精品解析：湖南省常德市第一中学2026届高三第一次月水平检测数学试卷

常德市一中2026届高三第一次月水平检测数学卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 复数（是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：，∴复平面内所对应点的坐标为，故选D． 考点：复数的运算． 2. 若集合，，则下面结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合与集合的关系、元素与集合的关系可得B、C错误，再根据为无理数可得正确的选项. 【详解】因为表示元素，表示集合，故B、C错误. 因为不是自然数，所以，且不成立，故A也错误，D正确， 故选：D. 【点睛】本题考查元素与集合的关系、集合与集合的关系的判断，一般地，集合与集合之间用包含或不包含， 3. 设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到，，进而得到，求出渐近线方程. 【详解】由题意得，，解得，， 故， 故双曲线渐近线方程为. 故选：C 4. 将函数的图象沿着x轴向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角恒等变化先化简得，由图像的变换结合三角函数性质得，进而求解. 【详解】由题意有：，所以， 由，所以， 当时，，所以的最小值是， 故选：B. 5. 已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为(　　) A. (－1,4) B. (－2,0) C. (－1,0) D. (－1,2) 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和周期性将条件进行转化，利用不等式的解法即可得到结论． 【详解】∵f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数， ∴f（5）=f（5﹣6）=f（﹣1）=f（1）， ∴由f（1）＜1，f（5）=，得f（5）=＜1， 即﹣1＜0，＜0，即（a﹣4）（a+1）＜0， 解得：﹣1＜a＜4， 故选A． 【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键． 6. 已知的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵，∴， ∴，∴，∴，∴. 考点：1.向量的运算；2.余弦定理. 7. 圆上到直线的距离为的点共有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】 求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解. 【详解】圆可变为， 圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 圆上到直线的距离为的点共有个. 故选：C. 【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题. 8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式，当且仅当时等号成立，可得当时，，所以，，可判断；设，，利用导数分析的单调性可得，即，可判断，继而即可求解. 【详解】令，则， 令，则，令，则， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故，即，即，当且仅当时等号成立， 当时，由，得， 所以，，即. 设，， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 因为，所以， 所以. 故选：D. 【点睛】方法点睛：构造函数比较大小的四种类型. 1.构造相同函数，比较不同函数值； 2.构造不同函数，比较相同函数值； 3.构造不同函数，比较不同函数值； 常用切线不等式；高次不等式放缩；分式不等式放缩. 4.先同构，再构造，再比较. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，其18分. 9. 在正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 与所成的角为 B. 与所成的角为 C. 与平面所成的角为 D. 与平面所成的角为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正方体的结构特征，结合异面直线、线面角的定义判断各项的正误. 【详解】如下图，且为等边三角形，则与所成的角为，A错； 由，且平面，平面，则，故，B对； 由平面，平面，则，又， 且都在平面内，则平面， 所以与平面所成角为，且，故，C对； 由平面，则与平面所成角为，D对. 故选：BCD 10. 已知抛物线，的顶点均在上，且的重心为抛物线的焦点．若，则（ ） A. B. 的三个顶点到轴的距离之和为 C. 的周长小于 D. 当点的纵坐标为时，的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用重心坐标公式结合抛物线的焦半径公式可得出关于的方程，解出的值，可判断A选项；求出的三个顶点横坐标之和，可判断B选项；利用三角形三边关系可判断C选项；求出点的坐标，可得出线段的中点的坐标，利用点差法可求得直线的方程，将该直线方程与抛物线方程联立，结合三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】设点、、，易知点， 因为的重心为抛物线的焦点，由重心坐标公式可得， 所以， 对于A选项，， 因为，解得，A对； 对于B选项，易知，且， 所以的三个顶点到轴的距离之和为，B错； 对于C选项，因为，，， 取等号时，当且仅当点在线段上时， 取等号时，当且仅当点在线段上时， 取等号时，当且仅当点在线段上时， 故的周长为， 上述三个等号不可能同时取得，故， 即的周长小于，C对； 对于D选项，抛物线的方程为，由题意可得，则， 所以，，则，， 故线段的中点为， 因为，两式作差得， 故直线的斜率为， 故直线的方程为，即，即， 联立得，即，解得，， 故， 因为点到直线的距离为， 故，D对. 故选：ACD. 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得，即可判断A，然后结合二倍角公式利用正弦定理判断C，根据正弦定理和两角和差公式化简式子判断B，利用正弦定理和三角恒等变换得，利用函数的单调性即可判断D. 【详解】依题意，， 由正弦定理得， 由于，所以， 所以， 所以， 即， 由正弦定理得， 所以，则或， 若，则， ，不符合题意，所以，A选项正确，则为锐角， 所以，有正弦定理得， 而是锐角，，所以C选项错误. 对于，由正弦定理得 ， 所以B选项正确. 对于D选项，由正弦定理得 ， 由上述分析可知， 所以，由于函数在上单调递增， ，所以， 即，所以D选项正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，得解. 【详解】设，则，故斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 故答案为：． 13. 已知等比数列中，，则等比数列的公比______． 【答案】2或 【解析】 【分析】根据等比数列的性质及通项公式计算得解. 【详解】因为， 所以，故， 即，化简得， 解得或， 故答案为：2或 14. 已知某班共有40位学生，物理老师随机从该班选择10位学生参加物理竞赛，数学老师随机从该班选择 10 位学生参加数学竞赛，且两位老师的选择都是独立的.记 为该班参加物理竞赛或数学竞赛的学生人数，则当 取得最大值时，整数 _____. 【答案】18 【解析】 【分析】由题意可求出总情况为种，再分别求出同时参加物理竞赛和数学竞赛和只参加一项的情况，从而再利用组合数的运算即可求解. 【详解】两位老师都随机选择 10 人，共有 种情况， 当 时,同时参加物理竞赛和数学竞赛的学生人数为 ，仅参加物理竞赛、仅参加数学竞赛的学生人数均为 ， 所以 . 令 ， 则 ，解得 ； 令 ， 则 ，解得 . 故 ，整数 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 某学校为了调查学生对食堂饭菜的满意情况，发放了1000份调查问卷，得到的数据如下： 男生 女生 合计 满意 300 300 600 不满意 100 300 400 合计 400 600 1000 （1）依据的独立性检验，能否认为学生性别与其对食堂的满意情况有关联？ （2）在被调查的1000名学生中，按男女比例以分层抽样的方式随机抽取男女生共15人，再从15人中随机抽出5人作为代表与食堂负责人座谈，设5人中男生人数为，求及. 附：，. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）依据小概率事件的独立性检验，认为性格与其对食堂的满意情况有关,此推断犯错误的概率不大于0.01. （2） 【解析】 【分析】（1）计算卡方，即可与临界值比较作答， （2）根据超几何分布的概率公式，即可求解概率，进而由期望公式求解. 【小问1详解】 零假设学生性别与其对食堂的满意情况无关联， 由表中数据可得 ， 依据小概率事件的独立性检验，我们推断不成立，即认为性格与其对食堂的满意情况有关,此推断犯错误的概率不大于0.01. . 【小问2详解】 由题中数据可知抽取的15人男生6人，女生9人，服从超几何分布， ， ，，， ， 故 16. 已知数列满足，，数列的前项和为，且． （1）求数列，的通项公式， （2）求数列的前项和为． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据构造法可得数列的通项公式，再根据退一相减法可得数列的通项公式； （2）利用错位相减法可得数列前项和. 【小问1详解】 ，， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ， ； ， 当时，，即， 当时，，所以，即， 当时，，； 【小问2详解】 由（1）得 ， ， 作差可得， . 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，. （1）证明：平面； （2）若平面平面，证明：点P，A，B，C在以D为球心的同一球面上； （3）求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1） 因为底面为菱形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2） 取中点E，连接，， 因为底面是边长为2的菱形，且， 所以，，. 又因为，所以， 因为平面平面，，平面平面， 平面，所以平面， 又因为平面，所以，即为直角三角形， 所以，所以， 即点P，A，B，C在以D为球心的同一球面上. （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，由线面平行的判定定理可得结论； （2）取中点E，连接，，平面，可求得，从而可得结论； （3）设P在底面上的射影为点G，平面，则就是与平面所成的角. 当点G在上，则就是与平面所成的角，求解可得范围，当点不在上，连接，，设，，，，可求得，，进而得 ，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设P在底面上的射影为点G，平面，则就是与平面所成的角. ①若点G在上，则就是与平面所成的角. 在中，由余弦定理得， 在中，由正弦定理，，当且仅当时，取等号. ②若点不在上，连接，，设，，，. 因为平面，平面，所以，. 在中，由，得，， 在中，， 所以在中，， 则， 当且仅当时，取等号，而，所以等号取不到. 令，，则， 所以， 当且仅当，即，即时，取等号. 所以. 综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 18. 已知A，B分别是椭圆C：（）的左、右顶点，M，N是椭圆C上异于A，B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4． （1）求椭圆C的方程； （2）若MA，NB的斜率分别为，，且 ①证明：直线MN过定点； ②若直线MA，NB交于点P，直线NA，MB交于点Q，求的最小值． 【答案】（1） （2）①依题意，直线MN的斜率不为零，设直线MN的方程为，，， 由消去x整理得， 则，，， 而，，则，， 因此 ， 解得， 所以直线MN：恒过定点． ② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的对称性，即可结合面积公式求解； （2）①联立直线与椭圆的方程，得韦达定理，进而根据斜率公式，代入化简即可求解；②求解两直线的方程，联立可得，，，，继而根据两点距离，代入韦达定理化简即可求解. 【小问1详解】 根据椭圆的对称性知，仅当M，N分别为椭圆的上、下顶点时，四边形AMBN为菱形， 由，，得，， 所以椭圆C的方程为． 【小问2详解】 ①略 ②解：由（ⅰ）知，，，得， 直线AM的方程为，直线BN的方程为， 则， 即，解得， 即可得点有，， 同理可得点有， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 19. 已知函数. （1）证明：当 时， ； （2）若 ，求a. 【答案】（1） 证明：， ， 令， 则， 考虑到，， 所以①当，时，，此时， ②当，时，，所以单调递增， 所以， 所以函数单调递减，， ③当，时，，所以单调递增， 所以， 所以函数单调递增，， 当，时，， 综上所述，当时，． （2）2 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，求导得，考虑到，，分类讨论，证明即可． （2）构造函数，问题转化为 在，上单调递增时，求的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 构造函数， 考虑到，，0是函数的最小值点，也是极小值点， 故，， 下面证明当 时，即， 令， 则， 由（1）可知：在时恒成立， 所以在，上单调递增， ①若，则在，为负，为正， 在，单调递减，递增， 所以， 而当时，， 故满足题意． ②若，， 因为， 所以， 由零点存在定理，必存在，，使得， 此时满足时，，单调递减， 所以，矛盾，舍去， ③若，， 因为当时，， 所以当时，， 此时必存在，使得， 此时满足，时，，单调递增， 所以，矛盾，舍去， 而当时，当， 所以在，时，成立，单调递增，，矛盾，舍去． 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常德市一中2026届高三第一次月水平检测数学卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 复数（是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为 A. B. C. D. 2. 若集合，，则下面结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象沿着x轴向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为(　　) A. (－1,4) B. (－2,0) C. (－1,0) D. (－1,2) 6. 已知的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A为 A. B. C. D. 7. 圆上到直线的距离为的点共有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，其18分. 9. 在正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 与所成的角为 B. 与所成的角为 C. 与平面所成的角为 D. 与平面所成的角为 10. 已知抛物线，的顶点均在上，且的重心为抛物线的焦点．若，则（ ） A. B. 的三个顶点到轴的距离之和为 C. 的周长小于 D. 当点的纵坐标为时，的面积为 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为________． 13. 已知等比数列中，，则等比数列的公比______． 14. 已知某班共有40位学生，物理老师随机从该班选择10位学生参加物理竞赛，数学老师随机从该班选择 10 位学生参加数学竞赛，且两位老师的选择都是独立的.记 为该班参加物理竞赛或数学竞赛的学生人数，则当 取得最大值时，整数 _____. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 某学校为了调查学生对食堂饭菜的满意情况，发放了1000份调查问卷，得到的数据如下： 男生 女生 合计 满意 300 300 600 不满意 100 300 400 合计 400 600 1000 （1）依据的独立性检验，能否认为学生性别与其对食堂的满意情况有关联？ （2）在被调查的1000名学生中，按男女比例以分层抽样的方式随机抽取男女生共15人，再从15人中随机抽出5人作为代表与食堂负责人座谈，设5人中男生人数为，求及. 附：，. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知数列满足，，数列的前项和为，且． （1）求数列，的通项公式， （2）求数列的前项和为． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，. （1）证明：平面； （2）若平面平面，证明：点P，A，B，C在以D为球心的同一球面上； （3）求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 18. 已知A，B分别是椭圆C：（）的左、右顶点，M，N是椭圆C上异于A，B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4． （1）求椭圆C的方程； （2）若MA，NB的斜率分别为，，且 ①证明：直线MN过定点； ②若直线MA，NB交于点P，直线NA，MB交于点Q，求的最小值． 19. 已知函数. （1）证明：当 时， ； （2）若 ，求a. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $