精品解析：2025年广东省茂名市茂南第一中学中考数学模拟试卷（五）

2025年广东省茂名市茂南一中中考数学模拟试卷（五） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查倒数，乘积为1的两个数互为倒数，由此可解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故选：C． 2. 年“十一”黄金周假期，广东全省累计接待游客万人次，按可比口径同比增长．“万”用科学记数法表示为（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题关键是理解用科学记数法一般形式的意义． 利用科学记数法求解．科学记数法的一般形式为：（其中为正整数，)． 【详解】解：万，   故选： C． 3. 下列算式的运算结果为的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂的运算法则和合并同类项法则直接计算即可得出正确选项． 【详解】A．∵，∴选项A不符合题意； B．∵，∴选项B符合题意； C．∵，∴选项C不符合题意； D．∵，∴选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查幂的有关运算和合并同类项，解题的关键是能够正确运用幂的运算法则，属于基础题，比较简单． 4. 以下图形既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 据此即可求解． 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意， B、不是中心对称图形，但它是轴对称图形，不符合题意， C、是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意， D、不是中心对称图形，但它是轴对称图形，不符合题意， 故选：C． 5. 一副三角尺和如图所示放置，其中，，点E落在边上，且，则的度数为（ ）    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，角的和差计算，熟记性质是解题的关键． 首先求出，然后得到． 【详解】∵，， ∴，， ∵ ∴ ∴． 故选：A． 6. 一组数据为：4，2，a，5，1．这组数据的平均数为，则这组数据的众数为（　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数和众数．根据平均数可得这组数据之和为14，求得，再利用众数的定义即可得． 【详解】解：∵一组数据为4，2，a，5，1，这组数据的平均数为， ∴这组数据之和为：， ∴， ∴这组数据4，2，2，5，1，其中2出现次数最多， 则这组数据的众数为2， 故选：B． 7. 如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 共有2种方法， 故选：B． 8. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 9. 如图，四边形为菱形，，，则的长为（　　） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ， ， 是等边三角形， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 10. 若一次函数的图象经过第一、二、四象限，点，，都在反比例函数的图象上，则（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键．根据一次函数经过的象限得到，，则，据此判断反比例函数的分布的象限和增减性，即可得到答案． 【详解】解：因为一次函数的图象经过第一、二、四象限， 所以，， 则， 所以反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一个象限内y随x的增大而增大． 因为， 所以． 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题需先分别计算算术平方根与负整数指数幂，再进行有理数减法运算即可得到结果． 【详解】解：． 12. 一个不透明布袋中装有除颜色外其余均相同的4个小球，其中红球3个，白球1个，从中随机摸出一球，颜色为红色的概率为_____． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：一个不透明布袋中装有除颜色外其余均相同的4个小球，其中红球3个，白球1个， 从中随机摸出一球，颜色为红色的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 13. 不等式：的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】不等式移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解集． 【详解】解：移项得：， 合并得：， 系数化为1得：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 14. 若，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】该题考查了代数式求值，根据得出，再将其代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：9． 15. 如图所示，在扇形中，O，E，F为矩形三边的中点，与相切．若，则扇形的面积为____．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查扇形的面积计算，切线的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数，设弧与相切的点为H，连接，证明四边形是矩形，得到，，根据，推出，同理：，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：设弧与相切的点为H，连接，如图所示：   是扇形的半径，， 四边形是矩形，且， ，， ， 四边形是矩形， ， ， 点E是的中点， ， 在中，， ， 同理：， ， 扇形的面积为： 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 化简并求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则，先化简分式再代入求值． 先对括号内的分式进行通分计算，将减法转化为同分母分式的减法；再把除法转化为乘法，同时对分子分母进行因式分解，约分后得到最简分式；最后将代入最简分式计算结果． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式 17. 某班为了从甲、乙两位同学中选出一位代表参加学校的投篮比赛，对甲、乙两人进行了5次投篮试投比赛，试投时每人每次投球10个．两人5次试投的成绩折线统计图如图所示． （1）求甲、乙两名同学投篮的平均成绩； （2）甲、乙两名同学谁的投篮成绩更加稳定？请说明理由； （3）学校投篮比赛的规则是每人投球10个，记录进球的个数．由往届投篮比赛的结果推测，投进8个球即可获奖，但要取得冠军需要投进10个球．请你根据以上信息，从甲、乙两名同学中推荐一名同学参加学校的投篮比赛，并说明推荐的理由． 【答案】（1）甲同学投篮的平均成绩为8，乙同学投篮的平均成绩为8 （2） 解：由折线统计图可得， 乙的波动大，甲的波动小，故， 甲同学的投篮成绩更加稳定； （3） 解：推荐乙同学参加学校的投篮比赛， 理由：由统计图可知，甲同学5次试投进球的个数分别为：8，7，8，9，8， 乙同学5次试投进球的个数分别为：7，10，6，7，10， 甲同学进球数的众数是8，乙同学进球数的众数是和10， 取得冠军需要投进10个球， 推荐乙同学参加学校的投篮比赛．答案不唯一 【解析】 【分析】本题考查平均数，图形的波动大小，以及利用众数进行决策，掌握平均数，图形的波动大小，以及利用众数进行决策是解题关键． （1）根据平均数公式求即可； （2）根据折线统计图甲投篮成绩波动较小，折线统计图乙投篮成绩波动较大，可得甲投篮成绩更加稳定； （3）由乙的众数是10，取得冠军需要投进10个球，推荐乙参加投篮比赛即可． 【小问1详解】 解：甲同学5次试投进球的个数分别为：8，7，8，9，8， 故甲同学投篮的平均成绩为：， 乙同学5次试投进球的个数分别为：7，10，6，7，10， 故乙同学投篮的平均成绩为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 如图所示，在中，． （1）【实践与操作】用尺规作图法确定的中点．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）【应用与证明】在（1）的条件下，以点D为圆心、的长为半径作．求证：点C在上． 【答案】（1） 解：如图，作线段的垂直平分线，交于点D， 则点D即为所求． （2） 证明：连接， 点D为的中点， ， 为直角三角形的斜边上的中线， ， 为的半径， 点C在上． 【解析】 【分析】此题考查线段垂直平分线的作法，直角三角形斜边中线的性质， （1）作线段的垂直平分线即可； （2）利用直角三角形斜边中线等于斜边一半解答即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 为落实国家“乡村振兴战略”，切实提高农民的收入，某合作社将农户种植的无花果加工包装后进行销售，已知种植及加工无花果的综合成本为30元/千克，售价为50元/千克时，每天可出售2000千克，经市场调查发现每降价1元，一天多售出250千克． （1）如果每天的利润要比原来多5000元，并使顾客得到更大的优惠，每千克售价为多少元？ （2）要使每天的利润取得最大值，每千克售价为多少元？ 【答案】（1）每千克售价为40元 （2）要使每天的利润取得最大值，每千克售价为44元 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出函数关系式，熟知二次函数的性质、一元二次方程的求解． （1）设每千克降价为x元，根据题意列出方程求解即可； （2）设每天的利润为，根据题意列出函数关系式求解即可； 【小问1详解】 解：设每千克降价为x元， ， 解得：或， 售价为元或元， 又为使顾客得到更大的优惠， 每千克售价为40元． 【小问2详解】 解：设每天的利润为， 由题意，结合（1）可得，， ， 又， 当时，每天的利润取得最大值，最大值为49000元． 要使每天的利润取得最大值，每千克售价为元． 20. 某种麦克风支架如图1所示，为立杆，其高为；为支杆，它可绕点B旋转，长为；为配重杆，滑动配重杆可调节的长度，其中点E代表麦克风．支杆与配重杆之间的夹角固定为（图中点A，B，C，D，E均在同一平面内）； （1）当支杆与地面垂直，且的长为时，求麦克风E距离地面的高度． （2）在（1）的状态下，将支杆绕点B顺时针旋转，同时调节的长（见图），使得麦克风E到地面的距离为，求此时的长．（结果精确到，参考数据） 【答案】（1）麦克风E距离地面的高度为 （2）的长约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形应用，掌握锐角三角函数的定义是解题关键． （1）作于点F，则，根据对顶角相等得出，解直角三角形求出，即可求解； （2）如图2：作于点M，于点N，则，由题意得：，，解直角三角形求出，，从而求出，解直角三角形求出，即可求解． 【小问1详解】 解：如图1：作于点F，则， ， ， ， ， ，， 麦克风E距离地面的高度为：， 答：麦克风E距离地面的高度为； 【小问2详解】 解：如图2：作于点M，于点N， 则， 由题意得：，， ，， 到地面的距离为， ， ， ， ， 答：的长约为． 21. 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系． （1）求点P的坐标和a的值． （2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 【答案】（1），， （2）选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近 【解析】 【分析】（1）在一次函数上，令，可求得，再代入即可求得的值； （2）由题意可知，令，分别求得，，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近． 【小问1详解】 解：在一次函数， 令时，， ∴， 将代入中，可得：， 解得：； 【小问2详解】 ∵，， ∴， 选择扣球，则令，即：，解得：， 即：落地点距离点距离为， ∴落地点到C点的距离为， 选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去）， 即：落地点距离点距离为， ∴落地点到C点的距离为， ∵， ∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键． 22. 综合与实践 【问题提出】数学课上，老师给出了这样一道题：如图，在正方形中，E是对角线上一动点，过点D作的垂线，过点C作的垂线，两垂线相交于点F，作射线，分别交边，于点G，H．试探究线段与的数量关系． 小明在解决这道题时，借助“从特殊到一般”的方法进行了探究，过程如下． 【观察猜想】 小明先对点E在特殊位置时的图形进行了探究． （1）如图1，若E是对角线的中点，则线段与的数量关系为______． 【推理验证】 （2）小明认为当点E是对角线AC上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，请你就图2的情形判断他的说法是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为3，以点E为线段的三等分点时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）； （2）正确． 理由如下：过点E作于点M，过点F作于点P，如图所示． ∵四边形ABCD是正方形， ∴，，，． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． （3）或． 【解析】 【分析】（1）先证得四边形是正方形，得到，再通过“”证得，得到，从而得证； （2）根据正方形的性质和垂直的定义证得，得到，根据，，得到，证得，从而得证； （3）由正方形的边长为3可求得，由点E是的三等分点，得到或．分两种情况讨论：①当时，，在中，，从而，根据得到，从而求得，进而即可解答；②当时，同①思路即可解答． 【详解】（1）∵在正方形中，，又点E是的中点， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∵在正方形中，，又点E是的中点， ∴，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （2）略 （3）∵在正方形中，，， ∴ ∵点E是的三等分点， ∴或． ①当时，由（2）可得， ∵， ∴在中，， ∵， ∴，即， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，由（2）可得， ∵， ∴在中，， ∵， ∴，即， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查正方形的判定及性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，综合运算相关知识是解题的关键． 23. 【知识技能】 （1）如图1所示，点E为正方形对角线上一点，射线，分别交两边，于点F，G，求证：． 【数学理解】 （2）如图2所示，点E为矩形对角线上一点，射线，分别交两边，于点F，G，连接．若，，则线段与的数量关系为_____；连接 ，，则，的位置关系为_____．请证明你的结论． 【拓展探究】 （3）如图3所示，点A的坐标为，点B的坐标为，点M与点B关于y轴对称，点P为第一、三象限内一点，直线交x轴于点C，直线交y轴于点D，且，求的最小值． 【答案】 （1）证明：四边形为正方形， ，为的角平分线， ， 在和中， ， ， ，即， 在和中， ， ， ； （2）解：，； 证明如下： 四边形为矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ∵，则， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：，； （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）证明，再证明，即可证出． （2）根据矩形的性质得，，，，证明，得出，证明，得出，即可得出，从而得，证明，得出，即可证出； （3）如图，过A作轴，过B作轴，两直线交于点K，则四边形是矩形，连接交于点G，交于点H，由题可知，，得出，根据，得出，即，根据相似三角形的性质得出，，即可得，从而得点G和点H重合，过M作，当点P与重合时，则最小，根据点M与点B关于y轴对称，得出，根据，得出，即可得，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，过A作轴，过B作轴，两直线交于点K， 则四边形是矩形， 连接交于点G，交于点H， 由题可知，， ； ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 点G和点H重合， 和交于点P， 点P、G、H三点重合，即点P在所在直线上， 过M作，当点P与重合时，则最小， 点M与点B关于y轴对称， ， ， ，即， ， 即的最小值为 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，解直角三角形，轴对称的性质，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省茂名市茂南一中中考数学模拟试卷（五） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 年“十一”黄金周假期，广东全省累计接待游客万人次，按可比口径同比增长．“万”用科学记数法表示为（　） A. B. C. D. 3. 下列算式的运算结果为的是（　　） A. B. C. D. 4. 以下图形既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　） A. B. C. D. 5. 一副三角尺和如图所示放置，其中，，点E落在边上，且，则的度数为（ ）    A. B. C. D. 6. 一组数据为：4，2，a，5，1．这组数据的平均数为，则这组数据的众数为（　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 7. 如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 8. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 9. 如图，四边形为菱形，，，则的长为（　　） A. 2 B. 4 C. D. 10. 若一次函数的图象经过第一、二、四象限，点，，都在反比例函数的图象上，则（　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. __________． 12. 一个不透明布袋中装有除颜色外其余均相同的4个小球，其中红球3个，白球1个，从中随机摸出一球，颜色为红色的概率为_____． 13. 不等式：的解集是_____． 14. 若，则______． 15. 如图所示，在扇形中，O，E，F为矩形三边的中点，与相切．若，则扇形的面积为____．（结果保留） 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 化简并求值：，其中． 17. 某班为了从甲、乙两位同学中选出一位代表参加学校的投篮比赛，对甲、乙两人进行了5次投篮试投比赛，试投时每人每次投球10个．两人5次试投的成绩折线统计图如图所示． （1）求甲、乙两名同学投篮的平均成绩； （2）甲、乙两名同学谁的投篮成绩更加稳定？请说明理由； （3）学校投篮比赛的规则是每人投球10个，记录进球的个数．由往届投篮比赛的结果推测，投进8个球即可获奖，但要取得冠军需要投进10个球．请你根据以上信息，从甲、乙两名同学中推荐一名同学参加学校的投篮比赛，并说明推荐的理由． 18. 如图所示，在中，． （1）【实践与操作】用尺规作图法确定的中点．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）【应用与证明】在（1）的条件下，以点D为圆心、的长为半径作．求证：点C在上． 19. 为落实国家“乡村振兴战略”，切实提高农民的收入，某合作社将农户种植的无花果加工包装后进行销售，已知种植及加工无花果的综合成本为30元/千克，售价为50元/千克时，每天可出售2000千克，经市场调查发现每降价1元，一天多售出250千克． （1）如果每天的利润要比原来多5000元，并使顾客得到更大的优惠，每千克售价为多少元？ （2）要使每天的利润取得最大值，每千克售价为多少元？ 20. 某种麦克风支架如图1所示，为立杆，其高为；为支杆，它可绕点B旋转，长为；为配重杆，滑动配重杆可调节的长度，其中点E代表麦克风．支杆与配重杆之间的夹角固定为（图中点A，B，C，D，E均在同一平面内）； （1）当支杆与地面垂直，且的长为时，求麦克风E距离地面的高度． （2）在（1）的状态下，将支杆绕点B顺时针旋转，同时调节的长（见图），使得麦克风E到地面的距离为，求此时的长．（结果精确到，参考数据） 21. 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系． （1）求点P的坐标和a的值． （2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 22. 综合与实践 【问题提出】数学课上，老师给出了这样一道题：如图，在正方形中，E是对角线上一动点，过点D作的垂线，过点C作的垂线，两垂线相交于点F，作射线，分别交边，于点G，H．试探究线段与的数量关系． 小明在解决这道题时，借助“从特殊到一般”的方法进行了探究，过程如下． 【观察猜想】 小明先对点E在特殊位置时的图形进行了探究． （1）如图1，若E是对角线的中点，则线段与的数量关系为______． 【推理验证】 （2）小明认为当点E是对角线AC上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，请你就图2的情形判断他的说法是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为3，以点E为线段的三等分点时，请直接写出线段的长． 23. 【知识技能】 （1）如图1所示，点E为正方形对角线上一点，射线，分别交两边，于点F，G，求证：． 【数学理解】 （2）如图2所示，点E为矩形对角线上一点，射线，分别交两边，于点F，G，连接．若，，则线段与的数量关系为_____；连接 ，，则，的位置关系为_____．请证明你的结论． 【拓展探究】 （3）如图3所示，点A的坐标为，点B的坐标为，点M与点B关于y轴对称，点P为第一、三象限内一点，直线交x轴于点C，直线交y轴于点D，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $