3.2.2奇偶性学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.2 奇偶性 第1课时 奇偶性的概念 【课前预习】 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 ,那么函数f(x)是偶函数 关于 对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 ,那么函数f(x)是奇函数 关于 对称 解读:函数的单调性是针对函数定义域或定义域上一个区间而言,是局部概念,函数的奇偶性是针对定义域内任意x而言,是整体概念. 思考1:从奇偶函数的定义来考虑,奇(偶)函数的定义域有什么特点?y=x2,x∈[-1,1)是偶函数吗? 思考2:若奇函数f(x)在x=0处有意义,则f(0)等于什么? 【自主练习】 1.思辨解析(正确的打“√”,错误的打“ ”) (1)对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.( ) (2)不存在既是奇函数,又是偶函数的函数.( ) (3)若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数,就是偶函数.( ) (4)函数f(x)=x2,x∈[0,+∞)是偶函数. ( ) 2.下列图象表示的函数具有奇偶性的是( ) A B C D 【经典例题】 题型一 函数奇偶性的判断 1.函数奇偶性判断的方法: (1)定义法: (2)图象法: 2.若函数f(x),g(x)具有共同的定义域,那么由函数f(x),g(x)的奇偶性可以得到其加、减、乘、除的奇偶性,其规律是: 偶 偶=偶、奇 奇=奇、偶 偶=偶、偶 奇=奇、奇 奇=偶,相除时类似于相乘的情况. 例1-1判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3+x; (2)f(x)=+; (3)f(x)=; (4)f(x)= 例1-2 设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是( ) A.f(x)f(-x)是奇函数 B.f(x)| f(-x)|是奇函数 C.f(x)-f(-x)是偶函数 D.f(x)+f(-x)是偶函数 【变式探究】1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x2(x2+2); (2)f(x)=|x+1|-|x-1|; (3)f(x)=; (4)f(x)= 题型二 奇、偶函数的图象问题 点拨:利用奇、偶函数的图象求解问题 1.依据:奇函数 图象关于原点对称,偶函数 图象关于y轴对称. 2.求解:根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题. 例2 已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示. (1)画出f(x)在区间[-5,0]上的图象; (2)写出使f(x)<0的x的取值集合. 【变式探究】2如图,给出了偶函数y=f(x)的局部图象,试比较f(1)与f(3)的大小. 题型三 函数奇偶性的应用 角度1:利用函数的奇偶性求值 点拨:利用函数奇偶性的定义式f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)进行转化求值,或者构造方程组求值. 例3 已知f(x)=x5+ax3+bx-8,若f(-3)=10,则f(3)=( ) A.26 B.18 C.10 D.-26 【变式探究】3 已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 角度2:利用奇偶性求参数 点拨: 1.定义域含参数:奇、偶函数fx的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数. 2.解析式含参数:根据f-x=-fx或f-x=fx列式,比较系数即可求解. 例4 若函数f(x)=为奇函数,则a=_. 【变式探究】4 函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-2,2a],则a=_,b=_。 【当堂检测】 1.函数f(x)=|x|+1是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 2.f(x)=x3+的图象关于( ) A.原点对称 B.y轴对称 C.y=x对称 D.y=-x对称 3.(多选)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( ) A.f(x)g(x)是奇函数 B.|f(x)|g(x)是偶函数 C.f(x)|g(x)|是偶函数 D.|f(x)g(x)|是偶函数 4.已知函数f(x)=x2+(2-m)x+m2+12为偶函数,则m的值是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 5.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(-1)=2,则f(0)+f(1)= . 6.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示. (1)请补出完整函数y=f(x)的图象; (2)根据图象写出函数y=f(x)的增区间; (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合. 3.2.2 奇偶性 第2课时 奇偶性的应用 【课前预习】 奇函数、偶函数的性质 1.若一个奇函数在原点处有定义,即f(0)有意义,则一定有f(0)= . 2.若f(x)是奇函数,则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性 . 3.若f(x)是偶函数,则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性 . 【经典例题】 题型一 利用奇偶性求解析式 角度1:已知区间[a,b]上的解析式,求[-b,-a]上的解析式 (1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设. (2)要利用已知区间的解析式进行代入. (3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x). 注意:若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,但若为偶函数,未必有f(0)=0. 例1 已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x>0时,f(x)=x2+x,求当x<0时,f(x)的解析式. 【变式探究】1已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,求: (1)f(0); (2)当x<0时,f(x)的解析式; (3)f(x)在R上的解析式. 角度2:已知一奇一偶两函数之和,求这两个函数的解析式 已知一奇一偶两函数之和,对x赋值,令x=-x.f(x),g(x)一奇一偶,才能把-x的负号或提或消,最终得到关于f(x),g(x)的二元方程组,从中解出f(x)和g(x). 1. 设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=,求函数f(x),g(x)的解析式. 【变式探究】2 设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+2x,求函数f(x),g(x)的解析式. 题型二 利用奇偶性和单调性比较大小 点拨:比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上 1.在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小; 2.不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小. 例3 设f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则f(-2),f(- ),f(3)的大小顺序是 . 【变式探究】3 若f(x)是偶函数,其定义域为(-∞,+∞),且在[0,+∞)上是减函数,则f与f 的大小关系是( ) A.f > f B.f < f C.f ≥ f D.f ≤ f 题型三 函数的奇偶性和单调性解不等式 点拨: 解有关奇函数fx的不等式fa+fb<0,先将fa+fb<0变形为fa<-fb=f-b,再利用fx的单调性去掉“f”,化为关于a,b的不等式.另外,要特别注意函数的定义域. 由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,所以我们要利用偶函数的性质fx=f|x|=f-|x|将fgx中的gx全部化到同一个单调区间内,再利用单调性去掉符号f,使不等式得解. 例4 已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上是奇函数,又是减函数,若f(1-a2)+f(1-a)<0,求实数a的取值范围。 【变式探究】4 定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),求实数m的取值范围. 题型四 抽象函数的奇偶性与单调性 点拨:抽象函数涉及的问题有如下几类 一是单调性,由于没有具体的函数解析式,研究抽象函数的单调性就得靠题中给出的抽象函数所满足的关系,通过赋特殊值、转化等手段,归结到函数单调性的定义上去解决. 二是奇偶性,这类题的入手点是函数奇偶性的定义,解题时抓住定义,实现问题的转化. 三是不等式,一般要先研究函数的性质,再转化为一般的不等式进行解答. 例5 已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足:①对任意x,y∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(x y)=f(x)+f(y);②当x>1时,f(x)>0,且f(2)=1. (1)试判断函数f(x)的奇偶性; (2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性; (3)求函数f(x)在区间[-4,0)∪(0,4]上的最大值; (4)求不等式f(3x-2)≥4的解集. 【探究变式】5定义在R上的函数f(x),满足对∀x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2). (1)判断函数f(x)的奇偶性; (2)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在[0,+∞)上是增函数,试求实数x的取值范围. 【当堂检测】 1.(多选)若奇函数f(x)在[1,3]上为增函数,且有最小值0,则它在[-3,-1]上( ) A.是减函数 B.是增函数 C.有最大值0 D.有最小值0 2.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)<f的x的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x3+x+1,求f(x)的解析式. 4.设f(x)在R上是偶函数,在(-∞,0)上递减,若f(a2-2a+3)>f(a2+a+1),求实数a的取值范围. 5.已知奇函数f(x)在R上是减函数,且f(3a-10)+f(4-2a)<0,求a的取值范围. 6.函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f=. (1)确定函数f(x)的解析式; (2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数; (3)解不等式f(t-1)+f(t)<0. 学科网(北京)股份有限公司 $$