2.4.1 圆的标准方程 同步练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

课时精练24　圆的标准方程 一、基础巩固 选择题每小题5分，共25分 1.圆(x－2)2＋(y＋3)2＝11的圆心坐标是(　　) (2，3) (－2，3) (2，－3) (－2，－3) 2.圆心在x轴上，半径为2，且过点(1，2)的圆的标准方程是(　　) (x－1)2＋y2＝4 (x＋1)2＋y2＝4 (x＋2)2＋y2＝4 (x－2)2＋y2＝4 3.若直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于(　　) 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 4.已知点A(－4，2)，B(－4，－2)，C(－2，2)，则△ABC外接圆的标准方程是(　　) x2＋(y－3)2＝5 (x＋3)2＋y2＝5 x2＋(y＋3)2＝5 (x－3)2＋y2＝5 5.(多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为(　　) x2＋(y－4)2＝20 (x－4)2＋y2＝20 x2＋(y－2)2＝20 (x－2)2＋y2＝20 6.当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程是________________________. 7.已知点P(2，1)和圆C：＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝________.若点P在圆C外，则实数a的取值范围为________. 8.已知点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2－4y的最小值为________. 9.(15分)已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0). (1)若点M(6，9)在圆N上，求a的值； (2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围. 10.(15分)矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，1)，AB边所在直线的方程为x－2y－4＝0，点T(－1，0)在AD边所在直线上. (1)求AD边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD外接圆的方程. 二、综合运用 11.若圆C与x轴和y轴均相切，且过点(1，2)，则圆C的半径长为________. 12.已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与两坐标轴都相切，则圆C的标准方程为______________；与圆C关于直线x－y＋2＝0对称的圆的方程为____________________. 13.(15分)已知点A(1，－2)，B(－1，4)，求 (1)过点A，B且周长最小的圆的方程； (2)过点A，B且圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程. 三、创新拓展 14.已知直线l1：mx－y＝0，l2：x＋my－m－2＝0.当m在实数范围内变化时，l1与l2的交点P恒在一个定圆上，则定圆方程是________. 参考答案 1.C　[由圆的标准方程(x－2)2＋(y＋3)2＝11，得圆心为(2，－3)，选C.] 2.A　[设圆心(a，0)，则＝2，即a＝1，选A.] 3.D　[圆的圆心为(－a，－b).∵直线经过一、二、四象限，∴a<0，b>0，即－a>0，－b<0， ∴圆心在第四象限.] 4.B　[如图所示，易得外接圆的圆心为M(－3，0)， ∴半径r2＝|MC|2＝5， ∴所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝5.] 5.AD　[令x＝0，则y＝4； 令y＝0，则x＝2. 所以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0，4)，B(2，0). |AB|＝＝2，以A为圆心，过B点的圆的方程为x2＋(y－4)2＝20. 以B为圆心，过A点的圆的方程为(x－2)2＋y2＝20.] 6.(x＋1)2＋(y－2)2＝5　[将直线方程整理为(x＋1)a－(x＋y－1)＝0，可知直线恒过点(－1，2)，从而所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.] 7.－2或－6　(－∞，－6)∪(－2，＋∞)　[由题意，得＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上时，＋(1－1)2＝1，解得a＝－2或a＝－6. 若点P在圆C外时，＋(1－1)2>1， 解得a<－6或a>－2.] 8.－4　[∵点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点， ∴x2－4y＝1－y2－4y＝－(y＋2)2＋5. ∵y∈[－1，1]， ∴当y＝1时，－(y＋2)2＋5有最小值－4.] 9.解　(1)∵点M(6，9)在圆N上， ∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，∴a2＝10. 又a>0，∴a＝. (2)由已知，得圆心N(5，6). ∵|PN|＝＝， |QN|＝＝3， ∴|PN|>|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内， ∴a的取值范围是(3，). 10.解　(1)因为AB边所在直线的方程为x－2y－4＝0，且AD与AB垂直， 所以直线AD的斜率为－2. 又因为点T(－1，0)在直线AD上， 所以AD边所在直线的方程为y－0＝－2(x＋1)，即2x＋y＋2＝0. (2)由解得 所以点A的坐标为(0，－2)， 因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2，1)， 所以M为矩形外接圆的圆心，|AM|为外接圆的半径. 又|AM|＝＝， 从而矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝13. 11.1或5　[根据题意，若圆C与x轴和y轴均相切，则圆心C在直线y＝x或y＝－x上， 当圆心C在y＝x上时，设圆心C的坐标为(a，a)， 此时圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2， 将(1，2)代入可得(1－a)2＋(2－a)2＝a2， 即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5， 此时圆的半径长为1或5； 当圆心C在y＝－x上时， 设圆心C的坐标为(a，－a)， 此时圆的标准方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2， 将(1，2)代入可得(1－a)2＋(2＋a)2＝a2， 即a2＋2a＋5＝0，方程无解， 综上所述，圆的半径长为1或5.] 12.(x＋2)2＋(y－2)2＝4　x2＋y2＝4　[由题意可得所求的圆在第二象限，圆心为(－2，2)，半径为2， 所以圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4. 设(－2，2)关于直线x－y＋2＝0的对称点为(a，b). 则有解得 故所求圆的圆心为(0，0)，半径为2. 所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝4.] 13.解　(1)当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小.即AB中点(0，1)为圆心，半径r＝|AB|＝. 则圆的方程为x2＋(y－1)2＝10. (2)法一　AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的方程是y－1＝x. 即x－3y＋3＝0，由圆心在直线2x－y－4＝0上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是C(3，2). r＝|AC|＝＝2. 故所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20. 法二　待定系数法 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 则⇒ 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20. 14.(x－1)2＋＝　[当m＝0时，l1：y＝0，l2：x＝2，易知P(2，0). 当m≠0时，l1过定点O(0，0)，斜率kl1＝m，直线l2的方程可化为m(y－1)＋x－2＝0， 因此l2过定点A(2，1)，斜率k l2＝－， 则k l1·k l2＝－1，∴直线l1与l2互相垂直，故PO⊥PA，连接OA， 则直线l1与直线l2的交点P必在以线段AO为直径的圆上， 且圆心为线段AO的中点C， 半径r＝|OA|＝＝， ∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋＝.易知(2，0)在此圆上.] 学科网（北京）股份有限公司 $$