原式． （2）由作图知，， ∴． ∵， ∴． 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先将分式化简，再把代入，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． 当时，原式． 15. 小明同学手上有四根长度分别为2，3，4，5的细木棒，他随机选择其中三根细木棒搭成一个三角形． （1）“小明同学选到的三根细木棒能够搭成一个直角三角形”是______（填“必然”“不可能”或“随机”）事件； （2）小明同学已经选中了一根长度为2的细木棒，请用画树状图或列表的方法求出小明同学选中的剩下两根细木棒能够与长度为2的细木棒搭成三角形的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】本题考查“必然事件”，“不可能事件”与“随机事件”事件的区别，画树状图求概率，正确掌握知识点是解题的关键． （1）根据“必然事件”，“不可能事件”与“随机事件”事件的定义，即可解答； （2）画树状图，求出小明同学选中的剩下两根细木棒能够与长度为2的细木棒搭成三角形（记为事件A）的结果与总数的比，即可解答． 【小问1详解】 解：①当选到的三根细木棒为2,3,4时，， 故2,3,4不能组成直角三角形，不符合题意； ②当选到的三根细木棒为2,3,5时，， 故2,3,4不能组成三角形，不符合题意； ③当选到的三根细木棒为3,4，5时，， 故3,4，5能组成三角形，符合题意， ④当选到的三根细木棒为2,4,5时，， 故2,4，5不能组成三角形，不符合题意； 故答案为：随机． 【小问2详解】 画树状图如下： 由树状图可知，共有6种等可能结果，其中小明同学选中的剩下两根细木棒能够与长度为2的细木棒搭成三角形（记为事件A）的结果有4种，即2、3、4,2、4、3，2、4、5，2、5、4. ∴． 16. 某市为响应国家家电补贴政策，推出了购买节能家电的补贴方案．补贴方案具体如下：购买1台节能冰箱可获得300元补贴，购买1台节能空调可获得500元补贴，每户家庭购买节能家电的总补贴金额不超过2000元． （1）小明家购买了若干台节能冰箱和节能空调，共获得补贴1900元，且小明家购买的节能冰箱比节能空调多1台，小明家购买了节能冰箱和节能空调各多少台？ （2）如果小明家希望购买节能冰箱和节能空调的总台数为6台，且总补贴金额不超过2000元，求小明家最多可以购买多少台节能空调？ 【答案】（1）小明家购买了3台节能冰箱，2台节能空调 （2）小明家最多可以购买1台节能空调 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程组以及不等式为解题关键． （1）设小明家购买了x台节能冰箱，y台节能空调，根据小明家购买了若干台节能冰箱和节能空调，共获得补贴1900元，且小明家购买的节能冰箱比节能空调多1台，列出方程组求解即可； （2）设小明家购买了m台节能空调，则购买了台节能冰箱，根据总补贴金额不超过2000元，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设小明家购买了x台节能冰箱，y台节能空调， 根据题意，得 解得， 答：小明家购买了3台节能冰箱，2台节能空调． 【小问2详解】 设小明家购买了m台节能空调，则购买了台节能冰箱， 根据题意，得， 解得． 答：小明家最多可以购买1台节能空调． 17. 如图，点在反比例函数的图象上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，作点A关于点O的对称点； （2）在图2中，若点B坐标为，请作出直线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，一次函数的图象和性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，坐标与图形变化-旋转，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）连接，延长交反比例函数图象于点，点即所求； （2）同法作出点，连接交反比例函数图象于点C，连接，延长交反比例函数图象于点D，连接，延长交y轴于点，作直线即可． 【小问1详解】 解：如图1，点即为所求． 【小问2详解】 解：如图2，直线即为所求． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E． （1）求反比例函数的解析式及点E的坐标； （2）若点F是边上一点，且为等腰三角形，求直线的解析式． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据点B的坐标为求出D点坐标，代入反比例函数即可求出m的值，进而得出解析式，再把代入求出y的值即可得出E点坐标； （2）根据为等腰三角形得出的长，进而得出F点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可． 本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上点的坐标特点、矩形的性质、一次函数的性质等知识是解答此题的关键． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形，点B的坐标为，点D是的中点， ∴点，． ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为． ∵点E在上， ∴点E的横坐标为4， 把代入， 得， ∴点E的坐标为． 【小问2详解】 解：∵点F在上，为等腰三角形，， ∴，点F的横坐标为0． 由（1）得点， ∴， ∴点． 设直线的解析式为， 将点，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． 19. 随着气温逐渐升高，溺水事故进入高发期，为进一步增强学生的安全意识，预防溺水事故的发生，某市教育局联合市应急管理局、市红十字会等多部门，于近日在全市范围内开展了一系列防溺水安全教育活动，并进行了防溺水安全知识测试．某校从七、八年级学生中各随机抽取了20名学生的成绩进行了统计分析（满分100分，成绩x均为整数，共分成四组：A组：；B组：；C组：；D组：）． ①八年级抽取的学生成绩为：81，83，87，90，90，90，92，93，95，96，97，98，98，100，100，100，100，100，100，100． ②七、八年级抽取的学生成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 满分率 七 93.25 95 b 八 a 96.5 100 ③七年级抽取的学生成绩扇形统计图如右图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上统计数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的测试成绩更好？请说明理由（写出一条合理理由即可）； （3）若该校七年级有700名学生，八年级有600名学生，试估计七、八两个年级学生的测试成绩为满分的总人数． 【答案】（1）15；；100 （2）八年级，见解析 （3）420人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义是正确解答的关键． （1）用“1”分别减去其它百分所占百分比可得m的值；分别根据平均数的众数的定义可得a、b的值； （2）根据平均数、中位数和满分率的意义解答即可； （3）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：， ∴． 八年级抽取的学生成绩的平均数 ． ∵七年级的满分率为， ∴七年级100分的人数为（人）． ∵七年级抽取的学生成绩中A组的人数为2人，B组的人数为3人，C组的人数为5人，D组的不到100分的人数为4人， ∴100出现的次数最多， ∴众数； 故答案为：15；；100 【小问2详解】 解：我认为该校八年级学生的测试成绩更好． 理由如下： ∵两个年级的众数相同，而八年级的平均数、中位数以及满分率均高于七年级， ∴八年级学生的测试成绩更好； 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计该校七、八两个年级学生的测试成绩为满分的总人数为420人． 20. 【学科综合】我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中时会发生折射现象，如图1，我们把称为水的折射率（其中代表入射角，代表折射角），法线与界面垂直． 【观察实验】为了观察光线的折射现象，实验小组设计了图2所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块C，但该物块不在细管所在的直线上，图3是实验的示意图，四边形为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得，入射角的度数是，点P，D，B恰好共线． （1）求的长度； （2）若，求水的折射率n．（参考数据；，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系以及“折射率”的定义是解题的关键． （）如图，过点D作，垂足为点G，证明四边形是矩形，可得，，结合．由，据此即可求解； （）求解，，可得，结合，进一步即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点D作，垂足为点G，   结合题意可得：四边形是矩形， ∴，， ∵入射角的度数是， ∴． ∴在中，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 由（1）得， ∴， ∴折射率， ∴水的折射率n约为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，内接于，，是的外角的角平分线，连接并延长交于点M，连接并延长与交于点N． （1）求证：是的切线； （2）若的半径的长为5，． ①求的长； ②求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①2；② 【解析】 【分析】（1）连接，证明即可，利用角平分线的意义以及等腰三角形的性质得以证明； （2）①过点O作于点H，则，证明四边形是矩形，得到，四边形是矩形，得，．设，则，．在中，由勾股定理可列出关于x的方程，求解出x的值即可；②证明，根据可得结论． 【小问1详解】 解：证明：如图1，连接并延长交于点F． ∵，内接于， ∴点O是垂直平分线的交点，且为等腰三角形， ∴是的角平分线， ∴． 又∵是的外角的角平分线， ∴． ∵， ∴，即． ∵是的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 ①如图2，过点O作于点H，则． ∵是直径， ∴． 由（1）知，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵的半径的长为5， ∴． 设，则，． ∵在中，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴的长为2． ②由（2）①知四边形和四边形均为矩形， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质、角平分线的性质，求角的正弦值，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，熟练掌握各知识点并熟练应用是解题的关键． 22. 在坡度为3∶4的斜坡与水平地面的纵向截面示意图上，建立如图所示的平面直角坐标系，已知点在斜坡上，，从点向右斜向上发射出的小球（体积忽略不计）沿抛物线的轨迹运动，解决下列问题： （1）点的坐标是______； （2）求，所满足的数量关系； 当小球恰好落到原点时，求抛物线的函数解析式； （3）在点右侧处有一堵高为的墙，若要小球能碰触到墙面，求的取值范围． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，解题的关键是会利用数形结合与方程思想解题． （1）作轴于点，设，则，利用勾股定理列式计算求得的值，即可求解； （2）将点坐标代入求解即可；再将原点坐标代入求解即可； （3）根据题意可知点，点的坐标，分别代入解析式，求解即可得的最小值和最大值． 【小问1详解】 解：∵坡度为， ∴设，则， ∵， ∴， 解得，， ∴，， ∴点的坐标是． 【小问2详解】 解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴，所满足的数量关系为． 当小球落到原点时，即抛物线经过点， ∴． 由（2）得， ∴， 解得，， ∴抛物线的函数解析式为． 【小问3详解】 解：根据题意知点，． ∵， ∴， ∴当抛物线过点时，， 解得，； 当抛物线过点时，， 解得． 答：若要小球能碰触到墙面，a的取值范围是． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【综合与实践】 如图，为直角三角形纸片，其中．在数学活动课上，进行如下探究活动． 【观察发现】 活动一：点O为上一点，将绕点O旋转，得到，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，连接，． （1）如图1，四边形的形状为______； 【深入探究】 （2）在（1）的条件下，如图2，若，，当四边形为矩形时，求的长； 【拓展提高】 活动二：如图3，取的中点P，连接，将绕点P顺时针旋转角（），得到，点A，C的对应点分别为点M，N，连接，． （3）①猜想与的位置关系，并给予证明； ②如图3，当时，的角平分线，若点P到的距离为1，求的长． 【答案】（1）平行四边形；（2）；（3）①，见解析；②2 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得，，从而，可证四边形是平行四边形； （2）连接，设，则，根据列方程求解即可； （3）①由线段垂直平分线的性质得，证明即可证； ②延长，分别与相交于点，证明四边形为矩形得，证明得，从而，再证明可得． 【详解】解：（1）由旋转的性质得，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形． （2）如图1，连接，设． ∵四边形为矩形， ∴， 即． ∵， ∴在中，， 即， 解得， 即． （3）①． 证明如下：∵，点P为的中点， ∴． 由旋转可得，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴． ②如图2，延长，分别与，相交于点H，R，设与的交点为点E． ∵，， ∴四边形为平行四边形． 又∵， ∴四边形为矩形， ∴． 又∵为的角平分线， ∴． ∴， ∴，， ∴． 由（3）①得，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的性质与判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，多边形内角和，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$