专题05 一元二次方程章末压轴满分题型（专项训练）数学冀教版九年级上册

专题05 一元二次方程章末压轴满分题型 目录 压轴题型一、由一元二次的解求出另一个一元二次方程的解 压轴题型二、一元二次方程的解法综合 压轴题型三、构造一元二次方程解题 压轴题型四、配方法的应用 压轴题型五、换元法的应用 压轴题型六、一元二次方程根与系数的关系综合 压轴题型七、一元二次方程应用之销售问题 压轴题型八、一元二次方程应用之图形几何问题 压轴题型九、一元二次方程的新定义问题 压轴题型十、材料阅读新题型 压轴题型一、由一元二次的解求出另一个一元二次方程的解 1．已知一元二次方程有一个根为，且，则方程一定有一个根为（   ） A． B． C．2024 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，可得出，在等式的两边同时除以，可得出，进而可得出方程有一个根是2024． 【详解】解：关于的一元二次方程有一个根是， ∴， 在等式的两边同时除以得：， 方程有一个根是2024． 故选：C． 2．关于的方程两根分别为，，则方程的两根为（    ） A．， B．，8 C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于的方程两根分别为，，则方程的两根为或，然后解方程即可，正确理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】∵关于的方程两根分别为，， ∴方程的两根为或， 解得，， 故选：A． 3．已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一个相同的实数根，则a+b+c的值为 ． 【答案】0 【分析】设这个相同的实数根为t，把x＝t代入3个方程得出a•t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a•t+b＝0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（t2+t+1）＝0，即可求出答案． 【详解】解：设这个相同的实数根为t， 把x＝t代入ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0得： a•t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a•t+b＝0 相加得：（a+b+c）t2+（b+c+a）t+（a+b+c）＝0， （a+b+c）（t2+t+1）＝0， ∵t2+t+1＝（t）20， ∴a+b+c＝0， 故答案是：0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解． 4．关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=5，x2=-6，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x+m+2）2+b=0的根是 【答案】x1=3，x2=-8 【分析】将方程a（x+m+2）2+b=0变形为a（x+2+m）2+b=0，对照已知方程及其根得出x+2=5或x+2=-6，解之可得答案． 【详解】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=5，x2=-6， ∴关于x的方程a（x+m+2）2+b=0，即a[（x+ 2）+ m]2+b=0， ∴a[（x+ 2）+ m]2+b=0满足x+2=5或x+2=-6， 解得x1=3，x2=-8， 故答案为：x1=3，x2=-8 【点睛】此题主要考查了方程解的定义以及直接开方法求解，注意由两个方程的特点，运用整体思想进行简便计算． 压轴题型二、一元二次方程的解法综合 5．用适当的方法解下列关于的方程： (1) (2) (3) (4)； 【答案】(1)，； (2)，，； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，并熟练掌握利用一元二次方程特征选用适合方法解一元二次方程是解题的关键． （1）整理后，利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先因式分解法求得，再利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）先设，方程变形为，再利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 变形为， ∴或， 解得：，； （2）解：， 分解因式得， ∴或， 解得：， 解， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （3）解：， 分解因式得， ∴或， ∴，； （4）解：， 设， 则方程变形为， 分解因式得， ∴或， ∴或， 当时，， 即， ∵， 没有实数解； 当时，， 即， ∵， ∴， 解得：，． 6．解方程： 【答案】或或 【分析】本题考查解分式方程，解一元二次方程，将等式左边展开后，进行因式分解，将方程去分母，转化为整式方程，再次利用因式分解将方程转化为两个因式的积为0的形式，再进行求解，最后进行检验即可． 【详解】解： ， ， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或或； 经检验或或是原方程的解． ∴原方程的解为：或或． 7．解方程 【答案】 【分析】本题考查了解含绝对值的一元二次方程．熟练掌握绝对值的非负性，分类讨论化简绝对值，解一元二次方程，是解题的关键． 分与，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解． 【详解】当，即时， 原方程可化为：， 整理得：， 解得：， 当，即时， 原方程可化为：， 整理得， ∵， ∴此方程无实数解． 综上所述，原方程的解为：． 8．已知，，求． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值、一元二次方程的根与系数的关系、因式分解的应用等知识点，综合应用所学知识成为解题的关键． 设，，等量代换后可得、， 则为的根，可解得，然后再对变形后将代入计算即可． 【详解】解：设，， ，， 为的根， ， ∴       ． 压轴题型三、构造一元二次方程解题 9．已知为互不相等的实数，且，，则的值为（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．由题意可求出，，即说明m和n可以看作方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，． ∵为互不相等的实数， ∴m和n可以看作方程的两个根， ∴， ∴． 故选A． 10．如果是两个不相等的实数，，，那么代数式 ． 【答案】2032 【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟练运用一元二次方程根的定义和根与系数的关系，把代数式化成已知式子形式及两根和、积的形式，是解此题的关键． 由题意得m，n是的两个不相等的实数根，则根据根的定义和根与系数的关系可知：，，，变形，为，代入求解即可． 【详解】是两个不相等的实数，且满足， 是方程的两根， ，，， ． 故答案为：2032． 11．阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知实数分别满足，，且．求的值． 【答案】(1) (2)-1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系． 由题意得出是方程的两个不相等的实数根，据此知，将其代入计算即可； 把变形为，据此可得实数和可看作方程的两个不相等的实数根，继而知，进一步代入计算可得． 【详解】（1）解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 故答案为：． （2）解：把两边同时除以，得 ． 又， 实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ． 故答案为：． 12．阅读材料，解答问题： 【材料1】 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】 已知实数m，n满足，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可知：，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了 的数学思想方法，若实数a，b满足，则的值为 ； 用换元法解方程：． (2)间接应用： 已知实数m，n满足：，则的值 (3)拓展应用： 已知实数x，y满足：，求的值 【答案】(1)整体（或转化、化归）；5； (2)2或 (3)6 【分析】本题考查了换元法解方程和一元二次方程根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意利用换元法解方程即可； （2）仿照题意利用韦达定理进行求解即可； （3）设，则可得，进一步得到，再证明，推出，由 ，可得，即． 【详解】（1）解：材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了整体的数学思想方法， 令，则， ， 解得，（舍）， ， 故的值为5； ， ， 令，则， ， 解得，（舍）， ， 解得； （2）实数m，n满足：， 当时，， 当实数m，n是方程的两个不相等的实数根， ， ， 的值为2或； （3）设， ， ， ， 整理得， ， ， ， ， ， ， ． 压轴题型四、配方法的应用 13．若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程；与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 【答案】B 【分析】根据新定义，把方程化成定义型方程，利用恒等式性质，确定a，b的值，后代入，配方，利用非负性求最值即可． 本题考查了一元二次方程新定义问题，配方法求最值是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故， 又与是“同族二次方程”． ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，取得最小值，且为2020， 故选：B． 14．若多项式．那么的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，利用配方法把原式转化为，进而根据完全平方式是非负数即可求解，掌握配方法的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 当且时，的最小值，最小值为， 故答案为：． 15．（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 【答案】（1）3，3 （2）1， （3），，最小值是10 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （2）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （3）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出和的取值，然后进行计算即可． 【详解】（1） 当时，多项式取最小值，且最小值为3； 故答案为：3，3 （2） 当时，多项式取最大值，且最大值为； 故答案为：1，； （3） ， 当且，即时，多项式取最小值，并且最小值为． ，，最小值是10． 16．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法，配方法是完全平方公式的逆用，即．例如二次三项式通过配方法可以变成三种形式：①（余常数项），②（余一次项），③（余二次项）． 诸根据阅读材料解决下列问题： (1)填空：将二次三项式配方为：______（余常数项），______（余一次项），______（余二次项）； (2)已知方程的两根是和，不解方程，求下列代数式的值； ①．     ②； (3)已知，求的值． 【答案】(1)；； (2)①；② (3)4 【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程中根与系数的关系，熟记，掌握配方法是解题的关键． （1）仿照例题写出三种不同形式的配方； （2）利用根与系数的关系公式，求得的值，再利用完全平方公式进行变形，即可解答； （3）将式子的左边配方，根据非负数的性质求得的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：； ； ， 故答案为：；；； （2）解：由得： ，， ①根据完全平方公式可得； ②； （3）解：， 可得， 解得， ． 压轴题型五、换元法的应用 17．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过换元法，将含有绝对值的不等式转化为关于新变量的一元二次不等式进行求解，再将新变量还原为原变量，从而得出原不等式的解集． 【详解】解：令，， ∴原不等式转化为， ∴因式分解，得， ∴与异号 ∵恒成立， ∴只能是且， 又∵，恒成立， ∴由可得， 综合，得到， ∵， ∴， 根据绝对值的性质，当时，． 故选：A． 18．已知关于的方程有实数解，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一元二次方程，换元法解一元高次方程，方程有实数解的问题等知识点，对于高次方程，可以尝试通过变形将其转化为我们熟悉的解一元二次方程的形式来求解，然后根据非负数的性质和不等式的性质来确定a的取值范围，熟练掌握换元法变形方程是解决此题的关键． 【详解】∵当时，方程左边， ∴不是方程的解， ∴将方程两边同时除以得， ， 整理可得， 令，则， ∴， ∴原方程就变为，即， ∵方程有实数解， ∴， ∴或， 当时， ， ∴， ∴， 当时， ， ∴， ∴， ∵， ∴或， 设方程的两根，， ∴，， ∴， ∴， 当时，， ∴当时，， ∴， ∴， 同理可得，时，， 综合以上情况，a的取值范围是或， 故答案为：或． 19．方程的负整数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查换元法在解一元二次方程中的应用，设，，则，则可得，可得，即可得到或，再解方程即可，仔细观察得到是解题的关键． 【详解】解：设，，则， 可得， 解得， 或， 解得， 故方程的负整数解为， 故答案为：． 20．阅读材料：为解方程（x2－1）2－5（x2－1）＋4＝0，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－l＝y，则（x2－1）2＝y2，原方程化为y2－5y＋4＝0． 解得y1＝1，y2＝4 当y＝1时，x2－1＝1．∴x2＝2．∴x＝±； 当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x＝±． ∴原方程的解为x1＝，x2＝－，x3＝，x4＝－ 请利用以上知识解决下列问题： 如果，求的值． 【答案】2 【分析】根据所给材料，将看成一个整体，然后解关于的方程，并根据是非负数对结果进行取舍即可得到答案； 【详解】解：设=x， 化为 解得： ∵x= ∴ ∴应舍掉 ∴=2 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握相关知识并熟练使用，注意解题中需注意的事项，尤其注意 是非负数，这是本题的解题关键． 压轴题型六、一元二次方程根与系数的关系综合 21．我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______． (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值． 【答案】(1)；或； (2)，该方程的“幸运数”为 (3)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“幸运方程”的定义，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系； （1）把代入方程得到方程，根据“幸运数”的定义即可求解； 根据“幸运数”的定义可得方程，解方程可求得的值； （2）通过的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合为整数确定取值，按照“幸运数”定义求解即可； （3）根据是“幸运方程”得出的两个根为整数，设方程的两个分别为，根据根与系数的关系得出，进而根据为整数，得出的值为或，求得，根据与互为“开心数”得出方程，进而分或，分别代入，解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：当时，代入得，， ∴，即， 故答案为：； 依题意，， 整理得，， 解得，， 故答案为：或； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是“幸运方程”， ∴是完全平方数， 即是完全平方数， ∴或或， 解得或或， ∵为整数， ∴， 当时，方程化为， ∴； ∴方程的“幸运数”为； （3）解：∵是“幸运方程” ∴的两个根为整数， 设方程的两个根分别为， ∴ ∴ ∴， ∴ ∵为整数， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 综上所述，的值为或； 方程的“幸运数”为， 当时， 当时， ∴ 方程的“幸运数”为 ∵与互为“开心数”， ∴，即 当时，方程为： 解得：或（舍去，不是整数） 当时，方程为： 解得： 综上所述，或 22．阅读材料：材料1：类比解一元二次方程，解一元二次不等式， 解：，可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）或（2）解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或，即一元二次不等式的解集为或． 材料2：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以用其他的方法：比如先令，然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围，请仔细阅读下面的例子：例：求的取值范围： 解：令 即 解决问题：请根据上述材料，解答下列问题． (1)直接写出不等式的解集是__________； (2)求出代数式的取值范围； (3)若关于的代数式（其中、为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的、的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系及解不等式组，读懂阅读材料中的方法并明确一元二次方程的根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据题意有理数乘法法则列不等式组求解即可得到答案； （2）根据材料，令，根据判别式转化为关于y的一元二次方程，解不等式即可得到代数式的取值范围； （3）根据材料，令根据判别式转化为关于y的不等式根据根与系数的关系，列出方程组，即可得到满足条件的a、b的值． 【详解】（1）解：∵ 或 解得：或 ∴不等式的解集是或； （2）解：，令 ∴． ∴． ∴． 令， ，． ∴或 （3）解：令 ， 当时，，且， 存在一个，使得， 当时，有解， ， ， 最小值为，最大值为， ，是方程的解， 或 ∴或 23．已知关于x的方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； (2)若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． (3)已知三个不同的实数a，b，c满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求a，b，c的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，勾股定理的应用． （1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出可知方程总有实数根． （2）根据根与系数的关系得，再由勾股定理得到，即可解得k的值，利用取舍k的值，即可得到的周长． （3）依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设是方程①和方程②的一个相同的实根，可得：．设是方程③和方程④的一个相同的实根，可得，可得．再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ， ， 无论k为任意实数值方程，总有实数根． （2）解：∵斜边长，另两边长b，c恰好是方程的两个根， ∴， ∵b、c为直角边，斜边长， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得，， ， 舍去， ∴， ∴的周长， （3）解：依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④． 设是方程①和方程②的一个相同的实根，则，两方程相减， 解得：． 设是方程③和方程④的一个相同的实根，则，两方程相减， ∴解得， ∴． 又方程①的两根之积等于1， ∴也是方程①的根，则． 又， 两方程相减，得． 若，则方程①无实根， ∴， ∴． ∴， ∴， 由④得：． 又， 解得：，． 24．阅读下面材料：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的一元二次方程有两个实数根分别为，，那么由求根公式可推出，．已知关于的方程有两个实根，，请根据上述结论，解决下面问题： (1)当方程的一个根时，求方程的另一个根； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数之间的关系是解题的关键： （1）把代入方程求出的值，再解方程求出的值即可； （2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，列出方程进行求解即可； （3）根据一元二次方程根与系数的关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程，得：， 解得：或， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上：或； （2）∵方程有两个实根，， ∴， ∴， 解得：或， 当，方程化为：， ∴，满足条件； 当，方程化为：，此时，舍去； 故； （3）∵方程有两个实根，， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）或（舍去）， 当时，原方程化为：， 此时，满足题意， ∴． 压轴题型七、一元二次方程应用之销售问题 25．小琴的父母承包了一块荒山种植一批梨树，今年收获一批蜜梨．他们打算以每千克元的零售价销售5000kg蜜梨，剩余的蜜梨以每千克比零售价低1元的批发价批发给外地客商，预计总共可获得145000元收入． (1)小琴的父母今年共收获蜜梨多少千克？ (2)若以零售价销售蜜梨，平均每天可售出200kg，每千克盈利2元．为了加快销售速度，小琴的父母采取了降价措施，并发现每千克零售价降低0.1元，平均每天可多售出40kg．每千克零售价应降价多少元，才能使得每天的销售利润为600元？ 【答案】(1)小琴的父母今年共收获蜜梨35000kg (2)每千克零售价应降低1元，才能使得每天的销售利润为600元 【分析】根据销售毛利润与单价、数量之间的关系可列方程，求出的值，进而求出总产量； 由于降价，日销售量增加，用含有的代数式表示每斤的销售利润和日销售量，根据日销售利润可列方程求解，注意结果的合理性. 【详解】解：由题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 当时，． 故小琴的父母今年共收获蜜梨kg． 设每千克零售价应降价元，才能使得每天的销售利润为元． 由题意，得， 解得． 为了加快销售速度， 应该舍去0.5，选降价1 元。 故每千克零售价应降低1元，才能使得每天的销售利润为元． 【点睛】一元二次方程及应用，列出合理的方程是解题的关键，分析数量关系则显得尤其重要，降价使日销售量和每斤的销售利润发生变化，尤为注意. 26．某网商经销一种玩具，每件进价为40元．市场调查反映，每星期的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系为y＝﹣10x+900（40≤x≤90） (1)如果该网商每个星期想获得4000元的利润，请你计算出玩具的销售单价定为多少元？ (2)当每件玩具的销售价定为多少元时，该网商每星期经销这种玩具能够获得最大销售利润？最大销售利润是多少？（每件玩具的销售利润＝售价﹣进价） 【答案】(1)如果每星期的利润是4000元，销售单价应为50元或80元 (2)当销售单价为65元时，每星期的利润最大，最大销售利润为6250元 【分析】(1) 由题意得(﹣10x+900)(x﹣40)＝4000，解方程即可求解； (2) 设经销这种玩具能够获得的销售利润为w元，由题意得，w＝(﹣10x+900)（x﹣40），利用二次函数的最值问题即可求解． 【详解】（1）解：由题意得(﹣10x+900)(x﹣40)＝4000，            解得x＝80或x＝50，                                         又∵40≤x≤90， ∴如果每星期的利润是4000元，销售单价应为50元或80元； （2）解：设经销这种玩具能够获得的销售利润为w元， 由题意得，w＝(﹣10x+900)(x﹣40)＝﹣10(x﹣65)2+6250，    ∵﹣10＜0， ∴w有最大值，                                              ∵40≤x≤90， ∴当x＝65（元）时，w最大＝6250（元）． ∴当销售单价为65元时，每星期的利润最大，最大销售利润为6250元． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 27．重庆1949大剧院自建成开演以来，吸引不少外地游客前来观看，所有演出门票中，普通席和嘉宾席销售最快，已知一张普通席的票价比一张嘉宾席的票价少40元，一张普通席的票价与一张嘉宾席票价之和为600元． (1)求普通席和嘉宾席两种门票单张票价分别为多少元？ (2)因为疫情原因，11月份以来，外地游客人数减少，普通席票平均每天售出100张，嘉宾席票平均每天售出200张．12月份后，疫情得到有效控制，观看人数明显增加，为了吸引游客，剧院决定降低普通席的票价，这样与11月份相比，普通席票平均每天售价降低金额数是售出普通席普通票增加张数的2倍，嘉宾席的票价与11月份保持不变，但平均每天售出嘉宾席票增加张数是12月份售出普通席增加张数的，这样12月份两种票平均一共销售总额为99200元，求12月份普通席的票价是多少元？ 【答案】(1)普通席280元，嘉宾席320元； (2)160元． 【分析】（1）设普通席单张票价为元，则嘉宾席单张票价为元，根据题意可得方程，求解即可得到答案； （2）设普通席普通票增加张数为张，根据题意可得方程：，得到答案． 【详解】（1）解：设普通席单张票价为元，则嘉宾席单张票价为元， 依题意得：， 解之得：， ∴嘉宾席单张票价为元， 答：普通席280元，嘉宾席320元． （2）设普通席普通票增加张数为张， 则，依题意得：， 解之得：， ∴12月份普通席的票价是元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和一元二次方的应用，找准数量关系，能根据各数量之间的关系，正确列出方程是解题得关键． 28．返校复学之际，育才学校为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设学校共买了瓶免洗抑菌洗手液． （1）当时，每瓶洗手液的价格是______元；当时，每瓶洗手液的价格是______元；当时，每瓶洗衣手液的价格为______元（用含的式子表示）； （2）若学校一次性购买洗手液共花费1250元，问一共购买了多少瓶洗手液？ 【答案】（1）8，7，；（2）一共购买了250瓶洗手液． 【分析】（1）根据购买的瓶数，分别计算或列式即可； （2）根据题意确定x的取值范围，再列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵80＜100， ∴每瓶洗手液的价格是8元； 当x＝150时，每瓶洗手液的价格是：8﹣1＝7（元）， 当时，每瓶洗手液的价格是：（元）， 故答案为：8，7，； （2）①0≤x≤100时，8×100＝800＜1250（舍去）； ②∵最低价格不能低于每瓶5元， ∴， 解得，x≤250， ∴当100＜x≤250时，． 解得，x1＝x2＝250， 答：一共购买了250瓶洗手液． 【点睛】本题主要考查了列方程解应用题，能够熟练找出题中的等量关系是解答此题的关键，注意分类讨论． 压轴题型八、一元二次方程应用之图形几何问题 29．如图，在矩形中，，．动点从点A出发，以的速度沿着折线向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿着向终点运动，连接，，设运动时间为，的面积为． (1)当点在边上时， ， （用含的式子表示）． (2)当时，求的值． (3)连接，当时，求的值． (4)当点在边上，且时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)7 【分析】本题主要考查了动点问题、列代数式、勾股定理、一元二次方程的应用等知识点，根据题意正确画出图形是解题的关键． （1）直接根据题意列代数式即可； （2）先画出图形，再求出，然后根据图形以及三角形面积公式求解即可； （3）先题意画出图形可得：， ，再根据勾股定理列方程求得，再，然后根据图形以及三角形面积公式求解即可； （4）由点在边上可得，据此画出图形，再用x表示出，，然后根据列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，． ∴ 由题意可得：，则． 故答案为：，． （2）解：如图：当时，点P在上，点Q在上，， 所以的面积为． （3）解：由题意可得：， ， ∵， ∴，解得：， 如图：当时，点P在上，点Q在上，， 所以的面积为． （4）解：如图：∵点在边上，， ∴，， ∵， ∴， ∴，整理得：，解得：或9（不合题意、舍去）， ∴的值为7． 30．如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、，设点P、Q运动的时间为． (1)当__________时，四边形是矩形； (2)当__________时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【答案】(1)3； (2)； (3)不存在，理由见解析； (4)1或3． 【分析】（1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t； （3）过Q作，交于M，，得出四边形是矩形，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出结论； （4）根据折叠的性质得出，，，，进而在中，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由已知可得，，， 在矩形中，，，， 当时，四边形为矩形时， ， 解得：， 故当时，四边形为矩形； 故答案为：3； （2）解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 根据勾股定理得：，， ∴此时， 解得， 故当时，四边形为菱形； 故答案为：； （3）解：不存在某一时刻t使得；理由如下： 过Q作，交于M，如图所示： 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不存在某一时刻t使得； （4）解：如图2， 根据折叠可知：，，，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴， 即：， 解得：，， 即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程、折叠的性质等，熟练掌握各知识点是解题的关键． 31．如图1，有一张长为，宽为的长方形硬纸片． (1)若裁去角上的四个小正方形之后，折成如图2所示的无盖纸盒，当，纸盒的底面积为时，求裁去的正方形边长是多少？ (2)若裁去部分图形后，折成如图3所示底面是正三角形的无盖纸盒，则此时的长为多少？当纸盒的底面积与侧面积（三个长方形的面积）相等时，底面正三角形的边长是多少？ 【答案】(1) (2)，底面正三角形的边长为 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，矩形的性质，勾股定理，角直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）设裁去的正方形边长为，由题意得：，再解一元二次方程即可； （2）延长交于点，由题意可设，设，在中，，则，那么，在中，，，则，过点作于点，则，则，而，则，解得，再代入①即可求解． 【详解】（1）解：设裁去的正方形边长为， 由题意得：， 解得：或（不合题意，舍）， 答：裁去的正方形边长； （2）解：延长交于点， ∵等边， ∴， 由矩形可得： ∴设， 由题意得：四边形为矩形， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴由勾股定理得：， ∵ ∴ ∵， ∴ 过点作于点，则， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵当纸盒的底面积与侧面积（三个长方形的面积）相等， ， ∴， 将代入， 则 解得：， ∴等边三角形边长为． 32．如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽； (3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)宽为5米，长为米 (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意列出代数式即可． （2）根据花圃的面积刚好为平方米，结合题意可列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． （3）设花圃的一边长为米，则，根据花圃的面积为平方米，列出一元二次方程，然后由根的判别式，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽长为米， ∴另一边的长为米， 故答案为：； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， ∵墙的最大可用长度为米， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：此时花圃的长与宽边分别为米和5米； （3）解：建成花圃的面积不可能为平方米，理由如下： 设花圃的一边长为米， 则， 根据题意可得：， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴建成花圃的面积不可能为平方米． 压轴题型九、一元二次方程的新定义问题 33．定义表示不超过实数的最大整数，如：，，．则方程的解为（    ） A．或或0 B．或或0 C．或或0 D．或或0 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解新定义运算法则，并利用分类讨论思想解答是解本题的关键． 首先根据非负性得到，则，再分类讨论，利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ①当时，符合题意； ②时，， 则化为：，解得：，均不在内，舍； ②时，， 则化为：，解得：，均不在内，舍； ③时，， 则化为：，解得：或（舍）； ④时，， 则化为：，解得：或（舍）； ⑤当时，均不成立， ∴方程的解为或或， 故选：A． 34．定义：由，构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，是关于的方程的根，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题在新定义的基础上，考查了解二元一次方程组，一元二次方程的解，求代数式的值等知识，解决问题的关键是利用降次的方法化简代数式．先由定义求得，的值，进而知道是的根，可知，那么有，那么，那么，进而得出结果． 【详解】解：由题意得，， ， 是关于的方程的根， 是方程的根， ， ， ， ； 故选：A． 35．定义：若满足（为常数）且，则称点为“美好点”，比如点．若均为“美好点”，已知，且当时，都有，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，解不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先充分理解“美好点”的定义，则，，整理得，，因为，，得，，再整理得，结合当时，都有，进行分析作答即可． 【详解】解：∵，均为“美好点”，且满足（为常数）且，则称点为“美好点”， ∴，， 两式相减，得， 即， ∵， ∴， 同理可得， ∴，， 根据题意，，且当时，都有， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 36．阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”． (1)“友好方程”的“超强代码”是________； (2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义运算． （1）直接根据“超强代码”的定义作答即可； （2）先根据“友好方程”的定义求出m的范围，进而求出，再根据“超强代码”的定义计算即可； （3）先分别求出两方程的“超强代码”，再根据“最佳搭子方程”得到，可知，再根据“的一个根是的一个根的2倍”列出所有情况，判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：“友好方程”的“超强代码”是：， 故答案为：； （2）解：∵是“友好方程”， ∴且为完全平方数， ∵， ∴， ∴=36或49或64， ∴或或， ∵为整数， ∴， 将代入原方程，则， ∴， ∴方程的“超强代码”为； （3）解：方程的“超强代码”为： ， 由得： 方程的“超强代码”为： ， 由得： ∵是的“最佳搭子方程”， ∴， 即， 整理得，， ∵，均为正整数且， ∴， ∴， 即， 又∵的一个根是的一个根的2倍， ∴①当时，得：，， ②当时，，，（舍）， ③当时，得：（舍）， 综上所述：，． 压轴题型十、材料阅读新题型 37．阅读材料：若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数．其“快乐数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为_________； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若有另一个“快乐方程”的“快乐数”．且满足，则称与互为“开心数”．若关于x的一元二次方程与（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值． 【答案】(1) (2)， (3)n的值为0或3 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，读懂题目中“快乐方程”， “快乐数”的定义是解题的关键． （1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为完全平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出m的值，求出方程的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值． 【详解】（1）解：方程的“快乐数为：， 故答案为：； （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又方程是“快乐方程”， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， 则， 故其“快乐数”数是； （3）解：， ∴， 设， 则， 又与同奇偶， ∴或或或 解得或， ∴方程为：或； ， ∴， ， 当时， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得， 综上，n的值为0或3． 38．在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前行的点数计算进行探究活动：如图1是一个三角点阵，从上到下有无数行，其中第一行有个点，第二行有个点……第行有个点…… 【发现问题】：在探究的过程中，容易发现是三角形前行的点数和，但是遇到较大的点数，逐个数行数很繁琐． 【提出问题】：前多少行的点数和是？ 【分析问题】：数形结合是解决数学问题的重要思想；下面表格分别从数和形两个角度探究前行的点数和． 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法． 例：求前行的点数 ①， 由①式倒序： ②， ①②： 所以，即前行点数为个． 利用图形的特征进行计算．如图2，将一个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图形的三角点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半． 【解决问题】： (1)根据以上材料，解决前面所提出的问题； 【应用延伸】： (2)如图3，该点阵的点数从上到下依次为：，，，，，，这个点阵的点数和能是吗？请说明理由． 【答案】(1)前行的点数和是； (2)能；理由见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，根据题目的探究过程列出一元二次方程是解题的关键． （1）理解题意，并按照探究的方法得到，再列出方程，即可求解； （2）设，，依据（1）中的方法可求得：，进而得到，再列出方程并判断是否有符合题意的解，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得 ①， 由①式倒序： ②， ①②：， 所以，即前行点数为个． 当时，解得或（舍）， 即前行的点数和是； （2）这个点阵的点数和能是，理由如下： 设，， 则， 依据（1）中的方法同理可求得：， 所以， 当时，解得或（不合题意，舍去）， 所以当时，这个点阵的点数和能是． 39．阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗㙳的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是__________．（从序号中选择） 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即x__________； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程____________________，解得原方程的一个根为____________________； 【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数__________，__________，求得方程的正根为__________． 【答案】理解应用：；类比迁移：，， 拓展应用：，，或 【分析】理解应用：依据题干方法得到，再根据图形很容易判断出答案； 类比迁移：与题干思路一致即可得出答案，需要注意的是，画出图形更容易得解； 拓展应用：先因式分解变形得，再根据题干条件分析得，，进而分类讨论求解即可． 【详解】解：理解应用： ， ， 很容易观察出构图是， 故答案为：； 类比迁移： ， 第一步：将原方程变形为，即， 第二步：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形， 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程，解得原方程的一个根为， 故答案为：，，； 拓展应用： ， ， 四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， 图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为， ，， 解得：，， 当时，，即：， ， 解得：，即方程的一个正根为； 当时，，即：， ， 解得：，即方程的一个正根为； 综上，方程的一个正根为或， 故答案为：，，或． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用（与图形有关的问题），直接开平方法解一元二次方程，矩形的性质，解一元一次方程等知识点，能知道系数、与各图形面积的关系是解题的关键． 40．阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，则_______，_______； (2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值； (3)已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键： （1）根据题意，得到实数a，b是方程的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到，进而得到，代入，求出的值，再根据根与系数的关系，进行求解即可； （3）构造一元二次方程，得到是它的两个实数根，得到，将进行配方，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得a，b是方程的两个根， ∴； 故答案为：； （2）由题意，得：，， ∴， ∴， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 综上：或； （3）∵， ∴， 又∵， ∴是一元二次方程的两个实数根，， ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元二次方程章末压轴满分题型 目录 压轴题型一、由一元二次的解求出另一个一元二次方程的解 压轴题型二、一元二次方程的解法综合 压轴题型三、构造一元二次方程解题 压轴题型四、配方法的应用 压轴题型五、换元法的应用 压轴题型六、一元二次方程根与系数的关系综合 压轴题型七、一元二次方程应用之销售问题 压轴题型八、一元二次方程应用之图形几何问题 压轴题型九、一元二次方程的新定义问题 压轴题型十、材料阅读新题型 压轴题型一、由一元二次的解求出另一个一元二次方程的解 1．已知一元二次方程有一个根为，且，则方程一定有一个根为（   ） A． B． C．2024 D． 2．关于的方程两根分别为，，则方程的两根为（    ） A．， B．，8 C．， D．， 3．已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一个相同的实数根，则a+b+c的值为 ． 4．关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=5，x2=-6，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x+m+2）2+b=0的根是 压轴题型二、一元二次方程的解法综合 5．用适当的方法解下列关于的方程： (1) (2) (3) (4)； 6．解方程： 7．解方程 8．已知，，求． 压轴题型三、构造一元二次方程解题 9．已知为互不相等的实数，且，，则的值为（    ） A． B．0 C． D．2 10．如果是两个不相等的实数，，，那么代数式 ． 11．阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知实数分别满足，，且．求的值． 12．阅读材料，解答问题： 【材料1】 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】 已知实数m，n满足，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可知：，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了 的数学思想方法，若实数a，b满足，则的值为 ； 用换元法解方程：． (2)间接应用： 已知实数m，n满足：，则的值 (3)拓展应用： 已知实数x，y满足：，求的值 压轴题型四、配方法的应用 13．若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程；与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 14．若多项式．那么的最小值是 ． 15．（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 16．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法，配方法是完全平方公式的逆用，即．例如二次三项式通过配方法可以变成三种形式：①（余常数项），②（余一次项），③（余二次项）． 诸根据阅读材料解决下列问题： (1)填空：将二次三项式配方为：______（余常数项），______（余一次项），______（余二次项）； (2)已知方程的两根是和，不解方程，求下列代数式的值； ①．     ②； (3)已知，求的值． 压轴题型五、换元法的应用 17．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 18．已知关于的方程有实数解，则的取值范围为 ． 19．方程的负整数解为 ． 20．阅读材料：为解方程（x2－1）2－5（x2－1）＋4＝0，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－l＝y，则（x2－1）2＝y2，原方程化为y2－5y＋4＝0． 解得y1＝1，y2＝4 当y＝1时，x2－1＝1．∴x2＝2．∴x＝±； 当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x＝±． ∴原方程的解为x1＝，x2＝－，x3＝，x4＝－ 请利用以上知识解决下列问题： 如果，求的值． 压轴题型六、一元二次方程根与系数的关系综合 21．我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______． (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值． 22．阅读材料：材料1：类比解一元二次方程，解一元二次不等式， 解：，可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）或（2）解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或，即一元二次不等式的解集为或． 材料2：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以用其他的方法：比如先令，然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围，请仔细阅读下面的例子：例：求的取值范围： 解：令 即 解决问题：请根据上述材料，解答下列问题． (1)直接写出不等式的解集是__________； (2)求出代数式的取值范围； (3)若关于的代数式（其中、为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的、的值． 23．已知关于x的方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； (2)若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． (3)已知三个不同的实数a，b，c满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求a，b，c的值． 24．阅读下面材料：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的一元二次方程有两个实数根分别为，，那么由求根公式可推出，．已知关于的方程有两个实根，，请根据上述结论，解决下面问题： (1)当方程的一个根时，求方程的另一个根； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 压轴题型七、一元二次方程应用之销售问题 25．小琴的父母承包了一块荒山种植一批梨树，今年收获一批蜜梨．他们打算以每千克元的零售价销售5000kg蜜梨，剩余的蜜梨以每千克比零售价低1元的批发价批发给外地客商，预计总共可获得145000元收入． (1)小琴的父母今年共收获蜜梨多少千克？ (2)若以零售价销售蜜梨，平均每天可售出200kg，每千克盈利2元．为了加快销售速度，小琴的父母采取了降价措施，并发现每千克零售价降低0.1元，平均每天可多售出40kg．每千克零售价应降价多少元，才能使得每天的销售利润为600元？ 26．某网商经销一种玩具，每件进价为40元．市场调查反映，每星期的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系为y＝﹣10x+900（40≤x≤90） (1)如果该网商每个星期想获得4000元的利润，请你计算出玩具的销售单价定为多少元？ (2)当每件玩具的销售价定为多少元时，该网商每星期经销这种玩具能够获得最大销售利润？最大销售利润是多少？（每件玩具的销售利润＝售价﹣进价） 27．重庆1949大剧院自建成开演以来，吸引不少外地游客前来观看，所有演出门票中，普通席和嘉宾席销售最快，已知一张普通席的票价比一张嘉宾席的票价少40元，一张普通席的票价与一张嘉宾席票价之和为600元． (1)求普通席和嘉宾席两种门票单张票价分别为多少元？ (2)因为疫情原因，11月份以来，外地游客人数减少，普通席票平均每天售出100张，嘉宾席票平均每天售出200张．12月份后，疫情得到有效控制，观看人数明显增加，为了吸引游客，剧院决定降低普通席的票价，这样与11月份相比，普通席票平均每天售价降低金额数是售出普通席普通票增加张数的2倍，嘉宾席的票价与11月份保持不变，但平均每天售出嘉宾席票增加张数是12月份售出普通席增加张数的，这样12月份两种票平均一共销售总额为99200元，求12月份普通席的票价是多少元？ 28．返校复学之际，育才学校为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设学校共买了瓶免洗抑菌洗手液． （1）当时，每瓶洗手液的价格是______元；当时，每瓶洗手液的价格是______元；当时，每瓶洗衣手液的价格为______元（用含的式子表示）； （2）若学校一次性购买洗手液共花费1250元，问一共购买了多少瓶洗手液？ 压轴题型八、一元二次方程应用之图形几何问题 29．如图，在矩形中，，．动点从点A出发，以的速度沿着折线向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿着向终点运动，连接，，设运动时间为，的面积为． (1)当点在边上时， ， （用含的式子表示）． (2)当时，求的值． (3)连接，当时，求的值． (4)当点在边上，且时，直接写出的值． 30．如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、，设点P、Q运动的时间为． (1)当__________时，四边形是矩形； (2)当__________时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 31．如图1，有一张长为，宽为的长方形硬纸片． (1)若裁去角上的四个小正方形之后，折成如图2所示的无盖纸盒，当，纸盒的底面积为时，求裁去的正方形边长是多少？ (2)若裁去部分图形后，折成如图3所示底面是正三角形的无盖纸盒，则此时的长为多少？当纸盒的底面积与侧面积（三个长方形的面积）相等时，底面正三角形的边长是多少？ 32．如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽； (3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由． 压轴题型九、一元二次方程的新定义问题 33．定义表示不超过实数的最大整数，如：，，．则方程的解为（    ） A．或或0 B．或或0 C．或或0 D．或或0 34．定义：由，构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，是关于的方程的根，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 35．定义：若满足（为常数）且，则称点为“美好点”，比如点．若均为“美好点”，已知，且当时，都有，则的取值范围是 ． 36．阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”． (1)“友好方程”的“超强代码”是________； (2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值 压轴题型十、材料阅读新题型 37．阅读材料：若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数．其“快乐数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为_________； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若有另一个“快乐方程”的“快乐数”．且满足，则称与互为“开心数”．若关于x的一元二次方程与（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值． 38．在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前行的点数计算进行探究活动：如图1是一个三角点阵，从上到下有无数行，其中第一行有个点，第二行有个点……第行有个点…… 【发现问题】：在探究的过程中，容易发现是三角形前行的点数和，但是遇到较大的点数，逐个数行数很繁琐． 【提出问题】：前多少行的点数和是？ 【分析问题】：数形结合是解决数学问题的重要思想；下面表格分别从数和形两个角度探究前行的点数和． 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法． 例：求前行的点数 ①， 由①式倒序： ②， ①②： 所以，即前行点数为个． 利用图形的特征进行计算．如图2，将一个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图形的三角点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半． 【解决问题】： (1)根据以上材料，解决前面所提出的问题； 【应用延伸】： (2)如图3，该点阵的点数从上到下依次为：，，，，，，这个点阵的点数和能是吗？请说明理由． 39．阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗㙳的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是__________．（从序号中选择） 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即x__________； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程____________________，解得原方程的一个根为____________________； 【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数__________，__________，求得方程的正根为__________． 40．阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，则_______，_______； (2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值； (3)已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$