精品解析：2025年内蒙古自治区鄂尔多斯市第一中学伊金霍洛分校中考模拟预测数学试题

2025年中考押题试卷数学 （分值：100分，时间：90分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 如图1，中国古代叫“斗”，是当时重要的粮食度量工具，如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将直尺与含角的直角三角尺叠放在一起，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 若代数式在实数范围内有意义，则是取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 6. 斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，则小敏通过路段时的速度是（ ） A. 1米/秒 B. 0.5米/秒 C. 1.2米/秒 D. 2米/秒 7. 下列曲线中不能表示y是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 8. 已知二次函数（其中是自变量且），当时，随的增大而减小，且时，的最大值为，则的值为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 分解因式：＝________________． 10. 如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点处，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为______． 11. 如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图.已知自动扶梯的坡度为，的长度是米，是二楼楼顶，，是上处在自动扶梯顶端点正上方的一点，，在自动扶梯底端处测得点的仰角为，则二楼的层高为_____米．（精确到米）．（参考数据：，，） 12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在边AD上，点Q在边BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值等于 _____． 三、解答题（共7小题，64分） 13. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 14. 某校七、八年级共有600名学生，为了解该校七、八年级学生对诗词知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行诗词知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及以上为优秀）；相关数据统计、整理如下： 七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10； 年级 七年级 八年级 平均数 8 8 众数 8 b 中位数 a 8 优秀率 （1）填空：_____，_____；_____； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生诗词知识掌握得较好?请说明理由（写出一条即可）； （3）请估计七、八年级学生对诗词知识掌握能够达到优秀的总人数； （4）现从七、八年级获得10分的3名学生中随机抽取2人参加市诗词知识竞赛，请用列表或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率． 15. 如图①，实验课上，小明同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在天平的固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在活动托盘B中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B与点O的距离，观察活动托盘B中砝码的质量的变化情况．实验数据记录如表： （1）把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如，……在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； （2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式； （3）当砝码的质量为时，活动托盘B与点O的距离是多少？ 16. 如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点、的分别交、于点、，连接交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径； （3）在（2）的条件下，求长度． 17. （1）问题发现：如图1，已知正方形，点E为对角线上一动点，将绕点B顺时针旋转到处，得到，连接． 填空：① ___________；②的度数为___________； （2）类比探究：如图2，在矩形和中，，，连接，请分别求出的值及的度数； （3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点E改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，，若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 18. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴是，点在对称轴上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在一点，使得为直角？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将线段绕着点逆时针方向旋转后得到线段，当点与恰有一点落在抛物线上时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考押题试卷数学 （分值：100分，时间：90分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 如图1，中国古代叫“斗”，是当时重要的粮食度量工具，如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由俯视图的定义可知，“斗”的俯视图，如图所示： 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是合并同类项，合并同类二次根式，二次根式的乘法，完全平方公式的应用，根据以上基础知识逐一分析判断即可. 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、和不是同类项，不能相加，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图，将直尺与含角的直角三角尺叠放在一起，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等、三角形的外角的性质，掌握三角形的外角等于不相邻的两个内角和是关键． 根据三角形外角的性质，，进而可求出的大小． 【详解】解：如下图所示， ， ， ， ， ， 故选：C． 5. 若代数式在实数范围内有意义，则是取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不为0解答即可． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴且， 解得：． 故选：D． 6. 斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，则小敏通过路段时的速度是（ ） A. 1米/秒 B. 0.5米/秒 C. 1.2米/秒 D. 2米/秒 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出分式方程是解答本题的关键．设通过的速度是，则根据题意可列分式方程，解出x即可． 【详解】解：设通过的速度是， 根据题意可列方程： ， 解得， 经检验：是原方程的解且符合题意． 所以通过时的速度是． 故选A． 7. 下列曲线中不能表示y是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一般地，在某一变化过程中，有x和y两个变量，如果对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数． 【详解】解：A、C、D中的曲线都满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，能表示y是x的函数，不符合题意； B中的曲线对于x的每一个取值，y与之对应的值不唯一，不能表示y是x的函数，符合题意． 8. 已知二次函数（其中是自变量且），当时，随的增大而减小，且时，的最大值为，则的值为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上，然后由时，的最大值为，可得时，，得到关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：∵二次函数（其中是自变量且）， ∴对称轴是直线， ∵当时，随的增大而减小， ∴， ∵时，的最大值为， ∴当时，， ∴或（不符合题意，舍去）． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，一元二次方程的应用．解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 分解因式：＝________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式再利用公式法即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点处，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设与扇形交于点，连接，解，求得，根据阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】如图，设与扇形交于点，连接，如图 是OB的中点 , OA＝2， ＝90°，将扇形AOB沿OB方向平移， 阴影部分的面积为 故答案为： 【点睛】本题考查了解直角三角形，求扇形面积，平移的性质，求得是解题的关键． 11. 如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图.已知自动扶梯的坡度为，的长度是米，是二楼楼顶，，是上处在自动扶梯顶端点正上方的一点，，在自动扶梯底端处测得点的仰角为，则二楼的层高为_____米．（精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义以及勾股定理．延长交于点D，由题意可知：，，米，然后根据锐角三角函数的定义可求出与的长度． 【详解】解：延长交于点D， 由题意可知：，，米， 设，则， ， 米， ∴由勾股定理可知：米， ， 米， 米． 则二楼的层高米． 故答案为：． 12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在边AD上，点Q在边BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值等于 _____． 【答案】10 【解析】 【分析】连接PB，证得，可知PC+QD=PC+PB，在BA的延长线上截取AE=AB=4，连接PE，可知PC+PB=PC+PE，连接CE，则PC+PE≥CE，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接PB，如图所示， 在和中， ∵， ∴（SAS）， ∴DQ=PB， ∴PC+QD=PC+PB， 在BA的延长线上截取AE=AB=4，连接PE， ∵PA垂直平分BE， ∴PE=PB， ∴PC+PB=PC+PE， 连接CE，则PC+PE≥CE， ∴， ∴PC+PB的最小值为：10， 即PC+QD的最小值为：10， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，关键在于利用“将军饮马”模型求得“两定一动”最小值，属于常考题型． 三、解答题（共7小题，64分） 13. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数，二次根式的运算，分式的化简求值等知识，熟练掌握相关的运算法则、正确计算是解题的关键． （1）先算特殊角的三角函数值、化简二次根式和负整数指数幂，同时去掉绝对值，再计算乘法，最后计算加减； （2）先根据分式的混合运算法则化简原式，再把x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 14. 某校七、八年级共有600名学生，为了解该校七、八年级学生对诗词知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行诗词知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及以上为优秀）；相关数据统计、整理如下： 七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10； 年级 七年级 八年级 平均数 8 8 众数 8 b 中位数 a 8 优秀率 （1）填空：_____，_____；_____； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生诗词知识掌握得较好?请说明理由（写出一条即可）； （3）请估计七、八年级学生对诗词知识掌握能够达到优秀的总人数； （4）现从七、八年级获得10分的3名学生中随机抽取2人参加市诗词知识竞赛，请用列表或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率． 【答案】（1）8，7，60； （2）七年级的学生掌握得较好，理由见解析 （3）420人 （4） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、统计表、中位数、众数等知识；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． （1）由众数和中位数的定义求解即可； （2）七、八年级的平均数和中位数相同，七年级的优秀率大于八年级的优秀率，即可求解； （3）由七、八年级的总人数乘以两个年级优秀人数所占的百分比，即可求解； （4）画树状图，共有6种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：七年级学生的测试成绩位于第8位的是8， ∴； 八年级学生有5人得7分，出现人数最多， ∴； 八年级的优秀率为：， ∴， 故答案为：8，7，60； 【小问2详解】 解：七年级的学生诗词知识掌握得较好，理由如下： ∵七年级的优秀率大于八年级的优秀率， ∴七年级的学生掌握得较好； 【小问3详解】 解：人， 即估计七、八年级学生掌握能够达到优秀的总人数为420人； 【小问4详解】 解：把七年级获得10分的学生记为A，八年级获得10分的学生记为B，画树状图如图： 一共得到6种等可能结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的有4种， ∴被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率为 ． 15. 如图①，实验课上，小明同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在天平的固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在活动托盘B中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B与点O的距离，观察活动托盘B中砝码的质量的变化情况．实验数据记录如表： （1）把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如，……在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； （2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式； （3）当砝码的质量为时，活动托盘B与点O的距离是多少？ 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题的关键． （1）在坐标系中描点连线即可； （2）根据图象猜测是反比例函数，利用待定系数法求解； （3）将代入（2）中结论，求出x的值即可． 【小问1详解】 解：由题意，可画出图象如下： 【小问2详解】 解：猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，设函数关系式为， ∵当时，， ， 解得， ∴函数关系式为； 【小问3详解】 解：当时， 解得， 即活动托盘B与点O的距离是． 16. 如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点、的分别交、于点、，连接交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径； （3）在（2）的条件下，求长度． 【答案】（1）见解析 （2）3 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定和三角函数的应用、勾股定理，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键． （1）连接，根据角平分线的性质及同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出即可； （2）连接，根据三角函数求出半径的长度即可； （3）根据正弦函数及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：连接，则：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵是半径， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 连接 ，， ， ， ，即半径为3； 【小问3详解】 是直径， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ，， ， ． 17. （1）问题发现：如图1，已知正方形，点E为对角线上一动点，将绕点B顺时针旋转到处，得到，连接． 填空：① ___________；②的度数为___________； （2）类比探究：如图2，在矩形和中，，，连接，请分别求出的值及的度数； （3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点E改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，，若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①1；②；（2）；；（3）或． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，则，通过证明，即可得出结论； （2）根据可得，根据，得出，即可证明，即可得出结论； （3）先求出的长度，根据点M为中点，可得，根据是直角三角形，可求出，从而得到，最后根据勾股定理，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵绕点B顺时针旋转到， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：①1；②． （2）；，理由如下： 在矩形中，， ∵，则， ∴， 同理在中， ∵，则， ∴， ∴， ∵， ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：；． （3）由（2）可得，， ∵， ∴， ∴， ∵点M为的中点，， ∴， ∵为直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：． ∴或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用． 18. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴是，点在对称轴上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在一点，使得为直角？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将线段绕着点逆时针方向旋转后得到线段，当点与恰有一点落在抛物线上时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）存在，或 （3），，， 【解析】 【分析】（1）由题意得出，．结合轴对称的性质得出，再利用待定系数法求解即可； （2）由勾股定理得出．设中点为，则，连接．设点，则．当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上，由圆周角定理得出此时为直角，由直角三角形的性质得出，即，解方程即可得解； （3）设点．则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为，再分两种情况：当在抛物线上时，当在抛物线上时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，． ∵对称轴， ∴． 设抛物线解析式为 由题意得， 解得， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：存在， ∵，， ∴． 设中点为，则，连接． 设点，则． 当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上， 此时，为直角，，则， ∴， 化简得， 解得，． ∴的坐标为或时，为直角． 【小问3详解】 解：设点． 则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为， 当在抛物线上时，， 化简得， 解得，． ∴时，，时，． 经检验，此时点不在抛物线上． 当在抛物线上时，， 化简得， 解得，． ∴当时，，当时，． 经检验，此时点不在抛物线上． 综上，满足题意的点的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形—旋转变换、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $