四川省江油中学2025-2026学年高三上学期8月月考数学试题

四川省绵阳市江油中学高三上学期8月月考 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ） 1．已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 2．设l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 3．已知随机变量，则“”是“”的( ) A. 充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 4．已知，且，函数在R上单调，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 5．在等比数列中，，是函数的极值点，则( ) A. B.4 C.3 D. 6．从0，1，2，3，4五个数字组成没有重复数字的四位数，则该数为偶数有多少个？ ( ) A. 66 B. 60 C. 90 D. 96 7．如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若，，则该圆台的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上位于第二象限内的一点，点在轴上运动，若的最小值为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列命题中不正确是（     ） A．回归分析中可用决定系数的值判断模型拟合效果，越趋近于0，模型的拟合效果越好 B．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量将平均减少0.3个单位 C．已知随机变量，若，则 D．在复平面内，虚轴上的点对应的复数都是纯虚数 10．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的(被称作阿基米德体)，如图所示，若该石凳的棱长为，下列结论正确的有（    ） A．平面 B．该石凳的体积为 C．，，，四点共面 D．点到平面的距离为 11．已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（    ） A．曲线围成的图形的面积为 B．曲线有且仅有2条对称轴 C．点到直线的距离的最大值为 D． 的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．复数z满足（为虚数单位），则z的虚部为 . 13．的展开式中的系数为 (用数字作答). 14．设函数，若有两个极值点，，且，则的最小值是 . 四、解答题（15题13分，16，17题各15分，18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．已知，，. （1）求的单调递增区间； （2）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，求的取值范围. 16． 2024年底，第26届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，再次邀请广大游客共赴冰雪之约.为了提升游客的游玩体验，园区决定增加超级冰滑梯的滑道数量.现有开放滑道数量和游客平均排队等待时间的数据如下： 滑道数量 11 12 13 14 15 平均等待时间（分钟） 88 81 75 70 66 (1)通过回归分析，可以利用模型对与的关系进行拟合.利用表中数据，求出关于的回归方程，并依据该模型预测，为了让游客的平均等待时间不超过40分钟，至少应开放多少条滑道？ (2)为吸引游客，园区开展了抽奖活动.现有一家三口参加该抽奖活动，有两种抽奖方式可供选择： 方式①：三人独立抽奖，每人抽奖一次，每人中奖的概率为30%； 方式②：三人组队抽奖，共抽奖三次，第一次中奖的概率为20%，若某次抽奖不中，那么下一次中奖的概率会增加10%，若已中奖，那么下一次中奖的概率恢复到20%.为使三人中奖次数的期望更大，应选择哪种抽奖方式？ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 参考数据：设，，，，，，，，，，. 17．如图,在四棱锥中,四边形是菱形,,三角形是正三角形,M是棱的中点,设平面与平面的交线为l. （1）证明:平面; （2）证明:; （3）若二面角为,求直线与平面所成角的正弦值. 18．已知函数. （1）当时,求的极值; （2）若恒成立,求实数a的取值范围; （3）证明: 19．已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交于两点. (1)若离心率时，求的渐近线方程； (2)若，点在第一象限且为等腰三角形，求点的坐标； (3)连接并延长，交双曲线于点，若求的取值范围． 四川省绵阳市江油中学高三上学期8月月考 数学试题 数 学 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B A D A B D C ACD AC ACD 1．C【详解】，共6个元素.故选：C. 2．B【详解】对A：因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系不能确定，故A错误； 对B：因为两条直线平行，其中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，故B正确；对C：当，，时，平面的位置关系不能确定，故C错误； 对D：在正方体中，平面平面，平面，平面，且.所以两个平面互相垂直，一个平面的垂线与另一个平面的平行线未必平行，故D错误.故选：B 3．A 【详解】由知，，可知，故，故成立；反之，若，则，故为充要条件，故选：A. 4． D【详解】当时，，因此在R上不可能单调递增，从而有在R上单调递减，所以解得. 5． A【详解】已知，得， 因，则存在两根，，不妨设，则由得，或；得，，则在和上单调递增，在上单调递减，则和分别为函数的极大值点和极小值点， 又，是函数的极值点，所以，是方程的两个根， 所以，，所以，则，由，且，可知，，在等比数列中，奇数项的符号相同，所以，因此.故选：A 6．B【详解】若个位数为0，则没有重复数字的偶数有个；若个位数不为0，则没有重复数字的偶数有个；所以没有重复数字的四位数共有个. 7．D【详解】，，故，， 故圆台上底面半径：下底面半径：如图，取圆台的轴截面，则圆台的高： ，则该圆台的内切球的半径：故内切球表面积：故选：D 8．C【详解】作出双曲线的示意图，如图所示：连接，因为，当且仅当在同一直线上时取等号，又的最小值为，所以，所以， 又因为双曲线的左、右焦点分别为，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为. 9.ACD 【详解】对于A：在回归分析中，可用相关指数的值判断模型拟合效果，越趋近于，模型的拟合效果越好，故A错误； 对于B：在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时， 响应变量将平均减少个单位，故B正确； 对于C：因为，所以，则，解得，故C错误； 对于D：点(0,0)对应实数0，故D错误；故选：ACD. 10．AC【详解】“阿基米德体”是由如图所示得到的，即“阿基米德体”的所有顶点都是正方体的棱的中点. A选项：由图可知平面，故A选项正确； B选项：，故B选项错误； C选项：∵，，，四点均是正方体个棱上中点，∴，且这个六条边长全相等，∴，，，四点共面，故C选择正确； D选项：如图建立空间直角坐标系， ∵，∴正方体棱长为4，∴，，，， 所以，设平面的一个法向量为， 则，解得，即，， ∴点到平面的距离，故D选项错误. 故选：AC． 11.ACD【详解】因为曲线， 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为. 曲线的图像如图所示：  由图可知，曲线围成的图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形面积的和， 从而曲线围成的图形的面积为，故A正确； 由曲线的图像可知，曲线围成的图形有4条对称轴， 分别是轴、轴、第一、三象限角平分线以及第二、四象限角平分线，故B错误；点到直线的距离， 结合图象可知点到直线的距离的最大值为，故C正确； 表示点与点的连线的斜率，由图可知当（且）与直线相切时取得最小值，设切线为，则，解得或（舍去），所以的最小值为，故D正确； 12．【详解】设，则，即得，故z的虚部为. 13．【详解】由题意可知：的展开式中的系数即为的展开式中的系数，因为的展开式通项为， 则含的项为，所以展开式中的系数为. 故答案为：. 14．【详解】定义域为，， 有两个极值点等价于在上有两个不等实根， ，，，，； 设，则，在上单调递减，，即， 的最小值为.故答案为： 15．（1）（2） 【详解】（1）.………3分 令，，则，. 所以的单调递增区间为. …………………5分 （2）由，得. 因为，所以， 所以，所以. ……………………………………7分 由正弦定理得， ……………………………………8分 所以 . ……………………………………10分 因为，所以， 所以，所以. 故的取值范围是. ……………………………………13分 16． (1)，21条滑道 (2)方式一 【详解】（1）设， 则， ……………………………………3分 ， ……………………………………4分 ∴ ……………………………………5分 令，，∴至少应开放21条滑道 ……………………7分 （2）方式①：中奖次数， …………………9分 方式二：设中奖次数为 ， ， ………………………………13分 ，所以选方式一. ………………………15分 17．（1）证明见解析,（2）证明见解析,（3）. 【详解】（1）证明:四边形是菱形,所以, 平面,平面,所以平面, ………………………1分 又因为平面,平面平面,所以,……………………3分 又因为平面,平面,所以平面.………………………5分 （2）证明:取与中点O,N.连接,,,,则运用中位线性质知,且,, 则,, 则四边形是平行四边形,是正三角形, …………………………7分 易知,,底面是菱形,, 则是正三角形,则, ,,平面,平面, ………………9分 平面,,由于四边形是菱形,四边形是平行四边形,所以,, . ………………………10分 （3）由（2）知为二面角的平面角,即,前面知道, 则过O做的垂线,以O为坐标原点,,,为坐标轴,建立空间直角坐标系如图： ………………………11分 设,则,,,,,, ,,, ……………………………………………12分 设平面的一个法向量为, 则进而求得一个法向量为, …………………………14分 设直线与平面所成角为, 则. …………………………15分 18．【详解】（1）当时, …………………………1分 故在单调递减,单调递增 …………………………2分 所以有极小值,无极大值 …………………………4分 （2）由恒成立知, …………………………6分 令,则 由 即在单调递减,单调递增. …………………………8分 故 所以 …………………………9分 （3）由（2）知,当时,即 …………11分 故 …………………………13分 以此类推, 上式等号不会同时成立,将之叠加可得. …………………………15分 . 所以. …………………………17分 19．(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意得， 则，， …………………………2分 所以渐近线方程为. …………………………4分 （2）当时，双曲线， 其中，， 因为为等腰三角形， 当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去； …………………6分 当以为底时，若点P在第一象限时，，所以这样的点不存在……8分 当以为底时，，设，其中， 则有，解得，即； 综上，点的坐标为. …………………………………10分 （3）由题知， 当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则直线的斜率，………11分 则设直线， 设点，根据延长线交双曲线于点， 根据双曲线对称性知， ……………………………12分 联立有，得， 显然，其中， 则①，②， ………………………13分   ， 则，又，， 则，即， 将①②代入有， 即， 化简得， ………………………………15分 所以，代入到，得，所以， 且， 解得，又因为，则， 所以. ………………………………………17分 第2页，共4页 试卷第 2页 /共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$