第01讲 数数图形（知识梳理+例题讲解+考点练习）-三年级精品奥数培优讲义

第01讲 数数图形 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.认识并能准确辨认线段、角、长方形（含正方形）、三角形等基本平面图形及其组合图形。 2.掌握数简单图形个数 的基本方法，做到不重复、不遗漏，并能总结出一定规律。 3.能够运用有序思考 和分类计数 的方法解决较复杂的图形计数问题。 4.培养观察能力、空间想象能力和逻辑思维能力，激发学习数学的兴趣。 知识梳理 知识点一、数线段 1. 什么是线段？ 线段是指直线上两点间的有限部分（包括两个端点）。 2. 数数方法： 方法一：按基本线段数量分类数。 （1）基本线段： 指单独的、不能再分的线段。 （2）例如：一条大线段被分成了 n 条基本线段（有 n+1 个端点）。 （3）那么，线段的总条数 = 1 + 2 + 3 + ... + n ①先数由1条基本线段组成的线段：n 条。 ②再数由2条基本线段组成的线段：n-1 条。 ③以此类推，最后数由 n 条基本线段组成的线段：1 条。 ④求和即可。 方法二：端点连线法（适用于直线上有多个点）。 （1）直线上有 m 个点，每两个点之间都能连一条线段。 （2）从第一个点出发，可以连 (m-1) 条线段。 （3）从第二个点出发（不重复计算已连过的），可以连 (m-2) 条线段。 （4）以此类推，直到倒数第二个点出发，可以连 1 条线段。 （5）线段的总条数 = (m-1) + (m-2) + ... + 2 + 1 = m×(m-1)÷2 3.例题： 数出下图中线段的总条数。 分析： 图中有 4 个端点（A, B, C, D），基本线段有 3 条（AB, BC, CD）。 方法一：1+2+3 = 6 条。 方法二：4×(4-1)÷2 = 6 条。 答案：6 条。 知识点二、数角 1. 什么是角？ 具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。 2. 数数方法（与数线段类似）：按基本角数量分类数。 （1）基本角： 指单独的、不能再分的角。 （2）例如：一个大角被分成了 n 个基本角。 （3）那么，角的总个数 = 1 + 2 + 3 + ... + n ①先数由1个基本角组成的角：n 个。 ②再数由2个基本角组成的角：n-1 个。 ③以此类推，最后数由 n 个基本角组成的角：1 个。 ④求和即可。 3.例题： 数出下图中角的总个数。 分析： 以 O 为顶点，有 OA、OB、OC、OD 四条射线，形成了 3 个基本角（∠AOB, ∠BOC, ∠COD）。 角的总个数 = 1+2+3 = 6 个。答案： 6 个。 知识点三、数长方形（含正方形） 1. 什么是长方形和正方形？ 长方形是四个角都是直角的四边形，正方形是特殊的长方形（四边相等）。 2. 数数方法（适用于规则的网格图形）： 对于一个由 m 行 n 列小长方形组成的大长方形（或正方形网格）： （1）长边方向上的线段总条数 = 1 + 2 + ... + n = n×(n+1)÷2 （2）宽边方向上的线段总条数 = 1 + 2 + ... + m = m×(m+1)÷2 3.长方形的总个数 = 长边线段总条数 × 宽边线段总条数 （1）因为每一条长边线段和每一条宽边线段都可以构成一个长方形。 4.例题： 数出下图中长方形（含正方形）的总个数。 分析：这是一个 2 行 2 列的小正方形（可看作小长方形）组成的图形。 长边方向（水平方向）：有 3 个点，线段数 = 2+1 = 3 条。 宽边方向（垂直方向）：有 3 个点，线段数 = 2+1 = 3 条。 长方形总个数 = 3 × 3 = 9 个。 答案： 9 个。 知识点四、数三角形 1. 什么是三角形？ 由三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。 2. 数数方法： 数三角形的方法较多，需要根据图形的特点灵活运用，核心仍是有序思考、分类计数。 （1）方法一：按大小分类数（适用于基本三角形组成的图形）。 ①先数最小的（基本三角形），再数由2个、3个...基本三角形组成的大三角形。 （2）方法二：按含基本图形的个数分类数。 （3）方法三：按顶点或底边分类数。 ①固定一个顶点，数出以此顶点为顶点的所有三角形。 ②或固定一条底边，数出以此底边为底边的所有三角形。 3.例题（简单情况）： 数出下图中三角形的总个数（由2个基本三角形组成的一个大三角形）。 分析： 图中有 2 个基本小三角形，还有 1 个由 2 个基本小三角形组成的大三角形。 基本三角形：2 个。 由 2 个基本三角形组成的三角形：1 个。 总个数 = 2 + 1 = 3 个。 答案： 3 个。 例题讲解 一、数线段 【例题1】数一数，图中有多少条线段？ 【答案】解：3+2+1=6(条) 答：图中共有6条线段。 【解析】【分析】由1 条基本线段组成的线段有3条，由2条基本线段组成的线段有2条，由3条基本线段组成的线段有1条，共6条。 二、数角 【例题1】下图中一共有（ ）个角。 A．10 B．15 C．6 D．8 【答案】A 【解析】【解答】解：5×（5-1）÷2=5×4÷2=10（个） 下图中一共有10个角。 故答案为：A。 【分析】从一点出发的射线的条数×（射线的条数-1）=组成的角的总数。 【例题2】数一数，图中共有多少个角？ 【答案】解：5+4+3+2+1=15(个) 答：图中共有15个角。 【解析】【分析】先数基本角，再根据基本角的组成按顺序来数，角的总个数=1＋2＋3＋···＋n。 三、数长方形（含正方形） 【例题1】数出下图中有多少个长方形？ 【答案】长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数：（3+2+1）×（2+1）=18（个）。 【解析】【分析】数图中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长、宽两对线段围成，线段 CD上有3+2+1=6（条）线段，其中每一条与AC中一条线段对应，分别作为长方形的长和宽，这里共有6×1=6（个）长方形，而AC上共有2+1=3（条）线段也就有6×3=18（个）长方形。 四、数三角形 【例题1】一共有多少个三角形，要做到不重不漏。（要有必要的过程） 【答案】解：4+3+2+1=10（个） 答： 一共有10个三角形。 【解析】【分析】查三角形，可以按线段的方法数，一共有5个点，线段的条数就是从1加到4，所得的和就是线段的总条数，线段的总条数也是三角形的个数。 【例题2】图中有几个三角形？ 【答案】解： 以顶点A为顶点的三角形有：（1＋2＋3＋4）×3 ＝10×3 ＝30（个） 在三角形DEB中，一共有4个三角形； 在三角形BEC中，一共有4个三角形； 因此一共有：30＋4＋4 =34＋4 ＝38（个） 答：图中一共有38个三角形。 【解析】【分析】图中三角形的总个数=以顶点A为顶点的三角形的个数＋三角形DEB中三角形的个数＋三角形BEC中三角形的个数。 考点练习 一、数线段 1．数一数，下图中有　 　条线段。 【答案】10 【解析】【解答】解：5×（5-1）÷2=5×4÷2=10（条） 故答案为：10。 【分析】直线上点的个数×（点的个数-1）÷2=线段的总条数。 2．数一数，下图中有多少条线段？ 【答案】解：6+5+4+3+2+1=21（条） 答：共有21条线段。 【解析】【分析】有2个点的线段有6条； 有3个点的线段有5条； 有4个点的线段有4条； 有5个点的线段有3条； 有6个点的线段有2条； 有7个点的线段有1条； 所以共有线段的条数为：6+5+4+3+2+1； 共有不同线段的条数=1到（n-1）条线段的和。 二、数角 1．算一算，各有多少个角？ （1）　 　+　 　=　 　(个) （2）　 　+　 　+　 　=　 　(个) （3）　 　+　 　+　 　+　 　=　 　(个) 【答案】（1）2；1；3 （2）3；2；1；6 （3）4；3；2；1；10 【解析】【解答】解：（1）2＋1=3（个）； （2）3＋2＋1=6（个）； （3）4＋3＋2＋1=10（个）。 故答案为：（1）2；1；3；（2）3；2；1；6；（3）4；3；2；1；10。 【分析】规律是：角的总个数=1＋2＋3＋···＋n个。 2．请你数一数，在下图中一共有　 　个角。 【答案】15 【解析】【解答】解：5+4+3+2+1=15（个） 故答案为：15。 【分析】观察图形，AB、BC、CD、DE、EF形成5个角，AC、BD、CE、DF形成4个角，AD、BE、CF形成3个角，AE、BF形成2个角，AF形成1个角，相加即为一共有多少个角。 三、数长方形（含正方形） 1.数出下图中有几个长方形？ 【答案】15。 【解析】【分析】一共5+4+3+2+1=15个。 2.数出下图中有多少个正方形？ 【答案】30。 【解析】【分析】一共有：1+4+9+16=30个。 3．下图中一共有多少个长方形？ 【答案】解：7+8+2+2=19（个） 答：一共有19个长方形。 【解析】【分析】基本的小长方形有7个，由2 个基本小长方形组成的长方形有8个，由3 个基本小长方形组成的长方形有 2 个，由4个基本小长方形组成的长方形有2个，长方形的总数=7+8+2+2=19个。 四、数三角形 1．下图中有几个三角形？ 【答案】解：6+6=12（个） 答：一共有12个三角形。 【解析】【分析】我们可以看到，第一层有6个三角形：三个单独、两个合并、还有一个是整体。同样地，第二层也是6个三角形。因此，总共有12个三角形。 2．数一数下面图中有多少个三角形? 【答案】5+4+3+2+1=15（个） 答：图中有15个三角形。 【解析】【分析】根据三角形的特点，由三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形，先数小三角形有5个，再数两个合并的三角形，有4个，三个合并的三角形，有3个，四个合并的三角形，有2个，五个三角形合并的三角形，有1个，最后相加即可。 3．下图中一共有多少个三角形？ 【答案】解：2×3＋4＋1=11（个） 答：图中一共有11个三角形。 【解析】【分析】图中三角形的总个数=三个三角形有各有2个最小的三角形＋稍大的4个三角形＋1个最大的三角形。 4．下图中共有多少个三角形? 【答案】9+3+1=13（个） 答：一共有13个三角形。 【解析】【分析】观察图可知，先数单独一个的三角形，有9个，再数4个小三角形组成的较大三角形，有3个，最后数9个小三角形组成的大三角形，有1个，然后把个数相加，据此列式解答。 5．数一数，下列各图中各有三角形多少个？ 【答案】解：（1）7×（7-1）÷2×3 =21×3 =63（个） （2）6×（6-1）÷2×2 =15×2 =30（个） 30＋5=35（个） 【解析】【分析】三角形的总个数=n（n-1）÷2×分的层数。 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 数数图形 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.认识并能准确辨认线段、角、长方形（含正方形）、三角形等基本平面图形及其组合图形。 2.掌握数简单图形个数 的基本方法，做到不重复、不遗漏，并能总结出一定规律。 3.能够运用有序思考 和分类计数 的方法解决较复杂的图形计数问题。 4.培养观察能力、空间想象能力和逻辑思维能力，激发学习数学的兴趣。 知识梳理 知识点一、数线段 1. 什么是线段？ 线段是指直线上两点间的有限部分（包括两个端点）。 2. 数数方法： 方法一：按基本线段数量分类数。 （1）基本线段： 指单独的、不能再分的线段。 （2）例如：一条大线段被分成了 n 条基本线段（有 n+1 个端点）。 （3）那么，线段的总条数 = 1 + 2 + 3 + ... + n ①先数由1条基本线段组成的线段：n 条。 ②再数由2条基本线段组成的线段：n-1 条。 ③以此类推，最后数由 n 条基本线段组成的线段：1 条。 ④求和即可。 方法二：端点连线法（适用于直线上有多个点）。 （1）直线上有 m 个点，每两个点之间都能连一条线段。 （2）从第一个点出发，可以连 (m-1) 条线段。 （3）从第二个点出发（不重复计算已连过的），可以连 (m-2) 条线段。 （4）以此类推，直到倒数第二个点出发，可以连 1 条线段。 （5）线段的总条数 = (m-1) + (m-2) + ... + 2 + 1 = m×(m-1)÷2 3.例题： 数出下图中线段的总条数。 分析： 图中有 4 个端点（A, B, C, D），基本线段有 3 条（AB, BC, CD）。 方法一：1+2+3 = 6 条。 方法二：4×(4-1)÷2 = 6 条。 答案：6 条。 知识点二、数角 1. 什么是角？ 具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。 2. 数数方法（与数线段类似）：按基本角数量分类数。 （1）基本角： 指单独的、不能再分的角。 （2）例如：一个大角被分成了 n 个基本角。 （3）那么，角的总个数 = 1 + 2 + 3 + ... + n ①先数由1个基本角组成的角：n 个。 ②再数由2个基本角组成的角：n-1 个。 ③以此类推，最后数由 n 个基本角组成的角：1 个。 ④求和即可。 3.例题： 数出下图中角的总个数。 分析： 以 O 为顶点，有 OA、OB、OC、OD 四条射线，形成了 3 个基本角（∠AOB, ∠BOC, ∠COD）。 角的总个数 = 1+2+3 = 6 个。答案： 6 个。 知识点三、数长方形（含正方形） 1. 什么是长方形和正方形？ 长方形是四个角都是直角的四边形，正方形是特殊的长方形（四边相等）。 2. 数数方法（适用于规则的网格图形）： 对于一个由 m 行 n 列小长方形组成的大长方形（或正方形网格）： （1）长边方向上的线段总条数 = 1 + 2 + ... + n = n×(n+1)÷2 （2）宽边方向上的线段总条数 = 1 + 2 + ... + m = m×(m+1)÷2 3.长方形的总个数 = 长边线段总条数 × 宽边线段总条数 （1）因为每一条长边线段和每一条宽边线段都可以构成一个长方形。 4.例题： 数出下图中长方形（含正方形）的总个数。 分析：这是一个 2 行 2 列的小正方形（可看作小长方形）组成的图形。 长边方向（水平方向）：有 3 个点，线段数 = 2+1 = 3 条。 宽边方向（垂直方向）：有 3 个点，线段数 = 2+1 = 3 条。 长方形总个数 = 3 × 3 = 9 个。 答案： 9 个。 知识点四、数三角形 1. 什么是三角形？ 由三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。 2. 数数方法： 数三角形的方法较多，需要根据图形的特点灵活运用，核心仍是有序思考、分类计数。 （1）方法一：按大小分类数（适用于基本三角形组成的图形）。 ①先数最小的（基本三角形），再数由2个、3个...基本三角形组成的大三角形。 （2）方法二：按含基本图形的个数分类数。 （3）方法三：按顶点或底边分类数。 ①固定一个顶点，数出以此顶点为顶点的所有三角形。 ②或固定一条底边，数出以此底边为底边的所有三角形。 3.例题（简单情况）： 数出下图中三角形的总个数（由2个基本三角形组成的一个大三角形）。 分析： 图中有 2 个基本小三角形，还有 1 个由 2 个基本小三角形组成的大三角形。 基本三角形：2 个。 由 2 个基本三角形组成的三角形：1 个。 总个数 = 2 + 1 = 3 个。 答案： 3 个。 例题讲解 一、数线段 【例题1】数一数，图中有多少条线段？ 二、数角 【例题1】下图中一共有（ ）个角。 A．10 B．15 C．6 D．8 【例题2】数一数，图中共有多少个角？ 三、数长方形（含正方形） 【例题1】数出下图中有多少个长方形？ 四、数三角形 【例题1】一共有多少个三角形，要做到不重不漏。（要有必要的过程） 【例题2】图中有几个三角形？ 考点练习 一、数线段 1．数一数，下图中有　 　条线段。 2．数一数，下图中有多少条线段？ 二、数角 1．算一算，各有多少个角？ （1）　 　+　 　=　 　(个) （2）　 　+　 　+　 　=　 　(个) （3）　 　+　 　+　 　+　 　=　 　(个) 2．请你数一数，在下图中一共有　 　个角。 三、数长方形（含正方形） 1.数出下图中有几个长方形？ 2.数出下图中有多少个正方形？ 3．下图中一共有多少个长方形？ 四、数三角形 1．下图中有几个三角形？ 2．数一数下面图中有多少个三角形? 3．下图中一共有多少个三角形？ 4．下图中共有多少个三角形? 5．数一数，下列各图中各有三角形多少个？ 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$