专题02 一元二次方程根与系数的关系强化练习（专项训练）数学冀教版九年级上册

专题02 一元二次方程根与系数的关系强化练习 目录 题型一、利用根与系数的关系直接求代数式的值 1 题型二、利用根与系数的关系简介求代数式的值 2 题型三、利用根与系数的关系降次求代数式的值 3 题型四、利用根与系数的关系求参数的值 5 题型五、构造一元二次方程求代数式的值 6 题型六、利用根与系数的关系判断根的情况 8 题型七、根的代入与根与系数的关系结合问题 8 题型八、根与系数的关系中新定义问题 8 题型九、根与系数关系的多结论判断 9 题型十、根与系数关系与几何图形结合 11 题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值 1．设方程的两根分别是，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：因为方程的两根分别是， 所以． 故选：A． 2．若一元二次方程的两个不相等的实数根为，，则：的值是（   ） A．－2 B．1 C．7 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，先求出根的和与积，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解∶∵一元二次方程的两个不相等的实数根为，， ∴，． ∴， 故选∶D． 3．若a，b是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故答案为：． 4．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系是解题关键． （1）首先去括号，进而整理为一元二次方程的一般形式，再利用根与系数的关系求出即可； （2）首先整理为一元二次方程的一般形式，再利用根与系数的关系求出即可． 【详解】（1）解：， 整理得：， 则，； （2）解：， 整理得：， 则，． 题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值 5．设m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出和是解答本题的关键． 根据m，n是方程的两个实数根，可得，即，根据一元二次方程根与系数的关系可知，将变形为，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 6．已知实数，是关于的一元二次方程的两个根，则代数式的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系． 先将方程整理为标准形式，利用根与系数的关系求出根的和与积，再将代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：原方程 移项得， 依题得 、是方程的两个实数根， ，， ， 原式． 故选：． 7．已知、是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】由于、是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系可得，而是方程的一个根，可得，即，那么，再把、的值整体代入计算即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴， ∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查根与系数的关系，求代数式的值，一元二次方程解的定义．解题的关键是熟练掌握一元二次方程两根、之间的关系：，． 8．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若两实数根分别为和，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟知一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意可得，解之即可得到答案； （2）根据根与系数的关系可得，再根据计算求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴； （2）解：当时，原方程为， ∵原方程的两实数根分别为和， ∴， ∴． 题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值 9．已知α，β是方程的两个实数根，则式子的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系．难度中等．关键是利用方程根的定义及完全平方公式将所求代数式降次，再结合根与系数的关系求解． 利用方程根的定义及根与系数的关系，通过降次化简表达式即可得出答案． 【详解】∵是方程的根， ， ， ， 又∵、是方程的两个实根， ， ． 故选：C． 10．若a，b是方程两个不相等的实数根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整体代换求代数式的值，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系；掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 由一元二次方程的解及一元二次方程根与系数的关系得，，，可得，代入求解即可． 【详解】解：a，b是方程两个不相等的实数根， ，，， ， ， 故答案为：． 11．若m、n是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系； 首先把m、n代入方程，可得，，再根据一元二次方程根与系数的关系，可得，求出，用整体代入法计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，，， ，， ， ∴ ， 故答案为：． 12．已知、是方程的两个实根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系得，，将原式变形，整体代入计算即可 【详解】解：∵、是方程的两个实根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 题型四 利用根与系数的关系求参数的值 13．关于的方程的两个实数根，，满足，那么的取值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解不等式，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解决问题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系得到，，结合，得到，整理得到关于的不等式，进而得到取值范围，即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程的两个实数根，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 整理得，， ∴， 解得， 那么的取值可以是． 故选：D． 14．若方程的两根分别为，，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系； 先根据一元二次方程根的判别式的意义求出，再利用根与系数的关系得出，结合已知条件即可求出m的取值范围． 【详解】解：将方程整理为， ∴， 解得：， 根据根与系数的关系可得：， ∵， ∴， ∴， 综上，m的取值范围为， 故选：D． 15．若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，根据根与系数的关系可得，则，解方程可得或，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ， ∴， ∴， 故答案为：1． 16．已知关于的一元二次方程的两个根是和． (1)当时，求的值； (2)设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟知解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）由根与系数的关系得到，，再根据代值计算即可； （2）由，可得出无论为何值，关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，由根与系数的关系得到，，再根据得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ∵关于的一元二次方程的两个根是和， ∴，， ∴ ； （2）解：∵， ∴无论为何值，关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根． ∵关于的一元二次方程的两个根是和， ∴，， ∵， ∴． 题型五 构造一元二次方程求代数式的值 17．如果实数、（）分别满足，，则的值等于（   ） A． B． C． D．2025 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟练的构建一元二次方程的解本题的关键． 由，可得，可得，可得，是方程的两个根，，，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，而，， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∴； 故选：C． 18．实数、满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意可得实数、可以看做是关于的方程的两个不同的实数根，则由根与系数的关系可得，则，据此可得． 【详解】解：∵实数、满足， ∴实数、可以看做是关于的方程的两个不同的实数根， ∴， ∴， ∴， ， 故选：A． 19．已知，且有，则的值等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将变形，得到是的两根是解题的关键．将两边同除以，即可得是的两根，根据根与系数的关系，即可解答． 【详解】解：当时，不成立，故， 两边同除以后，可得， ∵，即， 可以看作是的两根， ， 故答案为：． 20．阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则的值为 ； (3)提升：已知实数s，t满足，且，则的值 ； (4)拓展：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4) 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可； （4）根据方程有两个不相等的实数根得到，求出，然后利用根与系数的关系得到，，然后代入求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； （2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； （3）解：∵实数s、t满足， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ， ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． （4）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得 ∵关于的一元二次方程 ∴， ∵ ∴ ∴ 解得 综上所述，． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的变形计算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 题型六 利用根与系数的关系判断根的情况 21．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③存在实数，使得； ④若是方程的一个根，则一定有成立 其中正确的有（   ） A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程综合．熟练掌握方程解的含义，根与判别式的关系，根与系数的关系，是解题的关键． 一元二次方程的有关性质．一元二次方程解的含义，代数变形，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，逐一分析每个命题的正确性，进行判断即可． 【详解】命题①：∵方程有两个不等实根， ∴根判别式． ∴原方程的判别式为， 原方程必有两个不等实根． ∴①正确． 命题②：∵是方程的根， ∴， ∴． ∴． ∴②正确． 命题③：∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． 存在实数m、n满足此条件（如取，）． ∴③正确． 命题④：∵c是方程的根， ∴， ∴． 当时，方程成立但不一定为0． ∴④错误． 综上，正确的命题为①②③， 故选：D． 22．已知关于x的方程，则下列说法正确的个数为（   ） ①若该方程为一元二次方程，则； ②当时，该方程有两实数根，且； ③当，该方程总有两不相等的实数根； ④若k为正整数，此方程有两个不相等的实数根且都为整数，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程，①根据一元二次方程的定义判断；②代入，验证根的和是否为6；③计算判别式Δ，分析k的取值对Δ的影响；④求满足条件的正整数k，验证根是否为整数． 【详解】解：①方程为一元二次方程时，二次项系数，即，故说法①正确； ②当时，方程化简为，根的和为，故说法②错误； ③判别式，当时，，但需（否则方程非二次），题目未排除，故说法③错误； ④解方程得根为，，要求为整数，得（唯一正整数解），故说法④正确． 综上，正确的为①④，共2个， 故选：B． 23．已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是先得出，再求代数式的值． 【详解】解：已知是一元二次方程的两个不相等的实数根， 则， 则， 故答案为：． 24．已知一元二次方程． (1)当时，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． (2)当时，请判别方程根的情况． 【答案】(1)，方程的另一个根为 (2)方程有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根和系数的关系，一元二次方程根的判别式，掌握以上知识点是解题的关键． （）把，代入方程可求出的值，利用根和系数的关系可求出方程的另一个根； （）求出的值即可判断求解； 【详解】（1）解：把，代入方程，得， 解得， 设方程的另一个根为， 由根和系数的关系得，， ∴， 即方程的另一个根为； （2）解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 题型七 根的代入与根与系数的关系结合问题 25．已知α，β是方程的两个根，则代数式的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据根与系数的关系得到，通过一元二次方程的解的定义得到，，即可得到，，进一步即可求出答案． 【详解】解：∵α，β是方程的两个根， ∴，，， ∴，， ∴ ． 故选：C． 26．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，是一元二次方程的两个实数根，得到，，化简代入计算即可． 本题考查了方程的根，根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 27．设m，n分别为方程的两个实数根，则 ． 【答案】2035 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据方程的解的定义得出，求出，根据根与系数的关系得出，变形后代入，即可求出答案． 【详解】解：、分别为方程的两个实数根， ， ， 、分别为方程的两个实数根， ， ∴， 故答案为：2035． 28．已知：关于x的方程． (1)求证：方程必有两个不相等的实数根； (2)若是该方程的根，且，求p的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程． （1）直接根据根的判别式证明即可； （2）根据由题意得，，求出，解方程即可． 【详解】（1）解：． ∵， ∴方程必有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得，， ∵， ∴． ∴． 解得． 题型八 根与系数的关系中新定义问题 29．对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义下的实数运算；由得：，由根与系数的关系得；再把所求代数式通分，整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， ∵m，n是方程的两个实数根， 即m，n是方程的两个实数根， ∴； ∴； 故选：A． 30．定义为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则的值为（    ） A．或4 B． C． D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意得出该方程为，由一元二次方程根的判别式得出，设两实数根为，，则，，结合方程的两实数根的平方和为12，列出关于的方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知，该方程为， ∵方程的两实数根的平方和为12， ∴， ∴， 设两实数根为，，则，， ∵ ∴， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， 故选：C． 31．定义新运算“*”：对于实数x和y，有，例如：，若关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据新定义，列出常规式的方程，解答即可． 本题考查了新定义的应用，正确理解定义，建立方程是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴变形为， 整理，得， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 32．材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得 ，是“和积方程”． 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． (1)方程 （填是或不是）“和积方程”； (2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____ (3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)m的值为或或． 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，理解新定义是解题的关键． （1）根据“韦达定理”计算即可判断； （2）根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解； （3）利用要根的判别式求得，再根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：设方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴方程不是“和积方程”， 故答案为：不是； （2）解：∵关于x的方程是“和积方程”， ，， ∴， 当时，解得； 当时，解得； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵方程是“和积方程”， ∴， 当时， 整理得， 解得（舍去）或； 当时， 整理得， 解得或； ∴m的值为或或． 题型九 根与系数关系的多结论判断问题 33．对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（   ） A．只有② B．只有②④ C．只有②③ D．只有②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，根据一元二次方程的根的含义、一元二次方程的根的判别式、等式的性质、一元二次方程的求根公式，对各选项分别讨论，即可得出答案． 【详解】解：①当时，，∴方程必有一个根为，故①错误，不符合题意； ②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确，符合题意； ③由c是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，故③不一定正确，不符合题意；④若是一元二次方程的根，可得，把的值代入，可得，故④正确，符合题意． 正确的结论为②④， 故选：B． 34．已知关于x的一元二次方程： ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程有一根为； ③无论或，方程都有两个不相等的实数根； ④若是方程的一个根，则式子一定成立． 以上说法正确的有（   ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解与根的判别式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，灵活应用方程的根与等式的变形是解题关键． ①利用根与系数关系求出b、c表达式，验证等式是否成立； ②代入验证是否满足方程； ③根据所给式子，利用判别式分别对方程的根的情况进行判断即可； ④将所求式子作差，判断差的情况即可． 【详解】解：①∵方程的两个根为和1， ∴ ， ，∴，， ∴，故说法①不正确； ②若，代入得，即方程有一根为，故②正确； ③当时，，所以该方程必有两个不相等的实数根， 当时，，所以该方程必有两个不相等的实数根， 故说法③正确； ④∵是方程的一个根，∴ ， ∵ ∴，故说法④正确． 综上，正确说法为②③④， 故选：C． 35．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系等知识，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键； 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，进而可判断①；把代入方程变形进而可判断②；把代入方程即可判断③；把代入方程变形整理得到，即可判断④，即可求解. 【详解】解：若方程的两个根是和，则， ∴， ∴，故说法①正确； 若是方程的一个根，则， ∴， ∴或， ∴当时，不一定有，故说法②错误； 若方程有一个根是，则，反之也成立，故说法③正确； 若方程有一个根是，则， ∴，即， ∴方程一定有一个实数根，故说法④正确； 综上，说法正确的有3个， 故选：C． 36．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若是倍根方程，则；③若，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为1．其中正确的是 ．（写出所有正确说法的序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，解本题的关键在理解题意，正确作出判断． 通过解出一元二次方程，结合“倍根方程”的定义，即可判断说法①；根据解方程，得出，，再结合“倍根方程”的定义，得出或，进而得出或，然后再用十字相乘法分解，再把，代入，即可判断说法②；通过解出一元二次方程，结合“倍根方程”的定义，即可判断说法③；根据“倍根方程”的定义，设，再根据一元二次方程根与系数的关系，得出，进而得出，解出即可判断说法④． 【详解】解：①解方程得：， ∴方程不是倍根方程，故①不正确； ②∵是倍根方程，且，， ∴或， ∴或， ∴，故②正确； ③∵， 解方程得：，， ∴，故③正确； ④∵方程是倍根方程， ∴设， ∵，即， ∴， ∴， ∴，即方程的一个根为1． 故④正确． 综上所述，说法正确的为：②③④． 故答案是：②③④ 题型十 根与系数关系与几何图形结合 37．关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（   ） A．14 B．10 C．14或10 D．10或12 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义；由方程的解求出，解方程求出另一个根，由等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 设另一根为， ， 解得：， 当为腰时， 此种情况不符合； 当为腰时， ， 符合题意， 的周长为：， 故选：A． 38．已知菱形边长为5，面积为24，其两条对角线的长分别是一元二次方程的两根，则这个一元二次方程为 ． 【答案】 【分析】先根据菱形的性质，设出对角线长，利用菱形面积公式和勾股定理得到关于对角线长的两个等式，再结合根与系数的关系确定一元二次方程． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为，． ∵菱形面积等于对角线乘积的一半，且面积为 ∴，即 又∵菱形对角线互相垂直平分，边长为，根据勾股定理，，化简得 由完全平方公式，把，代入，可得， ∴（因为对角线长为正，舍去负根） ∵，是一元二次方程的两根，根据韦达定理，两根之和，两根之积 ∴，即； ∴这个一元二次方程为 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、完全平方公式以及根与系数的关系，熟练掌握菱形性质和根与系数的关系是解题的关键． 39．规定：若，为关于x的一元二次方程的两实根，则，．已知：关于x的方程． (1)求证：k取任何实数，方程总有实数根； (2)若的一边长为4，另两边m，n的长恰好是这个方程的两个根，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）利用根与系数的关系求得，然后分三种情况利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：， 无论取任何实数，方程总有实数根； （2）解：根据题意，得：， 方程的根为： ． ①当斜边长为4时， 即， 解得：，或（舍去）； ②当直角边长为4，斜边为时，． ③当直角边长为4，斜边为时，不成立． 综上，或． 40．已知关于x的一元二次方程． (1)当m为何值时，该方程有两个实数根？ (2)若边长为的菱形的两条对角线的长分别为该方程两根的2倍，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，菱形的性质，勾股定理的应用； （1）根据，再建立不等式求解即可； （2）设方程的两根分别为、，由根与系数的关系得：，结合菱形的边长为，两条对角线的长为，满足，即：，再建立方程求解并检验即可． 【详解】（1）解：方程有两个实数根， ， 解之得：． 当时，方程有两个实数根； （2）解：设方程的两根分别为、， 由根与系数的关系得：， 由题意可知：菱形的边长为，两条对角线的长为， ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴其半对角线长与边长构成直角三角形， ∴， 即， ， 解之得：或． ，， ，， 当时，，． 当时，， 不合题意，舍去， 又由（1）知：， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程根与系数的关系强化练习 目录 题型一、利用根与系数的关系直接求代数式的值 1 题型二、利用根与系数的关系简介求代数式的值 2 题型三、利用根与系数的关系降次求代数式的值 3 题型四、利用根与系数的关系求参数的值 5 题型五、构造一元二次方程求代数式的值 6 题型六、利用根与系数的关系判断根的情况 8 题型七、根的代入与根与系数的关系结合问题 8 题型八、根与系数的关系中新定义问题 8 题型九、根与系数关系的多结论判断 9 题型十、根与系数关系与几何图形结合 11 题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值 1．设方程的两根分别是，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 2．若一元二次方程的两个不相等的实数根为，，则：的值是（   ） A．－2 B．1 C．7 D．10 3．若a，b是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 4．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积． (1)； (2)． 题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值 5．设m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 6．已知实数，是关于的一元二次方程的两个根，则代数式的值是（ ） A． B． C． D． 7．已知、是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 8．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若两实数根分别为和，且，求的值． 题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值 9．已知α，β是方程的两个实数根，则式子的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．若a，b是方程两个不相等的实数根，则代数式的值为 ． 11．若m、n是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 12．已知、是方程的两个实根，则的值是 ． 题型四 利用根与系数的关系求参数的值 13．关于的方程的两个实数根，，满足，那么的取值可以是（   ） A． B． C． D． 14．若方程的两根分别为，，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 15．若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值 ． 16．已知关于的一元二次方程的两个根是和． (1)当时，求的值； (2)设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 题型五 构造一元二次方程求代数式的值 17．如果实数、（）分别满足，，则的值等于（   ） A． B． C． D．2025 18．实数、满足，则（  ） A． B． C． D． 19．已知，且有，则的值等于 ． 20．阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则的值为 ； (3)提升：已知实数s，t满足，且，则的值 ； (4)拓展：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围是 ． 题型六 利用根与系数的关系判断根的情况 21．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③存在实数，使得； ④若是方程的一个根，则一定有成立 其中正确的有（   ） A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③ 22．已知关于x的方程，则下列说法正确的个数为（   ） ①若该方程为一元二次方程，则； ②当时，该方程有两实数根，且； ③当，该方程总有两不相等的实数根； ④若k为正整数，此方程有两个不相等的实数根且都为整数，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为 ． 24．已知一元二次方程． (1)当时，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． (2)当时，请判别方程根的情况． 题型七 根的代入与根与系数的关系结合问题 25．已知α，β是方程的两个根，则代数式的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 26．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（　　） A． B． C． D． 27．设m，n分别为方程的两个实数根，则 ． 28．已知：关于x的方程． (1)求证：方程必有两个不相等的实数根； (2)若是该方程的根，且，求p的值． 题型八 根与系数的关系中新定义问题 29．对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 30．定义为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则的值为（    ） A．或4 B． C． D．或1 31．定义新运算“*”：对于实数x和y，有，例如：，若关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是 ． 32．材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得 ，是“和积方程”． 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． (1)方程 （填是或不是）“和积方程”； (2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____ (3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值． 题型九 根与系数关系的多结论判断问题 33．对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（   ） A．只有② B．只有②④ C．只有②③ D．只有②③④ 34．已知关于x的一元二次方程： ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程有一根为； ③无论或，方程都有两个不相等的实数根； ④若是方程的一个根，则式子一定成立． 以上说法正确的有（   ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．③④ 35．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 36．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若是倍根方程，则；③若，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为1．其中正确的是 ．（写出所有正确说法的序号） 题型十 根与系数关系与几何图形结合 37．关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（   ） A．14 B．10 C．14或10 D．10或12 38．已知菱形边长为5，面积为24，其两条对角线的长分别是一元二次方程的两根，则这个一元二次方程为 ． 39．规定：若，为关于x的一元二次方程的两实根，则，．已知：关于x的方程． (1)求证：k取任何实数，方程总有实数根； (2)若的一边长为4，另两边m，n的长恰好是这个方程的两个根，求k的值． 40．已知关于x的一元二次方程． (1)当m为何值时，该方程有两个实数根？ (2)若边长为的菱形的两条对角线的长分别为该方程两根的2倍，求m的值． 1 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