湖南省常德市第一中学2026届高三第一次月水平检测数学试卷

常德市一中2026届高三第一次月水平检测数学卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 复数（是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为 A. B. C. D. 2. 若集合，，则下面结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象沿着x轴向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为(　　) A. (－1,4) B. (－2,0) C. (－1,0) D. (－1,2) 6. 已知的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A为 A. B. C. D. 7. 圆上到直线的距离为的点共有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，其18分. 9. 在正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 与所成的角为 B. 与所成的角为 C. 与平面所成的角为 D. 与平面所成的角为 10. 已知抛物线，的顶点均在上，且的重心为抛物线的焦点．若，则（ ） A. B. 的三个顶点到轴的距离之和为 C. 的周长小于 D. 当点的纵坐标为时，的面积为 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为________． 13. 已知等比数列中，，则等比数列的公比______． 14. 已知某班共有40位学生，物理老师随机从该班选择10位学生参加物理竞赛，数学老师随机从该班选择 10 位学生参加数学竞赛，且两位老师的选择都是独立的.记 为该班参加物理竞赛或数学竞赛的学生人数，则当 取得最大值时，整数 _____. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 某学校为了调查学生对食堂饭菜的满意情况，发放了1000份调查问卷，得到的数据如下： 男生 女生 合计 满意 300 300 600 不满意 100 300 400 合计 400 600 1000 （1）依据的独立性检验，能否认为学生性别与其对食堂的满意情况有关联？ （2）在被调查的1000名学生中，按男女比例以分层抽样的方式随机抽取男女生共15人，再从15人中随机抽出5人作为代表与食堂负责人座谈，设5人中男生人数为，求及. 附：，. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知数列满足，，数列的前项和为，且． （1）求数列，的通项公式， （2）求数列的前项和为． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，. （1）证明：平面； （2）若平面平面，证明：点P，A，B，C在以D为球心的同一球面上； （3）求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 18. 已知A，B分别是椭圆C：（）的左、右顶点，M，N是椭圆C上异于A，B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4． （1）求椭圆C的方程； （2）若MA，NB的斜率分别为，，且 ①证明：直线MN过定点； ②若直线MA，NB交于点P，直线NA，MB交于点Q，求的最小值． 19. 已知函数. （1）证明：当 时， ； （2）若 ，求a. 常德市一中2026届高三第一次月水平检测数学卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，其18分. 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】2或 【14题答案】 【答案】18 四、解答题：本题共5小题，共77分. 【15题答案】 【答案】（1）依据小概率事件的独立性检验，认为性格与其对食堂的满意情况有关,此推断犯错误的概率不大于0.01. （2） 【16题答案】 【答案】（1）， （2） 【17题答案】 【答案】（1） 因为底面为菱形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2） 取中点E，连接，， 因为底面是边长为2的菱形，且， 所以，，. 又因为，所以， 因为平面平面，，平面平面， 平面，所以平面， 又因为平面，所以，即为直角三角形， 所以，所以， 即点P，A，B，C在以D为球心的同一球面上. （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2）①依题意，直线MN的斜率不为零，设直线MN的方程为，，， 由消去x整理得， 则，，， 而，，则，， 因此 ， 解得， 所以直线MN：恒过定点． ② 【19题答案】 【答案】（1） 证明：， ， 令， 则， 考虑到，， 所以①当，时，，此时， ②当，时，，所以单调递增， 所以， 所以函数单调递减，， ③当，时，，所以单调递增， 所以， 所以函数单调递增，， 当，时，， 综上所述，当时，． （2）2 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常德市一中2026届高三第一次月水平检测数学卷 时间：120分钟 满分: 150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.复数z=i(1+i)在复平面内所对应点的坐标为() A.(1, 1) B.(-1, - 1) C.(1, - 1) D.(-1, 1) 2.若集合 则下列结论正确的是() A.{a}⊆A B. a⊆A C.{a}∈A D. a∉A 3.双曲线 虚轴长为2，焦距为 2则双曲线的渐近线方程为() D. y=±2x 4.将函数 的图象沿着x轴向右平移a(a>0)个单位后的图象关于y轴对称，则a的最小值是() A. B.π/3 C. 5.已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若 则实数a的取值范围为() A.(-1, 4) B.(-2,0) C.(-1, 0) D.(-1, 2) 6.已知△ABC的重心为G, 内角A,B,C的对边分别为a,b, c,若 0. 则角A为() Aπ/6 Bπ/4 D.π/2 7.圆 上到直线x+y+1=0的距离为 的点共有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.已知 则a，b，c的大小关系为() A. a>b>c B. c>a>b C. b>a>c D. b>c>a 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中, 下列结论正确的是( ) A. BC₁与AC所成的角为90° B. BC₁与CD所成的角为90° C. BC₁与平面ACC₁A₁所成的角为30°D. BC₁与平面ABCD所成的角为45° 10.已知抛物线E:y²=2px(p>0),△ABC|的顶点均在E上，且△ABC的重心为抛物线E的焦点F.若 则( ) A. p=2 B.△ABC的三个顶点到y轴的距离之和为6 C. △ABC 的周长小于12 D.当点C的纵坐标为 时，△ABC的面积为 11.在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若 则下列正确的是 () A. A=2B C. a=2b 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线 在点(0，-1)处的切线方程为 . 13. 已知等比数列{aₙ}中, 则等比数列的公比q= . 14.已知某班共有40位学生，物理老师随机从该班选择10位学生参加物理竞赛，数学老师随机从该班选择 10 位学生参加数学竞赛，且两位老师的选择都是独立的.记X 为该班参加物理竞赛或数学竞赛的学生人数，则当 P(X=m) 取得最大值时，整数m= . 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15.(本小题满分13分)某学校为了调查学生对食堂饭菜的满意情况，发放了1000份调查问卷，得到的数据如下： 男生 女生 合计 满意 300 300 600 不满意 100 300 400 合计 400 600 1000 (1)依据α=0.01的独立性检验，能否认为学生性别与其对食堂的满意情况有关联? (2)在被调查的1000名学生中，按男女比例以分层抽样的方式随机抽取男女生共15人， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 再从15人中随机抽出5人作为代表与食堂负责人座谈，设5人中男生人数为X，求P(X=3)及E(X).附: α 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 16.(本小题满分15分)已知数列{aₙ}满兄 数列{bₙ}的前n项和为Sₙ,且 (1)求数列 的通项公式， (2)求数列 的前n项和为T，. 17.(本小题满分15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=120°, PA⊥PB. (1)证明: AD//平面PBC; (2)若平面PAB⊥平面ABCD, 证明: 点P, A, B, C在以D为球心的球面上; (3)求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值的最大值.。 18.(本小题满分17分)已知椭圆 A，B分别是椭圆C的左、右顶点，M，N是椭圆C上异于A，B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为 面积为4. (1)求椭圆C的方程. (2)若MA, NB的斜率分别为 且 证明：直线MN过定点. (3)在(2)的条件下, 若直线MA, NB交于点P, 直线NA, MB交于点Q, 求|PQ|的最小值. 19.(本小题满分17分)已知函数 (1) 证明: 当 时, f(x)≥0; (2) 若 求a的值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $