精品解析： 广东省河源市市直学校2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年广东省河源市市直学校七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从上面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看简单组合体，掌握从上面看得到的图形是关键．画出从几何体的上面看到的图形，实际上就是从上面“正投影”所得到的图形，据此即可获得答案． 【详解】解：从上面看，底层是两个小正方形，上层有两个小正方形．即 故选：D． 2. 下列说法正确的是（　　） A. 0的倒数是0 B. 32的倒数是23 C. 的倒数是﹣3 D. ﹣2的倒数是﹣0.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据倒数的定义判断. 【详解】0没有倒数，A项错误； 32的倒数是，B项错误； 的倒数是3，C项错误； ﹣2的倒数是﹣0.5，D项正确. 故选D. 【点睛】本题主要考查了倒数的定义，乘积为1的两个有理数互为倒数，要注意0没有倒数、±1的倒数使其本身. 3. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A．是轴对称图形，故本选项错误； B．是轴对称图形，故本选项错误； C．是轴对称图形，故本选项错误； D．不是轴对称图形，故本选项正确． 故选D． 4. 计算：的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：． 故选：C． 5. 如图，从A地到B地有多条道路，一般地，为了省时人们会走中间的一条直路而不会走其它的路，其理由是( ) A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短 C. 两点之间，线段最短 D. 两点之间，直线最短 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了线段的性质，正确记忆线段的性质是解题关键．由题意从A地到B地有多条道路，肯定要尽量选择两地之间最短的路程，就用到两点间线段最短定理． 【详解】解：解：从A到B有多条道路，人们会走中间的直路，而不会走其他曲折的路，这是因为两点之间，线段最短． 故选C． 6. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：两人同时出相同的手势，，这个事件是随机事件， 故选：A． 7. 如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据高的画法知，过点B作边上的高，垂足为E，其中线段是△ABC的高． 【详解】解：由图可得，线段是△ABC的高的图是D选项． 8. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在 的边 上分别取 ， 然后移动角尺使角尺的两边相同的刻度分别与 M，N 重合，得到的平分线 ， 做法中用到三角形全等的判定方法是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知两三角形三边分别相等，可考虑证明三角形全等，从而证明角相等． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴，即为的平分线． 故选A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 9. 甲、乙两人轮流在一张圆桌上放置同样大小的硬币，每人每次只能放一枚硬币，且放置过程中不允许重叠与倾斜，硬币不能超出桌面的边界．规定谁在桌面上放下最后一枚硬币，谁就获胜．获胜的策略是（　　） A. 先放者获胜 B. 后放者获胜 C. 先放者将硬币放到桌面的圆心处 D. 后放者将硬币放到桌面的圆心处 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查逻辑推理能力，解题的关键是理解圆桌的中心对称性质．根据圆桌的中心对称性质来探讨放置硬币的策略以及获胜情况． 【详解】解：先放者把第一枚硬币放在桌面的圆心处． 因为圆桌是中心对称图形，圆心是其对称中心，这一放置具有关键意义．此后，无论后放者将硬币放在桌面的哪个位置，先放者都能依据中心对称的原理，在以圆心为对称中心的对称位置放置硬币．由于按照这样的放置方式，每次后放者放置后，先放者都能找到对应的对称位置放置，随着放置过程的持续，最终必然是先放者能够在桌面上放下最后一枚硬币， 所以先放者获胜． 故选：C． 10. 如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的序号是（　　） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，垂线的定义，平行线的性质，准确识图，理解角平分线的定义，垂直定义，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． ①根据平分，可设，则，，由平行线性质得，，，然后根据得，由此解出，进而可对结论①进行判断； ②由①可知，，据此可对结论②进行判断； ③根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断③； ④由可知根据已知条件无法求出，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵平分， ∴设，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∵为上一点， ∴， 即， 解得：， ∴， 故结论①正确； ②由①可知：，， ∴， 故结论②正确； ③根据已知条件无法求出平分， 故结论③错误； ④∵， ∴根据已知条件无法求出， 故结论④不正确． 综上所述：正确的结论是①②． 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 2025年1月11日，发布了官方，累计使用量迅速呈现指数级增长，截至2月9日下载量已超1.1亿次，日活跃用户数最高达4541万，成为全球增速最快、用户规模第二的应用．45410000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可． 本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点移动在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是_______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，盒子里面有黄球2个、红球3个，一共5个，从盒子里任意摸到1个红球的概率即为红球的个数3除以总的个数5即可． 【详解】解：盒子里面有黄球2个、红球3个，一共5个， 从盒子里任意摸到1个红球的概率是． 故答案为：． 13. 如图所示的计算程序中，y与x之间的关系式是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据程序框图列出正确的关系式即可得解． 【详解】解：根据程序框图可得 ； 故答案为：． 【点睛】本题考查根据程序框图列关系式，解题的关键是按照运算顺序准确列出关系式． 14. 如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的小正方形为_________（填序号）． 【答案】②④⑤ 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形，由随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有3种情况，即可求得答案． 【详解】解：在序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，有5种结果，其中与图中的阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤这3种结果， 故答案为：②④⑤. 15. 如图，正方形的边长是4，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，能将阴影部分的面积进行巧妙的转化是解题的关键． 根据所给图形，先将阴影部分的面积进行转化，再进行计算即可． 【详解】解：如图所示， ∵正方形的边长为4， ∴正方形的面积为， ∴的面积为． 又∵上方以为直径的半圆面积为：， ∴图中①②两部分的面积之和为， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂、有理数的乘方等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．先化简绝对值、计算零指数幂与负整数指数幂、有理数的乘方，再计算加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 17. 化简求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据完全平方公式、单项式乘多项式法则、多项式除以单项式法则和合并同类项法则进行化简，再把，的值代入进行计算即可． 本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式、单项式乘多项式法则、多项式除以单项式法则和合并同类项法则． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 18. 如图，在中，，平分． （1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点F（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，连接，若，求． 【答案】（1） 解：图形如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）设，利用三角形内角和定理构建方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵ 垂直平分线段， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴． 19. 为丰富校园文化生活，某校组织全校1000名学生在数学文化节开展知识竞赛．随后，从中随机抽取n名学生的竞赛成绩（满分100分），将成绩分为以下四组A：；B：；C：；D：，并绘制出不完整的统计图：     （1）在括号内填入合适选项：学生的竞赛成绩属于 学生所在组别（A/B/C/D）属于 A．定性数据 B．定量数据 （2）填空：n= ；扇形统计图中D组对应的圆心角为 ． （3）补全频数分布直方图． （4）若规定学生成绩大于等于为优秀，估算全校成绩达到优秀的人数． 【答案】（1）B，A （2）50， （3） 补全图形如下： （4）300人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确统计图的特点和中位数的含义，利用数形结合的思想解答． （1）根据定量与定性数据的概念求解即可； （2）由A组人数及其所占百分比可得总人数，根据各组人数之和等于总人数求出D组人数，继而用360°乘D组人数所占比例即可； （3）根据所求D组人数即可补全图形； （4）总人数乘以样本中D组人数所占比例即可． 【小问1详解】 学生的竞赛成绩属于B．定量数据；学生所在组别（A/B/C/D）属于A．定性数据； 故答案为：B，A； 【小问2详解】 被调查的学生总人数为（名）， D组人数为（名）， 扇形统计图中D组对应的圆心角为， 故答案为：50，； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 （名）， 答：估计全校成绩达到优秀的人数约为300名． 20. “华南最大的人工湖”——万绿湖风景名胜区，碧波万顷，生态优美，是国家5A级旅游景区，暑假期间，景区门票定价35元/张，团队票可享受两种优惠方案： 方案一：全体人员享受门票8折优惠． 方案二：团队中4人可免票，其余成员享受门票9折优惠． （1）某团队共有40人，为节省购票费用，应选择哪种购票方案？ （2）如果该团队人数为x人（），当x为多少时，购票费用刚好相同？ 【答案】（1）该团队应该选择方案一 （2）x为36时购票费用刚好相同 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明确方案一和方案二的收费方式，再列出方程解题． （1）分别计算出方案一和方案二的费用，再比较哪种更划算即可； （2）根据题意，可以列出方程，再求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得： 方案一的花费为：（元）， 方案二的花费为：（元）， ∵， 答：该团队应该选择方案一； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得， 答：x为36时购票费用刚好相同． 21. 在学习过平行线的判定后，我们围绕“过直线外一点作已知直线的平行线”为主题开展探究． 方法一：用尺规作图的方法画平行线 （1）A同学用的是尺规作图，已知P是直线a外一点，按如下作图步骤可作． A同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是： ． （2）B同学想出了另外一种尺规作图的方法如图所示． B同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是： ． 方法二：用折纸的方法画平行线 （3）已知P是外一点，按照下面折纸步骤能折出与直线平行的直线（折纸步骤如图所示）． 第一步：过点P折叠纸片，使点C的对应点C′落在直线上（如图②），记折痕与的交点为A，则折痕与的位置关系是 ，依据是： ． 第二步：将纸片展开并铺平，再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点E′落在直线上（如图③），则折痕与的位置关系是 ，依据是： ． 第三步：将纸片展开并铺平，此时折痕与的位置关系是 ，依据是： ． 【答案】（1）内错角相等，两直线平行；（2）同位角相等，两直线平行；（3）垂直，折叠的性质；垂直，折叠的性质；平行，同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． （1）根据作图，可得到，即内错角相等，两直线平行； （2）根据作图，可得到，即同位角相等，两直线平行； （3）根据折叠，可得到根据折叠的性质，折痕垂直于两点的连线，利用同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行，可得到结果． 【详解】（1）A同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是：内错角相等，两直线平行， 故答案为：内错角相等，两直线平行； （2）B同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是：同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行； （3）第一步：过点P折叠纸片，使点C的对应点C′落在直线上（如图②），记折痕与的交点为A，则折痕与的位置关系是垂直，依据是：折叠的性质， 第二步：将纸片展开并铺平，再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点E′落在直线上（如图③），则折痕与的位置关系是垂直，依据是：折叠的性质， 第三步：将纸片展开并铺平，此时折痕与的位置关系是平行，依据是：同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行， 故答案为：垂直，折叠的性质；垂直，折叠的性质；平行，同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． 22. 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图1，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个长方形（如图2）． （1）通过计算图1和图2中阴影部分的面积，可以验证的公式是： ； （2）小芳在计算时利用了（1）中的公式： ； （请你将以上过程补充完整） （3）利用以上的结论和方法，计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用代数式表示图形中阴影部分的面积即可； （2）配上因式后，连续利用平方差公式即可； （3）配上因式，再连续利用平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 23. 是等腰直角三角形，，，过点作交于点，点从点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点．设运动时间为． （1）当时，求的长； （2）在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图，连接，上是否存在点，使得与全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质． （1）证明，可得； （2）证明即可求解； （3）连接，由是钝角，则当与全等时，在中必有一个钝角，只能是是钝角，此时，再根据，即可求的值． 【小问1详解】 解：∵是等腰直角三角形，，，， ∴是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在点使得与全等，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵是钝角， ∴当与全等时，在中必有一个钝角， ∵点在线段上， ∴只能是是钝角， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省河源市市直学校七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从上面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（　　） A. 0的倒数是0 B. 32的倒数是23 C. 的倒数是﹣3 D. ﹣2的倒数是﹣0.5 3. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（　　） A. B. C. D. 4. 计算：的结果是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，从A地到B地有多条道路，一般地，为了省时人们会走中间的一条直路而不会走其它的路，其理由是( ) A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短 C. 两点之间，线段最短 D. 两点之间，直线最短 6. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 7. 如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ） A. B. C. D. 8. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在 的边 上分别取 ， 然后移动角尺使角尺的两边相同的刻度分别与 M，N 重合，得到的平分线 ， 做法中用到三角形全等的判定方法是( ) A. B. C. D. 9. 甲、乙两人轮流在一张圆桌上放置同样大小的硬币，每人每次只能放一枚硬币，且放置过程中不允许重叠与倾斜，硬币不能超出桌面的边界．规定谁在桌面上放下最后一枚硬币，谁就获胜．获胜的策略是（　　） A. 先放者获胜 B. 后放者获胜 C. 先放者将硬币放到桌面的圆心处 D. 后放者将硬币放到桌面的圆心处 10. 如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的序号是（　　） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②④ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 2025年1月11日，发布了官方，累计使用量迅速呈现指数级增长，截至2月9日下载量已超1.1亿次，日活跃用户数最高达4541万，成为全球增速最快、用户规模第二的应用．45410000用科学记数法表示为______． 12. 一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是_______． 13. 如图所示的计算程序中，y与x之间的关系式是______________． 14. 如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的小正方形为_________（填序号）． 15. 如图，正方形的边长是4，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积是______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 17. 化简求值：，其中，． 18. 如图，在中，，平分． （1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点F（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，连接，若，求． 19. 为丰富校园文化生活，某校组织全校1000名学生在数学文化节开展知识竞赛．随后，从中随机抽取n名学生的竞赛成绩（满分100分），将成绩分为以下四组A：；B：；C：；D：，并绘制出不完整的统计图：     （1）在括号内填入合适选项：学生的竞赛成绩属于 学生所在组别（A/B/C/D）属于 A．定性数据 B．定量数据 （2）填空：n= ；扇形统计图中D组对应的圆心角为 ． （3）补全频数分布直方图． （4）若规定学生成绩大于等于为优秀，估算全校成绩达到优秀的人数． 20. “华南最大的人工湖”——万绿湖风景名胜区，碧波万顷，生态优美，是国家5A级旅游景区，暑假期间，景区门票定价35元/张，团队票可享受两种优惠方案： 方案一：全体人员享受门票8折优惠． 方案二：团队中4人可免票，其余成员享受门票9折优惠． （1）某团队共有40人，为节省购票费用，应选择哪种购票方案？ （2）如果该团队人数为x人（），当x为多少时，购票费用刚好相同？ 21. 在学习过平行线的判定后，我们围绕“过直线外一点作已知直线的平行线”为主题开展探究． 方法一：用尺规作图的方法画平行线 （1）A同学用的是尺规作图，已知P是直线a外一点，按如下作图步骤可作． A同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是： ． （2）B同学想出了另外一种尺规作图的方法如图所示． B同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是： ． 方法二：用折纸的方法画平行线 （3）已知P是外一点，按照下面折纸步骤能折出与直线平行的直线（折纸步骤如图所示）． 第一步：过点P折叠纸片，使点C的对应点C′落在直线上（如图②），记折痕与的交点为A，则折痕与的位置关系是 ，依据是： ． 第二步：将纸片展开并铺平，再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点E′落在直线上（如图③），则折痕与的位置关系是 ，依据是： ． 第三步：将纸片展开并铺平，此时折痕与的位置关系是 ，依据是： ． 22. 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图1，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个长方形（如图2）． （1）通过计算图1和图2中阴影部分的面积，可以验证的公式是： ； （2）小芳在计算时利用了（1）中的公式： ； （请你将以上过程补充完整） （3）利用以上的结论和方法，计算：． 23. 是等腰直角三角形，，，过点作交于点，点从点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点．设运动时间为． （1）当时，求的长； （2）在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图，连接，上是否存在点，使得与全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $