第1章 三角形 单元练习2025-2026学年苏科版（2024）八年级数学上册

第1章 三角形 一、单选题 1．如图，一棵树在一次强风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，在中，，，分别是，，的中点，，则阴影部分的面积等于（ ） A． B． C． D． 3．在中，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，．若的角平分线交于，连接，且平分，得到如下结论：①；②；③；④；⑤若，则的取值范围为，那么以上结论正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，在中，，，垂足为，交于点，过点的直线恰好垂直平分线段，若，则的长是（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 6．如图，在中，，，为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则为（　　） A．11 B． C． D． 7．如图，在和中，，．要利用“”判定，则添加的条件可以为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，于分别是线段上的动点，，当最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，交BC的延长线于点D，于点C，于点F．图中是的高的线段有 条． 10．如图，点A，F，B共线，E为上一点，，，相交于点O，且，，，则图中全等三角形有 对． 11．如图，已知，点D，E分别在的垂直平分线上，且D，A，E三点共线，若四边形的周长为20，，则的长为 ． 12．如图，在中，，D是的中点，垂直平分，交于点，交于点F，M是上一点，连接，，若，，则周长的最小值为 ． 13．如图，在中，，E为的中点，D为上一点，交的延长线于点F．若，与之间的距离为5，则四边形的周长的最小值是 ． 三、解答题 14．如图，经过点于点于点E．求证：． 15．如图，，，．求证． 16．在中，． (1)如图1，当是的内角平分线时，交于点P，求证：； (2)如图2，当是的外角平分线时，连结和，猜想与的大小关系，并证明你的猜想． 17．如图，，，点是上一点，于，于，，求证：． 18．如图，在和中，，，点C，D，E三点在同一直线上，连接交于点G． (1)试说明：； (2)猜想有何特殊位置关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，给图形标注上字母，由含角的直角三角形的性质得，即可解决问题．解题的关键是掌握：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【详解】解：如图， 根据题意得：，米， ∵， ∴， ∴（米）， 即这棵树在折断前的高度是9米． 故选：B． 2．B 【分析】本题主要考查了三角形的面积，三角形中线的性质等知识点，根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，即可得出结果，熟练掌握三角形中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解决此题的关键． 【详解】解：∵E是的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， 故选：B． 3．B 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 根据直角三角形的性质计算可求解． 【详解】解：在中，， ， 故选：B． 4．B 【分析】在上取一点，使，延长交于，结合平行线性质、角平分线定义、全等三角形判定与性质及三角形三边关系，对每个结论逐一分析判断即可． 【详解】解：， ， 分别平分， ， ， ，故正确； 在上取一点，使， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，故②正确； 无关联， 不一定成立，故③错误； 延长交于， ， ， ，， ， ， ， ， ， 不一定相等， 不一定成立，故④错误； 如上图，， ， ，即， ，故⑤正确． 综上，结论①②⑤正确, 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线性质、角平分线定义，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，通过构造辅助线证三角形全等是解题的关键． 5．B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出，由，，得到，进而得出，即可求解． 【详解】解：直线恰好垂直平分线段，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： B． 6．B 【分析】此题考查角平分线的性质，根据三角形的中线求面积，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答． 根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可． 【详解】解：过点作，， 为的角平分线， ， ，， ， 为中点， ， 设，，则， ， ． 故选：B． 7．C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．根据全等三角形的判定定理推导即可． 【详解】解：和中，，， ∴利用“”判定的条件是：或． 故选：C． 8．A 【分析】本题考查了最短路线问题，全等三角形的性质，等边对等角，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 在下方作，使，连接，则最小值为，此时A、N、三点在同一直线上，推出，所以，即可得到． 【详解】解：在下方作，使，连接． 则，． ∴， 即最小值为，此时A、N、三点在同一直线上． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9． 【分析】本题主要考查了三角形的高，正确把握高的定义是解题关键． “从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高”，直接利用三角形高的定义分析即可得出答案． 【详解】解：由图可知，是边上的高，是边上的高． 故线段与线段都是的高． 故答案为： 10．3 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 利用即可证明、、，即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ； 在和中， ， ； 在和中， ， ； 图中全等三角形有3对， 故答案为：． 11．4 【分析】此题考查了垂直平分线的性质．根据垂直平分线的性质得到，得到，再根据四边形的周长为20即可求出的长． 【详解】解：∵点D，E分别在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴ ∵四边形的周长为20， ∴， 即， 解得， 故答案为： 12．9 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，连接，，根据等腰三角形的三线合一得到，，求出的面积，再根据垂直平分线的性质得到，求出的周长，得到当，，三点共线时，的值最小，进而求出结果即可 【详解】解：如图，连接，． 在中，，是边的中点， ， ， 解得． 垂直平分， 的周长为． 当，，三点共线时，的值最小， 即当最小值为的长时，的周长最小，为， 故答案为：9 13．16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，将问题转化为求的最小值是解答本题的关键，由已知条件可证，则有，则四边形FBCD的周长为，由此只需最小即可得到最小的周长，由垂线段最短可知，当，即时，四边形FBCD的周长最短，据此即可解答． 【详解】解：E为的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 当时最短，此时四边形的周长取最小值， 与之间的距离为5，， 当时，， ∴四边形周长的最小值为． 故答案为：16． 14．见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，利用证明即可．熟练掌握一线三直角的全等模型，是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 15．见解析 【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，证得是解题的关键． 根据题意证明出，即可得到． 【详解】证明：∵，， ∴ ∴． 16．(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定定理及其性质以及三角形三边的关系，解题的关键是作出合理的辅助图． （1）如图所示，在上取点D，使，证明出，得到，，然后利用三角形三边关系求解即可； （2）延长至点E，使，连接，求证，得出，再利用三角形三条边的关系即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，在上取点D，使 ∵是的内角平分线 ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴； （2）解：．理由如下： 如图所示，延长至点E，使，连接． 是的外角平分线， ． 在和中， ， ． ． 在，． ∴， ，， ． 17．证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先证明，则，然后通过“”即可求证，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】证明：连接，如图， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在和中， ， ∴． 18．(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定、性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据，可得， 再根据，便可证得结论； （2）根据（1）的结论，利用全等三角形的性质得，结合与内角和，即可得． 【详解】（1）解：， ． 即． 在和中， ， ． （2）解：，理由如下： ， ． ，，， ． ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$