湖南省长沙市雨花区明德洞井中学2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

湖南省长沙市雨花区明德洞井中学2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 一、选择题（本大题共 10 小题，共 30 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．五根小棒的长度（单位：cm）分别为6，7，8，9，10，现从中选择三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（　　） A．6，7，8 B．6，8，10 C．7，8，9 D．7，9，10 3．某射击爱好者的10次射击成绩（单位：环）依次为：7，9，10，8，9，8，10，10，9，10，则下列结论正确的是（　　） A．平均数是9.5 B．中位数是9 C．众数是9 D．方差是2 4．下列结论不一定成立的是（　　） A．平行四边形的对角线平分一组对角 B．矩形的对角线相等 C．菱形的对角线互相垂直 D．正方形的对角线垂直、平分且相等 5． 如图，在矩形中，，相交于点.若的面积为2，则矩形的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 6．下列有关一次函数的说法中，正确的是（　　） A．的值随着值的增大而增大 B．函数图象与轴的交点坐标为 C．当时， D．函数图象经过第二、三、四象限 7． 已知关于x的一元二次方程x2－2x=m有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m＜－2 C．m=0 D．m＞－1 8． 如图，在直角三角形中，，，，为直角三角形ABC的中线，则的长为（　　） A． B． C． D． 9．已知函数y=kx+b的图象如图3所示，则函数y=-bx+k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 10．如图，点E，F，G，H分别是四边形的边的中点，则下列说法中正确的个数是（　　） ①若四边形是平行四边形，则四边形为矩形； ②四边形为平行四边形； ③若四边形是菱形，则四边形是菱形； ④若四边形中与互相垂直且相等，则四边形是正方形． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分） 11．函数中，自变量x的取值范围是　 　． 12．经过点（2，﹣3）的正比例函数的解析式为 　 　． 13．把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数是　 　． 14．如果菱形的两条对角线的长分别为a和b，且a，b满足，那么菱形的面积等于　 　． 15．设x1，x2是一元二次方程x2-2x-1=0的两根，则 16．如图6，在直角三角形ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为　 　． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分） 17．解方程： （1） （2） ． 18．如图，强大的台风使得一棵大树在离地面6米处折断倒下，大树顶部落在离大树底部8米处，大树折断之前有多高？ 19．已知y与成正比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当时，求y的值． 20． 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试，已知七、八年级各有人，现从两个年级分别随机抽取名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级：86 94 79 84 71 90 76 83 90 87 八年级：88 76 90 78 87 93 75 87 87 79 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 44.4 八年级 84 87 b 36.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：a=　 　，　 　； （2）A同学说：“这次测试我得了分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他哪个年级的学生，并说明理由； （3）学校规定测试成绩不低于分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数. 21．为进一步发展基础教育，自 2023年以来，某县加大了教育经费的投入，2023年该县投入教育经费 7000万元，2025年投入教育经费 10080万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同． （1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率； （2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算 2026 年该县投入教育经费多少万元． 22．如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2） （1）求直线AB的解析式； （2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC＝2，求点C的坐标． 23．已知，如图，在中，， D是的中点， 连接，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若∠CAB=30，AB=8，求菱形CDBE的面积. 24．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程 是“3倍根方程”． （1）通过计算，判断是否是“3倍根方程”． （2）若关于x的方程是“3倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于x的一元二次方程（是常数）是“3倍根方程”，请写出的值． 25．我们不妨约定：对角互补的凸四边形叫做“互补四边形”．根据约定，解答下列问题． （1）试判断下列图形一定为“互补四边形”？若是，请在括号内划“”；若不是，请在括号内划“”． ①平行四边形(　　)；②矩形(　　)；③正方形(　　)． （2）如图（1），在四边形中，对角线平分∠ABC，DA=DC，AB<CB．求证：四边形是“互补四边形”． （3）如图（2），若□ABCD是“互补四边形”，点是□ABCD内部一个动点，且不与四边重合，过动点作的平行线，交□ABCD的边于点连接，AB=8，AD=6．当点运动时，求四边形周长的最小值． 答案解析部分 湖南省长沙市雨花区明德洞井中学2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 一、选择题（本大题共 10 小题，共 30 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式 【解析】【解答】解：A、∵， ∴不是最简二次根式，故A不符合题意； B、∵， ∴不是最简二次根式，故B不符合题意； C、是最简二次根式，故C符合题意； D、∵， ∴不是最简二次根式，故D不符合题意； 故答案为：C 【分析】利用最简二次根式的定义，对各选项逐一判断. 2．五根小棒的长度（单位：cm）分别为6，7，8，9，10，现从中选择三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（　　） A．6，7，8 B．6，8，10 C．7，8，9 D．7，9，10 【答案】B 【知识点】勾股定理的逆定理；勾股数 【解析】【解答】解：A.，A不能摆成直角三角形； B.，B能摆成直角三角形； C.，C不能摆成直角三角形； D.，D不能摆成直角三角形. 故答案为：B. 【分析】根据勾股定理的逆定理可知，当一个三角形的三边满足时，它就一定是直角三角形，否则就不是直角三角形。 3．某射击爱好者的10次射击成绩（单位：环）依次为：7，9，10，8，9，8，10，10，9，10，则下列结论正确的是（　　） A．平均数是9.5 B．中位数是9 C．众数是9 D．方差是2 【答案】B 【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数 【解析】【解答】解：A.，故A错误； B.将这10个数从小到大排列为7，8，8，9，9，9，10，10，10，10，取第五个和第六个数的算术平均数，故B正确； C.观察这组数据，出现次数最多的是10，众数应为10，故C错误； D. =1 故D错误. 故答案为：B. 【分析】本题要牢记平均数、中位数、众数、方差的计算方法或者公式，尤其是方差公式较为复杂，并且计算也要细心，不能出错。 4．下列结论不一定成立的是（　　） A．平行四边形的对角线平分一组对角 B．矩形的对角线相等 C．菱形的对角线互相垂直 D．正方形的对角线垂直、平分且相等 【答案】A 【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质 【解析】【解答】解：A.普通平行四边形的对角线不会平分一组对角，只有当它变为菱形才成立，故A错误； B.矩形的对角线一定相等，故B正确； C.菱形的对角线一定互相垂直，故C正确； D.正方形的对角线一定互相垂直、平分且相等，故D正确. 故答案为：A. 【分析】本题考查各种四边形对角线的性质，只要熟练掌握了这些性质内容便能轻松选出答案。 5． 如图，在矩形中，，相交于点.若的面积为2，则矩形的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【知识点】矩形的性质；利用三角形的中线求面积 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形 ∴AB=CD，AD=BC，OA=OC=OB=OD ∴， 在与中，根据等底同高的三角形面积相等可知 ∴ ∴ 故答案为：C. 【分析】易证，，再根据等底同高三角形的面积相等关系可知这四个三角形的面积都相等且为2，故可求矩形ABCD 面积为8. 6．下列有关一次函数的说法中，正确的是（　　） A．的值随着值的增大而增大 B．函数图象与轴的交点坐标为 C．当时， D．函数图象经过第二、三、四象限 【答案】D 【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质 【解析】【解答】解： A、的值随着值的增大而减小，A不符合题意； B、当x=0时，y=-2，故函数图象与轴的交点坐标为，B不符合题意； C、当时，，C不符合题意； D、函数图象经过第二、三、四象限，D符合题意； 故答案为：D 【分析】根据一次函数的图象与性质结合题意即可求解。 7． 已知关于x的一元二次方程x2－2x=m有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m＜－2 C．m=0 D．m＞－1 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数 【解析】【解答】解：先将方程化为一般形式 x2－2x-m=0 依题意，即 解得m>-1 故答案为：D. 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，对应“根的判别式大于0”，列出关于m的不等式求解即可。 8． 如图，在直角三角形中，，，，为直角三角形ABC的中线，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：在中，由勾股定理得 ∵CD为斜边中线 ∴ 故答案为：C. 【分析】先利用勾股定理求出AB=13，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可求出CD=6.5. 9．已知函数y=kx+b的图象如图3所示，则函数y=-bx+k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系 【解析】【解答】解：由图可知k>0，b>0。 ∴ 函数y=-bx+k中-b<0，k>0，图象是一条向左倾斜，与y轴交于正半轴的直线。 故答案为：C. 【分析】观察一次函数y=kx+b的图象，发现直线向右倾斜，说明k>0，直线与y轴的交点在正半轴，说明b>0，那么在一次函数y=-bx+k中，由于-b<0，可知直线向左倾斜，而k>0，可知直线与y轴的交点在正半轴。 10．如图，点E，F，G，H分别是四边形的边的中点，则下列说法中正确的个数是（　　） ①若四边形是平行四边形，则四边形为矩形； ②四边形为平行四边形； ③若四边形是菱形，则四边形是菱形； ④若四边形中与互相垂直且相等，则四边形是正方形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定；正方形的判定 【解析】【解答】解： ①∵点E，F，G，H分别是四边形的边的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形，故②正确，但是证明不出四边形是矩形，故①错误， ③∵四边形是菱形，则， 同理可得，而 ∴，证明不出四边形是菱形，故③错误， ④ 当与互相垂直且相等，如图，作AC交BD于点O， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， 同上可知， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形，故④正确， 故答案为：B． 【分析】先证明一般四边形的中点四边形是平行四边形 ；当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形，再逐一分析各选项即可． 二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分） 11．函数中，自变量x的取值范围是　 　． 【答案】x≤ 【知识点】二次根式有无意义的条件 【解析】【解答】解：依题意，解得. 故答案为：x≤. 【分析】观察函数表达式是一个二次根式，而二次根式有意义的条件是被开方数非负，故可知，解这个不等式即可求出x的范围。 12．经过点（2，﹣3）的正比例函数的解析式为 　 　． 【答案】y= 【知识点】待定系数法求一次函数解析式 【解析】【解答】解：设正比例函数的解析式为 ∵函数经过点（2，-3） ∴-3=2k ∴ 即正比例函数解析式为y= 故答案为：y=. 【分析】待定系数法的使用步骤：先设出对应的解析式，这里正比例函数作为特殊的一次函数，可设为，再将已知点（2，-3）代入，求出参数k的值，即可得到正比例函数解析式。 13．把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数是　 　． 【答案】 【知识点】实数在数轴上表示 【解析】【解答】解：∵正方形边长为1 ∴由勾股定理可求出对角线长为 ∴OA= 即点A表示实数。 故答案为：. 【分析】易求出边长为1 的正方形的对角线长为，所画弧是以点O为圆心，为半径的一段弧，它与数轴相交于点A，说明OA长度就是圆的半径，因此可知点A表示实数。 14．如果菱形的两条对角线的长分别为a和b，且a，b满足，那么菱形的面积等于　 　． 【答案】 【知识点】二次根式有无意义的条件；菱形的性质；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性） 【解析】【解答】解：∵ 又∵ ∴ 解得a=1，b=5 ∴菱形的面积为 故答案为：. 【分析】首先根据“非负数和为零，必须每一个非负数都等于0”得到，从而可以求出a，b的值，再利用菱形的面积公式“”即可求出它的面积。 15．设x1，x2是一元二次方程x2-2x-1=0的两根，则 【答案】1 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：由韦达定理可知 ∴ 故答案为：1. 【分析】一元二次方程根与系数之间存在韦达定理的关系，即，整体代入即可求出答案。 16．如图6，在直角三角形ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为　 　． 【答案】 【知识点】二次函数的最值；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【解答】解：∵在中， AB=3，AC=4，BC=5 ∴32+42=52 ∴∠BAC=90° ∵， ∴∠PEA=90°，∠PEA=90° ∴四边形AEPF为矩形， ∴ ∴ 设PE=x，BE=y，则 ∴ 在矩形AEPF中，由勾股定理可知 记，该二次函数开口向上，对称轴为，自变量取值范围是 由二次函数性质可知，当时，w有最小值。 ∴ ∵为的中点 ∴ 故答案为：. 【分析】易证四边形AEPF为矩形，利用相似三角形的判定（平行线分线段成比例性质）可证，得到对应边的关系，设参数分别表示PE，BE的长度，建立起它们之间的数量关系，再用含参数的式子表示矩形AEPF对角线的长度为，分析被开方式的最小值，从而可以得到EF的最小值，而FM=，故可求FM的最小值。 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分） 17．解方程： （1） （2） ． 【答案】（1）解：2=8 =4 x=2 （2）解：-x-15=0 (2x+5)(x-3)=0 ， 【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程 【解析】【分析】（1）先两边同时除以2，再两边同时开平方即可； （2）本题用十字相乘法因式分解为 (2x+5)(x-3)=0，故 2x+5 =0或x-3=0，解得 ，。 18．如图，强大的台风使得一棵大树在离地面6米处折断倒下，大树顶部落在离大树底部8米处，大树折断之前有多高？ 【答案】解：由题意得：∠C=90°，米，米， ∴（米）， ∴（米）． 答：大树折断前高16米 【知识点】风吹树折模型 【解析】【分析】先利用勾股定理计算出的长，然后再计算出即可得到大树折断前的高度． 19．已知y与成正比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当时，求y的值． 【答案】（1）解：设y与之间的函数解析式为， 将时，代入， 得， 解得， 则y与x之间的函数解析式为 （2）解：将代入， 得 【知识点】待定系数法求一次函数解析式 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，先设y与之间的函数解析式为，再将，代入求解即可得； （2）将代入（1）中的函数解析式即可得． （1）解：设y与之间的函数解析式为， 将时，代入， 得， 解得， 则y与x之间的函数解析式为． （2）解：将代入， 得． 20． 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试，已知七、八年级各有人，现从两个年级分别随机抽取名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级：86 94 79 84 71 90 76 83 90 87 八年级：88 76 90 78 87 93 75 87 87 79 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 44.4 八年级 84 87 b 36.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：a=　 　，　 　； （2）A同学说：“这次测试我得了分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他哪个年级的学生，并说明理由； （3）学校规定测试成绩不低于分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数. 【答案】（1）85；87 （2）解：七年级；A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，又因为七年级中位数为85，八年级中位数为87，由此可判断他是七年级的学生。 （3）解：200× +200× =220人 【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量 【解析】【解答】解：（1）将七年级10名学生是成绩从小到大排列为71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，取第五个和第六个分数的算术平均数，所以a=85；观察八年级10名学生的成绩，出现次数最多的是87，所以b=87； 【分析】（1）求一组数据的中位数方法是：先将这组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列起来，当数据个数是奇数个时，取最中间那个数作为这组数据的中位数，当数据个数是偶数个时，取最中间两个数据的算术平均数作为这组数据的中位数；根据定义，一组数据中出现次数最多的那个数就是这组数据的众数； （2）中位数的意义在于它代表这组数据的中等水平，有一半数据高于中位数，一半数据低于中位数。在七年级，中位数是85，而A同学得了86分，高于中位数，说明A同学成绩位于年级中等偏上水平，在八年级，中位数是87，A同学86分低于中位数，说明A同学成绩位于年级中等偏下水平，不符合题意，所以A同学是七年级学生； （3）抽样调查的意义在于可以用样本估计总体，由于样本中七年级优秀人数占比为，所以估计整个七年级约有200×人成绩为优秀，同理可估计八年级约有200×人成绩为优秀，两者相加即可求出这两个年级测试成绩达到优秀的学生总人数为220人。 21．为进一步发展基础教育，自 2023年以来，某县加大了教育经费的投入，2023年该县投入教育经费 7000万元，2025年投入教育经费 10080万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同． （1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率； （2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算 2026 年该县投入教育经费多少万元． 【答案】（1）解：设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意得 7000（1+x）2=10080 解得x1=0.2=20％，x2=-2.2(不合题意，舍去)， 答：该县投入教育经费的年平均增长率为20％； （2）解：因为2025年该县投入教育经费为 10080万元，且增长率为20％， 所以2026 年该县投入教育经费为10080×（1+0.2）=12096（万元） 答：预算 2026 年该县投入教育经费12096万元。 【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题 【解析】【分析】（1）假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，那么2024年投入教育经费为7000（1+x）万元，而增长率x保持不变，故2025年在2024年的基础上再乘以(1+x)，也就是7000（1+x）2，它应该等于10080，建立方程后求解即可，注意实际问题中适当取舍两根； （2）根据第（1）问可知增长率为20％，故2026年预算投入教育经费为10080×（1+0.2）万元。 22．如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2） （1）求直线AB的解析式； （2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC＝2，求点C的坐标． 【答案】（1）解：设直线 AB 的解析式为 y=kx+b(k≠0) ∵直线 AB 过点 A(1，0)、点 B(0，-2） ∴ 解得 ∴直线 AB 的解析式为 y=2x-2 （2）解：设点 C（x，2x-2） ∵B（0， -2） ∴OB=2 且 解得x=2 ∴2x-2=2×2-2=2 ∴点C的坐标是(2，2). 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积 【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出直线AB的解析式； (2)设点 C（x，2x-2），先求出OB长，根据，建立关于x的方程求解，即可解答. 23．已知，如图，在中，， D是的中点， 连接，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若∠CAB=30，AB=8，求菱形CDBE的面积. 【答案】（1）证明：∵CE∥AB ∴，， ∵F是CD的中点， ∴FC=FD， ∴ ∴CE=AD， ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点， ∴CD=AD=BD=AB ∴CE=BD=AD 又∵CE∥BD ∴四边形CDBE是平行四边形， 又∵CD=BD ∴平行四边形CDBE是菱形． （2）解：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=8 ∴BC=AB=4 ∴AC= 连接DE交BC于点O，如图 由（1）知四边形CDBE是菱形 ∴O是BC的中点，DE⊥BC 又∵D是AB的中点 ∴OD是△ABC的中位线 ∴OD= AC= ∴菱形CDBE的面积为：2××BC×OD= 【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等 【解析】【分析】（1）先用AAS判定证明，得到对应边关系CE=AD，再由BD=AD得到CE=BD，而CE∥BD，可知四边形CDBE为平行四边形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可知DC=DB，故四边形CDBE为菱形； （2）先利用30°所对直角边等于斜边一半得BC=4，在Rt△ABC中由勾股定理可求AC=，连接DE可知DE⊥BC且点O是BC的中点，而点D是AB的中点，故OD是△ABC的中位线，利用菱形的对角线互相平分以及菱形的面积公式“”即可求出菱形CDBE的面积。 24．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程 是“3倍根方程”． （1）通过计算，判断是否是“3倍根方程”． （2）若关于x的方程是“3倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于x的一元二次方程（是常数）是“3倍根方程”，请写出的值． 【答案】（1）解：，，∵ ∴是“3倍根方程” （2）解： 解得 ， ∵是“3倍根方程” 分情况讨论： ①． ② （3）解：∵（是常数）是“3倍根方程” ∴不妨设设是的三倍，由韦达定理：，解得． ①． ② 【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分类讨论 【解析】【分析】（1）先用因式分解法求出该一元二次方程的两根，分别为，发现，满足“3倍根方程”定义，所以它是“3倍根方程”； （2）很容易知道“3倍根方程”的两根分别为，但不确定2与m谁是谁的3倍，所以要分情况讨论：①若，则m=50；②若，则； （3）对于“3倍根方程”（是常数） ，不妨设两根x1，x2满足x2=3x1，巧妙利用韦达定理中两根之积等于，即，可以求出，再分两种情况求出对应的x2，故也会有两个对应的m值。 25．我们不妨约定：对角互补的凸四边形叫做“互补四边形”．根据约定，解答下列问题． （1）试判断下列图形一定为“互补四边形”？若是，请在括号内划“”；若不是，请在括号内划“”． ①平行四边形(　　)；②矩形(　　)；③正方形(　　)． （2）如图（1），在四边形中，对角线平分∠ABC，DA=DC，AB<CB．求证：四边形是“互补四边形”． （3）如图（2），若□ABCD是“互补四边形”，点是□ABCD内部一个动点，且不与四边重合，过动点作的平行线，交□ABCD的边于点连接，AB=8，AD=6．当点运动时，求四边形周长的最小值． 【答案】（1）解：①平行四边形()；②矩形()；③正方形() （2）解：如图， 证明：在上截取，连接， 平分， ． 在和中， ， ． ， ， ， ， ， 四边形是“互补四边形” （3）解：四边形是平行四边形， ． ． ． 四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形． 是“互补四边形”， ， ，， 四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形． 连接交于点，连接，如图 则 ． ∵AB=8，AD=6 ∴AC=BD=10． ， AO+OC+OB+ODAC+BD=20 ∴EF+FG+GH+EH20 当点与点重合时，四边形周长的最小值为20 【知识点】矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；四边形-动点问题 【解析】【解答】解：（1）①平行四边形对角相等，但无法保证和为180°，故不是互补四边形；②矩形作为特殊的平行四边形，其四个角都等于90°，所以对角互补，是互补四边形；③正方形作为特殊的平行四边形，其四个角都等于90°，所以对角互补，是互补四边形； （2）见答案； （3）见答案。 【分析】（1）严格按照“互补四边形”的定义来逐一验证每种四边形是否满足“对角互补”这个条件即可判断； （2）通过构造全等三角形得到对应角，对应边，结合等腰三角形等边对等角的性质，进行角的等量代换即可证明，； （3）不难证明四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形，于是可将对角线代换为，故，分析动点O的运动范围可知，当点O刚好为矩形对角线交点时，的值最小，且刚好等于AC+BD=20。 学科网（北京）股份有限公司 $$