第01讲 平均数（知识梳理+例题讲解+考点练习）-五年级精品奥数培优讲义

第01讲 平均数 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解平均数的意义和基本性质，掌握平均数的核心计算公式。 2.能够运用平均数的公式解决简单的实际问题，并能进行总数量、总份数与平均数之间的互求。 3.掌握“移多补少”的数学思想，能运用此思想解决相关平均数问题。 4.学会分析和解决较复杂的平均数问题，如加权平均数、平均数的变化、以及行程问题中的平均速度等典型奥数题型。 知识梳理 知识点一、基本概念 1.平均数：把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。 （1）平均数反映的是一组数据的总体水平。 （2）平均数比一组数据中最大的数小，比最小的数大。 2.总数量：指参与求平均数的所有数据的总和。 3.总份数：指参与求平均数的数据的总个数或总份数（如人数、次数、物品数量、时间等）。 知识点二、核心公式 1.基本公式：平均数 = 总数量 ÷ 总份数 2.变形公式： （1）总数量 = 平均数 × 总份数 （2）总份数 = 总数量 ÷ 平均数 3.关键：找到题目中与平均数对应的“总数量”和“总份数”是解决问题的核心。 知识点三、解题关键 1.明确“总数量”和“总份数”：仔细审题，确定哪部分是需要平均的总数量，以及这份总数量对应的总份数是多少。有时总数量或总份数需要通过已知条件间接求出。 2.“移多补少”思想：理解平均数的本质是“移多补少”，可以帮助我们快速理解某些复杂问题，或者进行估算。 3.画图分析：对于一些条件较多、关系复杂的题目，可以通过画线段图或示意图来帮助理解数量关系，找到总数量和总份数。 知识点四、常见奥数题型与方法拓展 1.基本公式的直接应用与反求： （1）已知总数量和总份数，求平均数。 （2）已知平均数和总份数，求总数量。 （3）已知总数量和平均数，求总份数。 2.“加权平均数”问题（部分与整体的关系）： （1）特征：已知几个部分的平均数及每个部分的份数（或权重），求整体的平均数；或已知整体平均数和部分情况，求其中某一部分的情况。 （2）方法：先求出每一部分的总数量，再将各部分总数量相加得到整体总数量，将各部分份数相加得到整体总份数，最后用整体总数量除以整体总份数得到整体平均数。 （3）公式：整体平均数 = (部分1平均数×部分1份数 + 部分2平均数×部分2份数 + ...) ÷ (部分1份数 + 部分2份数 + ...) 3.“平均数的变化”问题： （1）特征：在一组数据中，增加或减少一个数据，或改变某个数据，导致平均数发生变化，求新数据或原数据。 （2）方法：抓住“总数量的变化 = 平均数的变化 × 总份数（注意变化前后总份数是否改变）”这一关系。 4.“移多补少”求平均数或调整数量： （1）特征：已知几个数，通过移动其中的数量，使它们的平均数相等，求移动的数量或最终的平均数。 （2）方法：先求出总数量，确定目标平均数，再计算每个数与目标平均数的差值（多的部分或少的部分），通过差值分析求解。 5.行程中的平均速度问题： （1）特征：涉及行程问题，已知不同路段的速度和路程，或不同路段的速度和时间，求全程的平均速度。 （2）核心：平均速度 = 总路程 ÷ 总时间（非常重要：不是速度的简单平均！） （3）类型与方法： ①类型一：已知两段路程及对应速度（如往返路程）：通常设单程路程为单位“1”或一个便于计算的具体数量（如两段路程的最小公倍数），然后分别求出每段路程所用的时间，再用总路程（单程×2）除以总时间（两段时间之和）。 ②类型二：已知两段时间及对应速度：先分别求出每段时间所行的路程，再用总路程（两段路程之和）除以总时间（两段时间之和）。 例题讲解 一、基本公式的直接应用与反求 【例题1】下面是姚老师周一至周五上班路上所花时间的情况。 星期 一 二 三 四 五 时间/分 33 28 33 20 31 姚老师平均每天上班路上要花多少时间? 【答案】解：（33＋28＋33＋20＋31）÷5 =145÷5 =29（分钟） 答：姚老师平均每天上班路上要花29分钟。 【解析】【分析】姚老师平均每天上班路上要花的时间=姚老师平5天上班路上花的总时间÷天数。 【例题2】六一节，明珠小学301班买来了3斤水果糖平均分给全班43位小朋友，结果每个小朋友分到6颗，还多出21颗。水果糖共有多少颗? 【答案】解：43×6＋21 =258＋21 =279（颗） 答：水果糖共有279颗。 【解析】【分析】水果糖共有的颗数=平均每个小朋友分的颗数×人数＋多的颗数。 【例题3】小军的语数英科四门功课的平均分是92分。已知他语文88分，英语89分，科学93分，那么他的数学成绩是多少分？ 【答案】解：92×4-（88＋89＋93） =368-270 =98（分） 答：他的数学成绩是98分。 【解析】【分析】他的数学成绩=小军的语数英科四门功课的平均分×4-其余三门功课分数的和。 二、利用基数法求平均数 【例题1】某小组5名同学的身高分别为148cm、152cm、150cm、147cm、153cm。求他们的平均身高？ 【答案】150cm 【解析】【分析】基准数选择150cm，各数与基准数的差：-2, +2, 0, -3, +3，差值平均数 = (-2 + 2 + 0 - 3 + 3) ÷ 5 = 0，平均身高 = 150 + 0 = 150cm。 【例题2】六（1）班第一小组的体重（kg）如下：42、38、45、37、43、40。求平均体重？ 【答案】40.83kg 【解析】【分析】基准数选择40kg，各数与基准数的差：+2, -2, +5, -3, +3, 0，差值总和 = 2 - 2 + 5 - 3 + 3 + 0 = 5，差值平均数 = 5 ÷ 6 ≈ 0.83，平均体重 ≈ 40 + 0.83 = 40.83kg 三、“平均数的变化”问题 【例题1】六(1)班8名同学参加数学竞赛，赛后得知他们的平均分是88分。但其中一人查卷后发现改错了，少算了8分。这8名同学正确平均分应该是多少？ 【答案】解：（88×8+8）÷8 =（704+8）÷8 =712÷8 =89（分） 答：这8名同学正确平均分应该是89分 【解析】【分析】先算出8名同学的总得分：88×8=704分；根据“其中一人查卷后发现改错了，少算了8分”，用总得分加上8分，求出正确的总分704+8=712分；用修正后的总分除以人数，即可求解。 【例题2】操场上有8名小朋友在做游戏，他们的平均年龄是8岁，这时老师也加入做游戏的队伍，他的年龄是44岁，现在他们的平均年龄是多少岁？ 【答案】解：（8×8＋44）÷（8＋1） =108÷9 =12（岁） 答：现在他们的平均年龄是12岁。 【解析】【分析】现在他们的平均年龄=（学生人数×学生的平均年龄＋老师年龄）÷（学生人数＋老师人数）。 四、行程中的平均速度问题 【例题1】山顶到山脚的距离为48km，一辆汽车上山花了4小时，下山只花了2小时，这辆汽车上下山的平均速度是多少? 【答案】解：48×2÷（4＋2） ＝96÷6 ＝16（千米/时） 答：这辆汽车往返的平均速度是16千米/时。 【解析】【分析】平均速度＝往返的总路程÷往返的总时间，据此解答。 五、“加权平均数”问题（部分与整体的关系） 【例题1】伟伟期末考试语文和英语两科的平均分是95分，数学和英语两科的平均分是97分，语文和数学两科的平均分是96分。伟伟的数学考了多少分？ 【答案】解：(95×2＋97×2＋96×2)÷2 =576÷2 ＝288(分) 288－95×2 =288-190 ＝98(分) 答：伟伟的数学考了98分。 【解析】【分析】根据平均分能分别求出语文和英语的总分数、英语和数学的总分数、语文和数学的总分数，相加后除以2就能得到三科的总分数，最后再减去英语和语文的总分数就能得到数学的分数。 【例题2】在国庆长假里，超市前3天共完成销售额3.52亿元，后4天平均每天完成销售额1.85亿元。国庆长假间，超市平均每天的销售额是多少亿元？ 【答案】解：（3.52+4×1.85）÷（3+4） =（3.52+7.4）÷7 =10.92÷7 =1.56（亿元） 答：超市平均每天的销售额是1.56亿元。 【解析】【分析】后4天平均每天完成销售额×4=后4天的销售额，前3天的销售额+后4天的销售额=7天的销售额，7天的销售额÷7=平均每天的销售额。 【例题3】A，B，C，D四个数的平均数是38。如果A与B的平均数是42，B，C，D三个数的平均数是36，那么B是多少？ 【答案】解：38×4=152 42×2＋36×3-152 =84＋108-152 =192-152 =40 答：B是40。 【解析】【分析】B数=A与B的和＋B，C，D的和-A，B，C，D的和；其中，A，B，C，D的和=四个数的平均数×4=38×4=152，A和B的和=42×2=84，B，C，D的和=36×3=108。 【例题4】体育课上老师给同学们量身高。小新、小兰、小琪的平均身高是1.45米，小新、小兰的平均身高是1.43米，小兰、小琪的平均身高是1.48米。三位同学的身高分别是多少？ 【答案】解：三人身高总和：1.45×3＝4.35（米） 小新、小兰的身高总和：1.43×2＝2.86（米） 小琪的身高：4.35－2.86＝1.49（米） 小兰、小琪的身高总和：1.48×2＝2.96（米） 小兰的身高：2.96－1.49＝1.47（米） 小新的身高：2.86－1.47＝1.39（米） 答：小新的身高是1.39米，小兰的身高是1.47米，小琪的身高是1.49米。 【解析】【分析】先求出三人身高总和=三人平均身高求×3；三人身高总和-小新和小兰的身高总和=小琪的身高，小兰和小琪的平均身高×2=她们两人的身高总和。小兰和小琪的身高总和-小琪的身高=小兰的身高，小新和小兰的身高总和-小兰的身高=小新的身高。 考点练习 一、基本公式的直接应用与反求 1．启星小学四年级4个班学生在献爱心捐款活动中，⑴班捐款428元，⑵班捐款386元，⑶班捐款472元，⑷班捐款414元。平均每班捐款多少元? 【答案】解：(428+386+472+414)÷4 =1700÷4 =425(元) 答：平均每班捐款425元。 【解析】【分析】4个班捐款的钱数之和÷4=平均每班捐款的钱数。 2．一个学生前六次测验的平均分是95分，比七次测验的平均分高4分。他第七次测验得了多少分？ 【答案】解：(95-4)×7-95×6 =637-570 =67(分) 答：他第七次测验得了67分。 【解析】【分析】他第七次测验得的分数=（前六次测验的平均分-4分）×7次-前六测验的平均分×6。 3．四年级同学积极参加以“美丽浙江”为主题的手抄报比赛。1班和2班平均每班参加比赛的作品数量是24份，3班参加比赛的作品数量比1班和2班的平均数量多3份。这三个班平均每班参加比赛的作品有多少份？ 【答案】解：(24×2+24+3)÷3 =75÷3 =25(份) 答：这三个班平均每班参加比赛的作品有25份。 【解析】【分析】1班和2班参加比赛的作品数量的平均数是24份，则两个班的作品总数是24×2=48(份)。3班的作品数量比1班和2班的平均数多3份，则3班的作品数量是24+3=27(份)，这三个班参加比赛的作品总数是48+27=75(份)。用三个班的作品总数除以3，就得到平均每班参加比赛的作品数量，列式是75÷3=25(份)。 4．小聪、小东、小明、小林和小青五人的身高情况如下表， 他们五人平均身高是 143 厘米， 小林的身高是多少厘米？ 姓名 小聪 小东 小明 小林 小青 身高(厘米) 152 136 140 148 【答案】解：143×5-（152＋136＋140＋148） =715-576 =139（厘米） 答：小林的身高是139厘米。 【解析】【分析】小林的身高=他们五人的平均身高×5-其余四人的身高和。 5．“制”是当今比较流行的一种消费方式，意思是所有人平均分担所需费用，常用于饮食聚会及旅游等共同消费、结账的场合。有13位好友“制”聚餐，一共花费624元，佳琪到柜台买单后，其他人都以微信红包的形式将自己的聚餐费发给佳琪，佳琪一共收到了多少钱？ 【答案】解：624÷13×（13－1） ＝48×（13－1） ＝48×12 ＝576（元） 答：佳琪一共收到了576元钱。 【解析】【分析】佳琪一共收到的钱数=13人共花的钱数÷总人数×（总人数-佳琪自己1人）。 二、利用基数法求平均数 1.下面是某小组10名同学的跳绳成绩（单位：个/分钟）：85, 88, 92, 90, 89, 86, 91, 87, 93, 89。求他们的平均成绩？ 【答案】89个/分钟。 【解析】【分析】基准数选为89 ，各成绩与基准数的差：85-89=-4, 88-89=-1, 92-89=+3, 90-89=+1, 89-89=0, 86-89=-3, 91-89=+2, 87-89=-2, 93-89=+4, 89-89=0 ，差的总和：(-4) + (-1) + (+3) + (+1) + 0 + (-3) + (+2) + (-2) + (+4) + 0 ，可以分组简便计算：[(-4) + (+4)] + [(-1) + (+1)] + [(-3) + (+3)] + [(-2) + (+2)] + 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 ，差的平均数：0 ÷ 10 = 0 ，平均成绩：89 + 0 = 89 (个/分钟) 2.某次朗诵比赛，7位评委给选手打分：93、89、91、95、88、94、90。去掉一个最高分和一个最低分后，求平均分。 【答案】91.4分 【解析】【分析】去掉最高分95和最低分88，剩余分数：93, 89, 91, 94, 90 基准数选：90 各数与基准数的差：+3, -1, +1, +4, 0 差值平均数 = (3 - 1 + 1 + 4 + 0) ÷ 5 = 1.4 平均分 = 90 + 1.4 = 91.4分 三、“平均数的变化”问题 1．小田等8个同学，数学半期考试成绩的平均分为80分，若把小田的成绩改为82分，则8人平均成绩变成了82分。问小田的原成绩是多少分？ 【答案】解：82×8-80×8 =656-640 =16（分） 82-16=66（分） 答：小田的原成绩是66分。 【解析】【分析】可以求出改动前8个同学总分：80×8＝640（分），改动后8个同学总分：82×8＝656（分），再用改动后8人总分减去改动前8人总分，即可求出小田的成绩比原来增加了多少分，即被改的分数：656－640＝16（分），用改动后的分数减去被改的分数，即可求出小田的原成绩是多少分。 2．在一次体能测试中，五(2)班的平均成绩为85.3分。在成绩复核时，发现将一名学生的92分记录成了83分。纠正这一错误后，全班的平均成绩提升至85.6分。五(2)班共有多少名学生参与了这次体能测试？ 【答案】解：92-83=9(分) 9÷(85.6-85.3) =9÷0.3 =30(名) 答：五(2)班共有30名学生参与了这次体能测试。 【解析】【分析】把92改为83后，班级总分（总数量）增加了（92-83）分；班级平均分（平均数）增加了（85.6-85.3）分；根据“总份数=总数量÷平均数”列式计算，即可得出班级人数。 3．学校足球队招募新队员。从二年级先选了8名队员，平均身高是128 cm，后来又补选了2名队员，身高分别是122 cm 和134 cm。补选这2名队员后，新队员的平均身高与补选前相比会变化吗？说说你的理由。 【答案】解：(122+134)÷2 =256÷2 =128(cm) 128=128 答：新队员的平均身高与补选前相比不会变化。因为补选的2名队员的平均身高是128 cm，与补选前新队员的平均身高相等。 【解析】【分析】先用122加134的和除以2，求出 补选的2名队员的平均身高，再与128比较大小即可。 四、行程中的平均速度问题 1．小明从家到学校的路程是450米，小明上学要走10分钟。如果回家比上学时少用2分钟，那么小明往返一趟平均每分钟走多少米？ 【答案】解：(450×2)÷(10+10-2) =900÷18 = 50(米) 答：小明往返一趟平均每分钟走50米。 【解析】【分析】小明往返一趟平均速度=（小明从家到学校的路程×2）÷（小明上学用的时间＋放学用的时间）。 2．一辆汽车从上海开往南通，每小时行60千米，8小时后到达。然后按原路返回，7小时后回到上海。这辆汽车往返一趟的平均速度是多少？ 【答案】解：（60×8×2）÷（7＋8） =960÷15 =64（千米/时） 答：这辆汽车往返一趟的平均速度是64千米/时。 【解析】【分析】这辆汽车往返一趟的平均速度=上海到南通路程×2÷（去时用的时间＋返回时用的时间）。 3．李明家离学校600米。早晨上学时，李明每分钟走75米；下午回家时，李明每分钟走50米。李明上学和回家平均每分钟走多少米？ 【答案】解：(600×2)÷(600÷75+600÷50) =1200÷20 =60(米) 答：李明上学和回家平均每分钟走60米。 【解析】【分析】李明上学和回家平均速度=（李明家离学校的路程×2）÷（李明家离学校的路程÷去学校时的速度＋李明家离学校的路程÷放学回家的速度）。 五、“加权平均数”问题（部分与整体的关系） 1．四队工人去采茶，甲、乙、丙三个队平均每队采茶26kg，乙、丙、丁三个队平均每队采茶28kg。已知丁队采茶27kg，则甲队采茶多少千克？ 【答案】解：28×3=84(kg) 84-27=57(kg) 26×3=78(kg) 78-57=21(kg） 答：甲队采茶21kg。 【解析】【分析】本题考查平均数的计算与应用。由题意，用乙、丙、丁三个队平均每队采茶的质量乘3，算出的就是乙、丙、丁三个队采茶的总质量，再减去丁队采茶的质量，算出的就是乙、丙两个队采茶的总质量。用甲、乙、丙三个队平均每队采茶的质量乘3，算出的就是甲、乙、丙三个队采茶的总质量，再减去乙、丙两个队采茶的总质量，算出的就是甲队采茶的质量。 2．明明、亮亮的平均体重是31千克，亮亮、晶晶的平均体重是34.5千克，明明、晶晶的平均体重是36.5千克。你知道他们三人的平均体重是多少千克吗？ 【答案】解：（31×2＋34.5×2＋36.5×2）÷2÷3 =204÷2÷3 =102÷3 =34（千克） 答：他们三人的平均体重是34千克。 【解析】【分析】他们三人的平均体重=（明明、亮亮的平均体重×2＋亮亮、晶晶的平均体重×2＋明明、晶晶的平均体重×2）÷2÷人数。 3．七个数的平均数是10，把这7个数按照从大到小的顺序排成一排，前三个数的平均数是12，后5个数的平均数是9，问：第三个数是几？ 【答案】解：12×3＋5×9－7×10 ＝36＋45－70 ＝81－70 ＝11 答：第三个数是11。 【解析】【分析】第3个数=前3个数的平均数×3＋后5个数的平均数×5-这7个数的平均数×7。 4．在某软件上，某餐厅500人平均打分为4.7分，平台规定评分为4.8分及以上的商家优先推荐，为使评分达到4.8分，此餐厅最少要再拿到多少个5星好评？ 【答案】解：设最少要再拿到x个5星好评。 （500×4.7+5x）÷（500+x）=4.8 2350+5x=2400+4.8x 5x-4.8x=2400-2350 x=50÷0.2 x=250 答：此餐厅最少要再拿到250个5星好评。 【解析】【分析】根据题意可得：现在的平均得分×现在打分人数=现在的总分，现在的平均得分×打分人数+5分×再打5星好评人数=需要达到平均分是4.8分的总分，现在打分人数+再打5星好评人数=打分总人数，（现在的平均得分×打分人数+5分×再打5星好评人数）÷（现在打分人数+再打5星好评人数）=需要达到的平均分4.8分，据此关系式设最少要再拿到x个5星好评，列方程解答即可。 5．小新参加“歌唱祖国”小歌手比赛，6位裁判给小新打分，平均分为9.4分。若只去掉一个最高分，则平均分为9.3分；若只去掉一个最低分，则平均分为9.6分。如果同时去掉一个最高分和一个最低分，那么小新的平均分是多少？ 【答案】解：(9.3×5+9.6×5-9.4×6)÷4 =（46.5+48-56.4）÷4 =38.1÷4 =9.525(分) 答：小新的平均分是9.525分。 【解析】【分析】此题主要考查了平均数的应用，（去掉一个最高分的平均分×5+去掉一个最低分的平均分×5-6人的平均分×6）÷4=小新的平均分，据此列式解答。 6．正义路小学共有1000名学生，为支援“希望工程”，同学们纷纷捐书，有一半男生每人捐了9本书，另一半男生每人捐了5本书；一半女生每人捐了8本书，另一半女生每人捐了6本书。全校学生共捐了多少本书？ 【答案】解：男生平均每人捐了：（9+5）÷2=7（本） 女生平均每人捐了：（8+6）÷2=7（本） 说明全校1000名学生平均每人捐了7本书。 则共捐书：1000×7=7000（本） 答：全校学生共捐了7000本书。 【解析】【分析】 由“一半男生每人捐了9本书，另一半男生每人捐了5本”，可求出男生平均每人捐了（9+5）÷2本；然后由“一半女生每人捐了8本书，另一半女生每人捐了6本书”，可求出女生平均每人捐了（8+6）÷2本；由此可知不管男女生的比例是多少，全校1000名学生平均每人捐了7本书，进而求得一共捐书的本数即可。 7．在四年级期末检测中，一班 45 人，人均 88分，二班 46人，人均 86分，三班 44 人，人均分正好等于全年级的人均分。全年级的人均分是多少？(结果保留整数) 【答案】解：设全年级的人均分是x分。 45×88＋46×86＋44x＝（45＋46＋44）x 3960＋3956＋44x＝135x 7916＋44x＝135x 135x－44x＝7916 91x＝7916 x＝7916÷91 x＝87 答：全年级的人均分是87分。 【解析】【分析】设全年级的人均分是x分，根据“四年级期末检测中，一班45人，人均88分，二班46人，人均86分，三班44人，人均分正好等于全年级的人均分”，列方程为：45×88＋46×86＋44x＝（45＋46＋44）x，解方程即可。 8．参加跳绳比赛的学生被分为A，B，C三组，每人都仅在一组。已知A，B，C三组的人均跳绳数分别为100个、80个、70个。A，B两组合起来的人均跳绳数为85个，B，C两组合起来的人均跳绳数为76个。则参加跳绳比赛的学生人均跳绳数是多少？ 【答案】解：设A，B，C三组人数分别为：a，b，c 可得： 可得： 那么参加跳绳比赛的学生人均跳绳数= 答：参加跳绳比赛的学生人均跳绳数是80人。 【解析】【分析】根据平均数的定义假设A，B，C三组人数为未知数，根据题目已知条件列等式方程，将未知数等价转为一个，即可进行约分计算总人数人均跳绳数量。 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平均数 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解平均数的意义和基本性质，掌握平均数的核心计算公式。 2.能够运用平均数的公式解决简单的实际问题，并能进行总数量、总份数与平均数之间的互求。 3.掌握“移多补少”的数学思想，能运用此思想解决相关平均数问题。 4.学会分析和解决较复杂的平均数问题，如加权平均数、平均数的变化、以及行程问题中的平均速度等典型奥数题型。 知识梳理 知识点一、基本概念 1.平均数：把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。 （1）平均数反映的是一组数据的总体水平。 （2）平均数比一组数据中最大的数小，比最小的数大。 2.总数量：指参与求平均数的所有数据的总和。 3.总份数：指参与求平均数的数据的总个数或总份数（如人数、次数、物品数量、时间等）。 知识点二、核心公式 1.基本公式：平均数 = 总数量 ÷ 总份数 2.变形公式： （1）总数量 = 平均数 × 总份数 （2）总份数 = 总数量 ÷ 平均数 3.关键：找到题目中与平均数对应的“总数量”和“总份数”是解决问题的核心。 知识点三、解题关键 1.明确“总数量”和“总份数”：仔细审题，确定哪部分是需要平均的总数量，以及这份总数量对应的总份数是多少。有时总数量或总份数需要通过已知条件间接求出。 2.“移多补少”思想：理解平均数的本质是“移多补少”，可以帮助我们快速理解某些复杂问题，或者进行估算。 3.画图分析：对于一些条件较多、关系复杂的题目，可以通过画线段图或示意图来帮助理解数量关系，找到总数量和总份数。 知识点四、常见奥数题型与方法拓展 1.基本公式的直接应用与反求： （1）已知总数量和总份数，求平均数。 （2）已知平均数和总份数，求总数量。 （3）已知总数量和平均数，求总份数。 2.“加权平均数”问题（部分与整体的关系）： （1）特征：已知几个部分的平均数及每个部分的份数（或权重），求整体的平均数；或已知整体平均数和部分情况，求其中某一部分的情况。 （2）方法：先求出每一部分的总数量，再将各部分总数量相加得到整体总数量，将各部分份数相加得到整体总份数，最后用整体总数量除以整体总份数得到整体平均数。 （3）公式：整体平均数 = (部分1平均数×部分1份数 + 部分2平均数×部分2份数 + ...) ÷ (部分1份数 + 部分2份数 + ...) 3.“平均数的变化”问题： （1）特征：在一组数据中，增加或减少一个数据，或改变某个数据，导致平均数发生变化，求新数据或原数据。 （2）方法：抓住“总数量的变化 = 平均数的变化 × 总份数（注意变化前后总份数是否改变）”这一关系。 4.“移多补少”求平均数或调整数量： （1）特征：已知几个数，通过移动其中的数量，使它们的平均数相等，求移动的数量或最终的平均数。 （2）方法：先求出总数量，确定目标平均数，再计算每个数与目标平均数的差值（多的部分或少的部分），通过差值分析求解。 5.行程中的平均速度问题： （1）特征：涉及行程问题，已知不同路段的速度和路程，或不同路段的速度和时间，求全程的平均速度。 （2）核心：平均速度 = 总路程 ÷ 总时间（非常重要：不是速度的简单平均！） （3）类型与方法： ①类型一：已知两段路程及对应速度（如往返路程）：通常设单程路程为单位“1”或一个便于计算的具体数量（如两段路程的最小公倍数），然后分别求出每段路程所用的时间，再用总路程（单程×2）除以总时间（两段时间之和）。 ②类型二：已知两段时间及对应速度：先分别求出每段时间所行的路程，再用总路程（两段路程之和）除以总时间（两段时间之和）。 例题讲解 一、基本公式的直接应用与反求 【例题1】下面是姚老师周一至周五上班路上所花时间的情况。 星期 一 二 三 四 五 时间/分 33 28 33 20 31 姚老师平均每天上班路上要花多少时间? 【例题2】六一节，明珠小学301班买来了3斤水果糖平均分给全班43位小朋友，结果每个小朋友分到6颗，还多出21颗。水果糖共有多少颗? 【例题3】小军的语数英科四门功课的平均分是92分。已知他语文88分，英语89分，科学93分，那么他的数学成绩是多少分？ 二、利用基数法求平均数 【例题1】某小组5名同学的身高分别为148cm、152cm、150cm、147cm、153cm。求他们的平均身高？ 【例题2】六（1）班第一小组的体重（kg）如下：42、38、45、37、43、40。求平均体重？ 三、“平均数的变化”问题 【例题1】六(1)班8名同学参加数学竞赛，赛后得知他们的平均分是88分。但其中一人查卷后发现改错了，少算了8分。这8名同学正确平均分应该是多少？ 【例题2】操场上有8名小朋友在做游戏，他们的平均年龄是8岁，这时老师也加入做游戏的队伍，他的年龄是44岁，现在他们的平均年龄是多少岁？ 四、行程中的平均速度问题 【例题1】山顶到山脚的距离为48km，一辆汽车上山花了4小时，下山只花了2小时，这辆汽车上下山的平均速度是多少? 五、“加权平均数”问题（部分与整体的关系） 【例题1】伟伟期末考试语文和英语两科的平均分是95分，数学和英语两科的平均分是97分，语文和数学两科的平均分是96分。伟伟的数学考了多少分？ 【例题2】在国庆长假里，超市前3天共完成销售额3.52亿元，后4天平均每天完成销售额1.85亿元。国庆长假间，超市平均每天的销售额是多少亿元？ 【例题3】A，B，C，D四个数的平均数是38。如果A与B的平均数是42，B，C，D三个数的平均数是36，那么B是多少？ 【例题4】体育课上老师给同学们量身高。小新、小兰、小琪的平均身高是1.45米，小新、小兰的平均身高是1.43米，小兰、小琪的平均身高是1.48米。三位同学的身高分别是多少？ 考点练习 一、基本公式的直接应用与反求 1．启星小学四年级4个班学生在献爱心捐款活动中，⑴班捐款428元，⑵班捐款386元，⑶班捐款472元，⑷班捐款414元。平均每班捐款多少元? 2．一个学生前六次测验的平均分是95分，比七次测验的平均分高4分。他第七次测验得了多少分？ 3．四年级同学积极参加以“美丽浙江”为主题的手抄报比赛。1班和2班平均每班参加比赛的作品数量是24份，3班参加比赛的作品数量比1班和2班的平均数量多3份。这三个班平均每班参加比赛的作品有多少份？ 4．小聪、小东、小明、小林和小青五人的身高情况如下表， 他们五人平均身高是 143 厘米， 小林的身高是多少厘米？ 姓名 小聪 小东 小明 小林 小青 身高(厘米) 152 136 140 148 5．“制”是当今比较流行的一种消费方式，意思是所有人平均分担所需费用，常用于饮食聚会及旅游等共同消费、结账的场合。有13位好友“制”聚餐，一共花费624元，佳琪到柜台买单后，其他人都以微信红包的形式将自己的聚餐费发给佳琪，佳琪一共收到了多少钱？ 二、利用基数法求平均数 1.下面是某小组10名同学的跳绳成绩（单位：个/分钟）：85, 88, 92, 90, 89, 86, 91, 87, 93, 89。求他们的平均成绩？ 2.某次朗诵比赛，7位评委给选手打分：93、89、91、95、88、94、90。去掉一个最高分和一个最低分后，求平均分。 三、“平均数的变化”问题 1．小田等8个同学，数学半期考试成绩的平均分为80分，若把小田的成绩改为82分，则8人平均成绩变成了82分。问小田的原成绩是多少分？ 2．在一次体能测试中，五(2)班的平均成绩为85.3分。在成绩复核时，发现将一名学生的92分记录成了83分。纠正这一错误后，全班的平均成绩提升至85.6分。五(2)班共有多少名学生参与了这次体能测试？ 3．学校足球队招募新队员。从二年级先选了8名队员，平均身高是128 cm，后来又补选了2名队员，身高分别是122 cm 和134 cm。补选这2名队员后，新队员的平均身高与补选前相比会变化吗？说说你的理由。 四、行程中的平均速度问题 1．小明从家到学校的路程是450米，小明上学要走10分钟。如果回家比上学时少用2分钟，那么小明往返一趟平均每分钟走多少米？ 2．一辆汽车从上海开往南通，每小时行60千米，8小时后到达。然后按原路返回，7小时后回到上海。这辆汽车往返一趟的平均速度是多少？ 3．李明家离学校600米。早晨上学时，李明每分钟走75米；下午回家时，李明每分钟走50米。李明上学和回家平均每分钟走多少米？ 五、“加权平均数”问题（部分与整体的关系） 1．四队工人去采茶，甲、乙、丙三个队平均每队采茶26kg，乙、丙、丁三个队平均每队采茶28kg。已知丁队采茶27kg，则甲队采茶多少千克？ 2．明明、亮亮的平均体重是31千克，亮亮、晶晶的平均体重是34.5千克，明明、晶晶的平均体重是36.5千克。你知道他们三人的平均体重是多少千克吗？ 3．七个数的平均数是10，把这7个数按照从大到小的顺序排成一排，前三个数的平均数是12，后5个数的平均数是9，问：第三个数是几？ 4．在某软件上，某餐厅500人平均打分为4.7分，平台规定评分为4.8分及以上的商家优先推荐，为使评分达到4.8分，此餐厅最少要再拿到多少个5星好评？ 5．小新参加“歌唱祖国”小歌手比赛，6位裁判给小新打分，平均分为9.4分。若只去掉一个最高分，则平均分为9.3分；若只去掉一个最低分，则平均分为9.6分。如果同时去掉一个最高分和一个最低分，那么小新的平均分是多少？ 6．正义路小学共有1000名学生，为支援“希望工程”，同学们纷纷捐书，有一半男生每人捐了9本书，另一半男生每人捐了5本书；一半女生每人捐了8本书，另一半女生每人捐了6本书。全校学生共捐了多少本书？ 7．在四年级期末检测中，一班 45 人，人均 88分，二班 46人，人均 86分，三班 44 人，人均分正好等于全年级的人均分。全年级的人均分是多少？(结果保留整数) 8．参加跳绳比赛的学生被分为A，B，C三组，每人都仅在一组。已知A，B，C三组的人均跳绳数分别为100个、80个、70个。A，B两组合起来的人均跳绳数为85个，B，C两组合起来的人均跳绳数为76个。则参加跳绳比赛的学生人均跳绳数是多少？ 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $$