2.4 圆的方程（分层作业）数学人教A版2019选择性必修第一册

2.4圆的方程 知识点1标准方程 1．圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B．2 C．3 D． 2．已知圆过点，试求周长最小的圆的方程． 3．圆心在直线上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是 ． 4．圆关于直线对称，则 ． 知识点2一般方程 5．过三点的圆的标准方程为 ． 6．已知圆的圆心坐标为，则的半径为 . 7．设实数，圆的面积为，则 ． 8．曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为 ． 知识点3二元二次方程与圆的关系 9．若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．“关于的方程：表示圆”是“”的（       ）条件 A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 11．下列方程一定表示圆的是（    ）． A． B． C． D． 知识点4点与圆的位置关系 12．已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 13．已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 14．若点在圆外，则实数的取值范围为 ． 15．已知点在圆外，则实数的取值范围为 . 知识点5圆过定点问题 16．圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 17．已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 知识点6点到圆的最值问题 18．（多选）若P为圆上任意一点，点，则的取值可以为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 19．（多选）已知点，若点在圆：上，则（    ） A．点在直线上 B．点可能在圆上 C．的最小值为1 D．圆上至少有2个点与点的距离为1 20．已知圆上一点，则的最大值为 . 21．设为坐标原点，为圆上的动点，则的最大值为 ． 知识点7轨迹问题 22．已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 23．在平面直角坐标系xOy中，已知向量 与 关于x轴对称，向量 若满足 的点A的轨迹为E，则（    ） A．E是一条垂直于x轴的直线 B．E是一个半径为1的圆 C．E是两条平行直线 D．E 是椭圆 24．已知定点A，B，且，动点P满足．请选择恰当的坐标系，求相应点P的轨迹方程，并指明轨迹是什么曲线． 25．在平面直角坐标系中，圆为过点，，的圆． (1)求圆的标准方程； (2)若点P的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 1．由曲线围成的图形面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知点坐标为，直线与圆交于两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．曲线的长度为（    ） A． B． C． D． 4．已知点，曲线上的动点，与第一象限内的点构成等腰，且，则的最大值是 . 5．已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 ． 6．点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点 7．若，，直线与直线的交点为，则的取值范围为 ． 1．将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，设任意投掷两次使两条不重合直线平行的概率为，相交的概率为，若点在圆的内部，则实数的取值范围是 . 2．对于勾股定理的证明，我国历史上有多位数学家创造了利用面积出入相补证明勾股定理的不同的证法，如后汉时期的赵爽､三国时期的刘徽､清代的梅文鼎､华蘅芳等.如图是华蘅芳证明勾股定理时构造的图形，其中为直角三角形，分别以为边长作3个正方形，通过出入相补证明两个较小的正方形面积之和等于大正方形面积，从而可以证明勾股定理.若，以中点为圆心作圆，使得三个正方形的所有顶点只有2个在圆外，则满足题意的一个圆的标准方程为 . 3．已知圆：上两动点，满足为等腰直角三角形，为坐标原点，则最大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知两定点，若动点到两定点的距离之比为，则点的轨迹是一个圆，该圆称为阿波罗尼斯圆．已知点是圆上一动点，，，若为定值，则的最小值为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4圆的方程 知识点1标准方程 1．圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【详解】圆的圆心到直线的距离 . 故选：A 2．已知圆过点，试求周长最小的圆的方程． 【答案】 【详解】经过A，B两点且周长最小的圆，即半径最小的圆，故应是以AB为直径的圆． 又AB中点为，半径，所以所求圆的方程为． 3．圆心在直线上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是 ． 【答案】或 【详解】设圆心坐标为，半径为，则，解得或. 所以圆的标准方程为或. 故答案为：或. 4．圆关于直线对称，则 ． 【答案】3 【详解】由题意得直线过圆心，代入直线方程有， 解得， 故答案为：3． 知识点2一般方程 5．过三点的圆的标准方程为 ． 【答案】 【详解】设圆的方程为， 代入三点，有 解得， 故圆的方程为， 故圆的标准方程为. 故答案为： 6．已知圆的圆心坐标为，则的半径为 . 【答案】 【详解】由，有， 因为圆心坐标公式为，所以，， 所以的半径为. 故答案为： 7．设实数，圆的面积为，则 ． 【答案】 【详解】圆的标准方程为， 故，故（负解舍去）， 故答案为：. 8．曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为 ． 【答案】 【详解】在曲线上任取一点，则点关于直线的对称点为， 因为点在曲线上，则有， 即为. 故曲线的方程为. 故答案为：. 知识点3二元二次方程与圆的关系 9．若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为方程可变形为， 由题知，解得，实数的取值范围是. 故选：C 10．“关于的方程：表示圆”是“”的（       ）条件 A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【详解】由题意有， 所以或， 由于为或的真子集， 故方程表示圆是的必要不充分条件， 故选：A. 11．下列方程一定表示圆的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，方程表示点，A不是； 对于B，方程化为，此方程表示圆，B是； 对于C，当时，方程表示点，C不是； 对于D，方程化为表示两条平行直线，D不是. 故选：B 知识点4点与圆的位置关系 12．已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 【答案】C 【详解】因为是方程的两个不等实数根，且. 所以，. 所以点在圆外. 故选：C. 13．已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 【答案】C 【详解】由直线恒过定点，而， 所以点在圆内，故直线恒与圆相交，故有两个交点， 故选：C 14．若点在圆外，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为点在圆外， 则，解得， 故答案为：. 15．已知点在圆外，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由表示圆， 标准方程是, 所以，解得， 由点在圆外， 即， 所以或， 综上. 故答案为：. 知识点5圆过定点问题 16．圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 17．已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【详解】（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于， 所以时，方程表示圆. （2）证明：方程变形为， 由于取任何值，上式都成立，则有， 解得或， 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点． 知识点6点到圆的最值问题 18．（多选）若P为圆上任意一点，点，则的取值可以为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】ABC 【详解】圆，代入点， 则，则点在圆外， 所以的最大值为，最小值为，， 所以的取值范围是，所以的取值是3,5,7. 故选：ABC 19．（多选）已知点，若点在圆：上，则（    ） A．点在直线上 B．点可能在圆上 C．的最小值为1 D．圆上至少有2个点与点的距离为1 【答案】AC 【详解】对于选项A：点，代入直线得，故点在直线上，A正确 对于选项B：圆心到直线的距离为， 故直线与圆相离，结合选项A可知，点不可能在圆上，故B错误. 对于选项C：结合选项B可知，，故C正确 对于选项D：由选项C可知圆上只有1个点与点的距离为1，故D错误. 故选：AC 20．已知圆上一点，则的最大值为 . 【答案】 【详解】记原点为，易知原点在圆上，则， 故的最大值为圆的直径，故的最大值为. 故答案为：. 21．设为坐标原点，为圆上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为，所以的最大值为． 故答案为：. 知识点7轨迹问题 22．已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为，所以， 又在圆：上， 故，即的方程为． 故选：C 23．在平面直角坐标系xOy中，已知向量 与 关于x轴对称，向量 若满足 的点A的轨迹为E，则（    ） A．E是一条垂直于x轴的直线 B．E是一个半径为1的圆 C．E是两条平行直线 D．E 是椭圆 【答案】B 【详解】设，由题有，， 所以，， 所以，即， 所以点的轨迹是一个半径为1的圆， 故选：B． 24．已知定点A，B，且，动点P满足．请选择恰当的坐标系，求相应点P的轨迹方程，并指明轨迹是什么曲线． 【答案】，轨迹是以为圆心，为半径的圆． 【详解】如图，以AB所在直线为x轴，AB中点O为原点建立平面直角坐标系， 则，，设， 则由，得， 整理得，即， 所以点P的轨迹方程为，是以为圆心，为半径的圆． 25．在平面直角坐标系中，圆为过点，，的圆． (1)求圆的标准方程； (2)若点P的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】(1)； (2)，轨迹是以为圆心，半径为的圆． 【详解】（1）设圆的方程为， 因为圆为过点，，， 所以， 解得满足， 所以，化成标准方程为. （2）设的坐标是，点的坐标是， 因为的坐标是，且， 所以，解得， 又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即， 代入得，整理得， 点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆． 1．由曲线围成的图形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，曲线为， 当时，曲线为， 当时，曲线为， 当时，曲线为， 同时点均在曲线上，如下图示， 所以围成图形是4个半径均为的半圆，与1个边长为的正方形组成， 故图形面积为. 故选：A 2．已知点坐标为，直线与圆交于两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，所以圆心，半径 由得， 由得，所以直线过定点，即为圆心， 所以是圆的直径的两端点，所以，且， ， 因为，所以， ， 令，则， 所以当时， 取得最小值；当时，取得最大值， 所以， 故选：C. 3．曲线的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 所以曲线是以坐标原点为圆心，2为半径的圆弧， 其中点的横坐标为，则，， 故曲线的长度为.    4．已知点，曲线上的动点，与第一象限内的点构成等腰，且，则的最大值是 . 【答案】 【详解】根据题意，设，， 则，设点按顺时针方向排列. 由，，可得， ， 则 （时取得等号） 故答案为：. 5．已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为，圆的圆心为，半径为， 由于为轴上的动点，由对称性知， 所以， 当且仅当、分别为线段与圆、轴的交点时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 6．点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点 【答案】和 【详解】如图，过点作垂直于直线，垂足为， 则以为直径的圆过定点和， 因为直线的斜率为，所以直线的方程为， 联立，解得，即. 所以以为直径的圆经过定点和. 故答案为：和 7．若，，直线与直线的交点为，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】直线恒过定点，直线恒过定点， 且，则，因此点的轨迹是以为直径的圆， 即点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 记圆心到坐标原点的距离为，圆的半径为，则，， 则，即，于是， 所以的取值范围为. 故答案为： 1．将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，设任意投掷两次使两条不重合直线平行的概率为，相交的概率为，若点在圆的内部，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】若不重合直线平行，则，显然， 所以，满足要求的有两种情况，而取时两直线重合， 又的所有情况有种情况，则相交的情况有种， 综上，，， 所以在圆的内部，即， 所以. 故答案为： 2．对于勾股定理的证明，我国历史上有多位数学家创造了利用面积出入相补证明勾股定理的不同的证法，如后汉时期的赵爽､三国时期的刘徽､清代的梅文鼎､华蘅芳等.如图是华蘅芳证明勾股定理时构造的图形，其中为直角三角形，分别以为边长作3个正方形，通过出入相补证明两个较小的正方形面积之和等于大正方形面积，从而可以证明勾股定理.若，以中点为圆心作圆，使得三个正方形的所有顶点只有2个在圆外，则满足题意的一个圆的标准方程为 . 【答案】（答案不唯一，形如的方程都可以） 【详解】如图，点， ， 线段的中点到三个正方形顶点的距离最大为，其次为， 所以以中点为圆心作圆，使得三个正方形的所有顶点只有2个在圆外的圆方程为 ， 取得该圆的一个标准方程为. 故答案为：（答案不唯一，形如的方程都可以）. 3．已知圆：上两动点，满足为等腰直角三角形，为坐标原点，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知圆：上两动点，满足为等腰直角三角形， 不妨设，即， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为． 故选：C． 4．已知两定点，若动点到两定点的距离之比为，则点的轨迹是一个圆，该圆称为阿波罗尼斯圆．已知点是圆上一动点，，，若为定值，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设，则，即， 所以， 因为为定值，设为，所以， 整理得， 所以，解得，或（舍去）， 所以，， 因为点在圆内部，的最小值为， 所以的最小值为， 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$