第二章 平面解析几何（单元测试·提升卷）数学人教B版2019选择性必修第一册

2025-2026学年高二数学单元检测卷 第二章 平面解析几何·能力提升（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 B D B C C A B C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ABD AD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】（1）因为，，， 所以，所以，解得或， 2分 当时，，，直线，重合，不满足要求， 4分 当时，，，直线，平行，满足要求， 所以； 6分 （2）由，解得，即与的交点为， 8分 当直线过原点时，此时直线斜率为，所以直线的方程为， 10分 当直线不过原点时，设的方程为，将代入得， 所以直线的方程为， 故满足条件的直线的方程为或. 13分 16．【详解】（1）设圆的圆心关于直线的对称点为， 的中点坐标是，的斜率是， ， 3分 由得：，，， 圆，圆． 7分 （2），，，， 直线的方程为：， 9分 令，则，同理可得：， 由，，， 12分 则， 是定值． 15分 17．【详解】（1）如图所示： 圆C：的方程即为，其圆心，半径， 不妨设过的动直线l的方程为，不同时为0， 所以，即直线l的方程为， 2分 所以圆心到直线l的距离为， 过作， 所以由垂径分线定理可知，解得， 4分 又因为不同时为0，所以， 当时，满足题意的直线l的方程为， 当时，满足题意的直线l的方程为， 综上所述：满足题意的直线l的方程为或. 7分 （2）如图所示： 由题意结合图形可知，且，， 所以， 9分 不妨设，又因为， 所以，化简得， 12分 又因为点Q在圆C外， 所以满足题意， 综上所述，满足题意的动点Q的轨迹方程为. 15分 18．【详解】（1）的焦点在轴上，为， 直线与轴的交点坐标为，则，即 所以抛物线为 4分 （2）令，，，不妨设， 设的方程为，， 联立与，得到，， 由， 8分 则直线，直线， 两直线方程相减得到：， 12分 因为，于是， 即，即， 即，于是，解得， 即直线AP与BQ的交点在一条定直线上 17分 19．【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为椭圆的离心率为， 所以，故，所以，所以． 2分 因为椭圆过点，所以，解得， 所以， 所以椭圆的标准方程为； 4分 （2）（i）当直线的斜率不存在时，易知为锐角，不合题意， 所以直线的斜率存在．设直线的方程为， 由，得， 设，所以， 7分 易知，因为，所以， 即，所以， 即， 化简得， 所以． 10分 由，解得，所以直线的方程为， 直线过定点，且，此时在椭圆内， 满足直线与椭圆有两个交点； 12分 （ii），设，由于，所以， 故点的轨迹是以为直径的圆（点除外）， 14分 所以点到的距离的最大值为圆的半径，即， 所以面积的最大值为． 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第二章 平面解析几何·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 3．直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 4．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．1688年，笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程：，则下列说法错误的是（    ） A．当时，笛卡尔叶形线的顶点坐标为 B．笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点 C．笛卡尔叶形线关于直线对称 D．当时，若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为18 7．已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 8．已知分别为双曲线的左，右焦点，为双曲线右支上一点且满足，直线与圆（）有公共点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的虚轴长为 B．12 C．的取值范围为 D．过且与双曲线有一个公共点的直线有条 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．对于直线，下列说法中正确的是（    ） A．的倾斜角不可能为 B．恒过定点 C．的一个法向量为时， D．时，不经过第二象限 10．（多选）已知点A，B是圆上的两个动点，圆，点是直线上的动点，且，下列说法正确的是（    ） A．直线是圆与圆的公切线 B．｜PA｜的最小值为 C．四边形ACBP面积的最小值为2 D．直线AB恒过定点 11．已知为坐标原点，点为抛物线的焦点，点，直线交抛物线于A，B两点（不与点重合），则以下说法正确的是（    ） A． B．设，则周长的最小值为4 C．若，则 D．若直线PA与PB的倾斜角互补，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若点到直线的距离不大于，则的取值范围是 ． 13．若是圆上的一个动点，是坐标原点，，则的最小值为 ． 14．在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于点与椭圆的另一个交点为.若，且，则椭圆的离心率的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知直线，． (1)若，求的值； (2)当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程． 16．（15分）已知点在圆上，圆与圆关于直线对称． (1)圆与圆的方程； (2)设，是圆上的两个动点，且，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，直线，在轴上的截距分别是，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 17．（15分）已知圆C：． (1)过的动直线l与圆C：交于A、B两点．若，求直线l的方程； (2)从圆C外一点Q向该圆引一条切线，切点为M，若（O为坐标原点），求动点Q的轨迹方程． 18．（17分）已知抛物线的焦点为，点在直线上，过焦点作一条直线交于两点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于两点，求证：直线与的交点在一条定直线上. 19．（17分）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程． (2)若分别为椭圆的上､下顶点，直线与椭圆相交于两点，且． ①证明：直线过定点． ②过点作的垂线，垂足为，求面积的最大值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第二章 平面解析几何·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故选：B. 2．方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 【答案】D 【详解】由题可得：方程左边的几何意义是点到点，点的距离之和， 即， 因为，所以， 所以满足点的轨迹不存在，即方程不表示任何图形． 故选：D. 3．直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径为3，则圆心到直线的距离为，则直线被圆截得的弦长为． 故选：B. 4．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 设其倾斜角为，当时，直线为，， 当，直线的斜率，则， 由正切函数性质可知. 故直线的倾斜角的范围是 故选：C. 5．已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意， 在圆中，， ∴圆心坐标为，半径为3．    ∵圆上所有点都在第二象限， ∴，解得． 故选：C. 6．1688年，笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程：，则下列说法错误的是（    ） A．当时，笛卡尔叶形线的顶点坐标为 B．笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点 C．笛卡尔叶形线关于直线对称 D．当时，若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为18 【答案】A 【详解】在中，令，则，令，则， 所以笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点，故B的说法正确； 在中，当，互换时，得， 方程不变，所以笛卡尔叶形线关于直线对称，故C的说法正确； 当时，笛卡尔叶形线方程为， 令，解得或，故顶点坐标为，故A的说法错误； 由图象知，笛卡尔叶形线上第一象限内的点离原点距离最大， 则的最大值为18，故D的说法正确. 故选：A. 7．已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】如图，设，设，则， 所以， 又MP，MQ均与圆C相切，所以， 则， 所以 ， 又在单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 8．已知分别为双曲线的左，右焦点，为双曲线右支上一点且满足，直线与圆（）有公共点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的虚轴长为 B．12 C．的取值范围为 D．过且与双曲线有一个公共点的直线有条 【答案】C 【详解】对于A，双曲线标准方程为，虚轴长，故A错误； 对于B，因为，其中，所以，， 所以. 又因为，故. 那么，故B错误； 对于C，由双曲线定义知：， 则.设， 由选项B知，，则，， 由题意取为，则直线的方程为，即， 故圆心到直线的距离，又因为直线与圆共点，则有，故．故C正确； 对于D，若直线的斜率不存在，显然直线满足题意； 若直线的斜率存在，可设直线方程为，联立直线方程与双曲线方程， 消去得， 若满足题意； 若，则当时满足题意， 化简整理得，解得． 综上，过且与双曲线有一个公共点的直线有4条，故D错误． 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．对于直线，下列说法中正确的是（    ） A．的倾斜角不可能为 B．恒过定点 C．的一个法向量为时， D．时，不经过第二象限 【答案】ABD 【详解】对于A，直线的方程为，其斜率为，故直线的倾斜角不可能为，A正确； 对于B，直线整理为，则直线恒过定点．B正确； 对于C，若的一个法向量为时，则的一个方向向量可取为， 故直线的斜率，因此，则．C错误； 对于D，由于，故直线的斜率，又恒过定点，所以不经过第二象限．D正确. 故选：ABD. 10．（多选）已知点A，B是圆上的两个动点，圆，点是直线上的动点，且，下列说法正确的是（    ） A．直线是圆与圆的公切线 B．｜PA｜的最小值为 C．四边形ACBP面积的最小值为2 D．直线AB恒过定点 【答案】AD 【详解】对于A，连接，因为，圆，圆的半径均为1，所以圆，圆外切，结合草图可知，，则圆，圆的公切线方程为，A正确．    对于B，如图，因为，，所以，连接CP，则，所以当最小时，最小．当，即为圆心到直线的距离时，最小，，所以，B错误． 对于C，由题意得，，所以四边形ACBP的面积，由选项B可知，C错误． 对于D，设，因为PA，PB是圆的切线，所以点，在以PC为直径的圆上． 因为，所以以PC为直径的圆的方程为， 整理得，与圆的方程相减得直线AB的方程为，化简得，由得即直线AB恒过定点，D正确． 故选：AD 11．已知为坐标原点，点为抛物线的焦点，点，直线交抛物线于A，B两点（不与点重合），则以下说法正确的是（    ） A． B．设，则周长的最小值为4 C．若，则 D．若直线PA与PB的倾斜角互补，则 【答案】ACD 【详解】由已知，抛物线，设， 对于A，由标准方程知，抛物线顶点在原点，开口向右，，直线过焦点 由抛物线的定义得，故选项A正确. 对于B，如图，过点作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可得 周长为， 由图可知，当A，C与点共线时，有最小值，最小值为到准线的距离，为， 周长的最小值是，故B错误.    对于C，方法一：， ， 由消去，化简得（显然），， 解得，或若，则，选项C正确. 方法二：，解得，得.选项C正确. 对于D，由题意，，直线PA与PB的倾斜角互补时， 斜率均存在，且，代入，化简得， 由选项C的判断知，，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若点到直线的距离不大于，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】点到直线的距离， 整理可得，解得． 故答案为：. 13．若是圆上的一个动点，是坐标原点，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由于，故在圆的外部， 如图，作于点，于点， 则． 因为，所以， 故要求的最小值，即求的最小值． 沿向左下平移至与圆相切处，且与相交于点， 易知直线的方程为，即，点到直线的距离为，所以, , 由圆的性质知，， 所以的最小值为． 故答案为：    14．在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于点与椭圆的另一个交点为.若，且，则椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，，所以，令， 因为，所以 由点都在椭圆上，得解得 因为，所以，解得.所以. 所以椭圆的离心率的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知直线，． (1)若，求的值； (2)当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程． 【详解】（1）因为，，， 所以，所以，解得或， 2分 当时，，，直线，重合，不满足要求， 4分 当时，，，直线，平行，满足要求， 所以； 6分 （2）由，解得，即与的交点为， 8分 当直线过原点时，此时直线斜率为，所以直线的方程为， 10分 当直线不过原点时，设的方程为，将代入得， 所以直线的方程为， 故满足条件的直线的方程为或. 13分 16．（15分）已知点在圆上，圆与圆关于直线对称． (1)圆与圆的方程； (2)设，是圆上的两个动点，且，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，直线，在轴上的截距分别是，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【详解】（1）设圆的圆心关于直线的对称点为， 的中点坐标是，的斜率是， ， 3分 由得：，，， 圆，圆． 7分 （2），，，， 直线的方程为：， 9分 令，则，同理可得：， 由，，， 12分 则， 是定值． 15分 17．（15分）已知圆C：． (1)过的动直线l与圆C：交于A、B两点．若，求直线l的方程； (2)从圆C外一点Q向该圆引一条切线，切点为M，若（O为坐标原点），求动点Q的轨迹方程． 【详解】（1）如图所示： 圆C：的方程即为，其圆心，半径， 不妨设过的动直线l的方程为，不同时为0， 所以，即直线l的方程为， 2分 所以圆心到直线l的距离为， 过作， 所以由垂径分线定理可知，解得， 4分 又因为不同时为0，所以， 当时，满足题意的直线l的方程为， 当时，满足题意的直线l的方程为， 综上所述：满足题意的直线l的方程为或. 7分 （2）如图所示： 由题意结合图形可知，且，， 所以， 9分 不妨设，又因为， 所以，化简得， 12分 又因为点Q在圆C外， 所以满足题意， 综上所述，满足题意的动点Q的轨迹方程为. 15分 18．（17分）已知抛物线的焦点为，点在直线上，过焦点作一条直线交于两点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于两点，求证：直线与的交点在一条定直线上. 【详解】（1）的焦点在轴上，为， 直线与轴的交点坐标为，则，即 所以抛物线为 4分 （2）令，，，不妨设， 设的方程为，， 联立与，得到，， 由， 8分 则直线，直线， 两直线方程相减得到：， 12分 因为，于是， 即，即， 即，于是，解得， 即直线AP与BQ的交点在一条定直线上 17分 19．（17分）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程． (2)若分别为椭圆的上､下顶点，直线与椭圆相交于两点，且． ①证明：直线过定点． ②过点作的垂线，垂足为，求面积的最大值． 【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为椭圆的离心率为， 所以，故，所以，所以． 2分 因为椭圆过点，所以，解得， 所以， 所以椭圆的标准方程为； 4分 （2）（i）当直线的斜率不存在时，易知为锐角，不合题意， 所以直线的斜率存在．设直线的方程为， 由，得， 设，所以， 7分 易知，因为，所以， 即， 所以， 即， 化简得， 所以． 10分 由，解得，所以直线的方程为， 直线过定点，且，此时在椭圆内， 满足直线与椭圆有两个交点； 12分 （ii），设，由于，所以， 故点的轨迹是以为直径的圆（点除外）， 14分 所以点到的距离的最大值为圆的半径，即， 所以面积的最大值为． 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第二章 平面解析几何·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 3．直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 4．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．1688年，笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程：，则下列说法错误的是（    ） A．当时，笛卡尔叶形线的顶点坐标为 B．笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点 C．笛卡尔叶形线关于直线对称 D．当时，若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为18 7．已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 8．已知分别为双曲线的左，右焦点，为双曲线右支上一点且满足，直线与圆（）有公共点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的虚轴长为 B．12 C．的取值范围为 D．过且与双曲线有一个公共点的直线有条 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．对于直线，下列说法中正确的是（    ） A．的倾斜角不可能为 B．恒过定点 C．的一个法向量为时， D．时，不经过第二象限 10．（多选）已知点A，B是圆上的两个动点，圆，点是直线上的动点，且，下列说法正确的是（    ） A．直线是圆与圆的公切线 B．｜PA｜的最小值为 C．四边形ACBP面积的最小值为2 D．直线AB恒过定点 11．已知为坐标原点，点为抛物线的焦点，点，直线交抛物线于A，B两点（不与点重合），则以下说法正确的是（    ） A． B．设，则周长的最小值为4 C．若，则 D．若直线PA与PB的倾斜角互补，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若点到直线的距离不大于，则的取值范围是 ． 13．若是圆上的一个动点，是坐标原点，，则的最小值为 ． 14．在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于点与椭圆的另一个交点为.若，且，则椭圆的离心率的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知直线，． (1)若，求的值； (2)当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程． 16．（15分）已知点在圆上，圆与圆关于直线对称． (1)圆与圆的方程； (2)设，是圆上的两个动点，且，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，直线，在轴上的截距分别是，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 17．（15分）已知圆C：． (1)过的动直线l与圆C：交于A、B两点．若，求直线l的方程； (2)从圆C外一点Q向该圆引一条切线，切点为M，若（O为坐标原点），求动点Q的轨迹方程． 18．（17分）已知抛物线的焦点为，点在直线上，过焦点作一条直线交于两点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于两点，求证：直线与的交点在一条定直线上. 19．（17分）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程． (2)若分别为椭圆的上､下顶点，直线与椭圆相交于两点，且． ①证明：直线过定点． ②过点作的垂线，垂足为，求面积的最大值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$