精品解析： 2025年广东省广州市花都区秀雅学校九年级中考三模数学试卷

秀雅学校2025年中考数学适应性评价 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在实数，，，中，无理数是（　　） A. B. C. D. 3.14 2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 3. 已知水星的半径约为24400000米，用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 某校即将举行田径运动会，小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择一项参赛，则他选择“100米”项目的概率是（ ）． A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在中，为的中点，连接，交于点，则等于（ ） A. 1︰3 B. 2︰3 C. 2︰5 D. 1︰2 7. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心，发射成功，某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型，已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型比“神舟”模型多2个，设“天宫”模型单价为元，则可以列出方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于（ ） A. 30 B. 35° C. 40° D. 50° 10. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为，连接并延长，与过点的切线相交于点，连接．若的半径为5，，则的长是（ ）． A. B. 13 C. D. 14 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 12. 因式分解：________． 13. 已知点，在直线上，且，则_______·（填“”“”或“”） 14. 如图，数轴上点、表示的数分别为、，化简：________． 15. 在温度不变的条件下，某汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了______． 16. 已知在四边形中，，，． （1）的长是______； （2）若E是边上一个动点，连接，过点D作，垂足为点F，在上截取，当的面积最小时，点P到的距离是______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解不等式组： 18. 如图，平分．求证：． 19. 已知． （1）化简； （2）若点在直线上，求的值． 20. 某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量（千克）与销售价格（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如表所示： 销售价格（元/千克） 35 45 日销售量（千克） 250 150 （1）试求出关于的函数表达式． （2）经过市场调查，经销商发现每日该种鱼销售量不超过，请问该经销商最低能将售价定为多少元？ 21. 我校对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学仅选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1） 类别 频数（人数） 频率 力学 0.45 热学 10 光学 30 0.3 电学 15 0.15 请根据图表信息来解答下列问题 （1）直接写出频数分布表中、的值：________，________． （2）直接写出表示参与“光学”实验的扇形圆心角的度数=________． （3）参与“电学”实验的同学在做“灯泡亮了”的实验时，提出如下问题：如图2，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡．若随机闭合其中的两个开关，用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率． 22. 如图是一个山坡的纵向剖面图，坡面的延长线交地面于点，点恰好在的中点处，，坡面的坡角为45°，山坡顶点与水平线的距离，即的长为． （1）求的长度； （2）求的长度．（结果保留根号） 23. 如图，已知，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出点B关于直线的对称点D；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）若反比例函数的图象过点D，求此反比例函数的解析式； （3）在（2）的条件下，E是第一象限内的反比例函数图象上一动点，当的面积取最小值时，求点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秀雅学校2025年中考数学适应性评价 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在实数，，，中，无理数是（　　） A. B. C. D. 3.14 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的特征，即可解答． 【详解】解：在实数，，，中，无理数是， 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的特征，即为无限不循环小数，熟知该概念是解题的关键． 2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：D． 3. 已知水星的半径约为24400000米，用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将数24400000米用科学记数法表示是米． 故选：C． 4. 某校即将举行田径运动会，小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择一项参赛，则他选择“100米”项目的概率是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，根据题意直接根据概率公式，即可求解． 【详解】解：四个项目中，随机选择一项参赛，则他选择“100米”项目的概率是, 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项法则，同底数幂乘法法则，积的乘方法则，二次根式的加减运算，根据以上运算法则进行运算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 6. 如图，在中，为的中点，连接，交于点，则等于（ ） A. 1︰3 B. 2︰3 C. 2︰5 D. 1︰2 【答案】D 【解析】 【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，证出△AEF∽△CBF，然后利用其对应边成比例即可求得答案． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴AF：CF=AE：BC， ∵点E为AD的中点， ∴AE=AD=BC， ∴AF：CF=1：2； 故选D． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键． 7. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，据此列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心，发射成功，某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型，已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型比“神舟”模型多2个，设“天宫”模型单价为元，则可以列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程在实际问题中的运用，理解题目中的数量关系，正确列出方程是解题的关键．设“天宫”模型单价为元，则“神舟”模型为元，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设“天宫”模型单价为元，则“神舟”模型为元，根据题意得， 故选：D． 9. 如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于（ ） A. 30 B. 35° C. 40° D. 50° 【答案】C 【解析】 【分析】旋转中心为点A，B与，C与分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角，，再利用平行线的性质得，把问题转化到等腰中，根据内角和定理求． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵C、为对应点，点A为旋转中心， ∴，即为等腰三角形， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了等边对等角，平行线的性质． 10. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为，连接并延长，与过点的切线相交于点，连接．若的半径为5，，则的长是（ ）． A. B. 13 C. D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，正切的定义，直径所对的圆周角是直角；连接，勾股定理求得，进而求得，根据切线的性质得出，根据同弧所对的圆周角相等，进而得出，根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴ ∵的半径为5，，则 ∴ ∴ ∵是过点的切线，则 ∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴ 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 13. 已知点，在直线上，且，则_______·（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据当时，y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图，数轴上点、表示的数分别为、，化简：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数轴和绝对值，解题关键是熟练掌握数轴的定义和绝对值的性质． 先观察数轴，判断m，n的大小，然后根据绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 在温度不变的条件下，某汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出反比例函数关系式，再分别求出气体体积，作差求解即可． 【详解】解：设反比例函数关系式为， 反比例函数图象经过点， ，解得， 反比例函数关系式为． 当时，即，解得； 当时，即，解得， ． 即气体体积压缩了． 16. 已知在四边形中，，，． （1）的长是______； （2）若E是边上一个动点，连接，过点D作，垂足为点F，在上截取，当的面积最小时，点P到的距离是______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】（1）连接，根据条件易知是等腰直角三角形，所以求得，再利用求得，在中即可求出的长； （2）连接，过点P作于点G，当点O、P、G共线时，的长最小，则的面积最小． 【详解】（1）解：连接， 在中，，， ， ， ， 在中，； 故答案为：4 （2）在中，易得， 连接，由题意可知是等腰直角三角形， ， ， 点P是外接圆的上的一个动点， 作的外接圆，连接，得， 是等腰直角三角形， ， 过点P作于点G，当点O、P、G共线时，的长最小，则的面积最小， 当点O、P、G共线时，， ， 是等边三角形，， 过点P作于点H， ∴四边形是矩形， ， ， 则， 故点P到的距离是． 故答案为： 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和面积最小问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为． 18. 如图，平分．求证：． 【答案】 证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据角平分线得到，再由证明，即可得到． 【详解】略 19. 已知． （1）化简； （2）若点在直线上，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子； （2）根据点P（a，b）在直线y＝x﹣2上，可以得到a﹣b的值，然后代入（1）中化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（1）H ； （2）∵点P（a，b）在直线y＝x﹣2上， ∴b＝a﹣2， ∴a﹣b＝2， 当a﹣b＝2时，原式1， 即H的值是1． 【点睛】本题考查分式的化简求值和一次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 20. 某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量（千克）与销售价格（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如表所示： 销售价格（元/千克） 35 45 日销售量（千克） 250 150 （1）试求出关于的函数表达式． （2）经过市场调查，经销商发现每日该种鱼销售量不超过，请问该经销商最低能将售价定为多少元？ 【答案】（1） （2）经销商最低能将售价定为40元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，读懂题意找到关系式是解题的关键． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法，即可求出y关于x的函数表达式； （2）代入，可得出关于x的一元一次不等式，求解取其中的最小值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为 【小问2详解】 当时，， 解得：， ∴x的最小值为40． 答：该经销商最低能将售价定为40元． 21. 我校对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学仅选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1） 类别 频数（人数） 频率 力学 0.45 热学 10 光学 30 0.3 电学 15 0.15 请根据图表信息来解答下列问题 （1）直接写出频数分布表中、的值：________，________． （2）直接写出表示参与“光学”实验的扇形圆心角的度数=________． （3）参与“电学”实验的同学在做“灯泡亮了”的实验时，提出如下问题：如图2，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡．若随机闭合其中的两个开关，用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率． 【答案】（1）45，0.1 （2）108 （3） 【解析】 【分析】此题考查了频数与频率，画树状图或列表的方法求概率，求扇形统计图中扇形的圆心角等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）根据光学的人数和频率即可得出总人数，再用总人数乘以即可求出a的值，然后用参与“热学”实验的人数除以总人数求出频率b即可； （2）用乘以参与“光学”实验的人数所占的频率即可得出答案； （3）依据题意先画树状图得出所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【小问1详解】 解：（人）， ， ∴参与“热学”实验的频率为， 故答案为：45；； 【小问2详解】 解：参与“光学”实验的扇形圆心角的度数是：； 故答案为：108； 【小问3详解】 解：画树状图，如图 共有12种等可能的情况，能使小灯泡发光的有6种情况，则 ． 22. 如图是一个山坡的纵向剖面图，坡面的延长线交地面于点，点恰好在的中点处，，坡面的坡角为45°，山坡顶点与水平线的距离，即的长为． （1）求的长度； （2）求的长度．（结果保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解得出，根据点是的中点，即可求解； （2）解，，分别求得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ∵点是的中点， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于， 在中，，，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 23. 如图，已知，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出点B关于直线的对称点D；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）若反比例函数的图象过点D，求此反比例函数的解析式； （3）在（2）的条件下，E是第一象限内的反比例函数图象上一动点，当的面积取最小值时，求点E的坐标． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，分别以为圆心为半径，作弧，两弧交于点，即可求解； （2）根据菱形的性质求得的坐标，代入，即可求解． （3）先求得直线的解析式，进而得出过点且平行于的直线解析式，根据题意可得与反比例数图象只有一个交点，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ∴， ∴ ∵与关于对称， ∴， ∴ ∴四边形是菱形 ∴ ∴ ∵反比例函数的图象过点D， ∴ ∴； 【小问3详解】 设直线的解析式为 将，代入，得 解得： ∴直线的解析式为 设过点与平行的直线的解析式为 ∵当的面积取最小值时，则的距离最小，此时与只有1个交点即点， ∴ ∴ ∴ ∴或（舍去） ∴直线的解析式为， 点即为，的交点， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，菱形的性质与判定，坐标与图形，一元二次方程根的判别式，反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $