精品解析：2025年吉林省长春五十二中赫行实验学校中考模拟预测数学试题

数学试卷 本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，数轴上点P表示的数的相反数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求一个数的相反数，有理数和数轴，根据数轴得到点表示的数为1，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：点表示的数为1 ∴数轴上点P表示的数的相反数是； 故选A． 2. 如图是一个立体图形的表面展开图，则这个立体图形是（ ） A. 六棱柱 B. 六棱锥 C. 五棱柱 D. 六面体 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体展开图，熟记常见几何体表面展开图的特征是解题的关键；根据常见几何体的展开图形特征进行判断即可． 【详解】解；图中的展开图有两个六边形，六个长方形，符合棱柱展开图的特点． 这个立体图形是六棱柱， 故选：A． 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 不是单项式 B. 表示负数 C. 的次数是2 D. 不是多项式 【答案】D 【解析】 【分析】本题可根据单项式、多项式的定义以及单项式系数的定义，对每个选项进行判断．本题主要考查了单项式、多项式的定义以及单项式系数的定义，熟练掌握这些定义是解题的关键． 【详解】解：A. 是单项式，故该选项不正确，不符合题意； B. 不一定表示负数，故该选项不正确，不符合题意； C. 的次数是，故该选项不正确，不符合题意； D. 因为不是单项式，所以不是多项式，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为（ ） A. 26° B. 36° C. 46° D. 56° 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补），可求∠4=56°，然后借助平角的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵l4∥l1， ∴∠4+∠1=180°， ∵∠1=124°， ∴∠4=56°， ∵∠2=88°， ∴∠3=180°-∠4-∠2=36°． 故选：B 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 5. 如图是一把圆规的平面示意图，使用时，点为支撑点，笔尖可绕点旋转画出圆弧．已知厘米，若，则圆规所画圆的半径的长度为（ ） A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，过点作，垂足为，利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴圆规能画出的圆的半径长度为， 故选：C． 6. 下列说法错误的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，，那么 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A. 如果，那么，故该选项说法正确，不符合题意； B. 如果，那么，故该选项说法正确，不符合题意；； C. 当  取负数时， 不一定成立。例如，取 ，满足 ，但此时 ，不满足 ，故该选项说法错误，符合题意； D. 如果，，那么，故该选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 7. 如图，在中，．按下列要求作图：①以点为圆心，小于线段的长为半径画弧，交线段于点，交于点；②以点为圆心，线段长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交②中的弧于点，作射线交线段于点．则和的关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，根据由作图可知，利用三角形的外角的性质得出，进而结合，判断即可． 【详解】解：由作图可知， ，， ． 故选：B． 8. 如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点，在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是10，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，三角函数的应用，关键是利用三角函数值求各边的长．已知，设，，，利用勾股定理求的长，列方程，求出，可求的值． 【详解】解：轴， ， 中，， ， 设，， ， ． 矩形中，， ． ． ． ． 矩形的面积是10， ， ． ． ， ． 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法的运算法则是关键． 根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算求解． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 某多项式按字母的降幂排列为：，则整数的值可能为______．（写出一个即可） 【答案】2（或3） 【解析】 【分析】本题考查了多项式降幂排列的定义，解题的关键是熟练掌握多项式降幂排列的定义．先分清多项式的各项，然后按多项式降幂排列的定义即可求解． 【详解】解：某多项式按字母的降幂排列为：， ∴m的整数值可能为3或2． 故答案为：2（或3）． 11. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格交点，则ABC的面积与ABD的面积的大小关系为：______（填“＞”，“＝”或“＜”） 【答案】= 【解析】 【分析】在网格中分别计算出三角形的面积，然后再比较大小即可． 【详解】解：如下图所示，设小正方形网格的边长为1个单位， 由网格图可得个平方单位， ， 故有=． 故答案为：“＝” 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，在网格中当三角形的底和高不太好求时可以采用割补的方式进行求解，用大的矩形面积减去三个小三角形的面积即得到△ABD的面积． 12. 如图，在矩形中，若，则的长为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可． 【详解】解：在矩形中， ，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 13. 如图，是半径为2的的一条弦，．将绕点逆时针旋转，当点的对应点第一次落在上时，点运动的路径长是______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查弧长公式，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，连接，得到是等边三角形，由旋转的性质得到，利用勾股定理求出的长，再根据弧长公式求出答案即可． 【详解】解：连接， 由旋转得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点运动的路径长是， 故答案为． 14. 如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点为边上的动点，将沿折叠得到，连接．则下列结论中： ①当时，四边形为正方形； ②当时，的面积为15； ③当在运动过程中，的最小值为； ④当时，． 其中结论正确的有______．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形三边关系，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质并灵活运用即可解题．由矩形的性质得到，由折叠的性质得到，，，得到四边形为矩形，推出四边形为正方形，即可判断①；过点作于点，根据题意得到，，根据折叠的性质和矩形性质推出，根据直角三角形性质得到，利用即可判断②；连接，根据三角形三边关系得到，推出当时，取得最小值，利用勾股定理得到，根据，即可判断③；根据已知条件推出、、三点共线，利用平行线性质和折叠的性质，结合等量代换得到，推出，根据勾股定理算出，推出即可判断④． 【详解】解：①四边形为矩形， ， 将沿折叠得到， ，，， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形； ①正确； ②过点作于点， 点，点，， ，， ，， ， ， ， 的面积为， ②正确； ③连接， ，，当时，取得最小值， ，， ， ， 的最小值为， ③正确； ④， ， ， ， 、、三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ． ④错误； 综上所述，结论正确的是①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】首先将原式分子分母因式分解，先算除法，再算减法，最后把x的值代入进行计算，进而化简即可求出答案． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式运算法则是解本题的关键． 16. 学校通过开展丰富多彩的中医药文化活动，推动了中医药文化传承发展．如图是四味中药材图片，分别为紫苏、天麻、马齿苋和灵芝，除正面内容外，其余完全相同，现从这四张图片中随机抽取两张进行研究，用列表法或画树状图法求抽到灵芝和天麻的概率． 【答案】． 【解析】 【分析】此题考查利用列表法或画树状图求概率，根据题意画树状图得到总情况数及事件的情况数，相比即可求出所求概率． 【详解】解：设，，，分别代表紫苏、天麻、马齿苋和灵芝， 根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中灵芝和天麻的有2种， 恰好选中灵芝和天麻的概率是． 17. 为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，进一步推动全国青少年学生读书行动广泛深入开展，某学校计划逐步增加学校图书馆的图书数量．已知学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册．求这两年的年平均增长率． 【答案】这两年图书馆的平均增长率为． 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的实际应用，设这两年的平均增长率为，根据题意列方程求解即可，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：设这两年的平均增长率为． 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这两年图书馆的平均增长率为． 18. 在平行四边形中，点F、H分别在边上，且．求证：与互相平分 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据定理证得即可得到结论． 【详解】证明：如图，设与交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴和互相平分． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上，、是线段与网格线的交点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，过点作的垂线； （2）在图②中，在上找一点，连结，使； （3）在图③中，在上找一点，连结，使． 【答案】（1） 解：如图所示，直线即为所求； （2） 如图所示，点M即为所求； （3） 如图所示，点N即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，格点作图题，利用斜边的中线等于斜边的一半，，解题关键是斜边的中线等于斜边的一半． （1）取格点E，连结即可； （2）取格点E，连接交于点M，连接，点M即为所求（斜边的中线等于斜边的一半）； （3）取格点F，H，连接交于点N，连接，点N即为所求（斜边的中线等于斜边的一半）． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 为了解甲､乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理､描述和分析．下面给出了部分信息． ．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：）： ．甲城市邮政企业4月份收入的数据在这一组的是：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，11.8 ．甲､乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数､中位数如下： 平均数 中位数 甲城市 10.8 乙城市 11.0 11.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中的值； （2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．比较的大小，并说明理由； （3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）． 【答案】（1）； （2），理由： 由（1）可得：甲城市中位数低于平均数，则最大为12个；乙城市中位数高于平均数，则至少为13个， ∴； （3）乙城市的邮政企业4月份的总收入为元． 【解析】 【分析】（1）由题中所给数据可得甲城市的中位数为第13个数据，然后问题可求解； （2）由甲、乙两城市的中位数可直接进行求解； （3）根据乙城市的平均数可直接进行求解． 【详解】解：（1）由题意可得m为甲城市的中位数，由于总共有25家邮政企业，所以第13家邮政企业的收入作为该数据的中位数， ∵有3家，有7家，有8家， ∴中位数落在上， ∴； （2）略 （3）由题意得： （百万元）=元； 答：乙城市的邮政企业4月份的总收入为元． 【点睛】本题主要考查中位数、平均数及统计与调查，熟练掌握中位数、平均数及统计与调查是解题的关键． 21. 某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试．测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车保持匀速运动，这辆新能源汽车行驶路程与行驶时间之间的函数图象如图①所示，电池的剩余电量与行驶时间之间的函数图象如图②所示． （1）与的函数关系式为______；（不要求写出自变量的取值范围） （2）求与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）当这款新能源汽车剩余电量为总电量的时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成严重损伤．求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程． 【答案】（1）； （2）； （3）这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程为384km． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确求得一次函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）利用待定系数法即可解答； （3）将代入求出x的值，再求出s的值即可． 【小问1详解】 解：设，将代入， 得 ； 【小问2详解】 设， 把，代入，得：． 解得： ． 【小问3详解】 当时，， 解得； 当时，． 所以，这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程为384km． 22. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由． （1）数学思考：谈你解答老师提出的问题； （2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题； ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果． 【答案】（1） 解：四边形为正方形．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴四边形为矩形． ∵， ∴． ∴矩形为正方形． （2） ①． 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵， ∴． 由（1）得， ∴． ② 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形； （2）①由已知可得，再由等积方法，再结合已知即可证明结论；②设的交点为M，过M作于G，则易得，点G是的中点；利用三角函数知识可求得的长，进而求得的长，利用相似三角形的性质即可求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ：①略 ②解：如图：设的交点为M，过M作于G， ∵， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点G是的中点； 由勾股定理得， ∴； ∵， ∴，即； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，即的长为． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键． 23. 如图，，点是的边上一点，．点、分别是射线、射线上的动点，．点是线段的中点，连结，过点作的垂线，当该垂线与射线有交点时，记交点为，以、为邻边作矩形． （1）的值是______； （2）当时，求的长； （3）当四边形是正方形时，求的值（求出一个即可）； （4）当点在线段上，且矩形与重合部分的图形是轴对称图形时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或3 （4）或 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解决问题的关键是分类推论． （1）根据，得出结果； （2）设于，设，则，可得出，从而，从而得出，根据列出方程，进一步得出结果； （3）设，则，当在的延长线上时，作，交的延长线于，可证得，从而，，进而根据，得出，从而表示出和及，进一步得出结果；同样得出当点在上时的情形； （4），当矩形与△重合部分的图形是矩形时，符合条件，得出临界：当点在上时，点在处时的结果和当在上时的结果，进而得出的范围． 【小问1详解】 解：（1）， ， ， 点是的中点， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 如图1， 设于，设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 如图2， 设，则， 当在的延长线上时， 作，交的延长线于， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 如图3， 当点在上时， 作于， 同理可证， ，， ， ， 综上所述：或3； 【小问4详解】 当矩形与△重合部分的图形是矩形时，符合条件， 当点在上时，点在处时， 如图， 当在上时， 与平行， ， ， ， 如图， 设交于， 当时中点时，四边形是轴对称图形， 此时， 作，交于，作于，作于， ， 且，，，，， ， 设，，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 综上所述：或． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线经过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点作直线轴交抛物线于另一点，点是直线下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点作轴于点，交于点，交于点，连接，过点作于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）在（2）的条件下，连接，过点作于点（点在线段上），交于点，连接交于点，当时，求线段的长． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）首先求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）根据S△ABC=S△AMC+S△AMB，由三角形面积公式可求y与m之间的函数关系式； （3）如图2，由抛物线对称性可得D（2，-3），过点B作BK⊥CD交直线CD于点K，OG⊥OS交KB于G，可得四边形OCKB为正方形，过点O作OH⊥PC交PC延长线于点H，OR⊥BQ交BQ于点I交BK于点R，可得四边形OHQI为矩形，可证△OBG≌△OCS，△OSR≌△OGR，得到tan∠QCT=tan∠TBK，设ST=TD=m，可得SK=2m+1，CS=2-2m，TK=m+1=BR，SR=3-m，RK=2-m，在Rt△SKR中，根据勾股定理求得m，可得tan∠PCD=，过点P作PE′⊥x轴于E′交CD于点F′，得到P（t，-t-3），可得-t-3=t2-2t-3，求得t，再根据MN=d求解即可． 【详解】解：（1）∵直线y=x-3经过B、C两点， ∴B（3，0），C（0，-3）， ∵y=x2+bx+c经过B、C两点， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为y=x2-2x-3； （2）如图1，y=x2-2x-3， y=0时，x2-2x-3=0， 解得x1=-1，x2=3， ∴A（-1，0）， ∴OA=1，OB=OC=3， ∴∠ABC=45°，AC=，AB=4， ∵PE⊥x轴， ∴∠EMB=∠EBM=45°， ∵点P的横坐标为t， ∴EM=EB=3-t， 连接AM， ∵S△ABC=S△AMC+S△AMB ， ∴； （3）如图2， ∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4， ∴对称轴为x=1， ∴由抛物线对称性可得D（2，-3）， ∴CD=2， 过点B作BK⊥CD交直线CD于点K， ∴四边形OCKB为正方形， ∴∠OBK=90°，CK=OB=BK=3， ∴DK=1， ∵BQ⊥CP， ∴∠CQB=90°， ∵∠CQB+∠COB=180°， ∴O、C、Q、B四点共圆， ∴∠OQB=∠OCB=45° 过点O作OH⊥PC交PC延长线于点H，OR⊥BQ交BQ于点I交BK于点R，OG⊥OS交KB于G， ∴∠OHC=∠OIQ=∠OIB=90°， ∴四边形OHQI为矩形， ∵∠OQI=45°， ∴∠OQI=∠IOQ=45°， ∵∠OCQ+∠OBQ=180°， ∴∠OBG=∠OCS， ∵OB=OC，∠BOG=∠COS， ∴△OBG≌△OCS， ∴QG=OS，∠GOB=∠SOC， ∴∠SOG=90°， ∴∠ROG=∠QOI=45°， ∵OR=OR， ∴△OSR≌△OGR， ∴SR=GR， ∴SR=CS+BR， ∵∠BOR+∠OBI=90°，∠IBO+∠TBK=90°， ∴∠BOR=∠TBK， ∴tan∠BOR=tan∠TBK， ∴， ∴BR=TK， ∵∠CTQ=∠BTK， ∴∠QCT=∠TBK， ∴tan∠QCT=tan∠TBK， 设ST=TD=m， ∴SK=2m+1，CS=2-2m，TK=m+1=BR，SR=3-m，RK=2-m， 在Rt△SKR中， ∵SK2+RK2=SR2， ∴（2m+1）2+（2-m）2=（3-m）2， 解得m1=-2（舍去），m2=； ∴ST=TD=，TK=， ∴tan∠TBK=， ∴tan∠PCD=， 过点P作PE′⊥x轴于E′交CD于点F′， ∵CF′=OE′=t， ∴PF′=t， ∴PE′=t+3， ∴P（t，-t-3）， ∴-t-3=t2-2t-3， 解得t1=0（舍去），t2=． ∴MN=d=． 【点睛】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、解方程（方程组）、相似三角形（或三角函数）、勾股定理等重要知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，数轴上点P表示的数的相反数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 如图是一个立体图形的表面展开图，则这个立体图形是（ ） A. 六棱柱 B. 六棱锥 C. 五棱柱 D. 六面体 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 不是单项式 B. 表示负数 C. 的次数是2 D. 不是多项式 4. 如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为（ ） A. 26° B. 36° C. 46° D. 56° 5. 如图是一把圆规的平面示意图，使用时，点为支撑点，笔尖可绕点旋转画出圆弧．已知厘米，若，则圆规所画圆的半径的长度为（ ） A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 6. 下列说法错误的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，，那么 7. 如图，在中，．按下列要求作图：①以点为圆心，小于线段的长为半径画弧，交线段于点，交于点；②以点为圆心，线段长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交②中的弧于点，作射线交线段于点．则和的关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 8. 如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点，在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是10，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算______． 10. 某多项式按字母的降幂排列为：，则整数的值可能为______．（写出一个即可） 11. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格交点，则ABC的面积与ABD的面积的大小关系为：______（填“＞”，“＝”或“＜”） 12. 如图，在矩形中，若，则的长为_______． 13. 如图，是半径为2的的一条弦，．将绕点逆时针旋转，当点的对应点第一次落在上时，点运动的路径长是______．（结果保留） 14. 如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点为边上的动点，将沿折叠得到，连接．则下列结论中： ①当时，四边形为正方形； ②当时，的面积为15； ③当在运动过程中，的最小值为； ④当时，． 其中结论正确的有______．（把你认为正确结论的序号都填上） 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中 16. 学校通过开展丰富多彩的中医药文化活动，推动了中医药文化传承发展．如图是四味中药材图片，分别为紫苏、天麻、马齿苋和灵芝，除正面内容外，其余完全相同，现从这四张图片中随机抽取两张进行研究，用列表法或画树状图法求抽到灵芝和天麻的概率． 17. 为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，进一步推动全国青少年学生读书行动广泛深入开展，某学校计划逐步增加学校图书馆的图书数量．已知学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册．求这两年的年平均增长率． 18. 在平行四边形中，点F、H分别在边上，且．求证：与互相平分 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上，、是线段与网格线的交点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，过点作的垂线； （2）在图②中，在上找一点，连结，使； （3）在图③中，在上找一点，连结，使． 20. 为了解甲､乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理､描述和分析．下面给出了部分信息． ．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：）： ．甲城市邮政企业4月份收入的数据在这一组的是：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，11.8 ．甲､乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数､中位数如下： 平均数 中位数 甲城市 10.8 乙城市 11.0 11.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中的值； （2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．比较的大小，并说明理由； （3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）． 21. 某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试．测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车保持匀速运动，这辆新能源汽车行驶路程与行驶时间之间的函数图象如图①所示，电池的剩余电量与行驶时间之间的函数图象如图②所示． （1）与的函数关系式为______；（不要求写出自变量的取值范围） （2）求与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）当这款新能源汽车剩余电量为总电量的时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成严重损伤．求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程． 22. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由． （1）数学思考：谈你解答老师提出的问题； （2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题； ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果． 23. 如图，，点是的边上一点，．点、分别是射线、射线上的动点，．点是线段的中点，连结，过点作的垂线，当该垂线与射线有交点时，记交点为，以、为邻边作矩形． （1）的值是______； （2）当时，求的长； （3）当四边形是正方形时，求的值（求出一个即可）； （4）当点在线段上，且矩形与重合部分的图形是轴对称图形时，直接写出的取值范围． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线经过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点作直线轴交抛物线于另一点，点是直线下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点作轴于点，交于点，交于点，连接，过点作于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）在（2）的条件下，连接，过点作于点（点在线段上），交于点，连接交于点，当时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $