专题04 一元二次方程章末易错考点题型（专项训练）数学冀教版九年级上册

专题04 一元二次方程章末易错考点题型 目录 易错题型一、一元二次方程的定义 易错题型二、一元二次方程的一般形式 易错题型三、由一元二次方程的定义、解求参 易错题型四、一元二次方程解的估算 易错题型五、选择合适的解法解一元二次方程 易错题型六、配方法的应用 易错题型七、根的判别式及求参问题 易错题型八、换元法解一元二次方程 易错题型九、韦达定理的直接计算问题 易错题型十、韦达定理的间接计算问题 易错题型十一、韦达定理的大题练习 易错题型十二、传播问题 易错题型十三、增长率问题 易错题型十四、图形相关问题 易错题型十五、动态几何问题 易错题型十六、销售问题 易错题型十七、握手循环问题 易错题型十八、其他问题 易错题型一、一元二次方程的定义 1．（2025八年级下·全国·专题练习）下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）下列各方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）现有如下两个方程，①，②，说法正确的是（   ） A．①和②都是一元二次方程 B．①和②都不是一元二次方程 C．只有①是一元二次方程 D．只有②是一元二次方程 易错题型二、一元二次方程的一般形式 5．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知关于x的一元二次方程，则一次项系数为（   ） A． B． C．2 D．1 6．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）一元二次方程，二次项系数、一次项系数分别为（    ） A．，1 B．，0 C．1， D．1，0 7．（24-25八年级下·浙江金华·期末）一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ）． A．9，5， B．9，4， C．9，，4 D．9，，5 8．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 易错题型三、由一元二次方程的定义、解求参 9．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 10．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）当 时，关于x的方程是一元二次方程． 11．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）若关于x的一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（   ） A．1， B．1， C．2， D．3，0 12．（24-25八年级下·安徽池州·期末）若关于x的一元二次方程的一个解为，则a的值是 ． 易错题型四、一元二次方程解的估算 13．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）根据下表判断方程的一个解的取值范围是（    ） … … … … A． B． C． D． 14．（2025·宁夏吴忠·二模）观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）在估算一元二次方程的解时，小明列表如下： x 请判断其中一个解x的大致范围是（　　） A． B． C． D． 16．（24-25九年级上·山西晋中·阶段练习）根据下面表格的对应值： 由此可判断方程必有一个解满足（   ） A． B． C． D． 易错题型五、选择合适的解法解一元二次方程 17．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）用指定方法解一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 18．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程 (1)配方法 (2)公式法 19．（24-25九年级上·重庆南岸·开学考试）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） (4)（十字相乘法） 20．（24-25八年级下·山东泰安·期中）按照指定方法解下列方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)． 易错题型六、配方法的应用 21．（24-25八年级下·北京昌平·期末）用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则的值为 ． 22．（24-25八年级上·河南南阳·期中）【方法学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ∵， ∴，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【问题解决】 (1)当为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ (2)如图，是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；图是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由． 23．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）已知 ． (1)当时，求x的值； (2)若，求M的值； (3)求证：． 24．（24-25八年级下·山东泰安·期中）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决一些最值问题．例如：，所以的最小值为，此时． (1)尝试：，因此当 时，代数式有最小值，最小值是 ； ，所以当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值． (2)应用：如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的栅栏的总长是，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 易错题型七、根的判别式及求参问题 25．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）已知方程的判别式的值为． (1)求的值并求出方程的根． (2)若等腰三角形底边长为，腰长是上述方程的根，求这个三角形的面积． 26．（2025·河北石家庄·三模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则t的值不可以是（   ） A．0 B． C．3 D． 27．（24-25九年级上·河北唐山·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若为方程的一个根，且满足，求整数的值． 28．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D．且 易错题型八、换元法解一元二次方程 29．（24-25九年级下·内蒙古赤峰·开学考试）若实数满足 ，则的值为 ． 30．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知，则的值为（   ） A．或2 B．或8 C．2 D．8 31．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 32．（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于x的一元二次方程有一根为2025，则一元二次方程必有一根为 ． 易错题型九、韦达定理的直接计算问题 33．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知是方程的两根，则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 34．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．5 B． C．1 D． 35．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）若是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 36．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A． B．3 C． D．10 易错题型十、韦达定理的间接计算问题 37．（24-25八年级下·陕西铜川·阶段练习）已知，是关于的一元二次方程的两个实数解，若，则的值为（   ） A． B．7 C．或7 D．或7 38．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（   ） A．2或6 B．3或5 C．4 D．6 39．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则 40．（24-25八年级下·广西梧州·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 易错题型十一、韦达定理的大题练习 41．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）如果方程的两个根是、，那么，请根据以上结论解决下列问题． (1)已知关于的方程，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数． (2)已知满足，，求的值． 42．（24-25八年级下·山东济宁·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 43．（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知关于x的一元二次方程．． (1)当时，请求该一元二次方程的根； (2)若该一元二次方程有实数根，求a的最大值． 44．（24-25九年级上·河北保定·期中）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，都是整数，请直接写出符合条件的整数的值． 易错题型十二、传播问题 45．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）某赛季篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为240场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 46．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（   ）个人患流感 A．7 B．8 C．448 D．512 47．（24-25八年级下·重庆九龙坡·期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”．则关于x的方程为（    ） A． B． C． D． 48．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）甲型流感病毒的传染性强，有一个人患了流感，经过两轮传染后就会有若干人被传染上流感，假设每轮感染中平均一个人会传染x个人． (1)两轮传染后，感染流感的总人数为__________(用含x的代数式表示)； (2)在进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，问经过两轮传染后是否会有15人同时患病的情况发生，请说明理由． 易错题型十三、增长率问题 49．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）今年某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月的月平均增长率． (2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？ 50．（24-25九年级上·河北沧州·期中）某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2022年，A市在省财政补助的基础上投入800万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2024年该市计划投资“改水工程”1800万元． (1)求A市投资“改水工程”的年平均增长率； (2)从2022年到2024年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？ 51．（24-25九年级上·河北沧州·期末）近年来，某市深入挖掘消费潜力，以网红品牌激活城市经济．据调查，某网红餐饮品牌在某门店2024年10月的营业额为500万元，12月的营业额为720万元． (1)求该店营业额的月平均增长率； (2)若保持前两月营业额的月平均增长率不变，预计2025年1月该店的营业额能否超过850万元？请利用计算说明． 52．（24-25九年级上·广东深圳·期中）受市场波动影响，华佳超市某商品的销售量持续两个月下降，销量由1月份的500件下降到3月份的320件，为此，超市进行降价促销去库存活动，根据以往经验，当售价每降价1元时，销量就会增加20件． (1)已知2，3月份的月下降的百分率是相同的，求这个百分率； (2)已知该商品进价为20元/件，原售价为56元/件，超市计划在3月份销量的基础上，4月份销售这种商品能获利13520元，那么每件商品应降价多少元？4月份的销量是多少？ 易错题型十四、图形相关问题 53．（2025·河北邯郸·三模）如图，有两张边长分别为，的正方形纸片，其面积分别为，． (1)求的值（用含的式子表示）． (2)若，求的值． 54．（24-25九年级下·甘肃白银·开学考试）如图1是一种长为m，宽为n的矩形卡片，某同学将7张这种矩形卡片按图2的方式不重叠无缝隙地放在大矩形内（其余部分用阴影表示），已知大矩形的长是宽的． (1)求m与n应满足的数量关系，并仅用含n的式子表示大矩形的面积； (2)若图2大矩形的面积为18，求阴影部分的面积． 55．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 56．（24-25九年级上·河北保定·期中）宫格画（图1）因其独特的艺术性近年来受到年轻人的追捧．如图2，小欣利用宽度相等的纸卡（灰色阴影部分）制作了一个长为，宽为的宫格画画框，空白处的宽度相同，设纸卡的宽为． (1)图2中空白处的宽度_________．（用含x的式子表示） (2)若图2中空白处的面积为，求x的值． 易错题型十五、动态几何问题 57．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，，，．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P在上以的速度向B点移动，点Q在上以的速度向C点移动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．下列时刻中，能使的面积为的是（   ） A． B． C． D． 58．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，线段厘米，O为的中点，射线．动点P从点A出发，以1厘米/秒的速度向点B运动，另一动点Q从点O出发，以2厘米/秒的速度沿射线运动，点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点P，Q都停止运动．设点P的运动时间为t秒，当的面积为8平方厘米时，t的值为 ． 59．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，几秒钟后的面积为？ 60．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)______，______，（用含的代数式表示）； (2)为多少时，四边形的面积为； (3)为多少时，点和点的距离为． (4)P，Q同时出发，直接写出为何值时，以P，Q，D为顶点的三角形为等腰三角形． 易错题型十六、销售问题 61．（2024·安徽合肥·一模）“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的进价为元/个，经测算当售价为元/个时，月销售量为个；售价每上涨元，则月销售量减少个，为使月销售利润达到元，并尽可能让顾客得到实惠，求该品牌头盔的售价应定为每个多少元． 62．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）某超市销售一种饮料，进价为每箱48元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售60箱．现为了减少库存，决定对该饮料降价销售，市场调查发现：若这种饮料的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱． (1)若该超市预计12月份要获得770元的利润，则每箱饮料售价应定为多少元？ (2)该超市能否每月获得880元的利润？若能，求出售价为多少元？若不能，请说明理由． 63．（24-25九年级上·河北邢台·期中）2023年由于榴莲价格接连下降，“或可实现榴莲自由”的话题登上热搜．某水果店的榴莲水果盒进货价为元/盒，为吸引客流量，该商家承诺榴莲水果盒的价格永远不会超过元/盒，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为元/盒时，日销售量为盒，售价每降低元，日销售量增加盒． (1)当日销售量为盒时、产品售价为每盒多少元？ (2)直接写出日销售量（盒）与售价（元/盒）的函数关系式； (3)该产品的售价每盒应定为多少，该水果店的榴莲水果盒每天可盈利元？ 64．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现，每降价1元，每月多售出20顶，已知头盔的进价为每顶50元． (1)若每顶头盔降价10元，则每月可销售 顶头盔，每月销售利润为 元． (2)若商店为了减少库存，准备降价销售这批头盔，同时确保每月的销售利润为7500元，求头盔的销售单价． (3)若降价销售这批头盔，每月的利润能否达到9000元？请说明理由． 易错题型十七、握手循环问题 65．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）在一次公司年会上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，一共握了36次手．求这次会议到会的人数． 66．（24-25九年级上·吉林·期末）某中学的初三篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛21场，求参加比赛的球队有多少支？ 67．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）八年级乒乓球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； (3)赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛，则n的值为__________． 68．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支球队． 易错题型十八、其他问题 69．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，一艘军舰位于点处，在其正南方向有一目标，在点的正东方向有一目标，且，在上有一艘补给船，．军舰从点出发，向，方向匀速航行，补给船同时从点出发，沿垂直于的方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由点到点的途中与补给船相遇于点处，则相遇时补给船航行了多远？ 70．（24-25九年级上·河北保定·期末）为美化市容，某广场用规格为的灰、白两种颜色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示． 【观察思考】 图1中灰砖有1块，白砖有8块；图2中灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．．． 【规律总结】 （1）图4中灰砖有_________块，白砖有________块；图n中灰砖有_______块，白砖有______块． 【问题解决】 （2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少16的情形？请通过计算说明你的理由． 71．（24-25九年级上·山西晋中·期中）应用题： 某菜农在2022年12月底投资1600元种植大棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜400千克，当天就可以按6元/千克的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损失10千克，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能上涨元（储藏时间不超过10天）．若该菜农想获得1175元的利润，需要将采摘的黄瓜储藏多少天．    72．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图为2022年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中虚框所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d．      (1)若用含有a的式子分别表示出b，c，d，其结果应为：______；________；________； (2)按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 _________； (3)嘉嘉说：“按这种方法可以圈出四个数，使得的值为135．”淇淇说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元二次方程章末易错考点题型 目录 易错题型一、一元二次方程的定义 易错题型二、一元二次方程的一般形式 易错题型三、由一元二次方程的定义、解求参 易错题型四、一元二次方程解的估算 易错题型五、选择合适的解法解一元二次方程 易错题型六、配方法的应用 易错题型七、根的判别式及求参问题 易错题型八、换元法解一元二次方程 易错题型九、韦达定理的直接计算问题 易错题型十、韦达定理的间接计算问题 易错题型十一、韦达定理的大题练习 易错题型十二、传播问题 易错题型十三、增长率问题 易错题型十四、图形相关问题 易错题型十五、动态几何问题 易错题型十六、销售问题 易错题型十七、握手循环问题 易错题型十八、其他问题 易错题型一、一元二次方程的定义 1．（2025八年级下·全国·专题练习）下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程，只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程，据此判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、中未知数的最高次数是，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 、是一元二次方程，故本选项符合题意； 、含有个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：． 2．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，熟记一般形式为：． 根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A 、，最高次数为，故A选项不符合题意； B、是二元一次方程，故B选项不符合题意； C、是一元二次方程，故C选项符合题意； D、不是整式方程，故D选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）下列各方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键； 根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A． ，是分式方程，故该选项不符合题意； B． ， 去括号，移项，合并同类项得，是一元一次方程，故该选项不符合题意； C． ， 去括号，移项，合并同类项得，是一元二次方程，故该选项符合题意； D． ，是二元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）现有如下两个方程，①，②，说法正确的是（   ） A．①和②都是一元二次方程 B．①和②都不是一元二次方程 C．只有①是一元二次方程 D．只有②是一元二次方程 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握相关的定义，是解答本题的关键．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义判断即可作答． 【详解】解；①，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，故是一元二次方程， ②，含有2个未知数，故不是一元二次方程， 故选：C． 易错题型二、一元二次方程的一般形式 5．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知关于x的一元二次方程，则一次项系数为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】先将方程化为一元二次方程的一般形式 （），再确定一次项系数． 本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握将方程化为一般形式后确定各项系数的方法是解题的关键． 【详解】解： ， ∴一次项系数为 ， 故选：A． 6．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）一元二次方程，二次项系数、一次项系数分别为（    ） A．，1 B．，0 C．1， D．1，0 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式，直接识别二次项系数和一次项系数． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数分别是，1， 故选：A． 7．（24-25八年级下·浙江金华·期末）一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ）． A．9，5， B．9，4， C．9，，4 D．9，，5 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的各项系数是解题的关键．元二次方程的一般形式为（a、b、c为常数，），其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项，由此解答即可． 【详解】解：由得， 所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是9，4，， 故选：B． 8．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 【答案】(1)，方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为 (2)2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元一次方程的定义． （1）首先将该方程进行化简，整理成一元二次方程的一般形式，即，且的形式，然后根据二次项系数，一次项系数以及常数项的定义即可解答本题； （2）根据一元一次方程的定义求解即可． 【详解】（1）解： 移项、合并同类项，得， ∴方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为； （2）解：若方程是一元一次方程，则，， 解得． 易错题型三、由一元二次方程的定义、解求参 9．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义得，解之即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）当 时，关于x的方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：含有一个未知数且未知数的次数为2的整式方程，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程 ∴ ∴ ∴ 故答案为： 11．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）若关于x的一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（   ） A．1， B．1， C．2， D．3，0 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元二次方程，方程的两根互为相反数，据此可得，求得m的值，继而可得答案． 【详解】解：由题意知，方程的两根互为相反数， ， 解得， ， 故选：C． 12．（24-25八年级下·安徽池州·期末）若关于x的一元二次方程的一个解为，则a的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，由题意可得，，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解为， ∴，， 解得， 故答案为：． 易错题型四、一元二次方程解的估算 13．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）根据下表判断方程的一个解的取值范围是（    ） … … … … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的估算，看0在相对应方程的哪两个值之间，那么近似解就在这两个对应的值对应的x的值之间，据此求解即可． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴当时，一定有一个x对应的值，使得， ∴一元二次方程的一个解x的取值范围是， 故选：B． 14．（2025·宁夏吴忠·二模）观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，根据表格中的数据可知 当时，，所以方程的一个近似解是． 【详解】解：， 由表中数据可知：当时，， 一元二次方程的解是． 故选：C． 15．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）在估算一元二次方程的解时，小明列表如下： x 请判断其中一个解x的大致范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握估算一元二次方程近似解的方法．结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：根据表格中的数据，可以发现：时，； 时，， 故一元二次方程的一个解x的范围是． 故选：B． 16．（24-25九年级上·山西晋中·阶段练习）根据下面表格的对应值： 由此可判断方程必有一个解满足（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的近似值，由时，；时，，可得时，存在，据此即可求解，理解一元二次方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵时，；时，， ∴时，存在， 即必有一个解满足， 故选：． 易错题型五、选择合适的解法解一元二次方程 17．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）用指定方法解一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题分别考查了利用配方法和公式法解一元二次方程，其中配方法的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方，公式法的关键 熟练掌握求根公式． （1）首先移项，然后方程两边同时加上9即可完成配方，然后解方程即可求解； （2）利用求根公式即可求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴， ，， （2）解： ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 18．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程 (1)配方法 (2)公式法 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方后，再开方，即可得出结果； （2）先求解，再利用求根公式计算即可． 【详解】（1）解： 移项，化“1”得：， 配方，得：， 即， 由此可得：， ，； （2）解： ，，， ， 方程有两个不等的实数根， ， 即，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次． 19．（24-25九年级上·重庆南岸·开学考试）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） (4)（十字相乘法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，公式法，以及直接开方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． （1）把常数项4移项后，再在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方，再进行计算即可． （2）找出，，的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解； （3）方程移项后，提取公因式，因式分解得到，然后解两个一元一次方程即可； （4）把方程左边进行因式分解得到，然后解两个一元一次方程即可． 【详解】（1）， ， ， ， ， ，； （2）， ，，，， ， ，； （3）， ， ， ， ， 或， ，； （4）． ， 或， ，． 20．（24-25八年级下·山东泰安·期中）按照指定方法解下列方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)． 【答案】(1)，； (2) (3)， 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）利用分解因式法解方程即可． 【详解】（1）解：， 方程变形得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，； （2）解：， ，，， ， ， 解得：； （3）解： 整理得：， 分解因式得：， 或， 解得：，． 【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． 易错题型六、配方法的应用 21．（24-25八年级下·北京昌平·期末）用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则的值为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了配方法的运用，掌握一元二次方程配方法的计算是解题的关键． 找到一次项系数，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，由此即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：14 ． 22．（24-25八年级上·河南南阳·期中）【方法学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ∵， ∴，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【问题解决】 (1)当为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ (2)如图，是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；图是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)时，代数式有最小值，最小值为 (2)当时，；当时， 【分析】（）利用配方法解答即可求解； （）利用长方形和正方形的面积公式分别表示出，进而求出，最后根据的值判断即可求解； 本题考查了配方法，整式的运算，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当，即时，代数式有最小值，最小值为； （2）解：由题意得，，， ∴， 当时，，即， ∴当时，； 当时，，即， ∴当时，； 综上所述，当时，；当时，． 23．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）已知 ． (1)当时，求x的值； (2)若，求M的值； (3)求证：． 【答案】(1)， (2)1或 (3)见解析 【分析】本题考查解一元二次方程，代数式求值，配方法的应用： （1）将的值代入，解一元二次方程即可； （2）令M相等，解一元二次方程即可； （3）将M配方，即可得． 【详解】（1）解：当时， 即， ， ∴，； （2）解：若，则 即， 解得，， 当时，， 当时，， 综上可得，M的值为1或； （3）证明：， ∵， ∴， ∴． 24．（24-25八年级下·山东泰安·期中）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决一些最值问题．例如：，所以的最小值为，此时． (1)尝试：，因此当 时，代数式有最小值，最小值是 ； ，所以当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值． (2)应用：如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的栅栏的总长是，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)；，大； (2)当为米，为米时，面积最大为平方米． 【分析】（）根据配方后的结果即可求解；根据配方后的结果即可求解； （）设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，列式表示出矩形的面积，再利用配方法解答即可求解； 本题考查了利用配方法求代数式的最值，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：，； ∵， ∴当时，代数式有最大值， 故答案为：，大； （2）解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 根据题意得，， 当时，有最大值，最大值为， ∴围成的矩形花圃垂直于墙的栅栏长时，能使花圃面积最大，最大面积是． 易错题型七、根的判别式及求参问题 25．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）已知方程的判别式的值为． (1)求的值并求出方程的根． (2)若等腰三角形底边长为，腰长是上述方程的根，求这个三角形的面积． 【答案】(1)当时，方程的解为，， 当时，方程的解为， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及解法，三角形三边关系，勾股定理等知识，掌握一元二次方程相关知识是解题的关键． （1）由方程的判别式的值为可列方程，可得的值，再由的值解出方程； （2）由等腰三角形的腰是正数和三角形三边关系，确定腰长，根据勾股定理求得底边上的高，进而求得面积． 【详解】（1）解：方程的判别式的值为， ， 解得：， 当时，方程的解为，， 当时，方程的解为，； （2）解：等腰三角形底边长为，腰长是上述方程的根， 当时，方程的解为，，不符合题意， 等腰三角形的腰长是方程的解为，， 当腰为时，，不能构成三角形， 等腰三角形的腰长是， 设底边上的高为，由勾股定理得： ， 等腰三角形的面积为． 26．（2025·河北石家庄·三模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则t的值不可以是（   ） A．0 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：由题意，， 解得． 而， 故选：C． 27．（24-25九年级上·河北唐山·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若为方程的一个根，且满足，求整数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】本题主要考查根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）计算，证明即可解题． （2）因式分解解一元二次方程，再根据题意可得，根据是整数，即可求解． 【详解】（1）证明：， ∴， ， ， 该方程总有两个实数根． （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ，即， 又为整数， 可取，． 28．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式． 由一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，可得关于的一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，，且， 故选：． 易错题型八、换元法解一元二次方程 29．（24-25九年级下·内蒙古赤峰·开学考试）若实数满足 ，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求解方法为解题关键．设，则原方程变形为，运用因式分解法解得，然后确定的值． 【详解】解：设，则， ，即， 解得：， ， ． 故答案为：1． 30．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知，则的值为（   ） A．或2 B．或8 C．2 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题关键． 设，将原方程转化为关于的一元二次方程，结合非负性确定解即可． 【详解】解：令， 则原方程变为． 提取公因式，得． 解得或． ， 舍去，唯一解为． 因此，的值为． 故选：D． 31．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程. 根据题意把看做一个整体，根据方程的解，可得或，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，， ∴方程的解满足或， 解得，， 故选：B． 32．（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于x的一元二次方程有一根为2025，则一元二次方程必有一根为 ． 【答案】2024 【分析】利用换元法，进行计算即可 【详解】由，得． 设，则． 关于x的一元二次方程有一根为2025，即有一个根为2025， ，解得， 一元二次方程必有一根为2024． 易错题型九、韦达定理的直接计算问题 33．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知是方程的两根，则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程的根与系数的关系． 直接根据一元二次方程的根与系数的关系求解． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， 故选：C． 34．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．5 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题可直接利用一元二次方程根与系数的关系来求解两根之和．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握若是一元二次方程的两个实数根，则是解题的关键． 【详解】解：在方程中，， 故选：B． 35．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）若是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题可根据一元二次方程根与系数的关系来求解两根之积．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握对于一元二次方程，两根满足是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程中，，是一元二次方程的两个根， ∴ 故答案为：． 36．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A． B．3 C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．解题的关键是掌握：若，是一元二次方程的两个实数根，则，．据此解答即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴的值为． 故选：B． 易错题型十、韦达定理的间接计算问题 37．（24-25八年级下·陕西铜川·阶段练习）已知，是关于的一元二次方程的两个实数解，若，则的值为（   ） A． B．7 C．或7 D．或7 【答案】A 【分析】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，掌握两根之和、两根之积与方程系数的关系是解题的关键． 由根与系数的关系可用表示出两根之和与两根之积，代入已知条件可得到关于的方程，即可求得的值．由方程根的情况，根据判别式可求得符合要求的； 【详解】解：∵方程的两个实数根分别为和， ， ， ， 或， ∵关于的一元二次方程有两个实数根， ， 当时，，不符合要求， ， 故选：A． 38．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（   ） A．2或6 B．3或5 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是牢记“当时，方程有两个实数根”． 根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵是方程的两个实数根， ∵，， 又， ∴， ∴， ∴， 解得，． 故选B． 39．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程的两根为，，则． 根据根与系数的关系和方程的解得到，，，代入，并再将原式化简为，即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根分别是， ∴，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 40．（24-25八年级下·广西梧州·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 易错题型十一、韦达定理的大题练习 41．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）如果方程的两个根是、，那么，请根据以上结论解决下列问题． (1)已知关于的方程，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数． (2)已知满足，，求的值． 【答案】(1) (2)或2 【分析】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． （1）先设方程的两个根分别是，得出，，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案 （2）分两种情况，当时，a、b满足，，得出a，b是的解，求出和的值，即可求出的相应值；当时，则． 【详解】（1）解：设方程，的两个根分别是， ∴， 则，， 则方程的两个根分别是已知方程两根的倒数． （2）解：当时， ∵a、b满足， ∴a、b是的解， ∴， ∴ 当时， 故综上所述，的值为-47或2. 42．（24-25八年级下·山东济宁·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系；能熟练利用一元二次方程根的判别式及根与系数的关系进行求解是解题的关键． （1）由根的判别式得，即可求解； （2）由根与系数的关系得，，代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵方程两实数根分别为，， ∴， ， ∵， ∴， ， 解得：（舍去）或， ∵， ∴． 43．（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知关于x的一元二次方程．． (1)当时，请求该一元二次方程的根； (2)若该一元二次方程有实数根，求a的最大值． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程． （1）把代入，得到，解之可得． （2）根据一元二次方程有实数根，得到，解不等式可得． 【详解】（1）当时， 该一元二次方程为， 解得； （2）该一元二次方程有实数根， ，解得， 的最大值为9． 44．（24-25九年级上·河北保定·期中）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，都是整数，请直接写出符合条件的整数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式可得，然后进行求解即可； （2）根据（1）中得出的的取值范围，得出整数的值为，分别求出方程的解，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得，， ， ． （2）解：， ， 是整数， ∴整数的值为， 当时，方程为， 解得：，符合题意． 当时，，此时方程解不为整数． 当时，方程为，此时方程解不为整数． 当时，方程为， 解得：，符合题意． 综上所述，的值为2或5． 易错题型十二、传播问题 45．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）某赛季篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为240场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程，根据总比赛场数作为等量关系列方程是解题的关键． 设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛240场，列出方程即可． 【详解】解：设参赛队伍有x支， 根据题意得，． 故选：C． 46．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（   ）个人患流感 A．7 B．8 C．448 D．512 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出的一元二次方程，关键是得到两轮传染人数的数量关系，从而可列方程求解． 设每轮传染中平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮有人患流感，第二轮共有人，即64人患了流感，由此列方程求出x，再据此即可求得经过三轮传染后患流感的总人数． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人， 根据题意得：， 整理得，， 解得：或 (舍去)， 故每轮传染中平均一个人传染了7人， 则经过三轮传染后患流感的人数为： (人)， 故选：D． 47．（24-25八年级下·重庆九龙坡·期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”．则关于x的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，第一轮传染了x人，第二轮传染了人，根据“经过两轮传染后共有256人感染”列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染平均一个人传染x人， 根据题意，得， 故选：C． 48．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）甲型流感病毒的传染性强，有一个人患了流感，经过两轮传染后就会有若干人被传染上流感，假设每轮感染中平均一个人会传染x个人． (1)两轮传染后，感染流感的总人数为__________(用含x的代数式表示)； (2)在进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，问经过两轮传染后是否会有15人同时患病的情况发生，请说明理由． 【答案】(1) (2)会，理由见解析 【分析】（1）根据每轮的传染中平均一个人传染了x个人，可得答案； （2）根据题意，列出一元二次方程，进而即可判断是否会有15人患病的情况． 【详解】（1）解：第一轮被感染的人数为x，第二轮被传染上流感人数是， 所以两轮传染后，感染流感的总人数为：(人) 故答案为：； （2）解：经过两轮传染后会有15人患病的情况发生，理由如下： 依题意得：， 整理得：， 解得：，(不合题意，舍去)， ∴当每轮感染中平均一个人会传染4个人时，第二轮传染后会有15人患病的情况发生． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出一元二次方程是关键． 易错题型十三、增长率问题 49．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）今年某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月的月平均增长率． (2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？ 【答案】(1)四、五这两个月的月平均增长率； (2)当商品降价5元时，商场月获利4250元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设四月，五月的月平均增长率为x，根据题意，得，解方程即可； （2）设降价m元，商场月获利4250元，根据题意，得，解方程即可． 【详解】（1）解：设四月，五月的月平均增长率为x， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：四、五这两个月的月平均增长率； （2）解：设降价m元，商场月获利4250元， 根据题意，得 ， 解得，（舍去）， 答：当商品降价5元时，商场月获利4250元． 50．（24-25九年级上·河北沧州·期中）某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2022年，A市在省财政补助的基础上投入800万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2024年该市计划投资“改水工程”1800万元． (1)求A市投资“改水工程”的年平均增长率； (2)从2022年到2024年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？ 【答案】(1) (2)3800万元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用． （1）本题可设A市投资“改水工程”年平均增长率是x，因为2022年投入800万元，2024年投资1800万元，所以可列方程，解之即可求出答案； （2）因为2022年投资800万元，2023年投资万元，2024年投资1800万元，求出三者的和即可． 【详解】（1）解：设A市投资“改水工程”年平均增长率是x， 则， 解得，或（不合题意，舍去）， 所以A市投资“改水工程”年平均增长率为； （2）解：（万元）， 所以从2022年到2024年，A市三年共投资“改水工程”3800万元． 51．（24-25九年级上·河北沧州·期末）近年来，某市深入挖掘消费潜力，以网红品牌激活城市经济．据调查，某网红餐饮品牌在某门店2024年10月的营业额为500万元，12月的营业额为720万元． (1)求该店营业额的月平均增长率； (2)若保持前两月营业额的月平均增长率不变，预计2025年1月该店的营业额能否超过850万元？请利用计算说明． 【答案】(1)该店营业额的月平均增长率为 (2)预计该店2025年1月的营业额能超过850万元．说明见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出一元二次方程成为解题的关键． （1）设该店2024年10月至12月营业额的月平均增长率为x，然后根据增长率问题列出方程求解即可； （2）根据（1）求得的增长率计算出1月份的营业额，然后与850万元比较即可． 【详解】（1）解：设该店营业额的月平均增长率为，依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该店营业额的月平均增长率为 （2）解：预计2025年1月该店的营业额：（万元） ∵， ∴预计该店2025年1月的营业额能超过850万元． 52．（24-25九年级上·广东深圳·期中）受市场波动影响，华佳超市某商品的销售量持续两个月下降，销量由1月份的500件下降到3月份的320件，为此，超市进行降价促销去库存活动，根据以往经验，当售价每降价1元时，销量就会增加20件． (1)已知2，3月份的月下降的百分率是相同的，求这个百分率； (2)已知该商品进价为20元/件，原售价为56元/件，超市计划在3月份销量的基础上，4月份销售这种商品能获利13520元，那么每件商品应降价多少元？4月份的销量是多少？ 【答案】(1)2，3月份的月下降的百分率为； (2)当商品降价10元时，4月份销售这种商品能获利13520元，4月份的销量是520件． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据销量、利润、进价、售价之间的关系正确列出一元二次方程． （1）设平均下降的百分率为x，根据1月份、3月份销量列一元二次方程，即可求解； （2）设商品降价y元，用含y的代数式表示出4月份销量及单件利润，根据获利13520元列一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：设平均下降的百分率为x， 由题意知， 解得，（不合题意，舍去）， 答：2，3月份的月下降的百分率为； （2）解：设当商品降价y元时，商场4月份可获利13520元， 由题意知， 整理得，即， 解得， ， 答：当商品降价10元时，4月份销售这种商品能获利13520元，4月份的销量是520件． 易错题型十四、图形相关问题 53．（2025·河北邯郸·三模）如图，有两张边长分别为，的正方形纸片，其面积分别为，． (1)求的值（用含的式子表示）． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了列代数式，完全平方公式，解一元二次方程等知识，解题的关键是： （1）根据正方形的面积列式求解即可； （2）根据列出关于a的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解∶ ； （2）解∶ ， ， ， 或2， 又， ． 54．（24-25九年级下·甘肃白银·开学考试）如图1是一种长为m，宽为n的矩形卡片，某同学将7张这种矩形卡片按图2的方式不重叠无缝隙地放在大矩形内（其余部分用阴影表示），已知大矩形的长是宽的． (1)求m与n应满足的数量关系，并仅用含n的式子表示大矩形的面积； (2)若图2大矩形的面积为18，求阴影部分的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查列代数式、代数式求值，掌握一元二次方程的解法和矩形的面积计算公式是解题的关键． （1）根据图2，将大矩形的长和宽分别用含m和n的代数式表示出来，再根据大矩形的长和宽之间的关系求出m与n的数量关系，并根据矩形的面积公式用含n的式子表示大矩形的面积即可； （2）根据题意列关于n的方程并求解，从而求出m的值，进而求出每个矩形卡片的面积，再由“大矩形的面积个矩形卡片的面积”列式计算即可． 【详解】（1）解：大矩形的长是，宽是， 根据题意，得， ， 大矩形的长是，宽是， ， 用含n的式子表示大矩形的面积为 （2）解：根据题意，得， 或舍去， ， 每个矩形卡片的面积为， 阴影部分的面积为 55．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)自行车车棚的宽为，自行车车棚的长为 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用，根的判别式，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． （1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过7米； （3）根据（2）中方法列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断，即可解题． 【详解】（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， （）， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，车棚面积为： 解得：或， 又距院墙7米处，规划有机动车停车位， ，将代入得：，满足题干条件， 自行车车棚的宽为：， 自行车车棚的长为：； （3）解：不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得： ， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 56．（24-25九年级上·河北保定·期中）宫格画（图1）因其独特的艺术性近年来受到年轻人的追捧．如图2，小欣利用宽度相等的纸卡（灰色阴影部分）制作了一个长为，宽为的宫格画画框，空白处的宽度相同，设纸卡的宽为． (1)图2中空白处的宽度_________．（用含x的式子表示） (2)若图2中空白处的面积为，求x的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是∶ （1）利用画框的长减去三个纸卡的宽，再除以2求解即可； （2）根据空白处的面积为列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 故答案为：； （2）解：根据题意，得， 解得，， 即当时，空白处的面积为． 易错题型十五、动态几何问题 57．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，，，．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P在上以的速度向B点移动，点Q在上以的速度向C点移动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．下列时刻中，能使的面积为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设当运动时间为秒时，的面积为，由题意得出，，则，由三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】解：设当运动时间为秒时，的面积为， 由题意得：，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 58．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，线段厘米，O为的中点，射线．动点P从点A出发，以1厘米/秒的速度向点B运动，另一动点Q从点O出发，以2厘米/秒的速度沿射线运动，点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点P，Q都停止运动．设点P的运动时间为t秒，当的面积为8平方厘米时，t的值为 ． 【答案】2或4或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意列一元二次方程是解题的关键． 由题意知，，，当时，，，令，计算求出满足要求的解即可；当时，，，令，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：∵厘米，O为的中点， ∴厘米， 由题意知，，， 当时，，， 令， 解得，或； 当时，，， 令， 解得，或（舍去）； 综上所述，经过2或4或秒，的面积为8平方厘米． 故答案为：2或4或． 59．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，几秒钟后的面积为？ 【答案】运动1秒或5秒后的面积为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， 解得：，． 答：运动1秒或5秒后的面积为． 60．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)______，______，（用含的代数式表示）； (2)为多少时，四边形的面积为； (3)为多少时，点和点的距离为． (4)P，Q同时出发，直接写出为何值时，以P，Q，D为顶点的三角形为等腰三角形． 【答案】(1)； (2)5 (3)t为或 (4)或2或或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是根据题意正确的列方程； （1）当运动时间为时，根据点和点的运动方向及运动速度，即可用含的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （3）过点作于点，则，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． （4）分，，三种情况讨论，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，， 故答案为：；． （2）依题意得：，解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． （3）过点Q作于点E，如图所示． 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ，即， 解得， 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． （4）解：当时，过P作， 四边形是矩形， ， ， ，， 四边形是矩形， ， ， 解得：； 当时，过Q作于E， 同理可证：四边形是矩形， ，， ， 在中，， ，即， 解得：或， 当时， 在中，， ， 解得：或（舍去）， 综上所述，或2或或． 易错题型十六、销售问题 61．（2024·安徽合肥·一模）“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的进价为元/个，经测算当售价为元/个时，月销售量为个；售价每上涨元，则月销售量减少个，为使月销售利润达到元，并尽可能让顾客得到实惠，求该品牌头盔的售价应定为每个多少元． 【答案】元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设该品牌头盔的售价定为元/个，则每个头盔的销售利润为元，月销售量为个，利用月销售利润每个头盔的销售利润月销售量，列出一元二次方程，解之可得出值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设该品牌头盔的售价定为每个元，则每个头盔的销售利润为元，月销售量为：（个）， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴． 答：该品牌头盔的售价应定为每个元． 62．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）某超市销售一种饮料，进价为每箱48元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售60箱．现为了减少库存，决定对该饮料降价销售，市场调查发现：若这种饮料的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱． (1)若该超市预计12月份要获得770元的利润，则每箱饮料售价应定为多少元？ (2)该超市能否每月获得880元的利润？若能，求出售价为多少元？若不能，请说明理由． 【答案】(1)每箱饮料售价应定为55元 (2)该超市不能每月获得880元的利润 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用； （1）设每箱饮料降价x元，根据总利润销售量单个的销售利润，列出方程求解即可； （2）设每箱饮料降价y元，根据总利润销售量单个的销售利润，列出方程，判断判别式的符号即可； 解题的关键是熟练掌握总利润销售量单个的销售利润，列出方程． 【详解】（1）解：设每箱饮料降价x元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， 答：每箱饮料售价应定为55元； （2）解：该超市不能每月获得880元的利润，理由如下： 设每箱饮料降价y元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴此方程无解， ∴该超市不能每月获得880元的利润． 63．（24-25九年级上·河北邢台·期中）2023年由于榴莲价格接连下降，“或可实现榴莲自由”的话题登上热搜．某水果店的榴莲水果盒进货价为元/盒，为吸引客流量，该商家承诺榴莲水果盒的价格永远不会超过元/盒，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为元/盒时，日销售量为盒，售价每降低元，日销售量增加盒． (1)当日销售量为盒时、产品售价为每盒多少元？ (2)直接写出日销售量（盒）与售价（元/盒）的函数关系式； (3)该产品的售价每盒应定为多少，该水果店的榴莲水果盒每天可盈利元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用； （1）利用“商家发现当售价为元/盒时，日销售量为盒，售价每降低元，日销售量增加盒”，即可求出结论； （2）利用日销售量，即可找出日销售量（盒）与售价（元/盒）的函数关系式； （3）利用商家每天该产品获得的利润=每盒的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解： （元/盒）， ∴当销售量为盒时，产品售价为元/盒． 故答案为：； （2）根据题意得：， ∵该产品的进货价为元/盒，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过元/盒， ∴日销售量（盒）与售价（元/盒）的函数关系式为； （3）根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该产品的售价每盒应定为元． 64．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现，每降价1元，每月多售出20顶，已知头盔的进价为每顶50元． (1)若每顶头盔降价10元，则每月可销售 顶头盔，每月销售利润为 元． (2)若商店为了减少库存，准备降价销售这批头盔，同时确保每月的销售利润为7500元，求头盔的销售单价． (3)若降价销售这批头盔，每月的利润能否达到9000元？请说明理由． 【答案】(1)400，8000 (2)头盔的销售单价为65元 (3)每月的利润不能达到9000元，见解析 【分析】（1）根据“每降价1元，每月多售出20顶”即可求解； （2）设降价元，每月的利润为7500元，可根据题意建立方程求解； （3）设降价元，每月的利润为9000元，根据题意建立一元二次方程，由根的判别式即可判断． 【详解】（1）解：若每顶头盔降价10元，则每月可销售的头盔数量为：（顶） 每月销售利润为：（元）． 故答案为：400；8000． （2）解：设降价元，每月的利润为7500元， 根据题意可得， 化简方程可得， 解得，． 商店要减少库存， ． （元）． 答：头盔的销售单价为65元． （3）解：每月的利润不能达到9000元． 理由：设降价元，每月的利润为9000元， 根据题意可得， 化简方程可得． ， 原方程无解， 每月的利润不能达到9000元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．正确理解题意是解题关键． 易错题型十七、握手循环问题 65．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）在一次公司年会上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，一共握了36次手．求这次会议到会的人数． 【答案】这次会议到会的人数为9人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这次会议到会的人数为x人，则每个人都要与人握手一次，且相同两人之间的握手只算作一次，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设这次会议到会的人数为x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这次会议到会的人数为9人． 66．（24-25九年级上·吉林·期末）某中学的初三篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛21场，求参加比赛的球队有多少支？ 【答案】参加比赛的球队有7支 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加比赛的球队有x支，根据共比赛21场列方程求解即可． 【详解】解：设参加比赛的球队有x支，由题意得： 解得：（不合题意舍去）， 答：参加比赛的球队有7支． 67．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）八年级乒乓球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； (3)赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛，则n的值为__________． 【答案】(1)15 (2)小江说的有道理，理由见详解； (3)4 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个人需比赛的局数为； （2）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得6个人需比赛的局数为， 答：参赛者有6人，按赛制共进行了15场比赛； （2）解：小江说的有道理，理由如下： 设有人报名参赛，由题意得，整理得， 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，故小江说的有道理； （3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意， 得，整理得， 解得， 当时，，是正整数，符合题意；不符合题意，舍去． ∴共有10名参赛者报名本次比赛，n的值为4． 故答案为：4． 68．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支球队． 【答案】本次联赛共有16支球队 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系并正确列出一元二次方程是解题的关键．设本次联赛共有支球队，根据2025年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛240场，列出一元二次方程，求解并取符合题意的值即可． 【详解】解：设本次联赛共有支球队， 由题意得， ， ， （舍去）， 本次联赛共有16支球队． 易错题型十八、其他问题 69．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，一艘军舰位于点处，在其正南方向有一目标，在点的正东方向有一目标，且，在上有一艘补给船，．军舰从点出发，向，方向匀速航行，补给船同时从点出发，沿垂直于的方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由点到点的途中与补给船相遇于点处，则相遇时补给船航行了多远？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，一元二次方程的应用，根据题意列关系式是解题的关键． 设相遇时补给船航行了x海里,则海里，由军舰的速度是补给船的倍,它们的时间相同,可得 海里，根据勾股定理可得方程,解方程即可求解． 【详解】解：设相遇时补给船航行了,即． 军舰的速度是补给船的2倍,他们的时间相同, ． , ． 在中，，根据勾股定理可得， 解得，（不合题意，舍去）． 故相遇时补给船航行了． 70．（24-25九年级上·河北保定·期末）为美化市容，某广场用规格为的灰、白两种颜色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示． 【观察思考】 图1中灰砖有1块，白砖有8块；图2中灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．．． 【规律总结】 （1）图4中灰砖有_________块，白砖有________块；图n中灰砖有_______块，白砖有______块． 【问题解决】 （2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少16的情形？请通过计算说明你的理由． 【答案】（1），，，；（2）不存在白砖数恰好比灰砖数少16的情形，理由见解析 【分析】本题考查数字规律和一元二次方程的相关知识，解题的关键是掌握数字规律的分析方法和一元二次方程的性质． （1）根据图形算出图3白砖和灰砖的数量，再根据图形规律算出图5白砖和灰砖的数量，通过图1到图4的数字规律得出图n白砖和灰砖的数量； （2）假设存在图n白砖数恰好比灰砖数少16的情形，根据白砖和灰砖的数量建立方程，方程没有整数解说明假设不成立． 【详解】图1灰砖的数量为1， 图2灰砖的数量为4， 图3灰砖的数量为9， 图4灰砖的数量为16， 得图n灰砖的数量为， 图1白砖的数量为， 图2白砖的数量为 图3白砖的数量为， 图4白砖的数量为， 得图n白砖的数量为， 故答案为：25，24；，． 解：（1） （2）假设存在，设图中白砖数恰好比灰砖数少16， 白砖数量为，灰砖数量为， ， ， 方程没有整数解， 不存在白砖数恰好比灰砖数少16的情形． 71．（24-25九年级上·山西晋中·期中）应用题： 某菜农在2022年12月底投资1600元种植大棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜400千克，当天就可以按6元/千克的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损失10千克，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能上涨元（储藏时间不超过10天）．若该菜农想获得1175元的利润，需要将采摘的黄瓜储藏多少天．    【答案】该菜农想获得1175元的利润，需要将采摘的黄瓜储藏5天 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．找出等量关系列出方程即可得到答案． 【详解】解：设需要将采摘的黄瓜储藏x天，由题意，得 ， 整理，得， 解得：，， 因为储藏时间不超过10天，所以不符合题意，舍去． 答：该菜农想获得1175元的利润，需要将采摘的黄瓜储藏5天． 72．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图为2022年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中虚框所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d．      (1)若用含有a的式子分别表示出b，c，d，其结果应为：______；________；________； (2)按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 _________； (3)嘉嘉说：“按这种方法可以圈出四个数，使得的值为135．”淇淇说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确． 【答案】(1)；； (2)552 (3)嘉嘉的说法错误,淇淇的说法正确，见解析 【分析】（1）观察日历表，即可用含a的代数式表示出b，c，d； （2）观察日历表，可找出a的最大值，将其代入中，即可求出结论； （3）嘉嘉的说法错误，根据的值为135，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，结合日历表，可得出嘉嘉的说法错误；淇淇的说法正确，根据为84，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，结合日历表，即可得出淇淇的说法正确． 【详解】（1）根据题意得：． 故答案为：；；． （2）观察日历表，可知：a的最大值为23， ∴ab的最大值为． 故答案为：552． （3）嘉嘉的说法错误，理由如下： 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∵10月8日为周六，不符合题意， ∴嘉嘉的说法错误； 淇淇的说法正确，理由如下： 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∵10月6日为周四，符合题意， ∴淇淇的说法正确． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$