3.3 轴对称与坐标变化 课件+教案+导学案 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

3.3 轴对称与坐标变化 1. 经历探索坐标系中点的轴对称问题，掌握关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标特征。(重点) 2. 探究坐标系中点的规律问题，进一步提升归纳和总结的能力。(难点) 3. 在找点、描点的过程中体会数形结合的思想。 素养目标 沿着某一直线对折，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形；这条直线称为对称轴。 1. 什么叫轴对称图形？ 2. 如何在平面直角坐标系中确定点 P 的位置？ a 称为点 P 的横坐标， b 称为点 P 的纵坐标。 a b 复习导入 探究1 如下图所示的平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小旗。 (1) 两面小旗之间有怎样的位置关系？ 关于 y 轴成轴对称 A A1 B C C1 B1 D D1 探究点一： 两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系 (2，6) (-2，6) 新知探究 （3）如果点 P (m，n) 在△ABC 内，那么它在 △A1B1C1内的对应点 P1 的坐标是 。 对应点的纵坐标相等 对应点的横坐标互为相反数 （2）请在下表中填入点 A 与 A1、点 B 与 B1、点 C 与 C1、点 D 与 D1的坐标，并思考：这些对应点的坐标之间有什么关系？ D1： C1： B1： A1： D： C： B： A： 新知探究 △ABC 与△A1B1C1 关于 x 轴对称 探究2 △ABC 与△A1B1C1 在如图所示的直角坐标系中，仔细观察，完成下列各题： A A1 B C C1 B1 (1) △ABC 与△A1B1C1 有怎样 的位置关系？ 探究点一： 两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系 新知探究 A A1 B C C1 B1 （3）如果点 P(m，n) 在△ABC 内， 那么它在△A1B1C1内的对应点 P1 的坐标是 。 对应点的纵坐标互为相反数 对应点的横坐标相同 (2) 请在下表中填入点 A 与 A1、点 B 与 B1、点 C 与 C1 的坐标，并思考：这些对应点的坐标之间有什么关系？ C1： B1： A1： C： B： A： P (m，n) P1 探究点一： 两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系 新知探究 2. 关于 y 轴对称的两个图形上点的坐标特征： (x ，y) (-x ，y) 1. 关于 x 轴对称的两个图形上点的坐标特征： (x ，y) (x ，-y) 横坐标相同，纵坐标互为相反数 横坐标互为相反数，纵坐标相同 探究点一：两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系 想一想：关于 x 轴对称的两个点的坐标之间有什么关系？关于 y 轴呢？ 新知探究 2. 已知点 A (a，1) 与点 A1 (5，b) 关于 y 轴对称，则 a = ，b = 。 1. 平面直角坐标系中，点 P( 2，3)关于 x 轴对称的点的坐标为 。 【练一练】 ( 2 ，-3) 探究点一：两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系 新知探究 例 在平面直角坐标系中依次连接下列各点： 探究点二： 坐标变化引起的图形变化 你得到了一个怎样的图案？ (0 ， 0)，(5，4) ，(3， 0)，(5，1) ，(5，-1)，(3，0)， (4，-2)，(0，0)。 解: 如图所示，它像一条小鱼. 新知探究 (2) 将各坐标的纵坐标保持不变，横坐标都乘以 -1，则图形怎么变化？ (0 ， 0)，(-5，4) ，(-3， 0)，(-5，1) ， (-5，-1)，(-3，0)， (-4，-2)，( 0，0)。 横坐标都乘以 -1 两个图形关于 y 轴对称 新知探究 两个图形关于 x 轴对称 【思考】将各坐标的横坐标保持不变，纵坐标都乘以 -1，则图形怎么变化？ 你能总结出什么规律吗？ (0，0)，(5，-4)，(3，0)，(5，-1)， (5，1)，(3，0)， (4，2)，( 0，0)。 纵坐标都乘以 -1 新知探究 想一想：图形的点的坐标变化与图形的变化有怎样的关系？ 1. 横坐标保持不变，纵坐标互为相反数，所得图形与原图形关于 ________成轴对称. 2. 纵坐标保持不变，横坐标互为相反数，所得图形与原图形关于 ______成轴对称. x 轴 y 轴 新知探究 探究3 点 P (3，4) 到 x 轴、y 轴和坐标原点的距离分别多少？ 探究点三：点到坐标轴的距离 P A B (1) P 到 x 轴距离为 ______ . (2) P 到 x 轴距离为 ______ . (3) P 到原点距离为 ______ . PA PB PO 在直角△ABC中： PO = = = 5 3 4 5 新知探究 横坐标的绝对值 纵坐标的绝对值 ①点 P(a，b)到 x 轴的距离是 | b | ②点 P(a，b)到 y 轴的距离是 | a | ③点 P(a，b)与坐标原点的距离是 . x y o P(a，b) M N 新知探究 3. 点M（-5，12）到 x 轴的距离是____；到 y 轴的距离是____；到原点的距离是____. 4. 已知点 M（m，-5）.①点 M 到 x 轴的距离是____； ②若点 M 到 y 轴的距离是 4；那么 m 为____. 12 5 13 5 ±4 【练一练】 新知探究 轴对称与坐标变换 关于坐标轴对称 作图 —— 关于轴对称变化 点到坐标轴的距离 课堂小结 1. 点P(－8，2)关于y轴对称的点的坐标为(　C　) A. (8，－2) B. (－8，－2) C. (8，2) D. (－8，2) 2. 在直角坐标系中，点A(1，2)的纵坐标乘－1，横 坐标不变，得到点B，则点A与B的关系是(　A　) A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 不确定 C A 当堂反馈 3. 如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中， Rt△ABC的顶点都在格点上.将Rt△ABC沿y轴翻折 到第二象限，则点A的对应点的坐标是 ⁠ ⁠. (－1， 2) 当堂反馈 4. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1， 4)，B(－3，1)，C(0，0)，△ABC关于x轴对称的 图形为△A'B'C'，则点B'的坐标为 ⁠. (－3，－1)　 5. 已知点A(2a－3，b)与点A'(4，a＋2)关于x轴对称， 则a，b的值分别 为 ⁠. ，－ 　 第4题 当堂反馈 6. 在如图所示的网格(每个小正方形的边长为1)中， △ABC的顶点A的坐标为(－2，1)，顶点B的坐标 为(－1，2)。 (1)在网格图中画出两条坐标轴，并标出坐标原点； 解：(1)如图所示。 当堂反馈 (2)作△A'B'C'关于x轴对称的△A″B″C″。 解：(2)如图所示。 当堂反馈 $$ 第3章 位置与坐标 3.3 轴对称与坐标变化 【素养目标】 1. 经历探索坐标系中点的轴对称问题,掌握关于 轴、 轴对称的点的坐标特征。(重点) 2. 探究坐标系中点的规律问题,进一步提升归纳和总结的能力。(难点) 3. 在找点、描点的过程中体会数形结合的思想。 【情境导入】 1. 什么叫轴对称图形? 2. 如何在平面直角坐标系中确定点的位置? 【合作探究】 探究点一、关于坐标轴对称的两个图形的坐标关系 探究1 如下图所示的平面直角坐标系中, 第一、二象限内各有一面小旗。 (1) 两面小旗之间有怎样的位置关系？ (2) 请在下表中填入点 与 、 点 与 、点 与 、点 与 的坐标,并思考: 这些对应点的坐标之间有什么关系? A : B: C: D: A1: B1: C1: D1: (3)如果点 在 内,那么它在内的对应点 的坐标是_______。 探究 与 在如图所示的直角坐标系中, 仔细观察,完成下列各题: (1) 与 有怎样的位置关系? (2) 请在下表中填入点 与 、点 与 、点 与 的坐标,并思考: 这些对应点的坐标之间有什么关系? A : B: C: A1: B1: C1: (3)如果点 在 内,那么它在 内的对应点 的坐标是________。 想一想: 关于 轴对称的两个点的坐标之间有什么关系? 关于 轴呢? 1. 关于 轴对称的两个图形上点的坐标特征: 横坐标相同, 纵坐标互为相反数 2. 关于 轴对称的两个图形上点的坐标特征: 横坐标互为相反数, 纵坐标相同 【练一练】 1. 平面直角坐标系中,点 关于 轴对称的点的坐标为。 2. 已知点 与点 关于 轴对称,则 _____ ______。 探究点二: 坐标变化引起的图形变化 例 在平面直角坐标系中依次连接下列各点: (0，0)，(5，4) ，(3，0)，(5，1) ，(5，-1)，(3，0)， (4，-2)，(0，0)。 (2) 将各坐标的纵坐标保持不变,横坐标都乘以-1 ,则图形怎么变化? 【思考】将各坐标的横坐标保持不变,纵坐标都乘以-1 , 则图形怎么变化? 想一想: 图形的点的坐标变化与图形的变化有怎样的关系? 1. 横坐标保持不变,纵坐标互为相反数,所得图形与原图形关于_____成轴对称. 2. 纵坐标保持不变, 横坐标互为相反数, 所得图形与原图形关于_____成轴对称. 探究点三:点到坐标轴的距离 探究3 点 到 轴、 轴和坐标原点的距离分别多少? (1) 到 轴距离为_____ . (2) 到 轴距离为_____. (3) 到原点距离为 _____. 归纳小结 ① 点 到 轴的距离是 级坐标的绝对值 ② 点 到 轴的距离是 横坐标的绝对值 ③ 点 与坐标原点的距离是 . 【练一练】3. 点 到 轴的距离是12；到 轴的距离是________；到原点的距离是________. 4. 已知点 .① 点 到 轴的距离是____； ②若点 到 轴的距离是 4 ；那么 为 _____. 当堂反馈 1. 点 关于 轴对称的点的坐标为( ) A.(8, -2) B.(-8, -2) C.(8,2) D.(-8,2) 2. 在直角坐标系中,点 的纵坐标乘-1,横坐标不变,得到点 ,则点 与 的关系是( ) A. 关于 轴对称 B. 关于 轴对称 C. 关于原点对称 D. 不确定 3. 如图,在方格纸上建立的平面直角坐标系中, 的顶点都在格点上. 将 沿 轴翻折到第二象限,则点 的对应点的坐标是_________. 第3题图 第4题图 4. 如图, 三个顶点的坐标分别为 , 关于 轴对称的图形为 ,则点 的坐标为_________. 5. 已知点 与点 关于 轴对称, 则 的值分别 为 _____________ . 6. 在如图所示的网格(每个小正方形的边长为 1 )中, 的顶点 的坐标为 (-2,1),顶点的坐标为 (-1,2)。 (1) 在网格图中画出两条坐标轴,并标出坐标原点； (2) 作 关于 轴对称的 。 参考答案 复习导入 1. 沿着某一直线对折,直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形；这条直线称为对称轴。 2. 过P点往两个坐标轴作垂线垂足分别对应坐标轴上a ，b . 称为点 的横坐标, 称为点 的纵坐标。 探究点一:两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系 探究1 (1) 关于 轴成轴对称 (2) 填表如下： A :（2,6） B:（5,4） C:（2,4） D:（2,0） A1:（-2,6） B1:（-5,4） C1:（-2,4） D1:（-2,0） 对应点的横坐标互为相反数 对应点的纵坐标相等 (3) (-m, n) 探究 (1) 与 关于 轴对称 (2) A :（1,2） B:（5,1） C:（3,4） A1:（1,-2） B1:（5,-1） C1:（3,-4） 对应点的横坐标相同 对应点的纵坐标互为相反数 (3) (m, -n)。 想一想: 1. 2. 【练一练】 1. (2, -3) 2. -5 1。 探究点二、坐标变化引起的图形变化 例 （1）描点连线后如图1 图1 图2 图3 (2) 横坐标都乘以-1 如图2，两个图形关于 轴对称 【思考】纵坐标都乘以 -1 ，, , 。两个图形关于 轴对称 想一想: 1. 轴 2. 轴 探究点三:点到坐标轴的距离 探究3 (1) 到 轴距离为 . (2) 到 轴距离为 . (3) 到原点距离为 . 在直角 中 : 【练一练】 3. 5；13. 4. . ①5； ② . 当堂反馈 1. C 2. A 3. (-1,2). 4. (-3, -1). 5. . 6. 解: (1)如图所示。 (2) 如图所示。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3　轴对称与坐标变化 1.经历探索坐标系中点的轴对称问题，掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，发展探索精神. 2.探究坐标系中点的规律问题，进一步提升学生归纳和总结的能力. 3.在找点、描点的过程中让学生体会数形结合的思想，激发学生学习数学的乐趣. 重点：掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特征. 难点：探究坐标系中点的坐标规律 知识链接 我们学习过轴对称，回忆一下相关知识. 创设情境——见配套课件 探究点一：两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系 问题：（教材P68）在图3－18所示的平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小旗. （1）两面小旗之间有怎样的位置关系？ 关于y轴成轴对称. （2）请在下表中填入点A与A1、点B与B1、点C与C1、点D与D1的坐标，并思考：这些对应点的坐标之间有什么关系？ A（2，6） B（5，4） C（2，4） D（2，0） A1（－2，6） B1（－5，4） C1（－2，4） D1（－2，0） 横坐标互为相反数，纵坐标相同. （3）在这个坐标系里画出小旗ABCD关于x轴的对称图形，它的各个“顶点”的坐标与其对应点的坐标有什么关系？ 纵坐标互为相反数，横坐标相同. 思考：关于x轴对称的两个点的坐标之间有什么关系？关于y轴呢？ 归纳总结：关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数. 【对应训练】平面直角坐标系中，点P（2，3）关于x轴对称的点的坐标为　（2，－3）　. 探究点二：坐标变化引起的图形变化 （教材P68例）（1）在平面直角坐标系中依次连接下列各点： （0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0）， 你得到了一个怎样的图案？ 解：依次连接各点得到的图案如图3－19所示，它像一条小鱼； （2）将所得图案的各个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别乘－1，依次连接这些点，你会得到怎样的图案？这个图案与原图案又有怎样的位置关系呢？ 解：所得图案如图3－20所示，它与原图案关于y轴对称. （x，y） （0，0） （5，4） （3，0） （5，1） （5，－1） （3，0） （4，－2） （0，0） （－x，y） （0，0） （－5，4） （－3，0） （－5，1） （－5，－1） （－3，0） （－4，－2） （0，0） （3）将图3－19所示图案的各个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1，依次连接这些点，你会得到怎样的图案？这个图案与原图案又有怎样的位置关系呢？ 它与原图案关于x轴对称. 思考：坐标具有形如（x，y），（－x，y）这样关系的点，它们的图案有怎样的位置关系？形如（x，y），（x，－y）？ 归纳总结：横坐标相同，纵坐标互为相反数的两个点关于x轴对称；纵坐标相同，横坐标互为相反数的两个点关于y轴对称. 【对应训练】教材P70随堂练习 1.点P（－8，2）关于y轴对称的点的坐标为（　C　） A.（8，－2） B.（－8，－2） C.（8，2） D.（－8，2） 2.在直角坐标系中，点A（1，2）的纵坐标乘－1，横坐标不变，得到点B，则点A与B的关系是（　A　） A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.不确定 3.已知点A（2a－3，b）与点A'（4，a＋2）关于x轴对称，则a，b的值分别为　，－　. 4.在如图所示的网格（每个小正方形的边长为1）中，△ABC的顶点A的坐标为（－2，1），顶点B的坐标为（－1，2）. （1）在网格图中画出两条坐标轴，并标出坐标原点； （2）作△ABC关于y轴对称的△A'B'C'； （3）作△A'B'C'关于x轴对称的△A″B″C″. 解：（1）（2）（3）如图所示. （其他课堂拓展题，见配套PPT） 轴对称与坐标变化 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $$