第二十四章 一元二次方程（知识清单）数学冀教版九年级上册

第二十四章 一元二次方程 知识点一、一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 判断一个方程是否为一元二次方程，必须抓住以下三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数是2次的，三个条件，任何一个不满足，则方程不是一元二次方程. 知识点二、一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，这种形式就叫做一元二次方程的一般形式. 其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 1.由一元二次方程定义可知：二次项系数不等于0，一次项系数和常数项均可以等于0，即“，b和c均可以为0”； 2.一般情况下，二次项系数为正数，若二次项系数为负数，可以在方程两边同时乘，使二次项系数变为正数； 3.在求各项系数时，应先把一元二次方程化成一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号. 知识点三、一元二次方程的根 能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 1.一元二次方程根的情况：（关于根的个数判断在后面会详细讲解，这里先做个简单的了解） ①可能有两个不相等的实数根； ②可能有两个相等的实数根； ③可能没有实数根. 2.关于一元二次方程根的结论： ①若，则必有一个根，反之也成立； ②若，则必有一个根，反之也成立； ③若一元二次方程有一个根，则，反之也成立. 知识点四、直接开方法解一元二次方程 根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平法. 以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程： 1.形如x的一元二次方程： 当a＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； 当a＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当a＜0时，则方程无实数根. 2.形如x的一元二次方程，可用直接开方法解得两个根分别是. 知识点五、用配方法解一元二次方程 将一元二次方程化成的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做配方法. 1.对进行分类讨论： （1）当m＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； （2）当m＝0时，则； （3）当m＜0时，则方程无实数根. 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 3.配方法主要有以下几种应用： ①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小； ②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值； ③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）. 知识点六、用公式法解一元二次方程 一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 其中，叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况： ①当时，则，此时方程有两个不相等的实数根； ②当时，则，此时方程有两个相等的实数根； ③当时，此时方程没有实数根. 以上三点，反之也成立. 知识点七、用因式分解法解一元二次方程 利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做因式分解法. 1.因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程等号的右边化为0； ②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 知识点八、一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根分别为、，则方程的两个根与各系数a、b、c之间具有以下关系：. 1.一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2.韦达定理成立的前提条件是方程有实数根，即； 3.当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为. 知识点九、一元二次方程根与系数的关系应用 1.已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数 2.求与两个根有关的代数式的值 3.不解方程，判定根的符号 除了以上几种应用外，利用根与系数的关系还可以求出关于、的对称式的值，涉及到的变形如下： · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · . 知识点十、列一元二次方程解决问题 用一元二次方程解决问题的步骤如下： 1. 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 2. 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 3. 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 4. 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 5. 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 6. 答(写出答案，切忌答非所问). 知识点十一、一元二次方程解决问题的类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数。如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a； (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)； (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量). 3.利息问题与销售问题 （1）利息有关概念： · 本金：顾客存入银行的钱叫本金. · 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. · 本息和：本金和利息的和叫本息和. · 期数：存入银行的时间叫期数. · 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. （2）利息相关公式: · 利息=本金×利率×期数 · 利息税=利息×税率 · 本金×(1+利率×期数)=本息和 · 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) （3）销售问题中的常用等量关系 利润＝售价－进价（成本） 总利润＝每件的利润×总件数 利润率＝×100% 售价＝×标价 进价×（1＋利润率）＝标价× 一、一元二次方程的基本概念 1.一元二次方程的判断 错误：讨论一元二次方程的成立条件，忽略一元二次方程的二次项系数不能为0 注意：如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 例.（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B．0 C．或2 D．2 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且含未知数项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义得到，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故选：D． 2.一般式的字母系数弄错 错误：没有将一元二次方程化简成一般形式，导致字母系数弄错 注意：学会将一元二次方程化简乘一般形式 例．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）将方程化为一般式为： ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握相关概念是解题关键．一元二次方程的一般形式为，据此将已知一元二次方程变形，即可得到答案． 【详解】解：， 去括号，得：， 移项合并，得：， 即一元二次方程的一般形式为 故答案为：． 二、一元二次方程的解法 1.一元二次方程的四种解法 错误：没有找到合适的解法 注意：分析式子，优先考虑是否能用直接开方法，再看看能不能用因式分解法解决，最后在公式法和配方法里边选一个即可； 例．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）由公式法求解即可； （2）利用直接开平方法求解； （3）利用因式分解法求解； （4）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ∴； （2）解： 或 ∴； （3）解： ， 或 ∴ （4）解： 或 ∴． 2.换元法 错误：换元法后不考虑取值范围，两个答案都保留 注意：换元法后的答案要分析是否符合要求 例．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）利用换元法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． （1）利用换元法求解即可； （2）利用换元法求解即可． 【详解】（1）设，原方程可变为： 解得：或，即或． 当时，，没实数根， 当时，解得． 故原方程的根是，． （2）设，原方程可变为：， 解得：或， 当时，可得，解得：， 当时，可得，解得：， 故原方程的根是，． 3.配方法的应用 错误：不会用配方法 注意：注意配方的步骤 例．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）用配方法求证：代数式的值恒为正数． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法得到，再根据偶次方的非负性得到，据此可证明结论． 【详解】证明： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的值恒为正数． 三、一元二次方程根与系数的关系 1.忘记韦达定理 错误：忘记韦达定理 注意：若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝，＝ 例．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)若此方程有两个相等的实数根，求实数的值； (2)已知是此方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 【答案】(1) (2)方程的另一个根为， 【分析】本题主要考查了一元二次方程判别式的意义、一元二次方程根与系数的关系． （1）先计算根的判别式，得关于的方程，求解即可； （2）先设出方程的另一个根，根据根与系数的关系进行列式计算，可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； （2）解：设方程的另一个根为， 由题意得：， ∴， 即方程的另一个根为， 则， ∴， 解得． 四、一元二次方程的应用 1.找不到数量关系 错误：审题后找不到题干中的等量关系 注意：认真审题，分析清楚题目要考查的问题方向，找到正确的等量关系即可 例．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）这么近那么美，周末到河北．我省各市依托独有的地貌特征发展当地旅游业，同时也促进了旅游地周边的发展．某特产销售店购进一批景点贝壳画，进价为10元/个，市场部门规定售价不能超过进价的3倍，店长整理了几天的销售情况，发现该贝壳画每天的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足一次函数关系，部分对应数据如下． x/（元/个） … 15 25 … y/个 … 600 400 … (1)y与x之间的函数关系为______．（不写自变量的取值范围） (2)若销售该贝壳画每天的利润要达到5000元，求该贝壳画的销售单价． 【答案】(1) (2)该贝壳画的销售单价为20元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用,解题关键是求出每日销量与销售单价的函数关系. （1）设y与x之间的函数关系为,把表格数据代入即可求解； （2）根据利润等于销量×单件利润列方程即可求解 【详解】（1）解: y与x之间的函数关系为,依题意得: , 解得:, 故y与x之间的函数关系为. （2）由题意，得， 解得． ∵，∴  （舍去），∴． 答：该贝壳画的销售单价为20元． 1．（24-25九年级下·河北廊坊·期中）若，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， 故选：A． 2．（2025·河北邯郸·二模）已知一元二次方程的两个根分别为m，n，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．20 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．若一元二次方程的两个根为，则；根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再利用完全平方公式的变形公式求解． 【详解】解：已知方程 的两个根为 和 ， 由根与系数的关系可得：， ∵， ∴． 故选：C． 3．（2025·云南德宏·一模）深度求索（）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系是解决此题的关键，设第二天、第三天下载量的平均增长率为x．根据首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次，列方程即可得解． 【详解】解：设第二天、第三天下载量的平均增长率为x． 根据题意，得， 故选：B． 4．（2025八年级下·安徽·专题练习）对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系等知识，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键； 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，进而可判断①；把代入方程变形进而可判断②；把代入方程即可判断③；把代入方程变形整理得到，即可判断④，即可求解. 【详解】解：若方程的两个根是和，则， ∴， ∴，故说法①正确； 若是方程的一个根，则， ∴， ∴或， ∴当时，不一定有，故说法②错误； 若方程有一个根是，则，反之也成立，故说法③正确； 若方程有一个根是，则， ∴，即， ∴方程一定有一个实数根，故说法④正确； 综上，说法正确的有3个， 故选：C． 5．（2025·河北·模拟预测）已知关于x的方程有两个异号的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程有两个异号的实数根结合二次项系数非0，即可得出，，解之即可得出结论． 本题考查了根的判别式，根据根的判别式结合二次项系数非0得出关于k的不等式是解题的关键． 【详解】由题意得，， 解得：． 由条件可知， 解得． 的取值范围为． 故选：A． 6．（24-25九年级上·河北保定·期末）设，分别为一元二次方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解结合根与系数的关系即可得出、是解题的关键．根据一元二次方程的解结合根与系数的关系即可得出、，将其代入中即可求出结果． 【详解】解：，分别为一元二次方程的两个实数根， ，， ． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知是关于x的方程的两个实数根，且，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查根与系数的关系、代数式求值等知识点，根据根与系数的关系求得b、c的值成为解题的关键． 由根与系数的关系可得，求出b、c的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·河北保定·期末）关于x的一元二次方程中，．则该方程的根的情况①没有实数根；②有两个正实数根；③两根之积为；④两根之和为1 （填序号） 【答案】③ 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，得出两根之积和两根之和． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故①错误， 设是一元二次方程的两个实数根， ∴，故③正确，④错误， ∴两根的符号相反，故②错误， 故答案为：③． 9．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知实数是关于的一元二次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解是指能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先把代入方程得到，变形可得，，然后把它们整体代入中，通分、化简、约分即可． 【详解】实数是关于的一元二次方程的一个解， ， ， ， 故答案为： 10．（23-24九年级上·河北保定·期末）新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）方程 “倍根方程”（填“是”或“不是”）； （2）若是“倍根方程”，则 ． 【答案】 是 4或16/16或4 【分析】本题主要考查了新定义“倍根方程”、解一元二次方程等知识，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等． （1）利用因式分解法解方程，然后根据“倍根方程”的定义判断即可； （2）解方程，然后分是8的2倍、8是的2倍两种情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：（1）， ∴， ∴，， ∵4是2的2倍， ∴方程是“倍根方程”； （2）解方程， 可得，， ∵是“倍根方程”， ∴当是8的2倍时，即有， 当8是的2倍时，即有． 故答案为：（1）是；（2）4或16． 11．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程． （1）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）先移项，再提取公因式进行因式分解，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴或， ∴，； （2）解：， ， ， 或， ． 12．（24-25九年级上·河北张家口·期末）已知关于的方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】(1)的取值范围是 (2)的值为 【分析】（）先整理方程得整理得，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解； （）利用根与系数的关系，，然后代入求解即可； 此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，；正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】（1）解：由整理得：， ∵关于的方程有两个实数根，， ∴， 解得：， ∴的取值范围是； （2）解：由（）得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，整理得：， 解得：或， ∵， ∴的值为． 13．（24-25九年级上·河北唐山·期中）某商店以20元/千克的单价购进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间存在一次函数关系，对应数值如下表所示． 销售单价x（元/千克） 25 35 销售量y（千克） 50 30 (1)求y与x之间的函数关系式； (2)现要求尽快售完该商品，并使销售利润达到400元，求销售单价应定为每千克多少元？ (3)售完该商品后，销售利润能达到500元吗？若能，求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)销售单价定位每千克30元 (3)销售利润不能达到500元．理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据销售利润达到400元，可得方程，解方程即可得到销售单价； （3）根据销售利润达到500元，可得方程，判断方程是否有解即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 把，代入，得 解得， 所以y与x之间的函数关系式为； （2）解：， 整理得 解得， 因为要尽快售完，所以取，即销售单价定位每千克30元． （3）解：销售利润不能达到500元．理由如下： 化简得 判别式， 所以此方程无解，所以销售利润不能达到500元． 14．（24-25九年级上·河北保定·期中）某网店于2024年年初以每件35元的进价购进一批商品．当商品售价为50元时，一月份销售384件．第一季度该商品十分畅销，销售是持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到600件．设这个季度销售量的月平均增长率不变． (1)求第一季度销售量的月平均增长率； (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利6250元？ 【答案】(1) (2)当商品降价5元时，商场获利6250元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键； （1）设第一季度销售量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可； （2）设当商品降价m元时，商品获利6250元，根据总利润单个利润总数量列出方程即可． 【详解】（1）解：设第一季度销售量的月平均增长率为x， 由题意得， 解得：（舍）， 答：第一季度销售量的月平均增长率为； （2）解：设当商品降价m元时，商品获利6250元， 根据题意可得， 解得：（舍）， 答：当商品降价5元时，商场获利6250元． 15．（24-25九年级上·河北保定·期中）若关于x的方程有一个解为，则称这样的方程为“归一方程”．例如：方程有解，所以为“归一方程”． (1)下列方程是“归一方程”的有 ．（填序号） ①；②；③． (2)若关于x的一元二次方程为“归一方程”，求代数式的值． (3)若关于x的一元二次方程为“归一方程”，则n 的值为 ；方程的另一个解为 ． 【答案】(1)②③ (2)0 (3) 【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，根与系数的关系，熟练掌握“归一方程”的定义，是解题的关键： （1）分别求出方程的解，进行判断即可； （2）根据题意，求出，代入代数式进行计算即可； （3）根据根与系数的关系，求出两个根，以及的值即可． 【详解】（1）解：，解得：，故①不是“归一方程”； ，解得：或，故②是“归一方程”； ，解得：，故③是“归一方程”； 故答案为：②③； （2）∵， ∴， ∵方程是“归一方程” ∴， ∴； （3）∵为“归一方程”， ∴方程有一个根为，设另一个根为， 则：， ∴， ∴； 故答案为：． 16．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）【阅读材料】若关于的一元二次方程的两根为、，则，．这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)【材料理解】一元二次方程的两根为、，则_____，_____； (2)【类比运用】已知关于的一元二次方程． ①求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为、，满足，求的值． 【答案】(1)， (2)①见解析；②或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的判别式，完全平方公式的变形计算，解一元二次方程等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系进行计算即可； （2）①证明即可； ②通过一元二次方程根与系数的关系表示出两根和，以及两根乘积，然后代入解方程即可． 【详解】（1）解：， ，，， ，， 故答案为：，； （2）解：① 无论为何实数，， ， 无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②由根与系数的关系得出，， ， ， 化简得， 解得或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 一元二次方程 知识点一、一元二次方程的定义 只含有一个 ，且未知数的 是2的 叫做 . 判断一个方程是否为一元二次方程，必须抓住以下三个条件：①是 ，②只含有一个 ，③未知数的 是2次的，三个条件，任何一个不满足，则方程不是一元二次方程. 知识点二、一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，这种形式就叫做 . 其中，是 ，是 ；是 ，b是 ，c是 . 1.由一元二次方程定义可知：二次项系数不等于0，一次项系数和常数项均可以等于0，即“，b和c均可以为0”； 2.一般情况下， 为正数，若二次项系数为负数，可以在方程两边同时乘，使二次项系数变为正数； 3.在求各项系数时，应先把一元二次方程化成 ，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号. 知识点三、一元二次方程的根 能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做 （根）. 1.一元二次方程根的情况：（关于根的个数判断在后面会详细讲解，这里先做个简单的了解） ①可能有两个 的实数根； ②可能有两个 的实数根； ③可能 实数根. 2.关于一元二次方程根的结论： ①若，则必有一个根，反之也成立； ②若，则必有一个根，反之也成立； ③若一元二次方程有一个根，则，反之也成立. 知识点四、直接开方法解一元二次方程 根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为 . 以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程： 1.形如x的一元二次方程： 当a＞0时，则，此时方程有 的实数根； 当a＝0时，则，此时方程有 的实数根； 当a＜0时，则方程无实数根. 2.形如x的一元二次方程，可用直接开方法解得两个根分别是. 知识点五、用配方法解一元二次方程 将一元二次方程化成的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做 . 1.对进行分类讨论： （1）当m＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； （2）当m＝0时，则； （3）当m＜0时，则方程无实数根. 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 3.配方法主要有以下几种应用： ①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小； ②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值； ③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）. 知识点六、用公式法解一元二次方程 一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的 ，这种解一元二次方程的方法叫做 . 其中，叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况： ①当时，则，此时方程有两个不相等的实数根； ②当时，则，此时方程有 的实数根； ③当时，此时方程没有实数根. 以上三点，反之也成立. 知识点七、用因式分解法解一元二次方程 利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做 . 1.因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程等号的右边化为0； ②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 知识点八、一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根分别为、，则方程的两个根与各系数a、b、c之间具有以下关系：. 1.一元二次方程的根与系数的关系又称之为“ ”； 2.韦达定理成立的前提条件是方程有实数根，即； 3.当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为. 知识点九、一元二次方程根与系数的关系应用 1.已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数 2.求与两个根有关的代数式的值 3.不解方程，判定根的符号 除了以上几种应用外，利用根与系数的关系还可以求出关于、的对称式的值，涉及到的变形如下： · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · . 知识点十、列一元二次方程解决问题 用一元二次方程解决问题的步骤如下： 1. (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 2. (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 3. (根据题目中的等量关系，列出方程)； 4. (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 5. （检验方程的解能否保证实际问题有意义） 6. (写出答案，切忌答非所问). 知识点十一、一元二次方程解决问题的类型 1. (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数。如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a； (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2. 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)； (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量). 3. （1）利息有关概念： · 本金：顾客存入银行的钱叫本金. · 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. · 本息和：本金和利息的和叫本息和. · 期数：存入银行的时间叫期数. · 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. （2）利息相关公式: · 利息=本金×利率×期数 · 利息税=利息×税率 · 本金×(1+利率×期数)=本息和 · 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) （3）销售问题中的常用等量关系 利润＝售价－进价（成本） 总利润＝每件的利润×总件数 利润率＝×100% 售价＝×标价 进价×（1＋利润率）＝标价× 一、一元二次方程的基本概念 1.一元二次方程的判断 忽略一元二次方程的二次项系数不能为0 如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 例.（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B．0 C．或2 D．2 2.一般式的字母系数弄错 没有将一元二次方程化简成一般形式，导致字母系数弄错 学会将一元二次方程化简乘一般形式 例．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）将方程化为一般式为： ． 二、一元二次方程的解法 1.一元二次方程的四种解法 没有找到合适的解法 分析式子，优先考虑是否能用直接开方法，再看看能不能用因式分解法解决，最后在公式法和配方法里边选一个即可； 例．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 2.换元法 换元法后不考虑取值范围，两个答案都保留 换元法后的答案要分析是否符合要求 例．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）利用换元法解下列方程 (1)； (2)． 3.配方法的应用 不会用配方法 注意配方的步骤 例．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）用配方法求证：代数式的值恒为正数． 三、一元二次方程根与系数的关系 1.忘记韦达定理 若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝，＝ 例．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)若此方程有两个相等的实数根，求实数的值； (2)已知是此方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 四、一元二次方程的应用 1.找不到数量关系 审题后找不到题干中的等量关系 认真审题，分析清楚题目要考查的问题方向，找到正确的等量关系即可 例．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）这么近那么美，周末到河北．我省各市依托独有的地貌特征发展当地旅游业，同时也促进了旅游地周边的发展．某特产销售店购进一批景点贝壳画，进价为10元/个，市场部门规定售价不能超过进价的3倍，店长整理了几天的销售情况，发现该贝壳画每天的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足一次函数关系，部分对应数据如下． x/（元/个） … 15 25 … y/个 … 600 400 … (1)y与x之间的函数关系为______．（不写自变量的取值范围） (2)若销售该贝壳画每天的利润要达到5000元，求该贝壳画的销售单价． 1．（24-25九年级下·河北廊坊·期中）若，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北邯郸·二模）已知一元二次方程的两个根分别为m，n，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．20 3．（2025·云南德宏·一模）深度求索（）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025八年级下·安徽·专题练习）对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2025·河北·模拟预测）已知关于x的方程有两个异号的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·河北保定·期末）设，分别为一元二次方程的两个实数根，则 ． 7．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知是关于x的方程的两个实数根，且，则的值是 ． 8．（24-25九年级上·河北保定·期末）关于x的一元二次方程中，．则该方程的根的情况①没有实数根；②有两个正实数根；③两根之积为；④两根之和为1 （填序号） 9．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知实数是关于的一元二次方程的一个解，则的值是 ． 10．（23-24九年级上·河北保定·期末）新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）方程 “倍根方程”（填“是”或“不是”）； （2）若是“倍根方程”，则 ． 11．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）解方程： (1)． (2)． 12．（24-25九年级上·河北张家口·期末）已知关于的方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 13．（24-25九年级上·河北唐山·期中）某商店以20元/千克的单价购进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间存在一次函数关系，对应数值如下表所示． 销售单价x（元/千克） 25 35 销售量y（千克） 50 30 (1)求y与x之间的函数关系式； (2)现要求尽快售完该商品，并使销售利润达到400元，求销售单价应定为每千克多少元？ (3)售完该商品后，销售利润能达到500元吗？若能，求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 14．（24-25九年级上·河北保定·期中）某网店于2024年年初以每件35元的进价购进一批商品．当商品售价为50元时，一月份销售384件．第一季度该商品十分畅销，销售是持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到600件．设这个季度销售量的月平均增长率不变． (1)求第一季度销售量的月平均增长率； (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利6250元？ 15．（24-25九年级上·河北保定·期中）若关于x的方程有一个解为，则称这样的方程为“归一方程”．例如：方程有解，所以为“归一方程”． (1)下列方程是“归一方程”的有 ．（填序号） ①；②；③． (2)若关于x的一元二次方程为“归一方程”，求代数式的值． (3)若关于x的一元二次方程为“归一方程”，则n 的值为 ；方程的另一个解为 ． 16．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）【阅读材料】若关于的一元二次方程的两根为、，则，．这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)【材料理解】一元二次方程的两根为、，则_____，_____； (2)【类比运用】已知关于的一元二次方程． ①求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为、，满足，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$