第01讲 寻找规律（知识梳理+例题讲解+考点练习）-四年级精品奥数培优讲义

第01讲 寻找规律 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.掌握算式、图形、数列、周期等规律，并可依此规律归纳猜想结论。 2.通过观察、猜想、归纳、验证的过程，提高探索实践能力。 3.在寻找规律的过程中，体验数学的奇妙和趣味性，增强对数学学习的兴趣和自信心。 知识梳理 知识点一、数列中的规律 1.等差数列：相邻两项的差是一个固定的值。例如：1，3，5，7，9……这个数列中相邻两项的差都是2，我们把这个固定的差叫做公差。要求这个数列的第n项，可以根据公式：首项 +（n - 1）×公差。比如求上述数列的第10项，首项是1，公差是2，那么第10项就是1 +（10 - 1）×2 = 1 + 18 = 19。 2.等比数列：相邻两项的比值是一个固定的值。比如：2，4，8，16，32……这里相邻两项的比值都是2，这个固定的比值叫做公比。等比数列第n项的计算公式是：首项×公比的（n - 1）次方。例如求该数列第5项，首项是2，公比是2，第5项就是2×2的（5 - 1）次方 = 2×16 = 32。 3.斐波那契数列：从第三项起，每一项都等于前两项之和。如：0，1，1，2，3，5，8……这个数列就呈现出前两项相加得到下一项的规律特点。 知识点二、算式中的规律 1.要认真观察算式的特点，比如数字的大小变化、运算符号的排列等。例如算式1×9 + 2 = 11，12×9 + 3 = 111，123×9 + 4 = 1111，……，可以发现随着算式中第一个因数数字依次增加，后面加上的数也依次增加，结果中1的个数也在依次增加，根据这个规律就能写出后面类似算式的结果。 知识点三、（为整数，为正整数）尾数的规律 1.以0、1、5、6结尾的数： （1）当底数的尾数是时，无论取何值，的尾数始终是。例如，等等，尾数都是。 （2）若底数的尾数是，那么的尾数也永远是。比如，，其尾数都是。 （3）当底数的尾数为时，的尾数恒为。例如，，尾数始终是。 （4）底数的尾数是的情况下，的尾数一直是。像，等，尾数都是。 2.以4、9结尾的数： （1）当底数的尾数是时，的尾数呈现出一定的周期规律。，，，……可以发现其尾数是以、为周期循环出现的，周期为。当除以余时，尾数是；当除以整除时，尾数是。 （2）若底数的尾数是，同样有周期规律。，，，……其尾数是以、为周期循环的，周期为。当除以余时，尾数是；当除以整除时，尾数是。 3.以2、3、7、8结尾的数 （1）底数的尾数是时，，，，，，，，……可以观察到其尾数是以、、、为周期循环出现的，周期为。我们可以通过计算除以的余数来确定尾数：当余数为时，尾数是；余数为时，尾数是；余数为时，尾数是；余数为时，尾数是。 （2）当底数的尾数是，，，，，，，，……其尾数是以、、、为周期循环的，周期为。通过计算除以的余数来确定尾数：余数为时，尾数是；余数为时，尾数是；余数为时，尾数是；余数为时，尾数是。 （3）底数的尾数是时，，，，，，，，……其尾数是以、、、为周期循环的，周期为。根据除以的余数确定尾数：余数为时，尾数是；余数为时，尾数是；余数为时，尾数是；余数为时，尾数是。 （4）若底数的尾数是，，，，，，，，……其尾数是以、、、为周期循环出现的，周期为。按照除以的余数来确定尾数：余数为时，尾数是；余数为时，尾数是；余数为时，尾数是；余数为时，尾数是。 例题讲解 一、数列中的规律 【例题1】找规律填数：1，1，2，3，5，8，　 　，21。 【答案】13 【解析】【解答】5+8=13，所以1，1，2，3，5，8，13，21。 故答案为：13。 【分析】观察已知数字可知，从第三个数字开始，这个数字刚好是相邻的前两个数字之和，由此根据规律计算缺少的数字即可。 【例题2】按规律填数：0.25，1.05，1.85，2.65，　 　，4.25。 【答案】3.45 【解析】【解答】解：2.65＋0.8＝3.45。 故答案为：3.45。 【分析】规律是：依次加上0.8。 【例题3】一列有规律的数字2，4，6，8，2，4，6，8……第35个数字是　 　，第100个数字是　 　。 【答案】6；8 【解析】【解答】解：35÷4=8（组）……3，所以第35个数字是6； 100÷4=25，所以第100个数字是8。 故答案为：6；8。 【分析】观察这组数字可以得出一组4个数字为周期重复出现的，所以第n个数字是多少，用n÷4，若整除则第n个数字就是第一组中的最后一个数字；若有余数，则余数是几，第n个数字就是第一组中的第几个数字，据此进行解答。 【例题4】找规律，填一填。 （1）4004，5005，6006，　 　，　 　，9009。 （2）5960，5980，6000，　 　，　 　，6060。 【答案】（1）7007；8008 （2）6020；6040 【解析】【解答】解：（1）6006+1001=7007，7007+1001=8008， （2）6000+20=6020，6020+20=6040。 故答案为：（1）7007；8008；（2）6020；6040。 【分析】（1）规律：依次加1001； （2）规律：依次加20。 二、发现规律填写图形内空缺的数 【例题1】如图，按照前两组的规律填数，第三组的“?”处应填（ ）。 A．650 B．550 C．450 D．350 【答案】B 【解析】【解答】解：820-270=550。 故答案为：B。 【分析】规律是：上面的一个数=右下角的数-左下角的数。 【例题2】找规律，在空格里填上适当的数。 （1） 9 16 7 16 21 5 4 9 （2） 8 17 5 10 11 9 12 16 【答案】（1） 9 16 7 16 21 5 4 13 9 （2） 8 17 5 10 11 9 12 2 16 【解析】【分析】（1）每行中最后一个数是第二个数减去第一个数的差，根据规律计算缺少的数； （2）每行中三个数字的和都是30，由此用30减去第三行中的两个数即可求出缺少的数。 三、根据规律速求复杂算式的值 【例题1】根据你发现的规律在横线里填上正确的数。 1×1=1，11×11=121，111×111=12321，… 11111×11111=　 　。 1111111×1111111=　 　。 【答案】123454321；1234567654321 【解析】【解答】解：1×1=1（1位1的平方） 11×11=121（2位1的平方） 111×111=12321（3位1的平方） 根据规律，n位1的平方结果为：1、2、······、n、······2、1 当n=4（即1111×1111）时，积为1234321 当n=5（即11111×11111）时，积为123454321 同理，n=7（即1111111×1111111）时，积为1234567654321。 11111×11111（n=5）的结果为123454321。 1111111×1111111（n=7）的结果为1234567654321。 故答案为：123454321；1234567654321。 【分析】观察发现，当n位1相乘时，积的数字呈现对称性，中间数为n，两侧依次递减。例如： n=3时，结果为12321（中间数3，两侧递减为2、1）。 【例题2】奇妙的算式，请根据规律填空 5×5=25 95×95=9025 995×995=990025 9995×9995=　 　 99995×99995=　 　 【答案】99900025；9999000025 【解析】【解答】解：9995×9995=99900025；99995×99995=9999000025。 故答案为：99900025；9999000025。 【分析】观察前三个算式的数字特点可知，两个因数相同，个位数字都是5，其它数位上的数字都是9。得数的数位是两个因数的数位和，得数的后面两位都是25，前面的数位上都是9，其它数位上都是0。 【例题3】先观察，找出规律后再填一填。 19+9×9=100 118+98×9=1000 1117+987×9=10000 11116+　 　×9=　 　。 … 　 　+　 　×9=100000000 【答案】9876；100000；11111113；9876543 【解析】【解答】解：左边数依次为：19（1和9）、118（11和8）、1117（111和7）、11116（1111和6）。观察规律：每个数的整数部分由n-1个1组成，个位数依次递减（9→8→7→6→5→4→3→2→1）。例如： 第一个数：1（1个1） + 9 → 19 第二个数：11（2个1） + 8 → 118 第三个数：111（3个1） + 7 → 1117 第四个数：1111（4个1） + 6 → 11116 因此，后续数的整数部分为5个1（11111）+5→111115，依此类推。 分析乘数的规律 乘数依次为：9、98、987、9876。观察规律：每个数的小数部分依次递减（9→8→7→6→5→4→3→2→1），且位数递增。例如： 第一个乘数：9（1位） 第二个乘数：98（2位，第二位为8） 第三个乘数：987（3位，第三位为7） 第四个乘数：9876（4位，第四位为6） 因此，后续乘数为98765（5位）、987654（6位）等。 分析右边数的规律 右边数依次为：100（3位）、1000（4位）、10000（5位）、100000（6位）。观察规律：右边数的位数为左边数的位数之和加1。例如： 左边数19（2位） + 9（1位） → 3位 → 100（3位） 左边数118（3位） + 98（2位） → 4位 → 1000（4位） 左边数1117（4位） + 987（3位） → 5位 → 10000（5位） 因此，后续右边数的位数依次增加1位。 11116 + 9876 × 9 = 100000 1111113 + 9876543 × 9 = 100000000。 故答案为：9876；100000；11111113；9876543。 【分析】通过分析左边数的整数部分由n个1和递减的个位组成，乘数为递减数列，右边数的位数递增，最终推导出缺失的数值。 四、用周期规律解决数学问题 【例题1】下列各数的尾数是1 的是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解： 故答案为：C 【分析】an尾数规律。 ①尾数不变：a为0，1，5，6 ②两个为一个周期：a=4 (4，6) a=9 (9，1) ③四个为一个周期：a=2 (2，4，8，6) a=3 (3，9，7，1) a=7 (7，9，3，1) a=8 (8，4，2，6)据此解答 【例题2】3102+2102的个位是　 　。 【答案】3 【解析】【解答】解： 的个位数以 周期出现， 的个位数以 周期出现， 所以 个位数为 3 。 故答案为：3。 【分析】根据观察可以发现， 的个位数以 周期出现， 的个位数以 周期出现，只需要求出和个位数分别是多少，再相加看个位是多少即为多少。 考点练习 一、数列中的规律 1．按规律填数。 540000，520000，500000，　 　，　 　，440000 【答案】480000；460000 【解析】【解答】解：500000-20000=480000； 480000-20000=460000。 故答案为：480000；460000。 【分析】规律是：依次减去20000；所以要填的数是480000、460000。 2．找规律，填一填。 3180，　 　，2960，2850，　 　。 【答案】3070；2740 【解析】【解答】解：3180-110=3070；2850-110=2740。 故答案为：3070；2740。 【分析】规律：依次减去110。据此解答。 3．按规律写数：9199919，　 　，　 　，8899919，　 　。 【答案】9099919；8999919；8799919 【解析】【解答】解： 9199919 -100000=9099919， 9099919-100000=8999919； 8999919-100000= 8899919 ， 8899919 -100000=8799919。 故答案为：9099919；8999919；8799919。 【分析】规律：依次减去100000。 4．找规律填数。 （1）7330，7230，7130，　 　，　 　。 （2）969，858，747，　 　，　 　。 【答案】（1）7030；6930 （2）636；525 【解析】【解答】解：（1）7130-100=7030 7030-100=6930； （2）747-111=636 636-111=525。 故答案为：（1）7030；6930；（2）636；525。 【分析】（1）规律是：依次减去100； （2）规律是：依次减去111。 5．找规律填数。 （1）328000，329000，　 　，331000，332000。 （2）654321，165432，216543，　 　，432165。 【答案】（1）330000 （2）321654 【解析】【解答】（1）因为328000+1000=329000，所以329000+1000=33000； （2）根据分析可得：216543的下一个数是321654。 故答案为：（1）330000；（2）321654。 【分析】（1）观察数据可得规律：前一个数+1000=后一个相邻的数，据此规律计算； （2）观察数据可知，将第一个数个位上的数字移动到最高位，其他数字位置不变，得到第二个数字，据此规律解答。 6．一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…，问：这串数的前100个数中（包括第100个数），有　 　个偶数。 【答案】33 【解析】【解答】解：规律：每两个奇数之后为一个偶数 100÷3=33……1 故答案为：33。 【分析】通辻察"1，1，2，3，5，8， 13，21，34，55…，“知道，这个数列排列规律是：奇数、奇数、偶数、⋯即：每两个奇数之后为一个偶数，则这串数前100个数中偶数的个数为：100÷3取整数部分。 二、发现规律填写图形内空缺的数 1．一次智力测验，主持人亮出四块三角形的牌子。 在第④块牌子中，“?”表示的数是　 　。 【答案】426 【解析】【解答】解：取45中的4为百位，36中的6为个位，5减去3等于2作为十位，即426 故答案为：426。 【分析】根据题意找出下排左边数字十位做三位数百位，右边数字个位做三位数个位，左边数个位减去右边数十位的结果做三位数十位的规律，即可求得答案。 2．找出前两组数的规律，依照此规律填出第三幅图中所缺的数。 【答案】解：根据图形，可知 第一个图形：7×8-4×5=36 第二个图形：8×9-3×10=42 第三个图形：7×6-4×5=22。 答：第三幅图中所缺的数为22 【解析】【分析】观察第一个、第二个图形，发现，中间的数字等于右下角两个数字的乘积减去左上角两个数字乘积，由此可找出其中的规律，即可得出答案． 3．你能发现下左图的规律吗？请你用发现的规律把下右图填完整。 【答案】解：左图：3×4＝12，4×5＝20，12×20＝240 右图：1.5×0.4＝0.6，0.4×6＝2.4，06×2.4＝1.44 【解析】【分析】规律是：下面相邻两个数相乘的积，等于上面相邻的一个数。 三、根据规律速求复杂算式的值 1．奇奇用计算器算出左边三题的结果如下，他发现这些算式和结果都是有规律的，请你帮奇奇把右边的算式补充完整。 999×1=999 999×2=1998 999×3=2997 999×6=　 　 999×7=　 　 999×8=　 　 【答案】5994；6993；7992 【解析】【解答】解：999×6=5994 999×6=6993 999×6=7992。 故答案为：5994 ；6993；7992。 【分析】本题需要通过观察已知的乘积结果，找出规律并应用规律直接写出后续乘积的结果。关键在于分析乘积的结构变化，例如千位、百位、十位、个位的变化模式。 2．探索规律填空。 ①21×9=189 ②321×9=2889 ③4321×9=38889 ④54321×9=　 　⑤　 　×9=5888889 【答案】488889；654321 【解析】【解答】解：观察前三个算式： ①21（2位数）→ 189（3位数） ②321（3位数）→ 2889（4位数） ③4321（4位数）→ 38889（5位数） 观察结果的数值规律： ①189 → 1（比第一个乘数的最高位2少1）、8（一个8）、9 ②2889 → 2（比第一个乘数的最高位3少1）、两个8、9 ③38889 → 3（比第一个乘数的最高位4少1）、三个8、9 ④54321×9 = (5-1) 后接4个8，再跟9 → 488889。 ⑤654321×9 = (6-1) 后接5个8，再跟9 → 5888889。 故答案为：488889；654321。 【分析】可以发现，第一个乘数的位数依次递增（2→3→4），且每一位的数字从左到右递减（如21→321→4321）。因此，第④个算式的第一个乘数应为54321（5位数），第⑤个算式的第一个乘数应为654321（6位数）。 3．根据前三个算式的规律，把后面两个算式补充完整。 3×8=24 33×68=2244 333×668=22/2444 3333×6668=　 　　 　×　 　=2222244444。 【答案】22224444；33333；66668 【解析】【解答】解： 3×8=24 33×68=2244 333×668=222444 3333×6668=22224444 33333×66668=2222244444。 故答案为：22224444；33333；66668。 【分析】观察算式可得规律：第一个因数中每增加一个3，第二个因数中每增加1个6，积的最高位前面就增加一个2，后面最低位后面增加一个4，据此规律解答即可。 4．根据你发现的规律，在括号里填上正确的数。 1×9+2=11，12×9+3=111，123×9+4=1111， ①1234×9+5=　 　。 ②12345×9+　 　=　 　。 【答案】11111；6；111111 【解析】【解答】解：1×9+2=11（结果为2个1） 12×9+3=111（结果为3个1） 123×9+4=1111（结果为4个1） 算式①为1234×9+5 第一个加数是1234（4位数），对应第二个加数应为4+1=5 结果应为4+1=5个1，即11111 1234×9＋5=11111 12345×9+6=111111。 故答案为：11111；6；111111。 【分析】规律是：（第一个加数的位数、第二个加数的值、结果的1的个数），快速得出答案，关键在于总结出“第二个加数等于第一个加数的位数加1，结果为该位数加1个1”的规律。 5．先观察前面的两道算式，再按规律填一填。 123456789×9=1111111101； 123456789×18=2222222202； 123456789×27=　 　； 123456789×　 　=7777777707。 【答案】3333333303；63 【解析】【解答】解：123456789×9=1111111101； 123456789×18=2222222202； 123456789×27=3333333303； 123456789×63=7777777707。 故答案为：3333333303；63。 【分析】第一个乘数不变，第二个乘数是9的几倍，积就扩大相同的倍数，根据规律确定算式中缺少的数字即可。 6．下面有一些有趣的算式，请仔细观察，找到规律后填一填。 1×8+1=9 12×8+2=98 123×8+3=987 1234×8+4=　 　。 　 　×　 　 +　 　=98765 　 　×　 　+　 　=　 　。 【答案】9876；12345；8；5；123456；8；6；987654 【解析】【解答】解：1234×8+4=9876 12345×8＋5=98765 123456×8＋6=987654。 故答案为：9876；12345；8；5；123456；8；6；987654。 【分析】规律是：被乘数和加数依次递增1位和1，结果由高位到低位递减1，并保持位数与被乘数相同。通过观察和直接计算均可得出答案。 四、用周期规律解决数学问题 1．一列数， 前两个数是 ， 从第三个数开始， 每个数都是前两个数的和， 即 、 18、 到第 2006 个数为止， 一共有（　　）个奇数 A．1219 B．1338 C．1501 D．2006 【答案】B 【解析】【解答】解：(2006-1)÷3=668……1， 668×21+1=1338(个)； 故答案为：1338。 【分析】这个数列从第二个数开始是按照“奇数、偶数、奇数”的顺序循环重复排列的，每一组循环中有2个奇数和1个偶数。(2006-1)÷3=668……1，余数是1，这个数是排在这个周期的第一位，所以这一个是奇数。因为第一个数字1也是奇数，所以奇数有668×21+1=1338(个)。 2．著名的斐波那契数列是这样的：“1、1、2、3、5、8、13、21…”， 这串数列中第2022个数除以3所得的余数是　 　. 【答案】2 【解析】【解答】解：先计算斐波那契数列前几项除以3的余数，观察是否存在周期性规律。 第1项：1除以3的余数是1。 第2项：1除以3的余数是1。 第3项：2除以3的余数是2。 第4项：3除以3的余数是0。 第5项：5除以3的余数是2。 第6项：8除以3的余数是2。 第7项：13除以3的余数是1。 第8项：21除以3的余数是0。 可以观察到，从第1项开始，除以3的余数呈现了1， 1， 2， 0， 2， 2， 1， 0的循环，每8项为一个周期。 2022÷8=252......6 第2022项处于周期中的第6项，其除以3的余数为2。 故答案为：2。 【分析】斐波那契数列是由两个1开始，后续每个数是前两个数的和。我们首先需要确定斐波那契数列的每一项除以3的余数是否有规律。如果存在规律，我们可以通过这个规律来快速找出第2022项除以3的余数。 3．数的个位数一定是　 　。 【答案】7 【解析】【解答】解：通过计算发现：691的末尾是9，692的末尾的1，693的末尾是9，694的末尾的1，则123÷2=61········1，所以69123的尾数为周期第一个数1。 通过计算发现：21的末尾是2，22的末尾的4，23的末尾是8，24的末尾的6，25的末尾的2，则99÷4=24········3，所以299的尾数为周期第3个数8。 所以，9+8=17，故69123+299的个位上的数为7。 故答案为7。【分析】尾数问题，先找到尾数的规律，然后根据实际周期进行推算。 4．22003与20032的和除以7的余数是　 　。 【答案】5 【解析】【解答】解：因为22003除以7的余数是 循环的， 所以可得： ， 所以 的余数是 4 ； 因为2003×2003=4012009，4012009÷7余1 所以余1 所以 与 的和除以 7 的余数是 ， 故答案为： 5。 【分析】同余定理：① a与b的和除以c的余数（a、b两数除以c在没有余数的情况下除外），等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）； 先根据2 的次方 除以7 的余数之间的规律，从而得出 22003 除以7 的余数为4，再把 20032 改写成2003×2003，即得数为4012009，那么20032 除以7 的余数就是4012009 除以7 的余数为1，再根据同余定理①可知 22003与20032 的和除以7的余数 等于1+4=5。 5．的个位数字是　 　。 【答案】5 【解析】【解答】解：12023：任何数的幂次个位均为1，故个位为1 22023：周期为4，2023÷4=505余3，对应周期中的第3个数，即23=8，个位为8 32023：周期为4，余数同上，对应33=27，个位为7 42023：周期为2，奇数次方个位为4，偶数次方为6，2023为奇数，个位为4。 52023：任何次方个位均为5，个位为5 62023：任何次方个位均为6，个位为6。 72023.周期为4，余数同上，对应73=343，个位为3 82023：周期为4，余数同上，对应83=512，个位为2 92023：周期为2，奇数次方个位为9，偶数次方为1，2023为奇数，个位为9。 将所有个位数字相加：1+8十7+4+5+6+3+2+9=45 最终结果的个位数字为45的个位，即5 故答案为：5 【分析】先确定每个底数的幂次个位数字的周期：例如，2、3、7、8的周期为4，4、9的周期为2，5、6的个位数字固定不变。 再利用余数定位周期中的具体位置：通过计算指数除以周期的余数，确定对应位置的个位数字。最后将所有个位数字相加，取和的个位数：最终结果的个位数字即为所求。 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 寻找规律 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.掌握算式、图形、数列、周期等规律，并可依此规律归纳猜想结论。 2.通过观察、猜想、归纳、验证的过程，提高探索实践能力。 3.在寻找规律的过程中，体验数学的奇妙和趣味性，增强对数学学习的兴趣和自信心。 知识梳理 知识点一、数列中的规律 1.等差数列：相邻两项的差是一个固定的值。例如：1，3，5，7，9……这个数列中相邻两项的差都是2，我们把这个固定的差叫做公差。要求这个数列的第n项，可以根据公式：首项 +（n - 1）×公差。比如求上述数列的第10项，首项是1，公差是2，那么第10项就是1 +（10 - 1）×2 = 1 + 18 = 19。 2.等比数列：相邻两项的比值是一个固定的值。比如：2，4，8，16，32……这里相邻两项的比值都是2，这个固定的比值叫做公比。等比数列第n项的计算公式是：首项×公比的（n - 1）次方。例如求该数列第5项，首项是2，公比是2，第5项就是2×2的（5 - 1）次方 = 2×16 = 32。 3.斐波那契数列：从第三项起，每一项都等于前两项之和。如：0，1，1，2，3，5，8……这个数列就呈现出前两项相加得到下一项的规律特点。 知识点二、算式中的规律 1.要认真观察算式的特点，比如数字的大小变化、运算符号的排列等。例如算式1×9 + 2 = 11，12×9 + 3 = 111，123×9 + 4 = 1111，……，可以发现随着算式中第一个因数数字依次增加，后面加上的数也依次增加，结果中1的个数也在依次增加，根据这个规律就能写出后面类似算式的结果。 知识点三、（为整数，为正整数）尾数的规律 1.以0、1、5、6结尾的数： （1）当底数的尾数是时，无论取何值，的尾数始终是。例如，等等，尾数都是。 （2）若底数的尾数是，那么的尾数也永远是。比如，，其尾数都是。 （3）当底数的尾数为时，的尾数恒为。例如，，尾数始终是。 （4）底数的尾数是的情况下，的尾数一直是。像，等，尾数都是。 2.以4、9结尾的数： （1）当底数的尾数是时，的尾数呈现出一定的周期规律。，，，……可以发现其尾数是以、为周期循环出现的，周期为。当除以余时，尾数是；当除以整除时，尾数是。 （2）若底数的尾数是，同样有周期规律。，，，……其尾数是以、为周期循环的，周期为。当除以余时，尾数是；当除以整除时，尾数是。 3.以2、3、7、8结尾的数 （1）底数的尾数是时，，，，，，，，……可以观察到其尾数是以、、、为周期循环出现的，周期为。我们可以通过计算除以的余数来确定尾数：当余数为时，尾数是；余数为时，尾数是；余数为时，尾数是；余数为时，尾数是。 （2）当底数的尾数是，，，，，，，，……其尾数是以、、、为周期循环的，周期为。通过计算除以的余数来确定尾数：余数为时，尾数是；余数为时，尾数是；余数为时，尾数是；余数为时，尾数是。 （3）底数的尾数是时，，，，，，，，……其尾数是以、、、为周期循环的，周期为。根据除以的余数确定尾数：余数为时，尾数是；余数为时，尾数是；余数为时，尾数是；余数为时，尾数是。 （4）若底数的尾数是，，，，，，，，……其尾数是以、、、为周期循环出现的，周期为。按照除以的余数来确定尾数：余数为时，尾数是；余数为时，尾数是；余数为时，尾数是；余数为时，尾数是。 例题讲解 一、数列中的规律 【例题1】找规律填数：1，1，2，3，5，8，　 　，21。 【例题2】按规律填数：0.25，1.05，1.85，2.65，　 　，4.25。 【例题3】一列有规律的数字2，4，6，8，2，4，6，8……第35个数字是　 　，第100个数字是　 　。 【例题4】找规律，填一填。 （1）4004，5005，6006，　 　，　 　，9009。 （2）5960，5980，6000，　 　，　 　，6060。 二、发现规律填写图形内空缺的数 【例题1】如图，按照前两组的规律填数，第三组的“?”处应填（ ）。 A．650 B．550 C．450 D．350 【例题2】找规律，在空格里填上适当的数。 （1） 9 16 7 16 21 5 4 9 （2） 8 17 5 10 11 9 12 16 三、根据规律速求复杂算式的值 【例题1】根据你发现的规律在横线里填上正确的数。 1×1=1，11×11=121，111×111=12321，… 11111×11111=　 　。 1111111×1111111=　 　。 【例题2】奇妙的算式，请根据规律填空 5×5=25 95×95=9025 995×995=990025 9995×9995=　 　 99995×99995=　 　 【例题3】先观察，找出规律后再填一填。 19+9×9=100 118+98×9=1000 1117+987×9=10000 11116+　 　×9=　 　。 … 　 　+　 　×9=100000000 四、用周期规律解决数学问题 【例题1】下列各数的尾数是1 的是（ ）。 A． B． C． D． 【例题2】3102+2102的个位是　 　。 考点练习 一、数列中的规律 1．按规律填数。 540000，520000，500000，　 　，　 　，440000 2．找规律，填一填。 3180，　 　，2960，2850，　 　。 3．按规律写数：9199919，　 　，　 　，8899919，　 　。 4．找规律填数。 （1）7330，7230，7130，　 　，　 　。 （2）969，858，747，　 　，　 　。 5．找规律填数。 （1）328000，329000，　 　，331000，332000。 （2）654321，165432，216543，　 　，432165。 6．一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…，问：这串数的前100个数中（包括第100个数），有　 　个偶数。 二、发现规律填写图形内空缺的数 1．一次智力测验，主持人亮出四块三角形的牌子。 在第④块牌子中，“?”表示的数是　 　。 2．找出前两组数的规律，依照此规律填出第三幅图中所缺的数。 3．你能发现下左图的规律吗？请你用发现的规律把下右图填完整。 三、根据规律速求复杂算式的值 1．奇奇用计算器算出左边三题的结果如下，他发现这些算式和结果都是有规律的，请你帮奇奇把右边的算式补充完整。 999×1=999 999×2=1998 999×3=2997 999×6=　 　 999×7=　 　 999×8=　 　 2．探索规律填空。 ①21×9=189 ②321×9=2889 ③4321×9=38889 ④54321×9=　 　⑤　 　×9=5888889 3．根据前三个算式的规律，把后面两个算式补充完整。 3×8=24 33×68=2244 333×668=22/2444 3333×6668=　 　　 　×　 　=2222244444。 4．根据你发现的规律，在括号里填上正确的数。 1×9+2=11，12×9+3=111，123×9+4=1111， ①1234×9+5=　 　。 ②12345×9+　 　=　 　。 5．先观察前面的两道算式，再按规律填一填。 123456789×9=1111111101； 123456789×18=2222222202； 123456789×27=　 　； 123456789×　 　=7777777707。 6．下面有一些有趣的算式，请仔细观察，找到规律后填一填。 1×8+1=9 12×8+2=98 123×8+3=987 1234×8+4=　 　。 　 　×　 　 +　 　=98765 　 　×　 　+　 　=　 　。 四、用周期规律解决数学问题 1．一列数， 前两个数是 ， 从第三个数开始， 每个数都是前两个数的和， 即 、 18、 到第 2006 个数为止， 一共有（　　）个奇数 A．1219 B．1338 C．1501 D．2006 2．著名的斐波那契数列是这样的：“1、1、2、3、5、8、13、21…”， 这串数列中第2022个数除以3所得的余数是　 　. 3．数的个位数一定是　 　。 4．22003与20032的和除以7的余数是　 　。 5．的个位数字是　 　。 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$