专题01 一元二次方程100道计算题强化练习（专项训练）数学冀教版九年级上册

专题01 一元二次方程100道计算题强化练习 目录 题型一、直接开方法解一元二次方程 1 题型二、配方法解一元二次方程 2 题型三、公式法解一元二次方程 3 题型四、因式分解法解一元二次方程 5 题型五、指定方法解一元二次方程 6 题型六、由一元二次方程的解求代数式的值 8 题型七、配方法的应用 8 题型八、换元法解一元二次方程 8 题型九、一元二次方程根与系数的关系计算 9 题型十、一元二次方程的新定义运算 11 题型一 直接开方法解一元二次方程 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）用适当方法解方程： 2．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）求下列各式中的值： (1)； (2)． 3．（24-25九年级上·河北保定·期中）求下列的值 (1) (2) 4．（24-25九年级上·唐山·期中）解关于的方程： 5．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）解方程： (1)； (2)． 6．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 7．（24-25九年级上·河北承德·期中）用直接开方法解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（24-25八年级下·安徽亳州·阶段练习）解方程：． 10．（24-25九年级上·河北沧州·期中）用直接开平方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二 配方法解一元二次方程 11．（2025·甘肃兰州·模拟预测）用配方法解方程：． 12．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）用配方法解方程 13．（2025九年级上·全国·专题练习）用配方法解方程： (1)． (2)； 14．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）（过程纠错改错）下面是小君同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：二次项系数化为，得，第一步 配方，得，……第二步 变形，得，……………… 第三步 开方，得，………………… 第四步 解得，．…………… 第五步 (1)上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是___________； (2)上面小君同学的解题过程中，从第___________步开始出现错误，写出正确的解答过程． 15．（24-25九年级上·甘肃天水·期末）解方程：． 16．（24-25九年级上·吉林·期末）解方程：． 17．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）解方程： 18．（24-25九年级上·辽宁丹东·阶段练习）用配方法解下列方程： 19．（24-25九年级上·北京·期末）解方程：． 20．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）用配方法解方程：． 题型三 公式法解一元二次方程 21．（24-25九年级上·辽宁丹东·阶段练习）用公式法解下列方程： 22．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)． (2)． 23．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）用公式法解一元二次方程： 24．（24-25九年级上·全国·随堂练习）用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 25．（24-25九年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1) (2) (3) 26．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)． (2)． 27．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）用公式法解方程． 28．（24-25九年级下·福建福州·开学考试）用公式法解方程：． 29．（24-25九年级下·湖南常德·期中）用公式法解一元二次方程： 30．（2025·广东深圳·一模）小海在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下所示： 解方程 解： （第一步） （第二步） ∴原方程无实数根 （第三步） 小海的解答过程从第__________步开始出错的，其错误的原因是__________； 题型四 因式分解法解一元二次方程 31．（24-25九年级上·广东肇庆·阶段练习）解方程： (1) (2) 32．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）解方程：． 33．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 34．（24-25八年级下·浙江绍兴·阶段练习）解方程 (1) (2) 35．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）解方程： (1) (2) 36．（2025·黑龙江·模拟预测）解方程： 37．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）解方程： (1)． (2)． 38．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 39．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 40．（2025·江西宜春·模拟预测）解方程，下面是甲、乙两同学的部分运算过程． 甲同学： 两边同时除以， 得， 则． 乙同学： 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． (1)解一元二次方程的基本思想是____________（填“降次”或“消元”）； (2)请判断他们的解法是否正确？若其中有一位同学正确，请写出一种异于该同学解法的正确解答过程；若都错误，请写出你认为正确的解答过程． 题型五 指定方法解一元二次方程 41．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 42．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）请用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）； (4)（公式法）． 43．（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法） (2)．（配方法） (3)（用公式法） (4)（用因式分解法） 44．（2025九年级上·全国·专题练习）用指定方法解下列一元二次方程． (1) （直接开平方法） (2) （配方法） 45．（2025九年级上·全国·专题练习）按照指定方法解下列方程： (1)（用直接开平方法） (2)（用配方法） 46．（24-25八年级下·安徽滁州·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程． (1) (直接开平方法) (2) (配方法) (3) (公式法) (4) (因式分解法) 47．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）用指定方法解下列方程： (1)；（配方法） (2)；（公式法） 48．（24-25九年级上·山东滨州·期末）按指定方法解一元二次方程 (1)（配方法） (2)（公式法） 49．（24-25九年级上·重庆南岸·开学考试）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） (4)（十字相乘法） 50．（24-25八年级下·山东泰安·期中）按照指定方法解下列方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)． 题型六 由一元二次方程的解求代数式值 51．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）已知． (1)化简A； (2)若a为方程的一个解，求A的值． 52．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）已知m是方程的根，求代数式的值． 53．（24-25九年级上·全国·期末）已知a是方程的一个根，求代数式的值． 54．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知m是方程的一个根，求代数式的值． 55．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）已知是关于的方程的一个根， (1)求的值； (2)求． 56．（24-25九年级下·全国·假期作业）若关于的方程，，均为常数，的解是，，求方程的解． 57．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知m是方程的一个根． (1)的值为______． (2)求的值． 58．（24-25八年级下·北京·期中）已知是方程的根，求代数式的值． 59．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）若m是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 60．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 题型七 配方法的应用 61．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）求式子的最小值. 62．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）【阅读材料】分解因式：． 解：原式 ． 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项使这三项构成完全平方式，我们称这种方法为“配方法”．本题用“配方法”分解因式，请体会“配方法”的特点． (1)用“配方法”分解因式． (2)用“配方法”求代数式的最小值． (3)已知，请求以a、b为边的等腰三角形的底边长； 63．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：，因为，所以．所以当时，有最小值，最小值为1．通过阅读，解下列问题： (1)代数式的最小值为； (2)求代数式的最大或最小值． 64．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个结论对代数式进行配方来解决．比如，，，的最小值是，试利用“配方法”解决下列问题： (1)求代数式的最小值时，（______）______，因此当______时，的最小值是______． (2)请比较多项式与的大小，并说明理由． (3)如图，在中，，，，点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为秒，求的最大值． 65．（24-25八年级上·北京·期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义： 对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称； (2)若关于的多项式．关于对称，求的值； (3)整式关于______对称． 66．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． 67．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）阅读以下材料： 将代数式进行如下变形： ． ， ． 当时，存在最小值2． 根据以上材料，完成下列问题： (1)_____； (2)求代数式的最小值； (3)求代数式的最值． 68．（24-25九年级上·山东德州·期末）阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：求代数式的最小值． ， 当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)如果（    ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为______． (2)当x为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ (3)当a，b为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ 69．（17-18八年级上·山西·阶段练习）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： 的最小值是4． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； 70．（24-25九年级上·新疆昌吉·期中）阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下： ， 由，得； 代数式的最小值是4． 请仿照上述方法，求代数式的最小值． 题型八 换元法解一元二次方程 71．（2025九年级上·全国·专题练习）请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 72．（2025九年级上·全国·专题练习）换元法解方程：． 73．（2025九年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程： (1)； (2)． 74．（24-25九年级上·全国·阶段练习）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 问题： (1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　； (2)利用以上学习到的方法解下面方程： 75．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）【阅读材料】 方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①， 解方程①可得，； 当时，，即，； 当时，，即，； 原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 76．（24-25九年级下·四川资阳·阶段练习）已知，求的值． 77．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为. 解得， 当时，，∴.∴； 当时，，∴.∴. ∴原方程的解为，，，； 请利用以上知识解决下列问题： 如果，求的值. 78．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）阅读下列材料： 解方程：． 设，那么，于是原方程可变为①， 解这个方程得：，． 当时，，∴； 当时，，∴， 所以原方程有四个根：，，，． 根据上述解方程的方法，解决下列问题： (1)解方程时，若设，直接写出用表示该方程； (2)若，求的值； (3)若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数． 79．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得；当时，即，解得．所以原方程的解为，． 请利用这种方法解方程：． 80．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程：． 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，； 当时，即，； 原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程：． 将其变形为， ， ， ， ， 或， 原方程有三个根：，，． (1)仿照以上方法解方程： ①； ②； (2)已知：，且，求的值． 题型九 一元二次方程根与系数的关系计算 81．（24-25九年级上·全国·课后作业）不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： （1）；       （2）； （3）；     （4）． 82．（24-25九年级上·贵州黔西·期末）已知是方程的两个根，求下列代数式的值． (1)； (2)． 83．（24-25九年级上·全国·随堂练习）若方程的两实数根为a，b．求下列代数式的值． (1)． (2)． 84．（24-25九年级下·全国·假期作业）判别下列方程根的情况．若有两个实数根，求出两个根的和与积． (1)； (2)； (3)； (4)． 85．（24-25九年级下·全国·假期作业）不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积． (1)； (2)． 86．（24-25九年级上·全国·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程总有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程有一个实数根为1，求m的值和另一个实数根． 87．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若两实数根分别为和，且，求的值． 88．（24-25八年级下·浙江·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程必有两个不相等的实数根． (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 89．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解． (2)若是方程的一个解，求的值和方程的另一个解． 90．（24-25九年级上·云南红河·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，求的值． 题型十 一元二次方程的新定义运算 91．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）对于实数a，b，我们定义一种运算“※”为：，例如． (1)计算； (2)若，求x的值． 92．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）定义新运算：对于任意实数m，n都有 ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算． 例如： ．根据以上知识解决问题： (1)求的值； (2)若， 求x的值． 93．（24-25九年级上·湖南永州·期中）定义新运算：对于任意实数a，b，c，d有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如：． (1)求的值； (2)已知关于x的方程的一个根为2，求m的值． 94．（24-25八年级下·北京·期中）定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)下列方程是“差积方程”的是 ； ① ② ③ (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明． 95．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）对于任意实数，，定义，已知，求实数的值． 96．（24-25九年级上·海南海口·阶段练习）定义一种新的运算法则：，如 (1)根据这个运算规则，计算的值． (2)求关于x的方程的解． 97．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、；那么两个根的关系为：，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 定义：倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (2)若是“倍根方程”，求m与n的关系； (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请说明， 98．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”． 例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程 是否是“邻根方程” (2)已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 99．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，求的值． 100．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为，根据这个规则，求 (1)的值； (2)中x的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程100道计算题强化练习 目录 题型一、直接开方法解一元二次方程 1 题型二、配方法解一元二次方程 2 题型三、公式法解一元二次方程 3 题型四、因式分解法解一元二次方程 5 题型五、指定方法解一元二次方程 6 题型六、由一元二次方程的解求代数式的值 8 题型七、配方法的应用 8 题型八、换元法解一元二次方程 8 题型九、一元二次方程根与系数的关系计算 9 题型十、一元二次方程的新定义运算 11 题型一 直接开方法解一元二次方程 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）用适当方法解方程： 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法解方程即可． 【详解】解： ， ， ∴． 2．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据平方根解方程即可； （2）先表示出，再根据平方根解方程即可． 【详解】（1）解：∵， 开平方，得， ∴，或， 解得，或； （2）解：∵， 移项，得， 两边都除以25，得， 开平方，得， ∴，或， 解得，或． 3．（24-25九年级上·河北保定·期中）求下列的值 (1) (2) 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程． 整理方程可得：，两边直接开平方得：，从而可知的值为或； 把方程两边直接开平方得：，从而得到两个关于的一元一次方程，分别解两个一元一次方程即可求出的值． 【详解】（1）解：， 移项得：， 方程两边同时除以得：， 两边同时开平方得：， 的值为或； （2）解：， 两边同时开平方得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 的值为或． 4．（24-25九年级上·唐山·期中）解关于的方程： 【答案】当时，；当时，方程无实数解． 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握直接开平方法． 移项，对的取值范围进行分类讨论，解方程即可． 【详解】解：∵ ∴ 当时，，开方得，， 当时，方程无实数解． 综上，当时，；当时，方程无实数解． 5．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握直接开方法是解决问题的关键． （1）利用直接开方法求解即可； （2）利用直接开方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ，， ． 6．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是用直接开方法解一元二次方程，解题的关键是将方程化成的形式； 利用直接开平方法解方程，通过移项，系数化为1，将方程进行变形成上述形式，再进行开方，即可得出答案. 移常数项，二次项系数化为，直接开平方，即可求解； 移常数项后直接开平方，求出的值后再求. 【小题1】移项，得， 【小题2】移项，得， 7．（24-25九年级上·河北承德·期中）用直接开方法解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)； (4)，． 【分析】本题主要考查了开平方法解一元二次方程，方程变形后利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程来求解即可． 【详解】（1）解：， 开方得：或， 解得：，； （2）解：， 方程变形得：， 开方得：，； （3）解：， 方程变形为：， 方程开方得：， 解得：； （4）解：， 方程变形得：， 开方得：， 解得：，． 8．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题主要考查了利用直接开平方法解一元二次方程. （1）利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答； （3）利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答； （4）利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， ， （3）解：， ， ， ， ， （4）解：， ， ， ， ，． 9．（24-25八年级下·安徽亳州·阶段练习）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用直接开平方法求解即可． 【详解】解： 或， 解得：或， ∴原方程的根为：，． 10．（24-25九年级上·河北沧州·期中）用直接开平方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握直接开方法解方程，是解题的关键： （1）移项后，利用直接开方法解方程即可； （2）移项后，利用直接开方法解方程即可； （3）系数化1后，利用直接开方法解方程即可； （4）移项后，利用直接开方法解方程即可． 【详解】（1）解：， 即， 开方得：； （2）， 即， 开方得：； （3）， 即， 开方得：， 解得：，； （4）， 即， 开方得：， 解得：，． 题型二 配方法解一元二次方程 11．（2025·甘肃兰州·模拟预测）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】根据配方的基本步骤，解答即可． 本题考查了配方法解方程，熟练掌握解题方法是解题的关键． 【详解】解： 或 ∴，． 12．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）用配方法解方程 【答案】，． 【分析】利用配方法，将方程左边配成完全平方式，右边化为常数，再求解．本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤（移项、配方、开方、求解）是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， ， ∴，． 13．（2025九年级上·全国·专题练习）用配方法解方程： (1)． (2)； 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据配方法解方程即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可． （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，． （2）解：， ， 配方得， ∴ ∴ ∴， ∴，． 14．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）（过程纠错改错）下面是小君同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：二次项系数化为，得，第一步 配方，得，……第二步 变形，得，……………… 第三步 开方，得，………………… 第四步 解得，．…………… 第五步 (1)上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是___________； (2)上面小君同学的解题过程中，从第___________步开始出现错误，写出正确的解答过程． 【答案】(1)完全平方公式 (2)二，过程见解析 【分析】本题考查配方法解一元二次方程， （1）根据解答过程得出依据即可； （2）根据配方法判断即可； 掌握利用配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是完全平方公式； 故答案为：完全平方公式； （2）上面小君同学的解题过程中，从第二步开始出现错误，写出正确的解答过程如下： 正确过程如下： ， 解：移项，得：， 二次项系数化为，得：， 配方，得：， 变形，得：， 开方，得∶， 解得∶，． 15．（24-25九年级上·甘肃天水·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，根据方程的形式选择合适的方法求解． 利用配方法，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，则左边是完全平方式，右边是常数，即可求解. 【详解】解： 配方得： 即 开方得： 16．（24-25九年级上·吉林·期末）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用配方法解方程即可求解，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解： ∴，． 17．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．根据配方法求解即可． 【详解】解：， 移项得，， 配方得，，即， 开平方得，， 解得，， ∴，． 18．（24-25九年级上·辽宁丹东·阶段练习）用配方法解下列方程： 【答案】， 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是关键． 方程变形为，则，利用开平方得到，即可得到方程的根． 【详解】解： ∴ 则 ∴ 开平方得到， ∴， 19．（24-25九年级上·北京·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 用配方法求解即可． 【详解】解： ， ∴． 20．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程．先变形、移项，得到，再通过配方求解． 【详解】解： ∴， 即， ， ， ，． 题型三 公式法解一元二次方程 21．（24-25九年级上·辽宁丹东·阶段练习）用公式法解下列方程： 【答案】， 【分析】本题考查了利用公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法是解题关键． 根据方程中的，，，利用公式法解一元二次方程即可得． 【详解】解：， ∴， 方程中的，，， 方程根的判别式， ∴， 则方程的解为，． 22．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是用公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解答本题的关键． 【小问1分析】 对一元二次方程进行移项、合并同类项等步骤将方程化为一般形式并分析出二次项系数、一次项系数以及常数项，然后利用求根公式对方程进行求解． 【小问2分析】 对一元二次方程进行去括号、移项等步骤将方程化为一般形式并分析出二次项系数、一次项系数以及常数项，然后利用求根公式对方程进行求解． 【详解】【小问1详解】 解： 移项、合并同类项得 观察可得 ；； 故答案为：. 【小问2详解】 解： 去括号得 移项得； 合并同类项得 ； ， 23．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）用公式法解一元二次方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把原方程化为一般式，进而确定二次项系数，一次项系数和常数项，再利用公式法求解即可． 【详解】解： 化为一般式得：， 则， ∴， ∴， 解得． 24．（24-25九年级上·全国·随堂练习）用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)， (2)原方程无实数根 (3) (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法是解此题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可； （4）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：整理可得：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：整理可得：， ∴，，， ∴， ∴原方程无实数根； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 25．（24-25九年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，解题关键是将方程化为一般形式． （1）先把方程化成一般形式，再求出，，的值， 判断出△的符号， 再代入求根公式， 进行计算即可． （2）通过移项化成一般形式，再求出，，的值， 判断出△的符号， 再代入求根公式； （3）求出，，的值， 判断出△的符号， 再代入求根公式， 【详解】（1）解：原方程可化为， ，，， ， ， ，； （2）， 移项，得； ，，， ， ， ，； （3）， ，，， ， ． 26．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2) 【详解】解：（1），，， ， 方程有两个不等的实数根， ，． （2）原方程可化为． ，，， ， 方程有两个相等的实数根． 27．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）用公式法解方程． 【答案】， 【分析】此题考查了公式法解一元二次方程．根据一元二次方程的一般形式得到，，，计算得到，代入求根公式进行计算即可． 【详解】解： ∵，，， ∴， ∴， 解得，． 28．（24-25九年级下·福建福州·开学考试）用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，熟记公式法解一元二次方程是解决问题的关键．先求解，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ． 29．（24-25九年级下·湖南常德·期中）用公式法解一元二次方程： 【答案】 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握用公式法解一元二次方程的方法和步骤． 先求出，得出该方程有实数根，再根据求根公式，即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 30．（2025·广东深圳·一模）小海在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下所示： 解方程 解： （第一步） （第二步） ∴原方程无实数根 （第三步） 小海的解答过程从第__________步开始出错的，其错误的原因是__________； 【答案】一，原方程没有化成一般形式 【分析】根据公式法解方程的基本步骤解答即可． 本题考查了公式法解方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：由 故 （第一步） （第二步） ∴原方程有两个不相等的实数根， 故答案为：一；原方程没有化成一般形式． 题型四 因式分解法解一元二次方程 31．（24-25九年级上·广东肇庆·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 或 解得，； （2）解： 或 解得，． 32．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）解方程：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解方程． 利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 或 或． 33．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先将方程整理成一般形式，然后通过因式分解把方程转化为两个一次因式乘积为的形式，再根据“若，则或”求解． （2）通过因式分解把方程转化为两个一次因式乘积为的形式，再根据“若，则或”求解． 本题主要考查了一元二次方程的因式分解法求解，熟练掌握因式分解的方法以及“若两个因式乘积为，则至少其中一个因式为”的原理是解题的关键． 【详解】（1）解： ∴ 或 （2）解： ∴ 或 34．（24-25八年级下·浙江绍兴·阶段练习）解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； （2）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 35．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用因式分解法解答即可； （）把右边移到左边，再利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 36．（2025·黑龙江·模拟预测）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．将方程变形为，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 或 解得：，． 37．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴， ∴，或， 解得，； （2）解：， ∴， ， ， ， ∴，或， 解得，． 38．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（1）运用因式分解法解方程即可； （2）运用因式分解法解方程即可． 本题主要考查了运用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：因式分解，得， ∴或， 解得，； （2）解：由， 得， ， ， ∴或 解得，． 39．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键． （）利用因式分解法即可求解； （）利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 40．（2025·江西宜春·模拟预测）解方程，下面是甲、乙两同学的部分运算过程． 甲同学： 两边同时除以， 得， 则． 乙同学： 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． (1)解一元二次方程的基本思想是____________（填“降次”或“消元”）； (2)请判断他们的解法是否正确？若其中有一位同学正确，请写出一种异于该同学解法的正确解答过程；若都错误，请写出你认为正确的解答过程． 【答案】(1)降次 (2)都错误．见解析， 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是解题过程中注意符号的选择． （1）根据解一元二次方程的思想是降次直接选即可得到答案； （2）根据一元二次方程的解法直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：解一元二次方程的基本思想是降次， 故答案为：降次； （2）解：都错误． 正确的解答过程如下： 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． 题型五 指定方法解一元二次方程 41．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）变形后，利用因式分解法求解； （3）利用因式分解法求解； （4）移项后，利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， 则，，， ∴， ∴， 解得：，； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （3）， ∴， ∴或， 解得：，； （4）， ∴， ∴， 即， ∴或， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的不同解法．一般有直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，要针对题目选用适当的方法求解． 42．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）请用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）； (4)（公式法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查解一元二次方程， （1）先移项，再直接开方即可求解； （2）等式两边同时乘以2，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开方即可求解； （3）移项，提取公因式即可求解； （4）确定的值，再运用判定根的情况，若，则，否则无解，由此即可求解． 【详解】（1）解：（直接开平方法） 移项得，， 直接开方得，， ∴， ∴； （2）解：（配方法） 等式两边同时乘以2得，， 等式两边同时加4得，， ∴， 直接开方得，， ∴， ∴； （3）解：（因式分解法） 等式右边提取公因式2得，， 移项得，， 提取公因式得，， ∴或， 解得，； （4）解：（公式法） ，， ∴， ∴． 43．（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法） (2)．（配方法） (3)（用公式法） (4)（用因式分解法） 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键． （1）开平方得到，即可求出方程的解； （2）把原方程配方成，再利用开平方法解方程即可； （3）写出，求出，代入即可得到方程的解； （4）移项后因式分解得到，则或，即可得到方程的解． 【详解】（1）解：， 开平方得，， ∴或， 解得，； （2）解：， 原方程整理得． 配方，得：，即， 两边开平方，得， ∴，； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴，； （4）解：， 移项得，， 因式分解得，， ∴或， 解得，． 44．（2025九年级上·全国·专题练习）用指定方法解下列一元二次方程． (1) （直接开平方法） (2) （配方法） 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键． （1 ）将常数项移到等号右侧，利用直接开平方法求解即可； （2 ）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ∴，； （2）， ， ， ， ∴，； 45．（2025九年级上·全国·专题练习）按照指定方法解下列方程： (1)（用直接开平方法） (2)（用配方法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）两边开平方得到，即可求出方程的解； （2）把原方程配方成，再利用开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：， 开平方得，， ∴或， 解得：； （2）解：原方程整理得， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：，即， 两边开平方，得， ∴． 46．（24-25八年级下·安徽滁州·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程． (1) (直接开平方法) (2) (配方法) (3) (公式法) (4) (因式分解法) 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键． （1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可； （2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得； （3）确定出a、b、c的值，然后按照公式法的步骤进行求解即可； （4）方程左边利用完全平方公式进行分解，继而进行求解即可得． 【详解】（1）， ， ， ∴； （2）， ， ， ， ∴，； （3）， ，，， ， ∴， 即； （4）， ， ， ∴． 47．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）用指定方法解下列方程： (1)；（配方法） (2)；（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）先移项，然后运用完全平方公式配方求解即可； （2）先把方程化成一般式，然后运用根的判别式判定根的存在，再运用根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 所以  ． （2）解：， ， ∴， ∴， ∴， ∴  ． 48．（24-25九年级上·山东滨州·期末）按指定方法解一元二次方程 (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次． （1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方式后，再开方，即可得出结果； （2）先求解，再利用求根公式计算即可． 【详解】（1）解： 移项，化“1”得：， 配方，得：， 即， 由此可得：， ，； （2）解： ，，， ， 方程有两个不等的实数根， ， 即，． 49．（24-25九年级上·重庆南岸·开学考试）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） (4)（十字相乘法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，公式法，以及直接开方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． （1）把常数项4移项后，再在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方，再进行计算即可． （2）找出，，的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解； （3）方程移项后，提取公因式，因式分解得到，然后解两个一元一次方程即可； （4）把方程左边进行因式分解得到，然后解两个一元一次方程即可． 【详解】（1）， ， ， ， ， ，； （2）， ，，，， ， ，； （3）， ， ， ， ， 或， ，； （4）． ， 或， ，． 50．（24-25八年级下·山东泰安·期中）按照指定方法解下列方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)． 【答案】(1)，； (2) (3)， 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）利用分解因式法解方程即可． 【详解】（1）解：， 方程变形得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，； （2）解：， ，，， ， ， 解得：； （3）解： 整理得：， 分解因式得：， 或， 解得：，． 【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． 题型六 由一元二次方程的解求代数式值 51．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）已知． (1)化简A； (2)若a为方程的一个解，求A的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式化简求值，一元二次方程的解，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据分式四则混合运算法则，进行计算即可； （2）根据a为方程的一个解得出，整理得出，最后整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵a为方程的一个解， ， ， ， ． 52．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）已知m是方程的根，求代数式的值． 【答案】1 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，一元二次方程的解．根据题意易得：，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：是方程的根， ， ， ． 53．（24-25九年级上·全国·期末）已知a是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】23 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，理解方程的解满足方程是解答的关键． 根据a是方程的一个根，可以得到，然后将所求式子化简，再将整体代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 54．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义可得，则，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 55．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）已知是关于的方程的一个根， (1)求的值； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根、分式的化简与求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入到方程得到关于的方程，即可求解； （2）利用分式的运算法则化简式子，再代值计算即可． 【详解】（1）解：代入到方程得，， 解得：； （2）解： ， 代入，原式． 56．（24-25九年级下·全国·假期作业）若关于的方程，，均为常数，的解是，，求方程的解． 【答案】， 【分析】本题考查了方程的解，解含参数的一元二次方程，利用直接开平方法得方程的解，则，，再解方程得，即可求解．理解方程的解，能熟练解含参数的一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， 解得：， 关于的方程的解是，， ，， 方程的解为， ， ，． 57．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知m是方程的一个根． (1)的值为______． (2)求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键： （1）把m代入方程，得到，进而得到，整体代入法求出代数式的值； （2）把m代入方程，得到，两边同时除以即可得出结果． 【详解】（1）解：把m代入方程，得：， ∴， ∴； 故答案为：； （2）是方程的一个根， ，且． 将等式两边同时除以m，得 ． 58．（24-25八年级下·北京·期中）已知是方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再把所求代数式变形，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的根， ， ． 59．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）若m是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的应用，运用适当的变形，渗透整体代入的思想解决问题． 把代入方程得，从而得到，再由，整体代入计算即可． 【详解】解：将代入，得， ∴， ∴ ． 60．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，由方程的解可得，可得，，再代入计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， ． ∴，． ． 题型七 配方法的应用 61．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）求式子的最小值. 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，将代数式进行配方，求解即可，解题的关键是掌握配方法的步骤，正确的将式子进行变形． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴式子的最小值为． 62．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）【阅读材料】分解因式：． 解：原式 ． 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项使这三项构成完全平方式，我们称这种方法为“配方法”．本题用“配方法”分解因式，请体会“配方法”的特点． (1)用“配方法”分解因式． (2)用“配方法”求代数式的最小值． (3)已知，请求以a、b为边的等腰三角形的底边长； 【答案】(1) (2)4 (3)等腰三角形的底边长为1 【分析】（1）根据“配方法”，将变形为，后用完全平方公式，平方差公式分解因式即可． （2）用“配方法”构造完全平方式，利用非负性求代数式的最小值即可． （3）先将转化为，求得a、b，后分类求等腰三角形的底边长． 【详解】（1）解： ． （2）解： 的最小值是4． （3）∵， ∴， ∴，， ∴，， ①当三边为2，2，1时，能构成三角形， ∴底边长为1； ②当三边为2，1，1时，不能构成三角形， 综上可知：等腰三角形的底边长为1． 【点睛】本题考查了配方法分解因式，求代数式的最值，实数的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系定理应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 63．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：，因为，所以．所以当时，有最小值，最小值为1．通过阅读，解下列问题： (1)代数式的最小值为； (2)求代数式的最大或最小值． 【答案】(1) (2)最大值为10 【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法，以及完全平方的非负性，是解题的关键： （1）仿照题干的方法进行求解即可； （2）仿照题干的方法进行求解即可． 【详解】（1）解： ； ∵， ∴， ∴当时，有最小值为； （2） ； ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为10． 64．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个结论对代数式进行配方来解决．比如，，，的最小值是，试利用“配方法”解决下列问题： (1)求代数式的最小值时，（______）______，因此当______时，的最小值是______． (2)请比较多项式与的大小，并说明理由． (3)如图，在中，，，，点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为秒，求的最大值． 【答案】(1)4，14，4，14； (2)，理由见解析； (3)时，有最大值 【分析】本题考查了完全平方式，配方法，作差法比较整式的大小，平方的非负性，整式的加减，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用配方法可得，，时，的最小值为14； （2）利用“作差法”，可得，再利用平方的非负性，可得，从而比较出大小； （3）先表示出和，然后表示出，利用表示出面积，然后利用配方法，求得最大值． 【详解】（1）解：4，14，4，14，理由如下： ，， 时，的最小值为14； （2）解：，理由如下： ，， ， ， （3）解：点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动，时间为， ，， 在中，，，， ， ， ，， 时，有最大值， 的最大值为． 65．（24-25八年级上·北京·期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义： 对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称； (2)若关于的多项式．关于对称，求的值； (3)整式关于______对称． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题主要考查了配方法的应用，灵活运用配方法以及新定义判断出对称轴是解题的关键． （1）先对多项式进行配方，再根据新定义判断即可； （2）求出的对称轴，令对称轴即可解答； （3）先对多项式进行配方，再根据新定义判断即可． 【详解】（1）解：，则多项式关于对称． 故答案为：3． （2）解：∵， ∴关于x的多项式关于对称， ∵关于的多项式，关于对称， ∴， ∴． （3）解： ∴关于对称． 故答案为：． 66．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查配方的运用，掌握完全平方公式，配方法的计算方法是关键． （1）找出一次项系数，运用配方法得到，即可求解； （2）运用作差法得到，再运用配方法比较结果的正负，即可求解； （3）运用配方法分别求出最值即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时，多项式有最大值，最大值是； （2）解：，理由如下， ， ∵， ∴，即， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为． 67．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）阅读以下材料： 将代数式进行如下变形： ． ， ． 当时，存在最小值2． 根据以上材料，完成下列问题： (1)_____； (2)求代数式的最小值； (3)求代数式的最值． 【答案】(1)4，2． (2)1 (3)最大值为． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，将多项式变形为完全平方式，再利用非负数的性质解答是解题的关键． （1）根据完全平方公式的常数项为一次项系数绝对值一半的平方即可得出结论， （2）将多项式加再减，利用配方法后可得结论； （3）将多项式改写为，再配方可得结论． 【详解】（1）， 故答案为：4，2． （2） ， ． 当时，存在最小值1． （3）， ， ， 当时，代数式有最大值． 68．（24-25九年级上·山东德州·期末）阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：求代数式的最小值． ， 当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)如果（    ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为______． (2)当x为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ (3)当a，b为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)9 (2)当为4时，多项式有最小值，最小值是 (3)当时，多项式有最小值，最小值是2 【分析】本题考查了配方法，完全平方式的应用，熟练掌握完全平方式的非负性是解题的关键． （1）根据完全平方式的定义，添加常数项，把原式配成完全平方式即可； （2）仿照示例，把变形为，从而得到结果； （3）根据题意，把原式变形为，可得到结果． 【详解】（1）解：， 故答案为：9； （2）解：， ， ∴当时，代数式有最小值， 答：当为4时，多项式有最小值，最小值是； （3）解： ， ， ， ∴当时，多项式有最小值，最小值是2． 69．（17-18八年级上·山西·阶段练习）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： 的最小值是4． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题时要注意在变形的过程中不要改变式子的值，把式子变成完全平方与一个常数的和的形式． （1）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答； （2）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值为． （2）解：， ， ， 的最大值为5． 70．（24-25九年级上·新疆昌吉·期中）阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下： ， 由，得； 代数式的最小值是4． 请仿照上述方法，求代数式的最小值． 【答案】 【分析】本题考查的是配方法的应用和偶次方的非负性，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答． 【详解】解： ， ∴代数式的最小值是． 题型八 换元法解一元二次方程 71．（2025九年级上·全国·专题练习）请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程方程的基本方法，是利用整体换元法解方程的关键． （1）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． （2）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可化为，解得． 当时，； 当时，，此方程无解． 综上所述，原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 解得． 当时，； 当时，． 综上所述，原方程的解为． 72．（2025九年级上·全国·专题练习）换元法解方程：． 【答案】，， 【分析】本题主要考查利用整体思想及换元法、因式分解法求一元二次方程的根，能够熟练运用式子相乘以及整体思想是解题关键设，则，解方程得到或，带回后再解一元二次方程求解未知数的值即可． 【详解】解：设．则． 解得或． 当时，，即． 解得． 当时，，即． 解得，． 综上所述，原方程的解为，，． 73．（2025九年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，，． (2)， 【分析】本题考查的是利用换元法解一元二次方程，掌握解法步骤是关键； （1）把原方程化为：，设，则．再按照一元二次方程的解法求解即可； （2）把原方程化为：，设，则，再按照解一元二次方程的解法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则． 解得：，． 当时，， ∴； 当时， ∴； ∴原方程的解是：，，． （2）解：∵， ∴， 即． 设，则， 解得：，． 当时，即， ∴或． 当时，即， ∴方程无解． ∴原方程的解是：，． 74．（24-25九年级上·全国·阶段练习）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 问题： (1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　； (2)利用以上学习到的方法解下面方程： 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，理解题中求解过程，熟练掌握换元法和转化思想的运用是解答的关键． （1）根据题意可得，然后去分母即可化为一般式； （2）仿照材料中的求解过程，利用换元法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，化为一般式为， 故答案为：； （2）解：设，则原方程化为， 整理，得，解得或， 当时，即，解得或 当时，即，方程无解； 综上所述，原方程的解为或． 75．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）【阅读材料】 方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①， 解方程①可得，； 当时，，即，； 当时，，即，； 原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 【答案】(1)降次 (2) (3) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据题意可得换元法达到降次的目的； （2）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解； （3）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解． 【详解】（1）解：利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想 （2）解：设，则原方程可化为 整理，得 解得， 又∵ （3）解：设，则原方程可化为 解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 原方程的解为． 76．（24-25九年级下·四川资阳·阶段练习）已知，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查了代数式求值，用换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法． 设，可得一元二次方程，解一元二次方程可得答案． 【详解】解：设，则原方程等价于， ∴， 解得或（不符合题意，舍取）， ∴． 77．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为. 解得， 当时，，∴.∴； 当时，，∴.∴. ∴原方程的解为，，，； 请利用以上知识解决下列问题： 如果，求的值. 【答案】 【分析】将视为一个整体，然后设则原方程化为．求得方程的解，进一步分析探讨得出答案即可． 此题考查换元法解一元二次方程，掌握整体的代换方法是解决问题的关键． 【详解】解：， 设， 则原方程化为， 即， ， 解得，， ∵不能是负数， ∴ 78．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）阅读下列材料： 解方程：． 设，那么，于是原方程可变为①， 解这个方程得：，． 当时，，∴； 当时，，∴， 所以原方程有四个根：，，，． 根据上述解方程的方法，解决下列问题： (1)解方程时，若设，直接写出用表示该方程； (2)若，求的值； (3)若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数． 【答案】(1) (2) (3)2，3，4，5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法的解题步骤． （1）根据换元法，可得答案； （2）根据换元法，可得答案； （3）根据换元法，可得答案． 【详解】（1）解：设，则； （2）解：设，则， ，即， 解得，则或（舍去） ； （3）解：设最小的正整数为，则其它三个正整数分别为，，， 根据题意，得， ， 设，则， ， 解得，（舍去） ，即， 解得，（舍去）， 这四个连续的正整数为2，3，4，5． 79．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得；当时，即，解得．所以原方程的解为，． 请利用这种方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，理解题中求解方法是解答的关键．设，则原方程可化为，解方程得，，再解方程和，即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可化为，即， 解得，， 当时，，即， ∵， ∴此方程无实数根，舍去； 当时， ，即， 解得，， ∴原方程的解为，． 80．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程：． 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，； 当时，即，； 原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程：． 将其变形为， ， ， ， ， 或， 原方程有三个根：，，． (1)仿照以上方法解方程： ①； ②； (2)已知：，且，求的值． 【答案】(1)①，；②原方程有三个根：，， (2) 【分析】本题考查根的判别式，解一元二次方程—配方法，换元法，因式分解法，解题的关键是学会模仿例题解决问题． （1）模仿例题解决问题即可； （2）求出的值，利用降次思想求解即可． 【详解】（1）解：①设，则原方程可变为，解得， 当时，即，∴无解（舍去） 当时，即，，． ②将其变形为： ， ， 或 原方程有三个根：，，． （2）， ，且 ， 原式． 题型九 一元二次方程根与系数的关系计算 81．（24-25九年级上·全国·课后作业）不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： （1）；       （2）； （3）；     （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）（2）是一般式，先根据判别式确定根的情况，再利用韦达定理即可；（3）(4)先整理成一般式，再根据判别式确定根的情况，然后利用韦达定理即可． 【详解】解：（1）∵， 且， ∴； （2）∵， 且， ∴； （3）方程化为， ∵， 且， ∴； （4）方程化为，∵，且， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握相关公式是解决本题的关键． 82．（24-25九年级上·贵州黔西·期末）已知是方程的两个根，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)19 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根与系数的关系，结合整体思想即可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合整体思想即可解决问题． 【详解】（1）解：因为是方程的两个根， 所以，， ． （2）解：因为是方程的两个根， 所以，， ． 83．（24-25九年级上·全国·随堂练习）若方程的两实数根为a，b．求下列代数式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系； （1）由根与系数的关系可得：，，再进一步求解即可； （2）先通分，再把，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵方程的两实数根为a，b， ∴，， ∴． （2）解：∵，， ∴． 84．（24-25九年级下·全国·假期作业）判别下列方程根的情况．若有两个实数根，求出两个根的和与积． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)有两个不相等的实数根，， (2)有两个相等的实数根，， (3)有两个不相等的实数根，， (4)有两个不相等的实数根，， 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． 各个小题均根据根的判别式判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，求出两根和与两根积． 【详解】（1）解：， ，，， △ ， 方程有两个不相等的实数根， 设方程的两个根为：，， ； （2）解：， ，，， △ ， 方程有两个相等的实数根， 设方程的两个根为：，， ； （3）解：， ，，， △ ， 方程有两个不相等的实数根， 设方程的两个根为：，， ； （4）解：， ，，， △ ， 方程有两个不相等的实数根， 设方程的两个根为：，， ． 85．（24-25九年级下·全国·假期作业）不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系是解题关键． （1）首先去括号，进而整理为一元二次方程的一般形式，再利用根与系数的关系求出即可； （2）首先整理为一元二次方程的一般形式，再利用根与系数的关系求出即可． 【详解】（1）解：， 整理得：， 则，； （2）解：， 整理得：， 则，． 86．（24-25九年级上·全国·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程总有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程有一个实数根为1，求m的值和另一个实数根． 【答案】(1)； (2)m的值为1， 另一根为3 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程． （1）由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2 ）设为方程的另一个根，根据根与系数的关系可得出，，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）解：∵关于x的方程总有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：设为方程的另一个根， ∴，． 解得：，， ∴m的值为1，另一个根为3． 87．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若两实数根分别为和，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟知一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意可得，解之即可得到答案； （2）根据根与系数的关系可得，再根据计算求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴； （2）解：当时，原方程为， ∵原方程的两实数根分别为和， ∴， ∴． 88．（24-25八年级下·浙江·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程必有两个不相等的实数根． (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． （）计算一元二次方程根的判别式进而即可求证； （）利用根与系数的关系得，，代入求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得，， ∵， ∴， 解得：或， 经检验或是原方程的解， ∴或． 89．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解． (2)若是方程的一个解，求的值和方程的另一个解． 【答案】(1)， (2)，方程的另一个根为， 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，用公式法解一元二次方程． （1）将代入方程，利用公式法求一元二次方程的解； （2）根据根与系数的关系求出方程的另一个根以及的值． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ， ， 解得，； （2）解：设方程的另一个解为， 由根与系数的关系可知：， 解得， ，解得， ∴，方程的另一个根为． 90．（24-25九年级上·云南红河·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握根的判别式和根与系数之间的关系，是解题的关键： （1）求出判别式的符号进行判断即可； （2）根据根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ； ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）由题意，得：， ∴． 题型十 一元二次方程的新定义运算 91．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）对于实数a，b，我们定义一种运算“※”为：，例如． (1)计算； (2)若，求x的值． 【答案】(1)14 (2)或 【分析】此题考查了解一元二次方程，把新定义运算化为普通运算，得出一元二次方程是解本题的关键． （1）直接根据新定义得到答案； （2）根据题中的新定义，把转化为，然后解这个方程即可． 【详解】（1）解：根据新定义可知： ； （2）解：由新定义可知， 将转化为． 解得或． 92．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）定义新运算：对于任意实数m，n都有 ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算． 例如： ．根据以上知识解决问题： (1)求的值； (2)若， 求x的值． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题主要查了解一元二次方程： （1）直接根据新运算解答，即可求解； （2）根据新运算可得，再解出方程，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 即， 解得：． 93．（24-25九年级上·湖南永州·期中）定义新运算：对于任意实数a，b，c，d有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如：． (1)求的值； (2)已知关于x的方程的一个根为2，求m的值． 【答案】(1)10； (2)． 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，理解新定义是解题的关键． （1）根据定义计算即可； （2）先根据定义化简，再将代入，即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为， 所以， 又因为方程的一个根为2， 所以， 解得． 94．（24-25八年级下·北京·期中）定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)下列方程是“差积方程”的是 ； ① ② ③ (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明． 【答案】(1)①② (2)或， (3) 【分析】（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）根据求根公式求得，根据新定义列出方程即可求解． 本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①， 即， 解得：， ， 是差积方程； ②， 即， 解得， ， 是差积方程； ③， 即， 解得：，，故③不是差积方程； 故答案为：①②； （2）解：， 即， 解得：，， 是差积方程， ， 即或． 解得：或， （3）解：， 解得：， ， 是差积方程， ， 即， 即． 95．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）对于任意实数，，定义，已知，求实数的值． 【答案】实数的值为或． 【分析】本题考查一元二次方程是知识，解题的关键是根据新定义运算，得，解出，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 得或者， 解得：，， ∴实数的值为或． 96．（24-25九年级上·海南海口·阶段练习）定义一种新的运算法则：，如 (1)根据这个运算规则，计算的值． (2)求关于x的方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程： （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据新定义可得，据此解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 97．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、；那么两个根的关系为：，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 定义：倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (2)若是“倍根方程”，求m与n的关系； (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请说明， 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，新定义“倍根方程”的意义，理解“倍根方程”的意义和掌握根与系数的关系是解决问题的关键． （1）设方程的两个根为，，由倍根方程的定义可知，利用根与系数的关系即可求得的值； （2）根据倍根方程的定义即可找出，之间的关系； （3）设与是方程的解，根据根与系数之间的关系消去即可得出答案． 【详解】（1）解：设方程的两个根为，， ∵一元二次方程是“倍根方程”， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵方程的一个根为2， 则另一个根为1或4， 当另一个根为1时，则， ∴，即：， 当另一个根为4时，则， ∴，即：； （3）解：设与是方程的解， ，， 消去得：． 98．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”． 例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程 是否是“邻根方程” (2)已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2)或． 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的求解． （1）求解方程，即可进行判断． （2）利用因式分解求解方程，根据该方程是“邻根方程”即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵，， 故该方程不是“邻根方程”． （2） ∴． ∴． 由题意得：或， 解得：或． 99．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，求的值． 【答案】， 【分析】根据题意列出方程，解一元二次方程即可． 【详解】解：， 由题意得，， 整理得，， 解得，，． 【点睛】本题考查的是整式的混合运算，解一元二次方程，掌握它们的运算法则是解题的关键． 100．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为，根据这个规则，求 (1)的值； (2)中x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，用的平方减去的平方，求出的值是多少即可； （2）根据，可得，据此求出的值是多少即可． 【详解】（1）解：， ； （2）， ， ， 解得：． 【点睛】本题主要考查了定义新运算，以及实数的运算，解一元二次方程，解题关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$