5.4 用一次函数解决问题 练习题 2025-2026学年苏科版（2024）八年级数学上册

5.4 用一次函数解决问题 一、单选题 1．甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程（单位：）与所用的时间（单位：）之间的关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是（   ） A．乙走的路程比甲远 B．甲的平均速度为 C．前，甲的速度比乙快 D．经过，甲、乙都走了 2．已知一款商务签字笔购买数量x（支）与应付钱数（元）之间的关系如下表所示，下列关于小明和小亮的结论判断正确的是（    ） 购买数量（支） 1 2 3 4 … 应付钱数（元） 15 30 45 60 … 小明：应付钱数是自变量的函数； 小亮：与之间的函数解析式为 A．只有小明的对 B．只有小亮的对 C．小明和小亮的都对 D．小明和小亮的都不对 3．某公司市场部的营销人员的个人收入与其每月的销售业绩满足一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知：营销人员的销售业绩是1万时的月收入是（   ） A．780元 B．790元 C．800元 D．810元 4．在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标的倍与纵坐标之差为，则称这个点为“如意点”．下列结论中错误的是（    ） A．点是“如意点” B．第二象限内不存在“如意点” C．若点是“如意点”，且在坐标轴上，则点的坐标为 D．已知点，，若点是第四象限内的“如意点”，点到直线的距离为，则 5．一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即以另一速度返回甲地，货车到达乙地后停止，货车、轿车离甲地的距离（千米）与轿车所用时间（小时）的关系如图所示，则下列结论错误的是（    ）． A．甲、乙两地相距90千米 B．轿车返回的速度为每小时90千米 C．两车在出发小时后相遇 D．货车到达乙地时，轿车离乙地18千米 6．为保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划购买A、B两种类型的羽毛球拍．已知A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍．那么最省钱的购买方案是（   ） A．买22副A种球拍和8副B种球拍 B．买21副A种球拍和9副B种球拍 C．买20副A种球拍和10副B种球拍 D．买19副A种球拍和11副B种球拍 7．在如图所示的平面直角坐标系中，P是直线上的动点，，是x轴上的两点，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 8．如图，的顶点坐标分别为，，轴，，蒋沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，线段扫过的面积为（　　） A．12 B．24 C．15 D．30 二、填空题 9．小冬骑自行车，爸爸骑电动车，沿相同路线由A地到B地，两人行驶的路程与时间之间的函数关系如图所示．根据图象可知，在小冬出发 时两人相遇， 先到达B地． 10．如图，直线 与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段的中点，点P为线段上一动点，当最小时，点P的坐标为 ．    11．某商品的定价是每千克5元，元旦期间，该商品推出优惠活动，若一次购买该商品的数量超过2千克，则超过2千克的部分，价格打八折；若一次购买的数量不超过2千克（含2千克），仍按原价付款．若一次购买的数量为x千克，在的条件下，付款金额y（元）与x（千克）之间的关系式为 ． 12．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B．C，D分别为线段上的两个动点，点P的坐标为，则的周长的最小值为 ． 13．在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，点B在直线上（点B在y轴右侧），点C在直线上．若为锐角三角形，且其面积为，则点C的横坐标m的取值范围是 ． 三、解答题 14．由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少，已知原有蓄水量（万）与干旱持续时间（天）的关系如图中线段所示，针对这种干旱情况，从第20天开始向水库注水，注水量（万）与时间（天）的关系如图中线段所示（不考虑其它因素）． (1)求原有蓄水量（万）与时间（天）的函数关系式，并求当时的水库总蓄水量． (2)求当时，水库的总蓄水量（万）与时间（天）的函数关系式（注明的范围），若总蓄水量不多于900万为严重干旱，直接写出发生严重干旱时的范围． 15．某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，并进行义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4250元购买了红、蓝两种颜色的文化衫200件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表： 批发价（元） 零售价（元） 红色文化衫 25 45 蓝色文化衫 20 35 (1)学校购进红、蓝文化衫各几件？ (2)若学校再次购进红、蓝两种颜色的文化衫200件，其中红色文化衫的数量不多于蓝色文化衫数量的3倍，请设计一个方案：学校购进红色文化衫多少件时获得最大利润，最大利润是多少？ 16．夏季到来，涉水安全逐渐成为众人的关注热点，某中学计划安排绘画小组制作告示牌，警示学生注意游泳安全，现为绘画小组购买某品牌的A，B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元． (1)求购买每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各需多少元； (2)该中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，且购买A种颜料的数量不少于B种颜料数量的，则哪种方案的购买费用最少？最少费用是多少？ 17．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将点A向上平移4个单位长度得到点B，连接，P为线段上的一点，过点P作直线． (1)当P是线段的中点时，求直线l的解析式； (2)若动点恒在直线上，当直线时，求点P的坐标； (3)Q是线段上的任意一点，在（1）的条件下，将直线l沿y轴向上平移个单位长度得到直线，记点Q关于直线的对称点为．若在线段上，存在点Q，使得点落在y轴上，直接写出满足条件的m的取值范围． 18．如图，平面直角坐标系中，A点在直线上运动，A点的横坐标为m，，将A点向上平移5个单位长度得到点C． (1)如图1，当时，平分，求直线的解析式； (2)如图2，D点是（1）中的直线上的另外一动点，直线，交于E点．当时，有，求此时m的值； (3)若直线与（1）中的直线相交于点A，且两直线的夹角是，直接写出A点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题主要考查一次函数的应用，理解函数图象是解题关键．根据函数关系图得出后，甲的路程比乙的路程远，可判断A； 根据图象可知，甲走了，所以甲的平均速度为，即可判断B；观察函数关系图即可得前时，乙的速度比甲快 ，即可判断C； 观察函数关系图经过，甲、乙走的路程，即可判断D． 【详解】解∶ A．后，甲的路程比乙的路程远， 故A不符合题意； B．根据图象可知， 甲走了，所以甲的平均速度为，故B不符合题意； C．前，甲走了，乙走了，所以乙比甲的速度快，故C不符合题意； D．经过，由函数图象可知，甲、乙都走了，故D符合题意． 故选∶ D 2．A 【分析】本题考查了正比例函数的理解，函数的图表表示和解析式表示，熟练掌握定义，正确表示是解题的关键．根据表格数据，判断应付钱数是否为自变量的函数，并验证函数解析式的正确性． 【详解】解：由表格可知，每有一个确定的购买数量（支），对应唯一的应付钱数（元）．例如，时，时，依此类推．根据函数的定义，因变量是自变量的函数，因此小明的结论正确． 小亮给出的解析式为． 当时，代入得，但实际表格中，矛盾． 观察表格数据，与的比值恒为15，说明与成正比例关系，正确解析式应为．因此小亮的结论错误． 综上，只有小明的结论正确， 故选：A． 3．C 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据待定系数法求出一次函数解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：设， 则， 解得， ∴， 当时，， 即营销人员的销售业绩是1万时的月收入是800元， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查坐标与图形性质，根据“如意点”的定义，对所给选项依次进行判断即可．理解“如意点”的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点是“如意点”，故A选项不符合题意； 令“如意点”的坐标为， 则， ∴， ∵此一次函数图象不经过第二象限， ∴第二象限内不存在“如意点”，故B选项不符合题意； 令“如意点”的坐标为， 当点是轴上的“如意点”时， 得：， 解得：， ∴点的坐标为； 当点是轴上的“如意点”时， 得：， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，若点是“如意点”，且在坐标轴上，则点的坐标为或，故C选项符合题意； 如图所示， 设过点，的直线解析式为，且交直线于点， ∴， 解得：， ∴过点，的直线解析式为， 即， 即直线上的点都是“如意点”， ∵点，， ∴点到直线的距离为，点在直线上，此点到直线的距离为， ∵点是第四象限内的“如意点”， ∴，故D选项不符合题意． 故选：C． 5．D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数图象中的数据，可以计算出货车的速度已经轿车返回时的速度，然后即可计算出相遇处到甲地的距离． 【详解】解：由图象可得：甲乙两地相距90千米，故A选项正确，不符合题意； 货车的速度为：（千米/小时）， 轿车返回时的速度为：（千米/小时），故B选项正确，不符合题意； 设当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，货车行驶的时间为a小时， ， 解得：，故C选项正确，不符合题意； 当货车到达乙地时，， 此时轿车离乙地的距离为（千米），故D错误，符合题意； 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设购买A型球拍x副，则B型球拍为副，根据题意，A型数量不少于B型的2倍，即，解得，设总费用为，求出关于的函数解析式，再由一次函数的性质求解． 【详解】解：设购买A型球拍x副，B型球拍为副， 根据题意，， 解得， 设总费用为，则。 ∵，总费用随x增大而增加，因此当x取最小值20时费用最低， ∴当时，B型球拍为10副， 故选：C． 7．C 【分析】本题主要考查的是最短线路问题，勾股定理，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 首先作出点A关于的对称点，从而得到，故此，由两点之间线段最短可知即为所求． 【详解】解：由题意知，作关于直线的对称点，交y轴于，连接，则，如图所示： ， 在和中 ∴， ∴， ∵点， ∴ ∴， 由两点之间线段最短可知：当点、P、B在一条直线上时，有最小值， ， ∴, 在中，，利用勾股定理得 ， 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、平移的性质，根据平移性质先求出平移的距离，再根据勾股定理求出长，继而求出线段扫过的面积即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵轴，， ∴在中，， ∴， ∴在函数中，当时，，即， ∴， ∴， ∴三角形平移距离为6个单位长度， ∴平移中扫过的面积为：． 故选：B． 9． 20 爸爸 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象解答即可． 【详解】解：由图象可得，在小冬出发时两人相遇，爸爸先到达B地． 故答案为：20；爸爸． 10． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是找出点的位置．根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点关于轴的对称点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 此时值最小，如图所示．    在中，当，则，当时， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵点、分别为线段、的中点， ∴，点． ∵点和点关于轴对称， ∴点的坐标为． 设直线的解析式为， ∴，解得： ∴直线的解析式为． 在中，当，则，解得：， ∴点的坐标为． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了一次函数的实际应用知识，掌握以上知识并充分理解题意是解答本题的关键． 本题当时，付款金额由两部分构成，一部分是2千克所花的钱，另一部分是超过2千克所花的钱，然后即可求解． 【详解】解：由题意可列式：当，即． 故答案为： 12． 【分析】本题考查与一次函数相关的最短路径问题，解题的关键是掌握用对称的方法确定周长最小时，M，N的位置． 作点P关于y轴的对称点，点P关于直线的对称点N，连接，交于点C，交y轴于点D，连接，此时，的周长最小，为的长；，求出的长，即可解得． 【详解】由直线的函数表达式，得点，， ， 则． 点P的坐标为， ，， 如图， 作点P关于y轴的对称点，点P关于直线的对称点N，则， 连接，交于点C，交y轴于点D， 此时，的周长最小， 的周长． 连接，由对称可知， ， ，， ∴点N的坐标为． ， 的周长的最小值为． 故答案为． 13． 【分析】根据题意先求出，，得出直线与坐标轴正半轴交点为，直线与直线互相平行，过点作交直线于点，过点作交直线于点，求出点和点的横坐标，即可解答． 【详解】解：如图，在直线中， 令，则，令，则， 则，直线与坐标轴正半轴交点为， 在直线中，令，则，故， 根据题意直线与直线互相平行， 过点作交直线于点，过点作交直线于点， 则，， 则， ∴， 即点B位置固定，， ∴， ∴， ∴，， 将代入直线中得， 根据图象当点C位于点和之间时，为锐角三角形， 此时点C的横坐标m的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】该题考查了一次函数的图象和性质，一次函数几何综合，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是正确作出图象，求出临界点． 14．(1)，当时， (2)， 【分析】此题考查了一次函数的应用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，再把代入求函数值即可； （2）利用待定系数法求出与的函数关系式，分段求出水库的总蓄水量（万）与时间（天）的函数关系式，进一步求出发生严重干旱时的范围即可． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为：， 函数的图像经过点和， ， 解得， 与的函数关系式为：， 当时，（万）． （2）解：设与的函数关系式为：. 函数的图像经过点，， ，解得， 与的函数关系式为：， 当时，， 当时，， ∴ 当时，，解得， 当时，，． 发生严重干旱时的范围为：． 15．(1)学校购进红文化衫50件，蓝文化衫150件 (2)学校购进红色文化衫150件时获得最大利润，最大利润是3750元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式． （1）设学校购进x件红色文化衫，y件蓝色文化衫，利用进货总价=进货单价×购进数量，结合该学校从批发市场花4250元购买了红、蓝两种颜色的文化衫200件，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设学校再次购买a件红色文化衫，件蓝色文化衫，全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润=每件红色文化衫的销售利润×购进红色文化衫的数量+每件蓝色文化衫的销售利润×购进蓝色文化衫的数量，可找出w关于a的函数关系式，由学校再次购进红色文化衫的数量不多于蓝色文化衫数量的3倍，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设学校购进红文化衫x件，蓝文化衫y件， 依题意，得：， 解得：． 答：学校购进红文化衫50件，蓝文化衫150件； （2）解：设学校再次购进红文化衫a件，则蓝文化衫件，获得的利润为w元， 则， 由题意得， 解得， ∵，， ∴w随a的增大而增大． 当时，最大利润为3750元． 答：学校购进红色文化衫150件时获得最大利润，最大利润是3750元． 16．(1)购买每盒A种型号颜料需24元，每盒B种型号颜料需16元 (2)当购买A种型号的颜料75盒，B种型号的颜料125盒时，费用最少，最少费用是3800元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）设购买每盒A种型号的颜料需x元，每盒B种型号的颜料需y元，根据购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元，再建立方程组解题即可； （2）设购买A种型号的颜料a盒，B种型号的颜料盒，购买费用为w元，先求解的范围，再建立一次函数求解即可． 【详解】（1）解：设购买每盒A种型号的颜料需x元，每盒B种型号的颜料需y元． 由题意，得， 解得． 答：购买每盒A种型号颜料需24元，每盒B种型号颜料需16元． （2）解：设购买A种型号的颜料a盒，B种型号的颜料盒，购买费用为w元． ∵， ∴． 由题意得． ∵， ∴随着a的增大而增大． ∵， ∴． 当时，． 答：当购买A种型号的颜料75盒，B种型号的颜料125盒时，费用最少，最少费用是3800元． 17．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—平移和轴对称，一次函数与几何综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式，一次函数的图象和性质，平移性质，轴对称性质，是解题的关键． 本题考查一次函数的综合、对称的性质． （1）求出线段的中点，代入直线，解方程即得； （2）可知直线的解析式为，根据直线，得直线l的解析式为，当时，求出y值即得； （3）可知直线的解析式为，分点Q在点A和在点B时的对称点为，求出的坐标，得中点坐标，代入解析式求出m的临界值即得． 【详解】（1）解：∵向上平移4个单位长度得到点B， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∵直线过点P， ∴， 解得， ∴直线l的解析式为．    （2）解：∵动点恒在直线上， ∴直线的解析式为 ∵直线， ∴， ∴直线l的解析式为． 令， 则， ∴点P的坐标为． （3）m的取值范围为． 解法提示： 根据题意可得，直线的解析式为， 则直线与x轴所夹锐角为．如解图， 当点Q运动到点A时， 记点Q的对称点为，直线所在位置为直线． 由可知，A与的水平距离为4， ∴垂直距离也为4， ∴点的坐标为， ∴直线经过的中点． 将代入， 得， 解得； 当点Q运动到点B时，记点Q的对称点为，直线所在位置为直线． 由可知，B与的水平距离为4， ∴垂直距离也为4， 点的坐标为， ∴直线经过的中点． 将代入，得， 解得． 综上所述，当直线l向上平移到与之间（包括和）时，满足题意， 故满足条件的m的取值范围是． 18．(1) (2) (3)或 【分析】该题是一次函数综合题，涉及一次函数图象和性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）延长交轴于点．根据平分线得出，根据平移得出，轴，则，故，当时，A点的横坐标为3，则，求出，得出，将代入上求解即可． （2）根据，得出，从而得出．设直线的解析式为．将和代入求解即可． （3）根据直线与直线相交于点A，且两直线的夹角是，得出与直线夹角是或与直线夹角是，则，，，求出，过点作，过点作，证明，设，得出，将点代入，求出．即可解答． 【详解】（1）解：延长交轴于点． ∵平分， ∴， 将A点向上平移5个单位长度得到点C， ∴，轴， ∴， ∴， 当时，A点的横坐标为3， ∴， ∴， ∴， ∵A在直线上， ∴，解得：， ∴直线解析式为． （2）解：∵， ∴， ∴， 设的高为，的高为， ∴， ∴， ∴． ∴可设直线的解析式为． ∵， ∴， ∵， 将和代入得， 解得：． （3）解：∵直线与直线相交于点A，且两直线的夹角是， 如图，则与直线夹角是或与直线夹角是， 则， ∴， ∴， 在中，令，则， 则， 过点作，过点作， 则， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∴， 将点代入， ∴， ∴． ∴，． 即A点的坐标为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$