专题04 直线的方程及距离问题9大题型（专项训练）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题04 直线的方程及距离问题9大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、直线的倾斜角与斜率 1 题型二、直线与线段相交问题 1 题型三、求直线的方程 3 题型四、直线过定点问题 5 题型五、两条直线的平行与垂直问题（重） 8 题型六、直线与坐标轴、三线围成的面积问题 9 题型七、距离公式的应用 11 题型八、对称问题（重） 13 题型九、线段和差的距离问题（重） 15 B综合攻坚·能力跃升 17 题型一、直线的倾斜角与斜率 1．已知，，，不能构成三角形，则 ． 【答案】/ 【详解】三点不能构成三角形的情况，即三点共线， 因为斜率存在，所以，即，即, 因为，所以，即. 故答案为： 2．若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，直线的斜率不存在，两点横坐标相等，即； 当时，直线的斜率存在， 则或，解得或； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 3．已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为 ． 【答案】 【详解】若直线的倾斜角为，则且，如下图示，    由图知，直线的倾斜角的取值范围为. 故答案为： 4．如图，直线的斜率的大小关系是    【答案】 【详解】设直线的倾斜角分别为，由图可得： ，则. 故答案为：. 5．设，则直线的倾斜角为 ． 【答案】 【详解】因为，所以. 由，所以直线的斜率为：. 设的倾斜角为，则． 由于，则．故． 故答案为： 题型二、直线与线段相交问题 6．经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【详解】如图所示，直线与线段没有公共点，若为直线的倾斜角，    直线可从直线逆时针旋转到直线的位置，注意包含直线倾斜角为的情况， ，， 直线的区域包含倾斜角为的情况， 斜率或，从而或， 又，结合正切曲线可得． 故答案为： 7．已知直线经过点，且在轴上的截距的取值范围为，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示： 易知点与点之间的斜率为， 当在轴上的截距的取值范围为时，直线的斜率的取值范围； 点点与点之间的斜率为， 当在轴上的截距的取值范围为时，直线的斜率的取值范围； 综上可知直线的斜率的取值范围为. 故选：C 8．设，若点在线段上，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】直线的倾斜角与斜率  如图，，则原问题可转化为过点的直线与线段有交点时，直线的斜率的取值范围． 连接，则， 当的倾斜角是锐角时，，随着倾斜角的增大，斜率由增大至正无穷； 当的倾斜角是钝角时，，随着倾斜角的增大，斜率由负无穷增大至．所以3或． 故答案为： 9．已知点，直线与线段的延长线相交，求实数的取值范围． 【答案】． 【详解】定理：已知点、及不过点的直线， 且直线与交于点，则. 设直线与线段的延长线相交于点， 由，得， 由，解得， 所以实数的取值范围是. 题型三、求直线的方程 10．直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线即， 则直线的斜率为，倾斜角为， 令得，即， 则直线的倾斜角为，斜率为， 所以直线的斜截式方程为，即直线的方程是． 故选：A. 11．已知直线l过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】当直线l在坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为， 因为直线l过点，所以，所以，所以直线方程为； 当直线l在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程设为， 将代入可得，此时直线方程为， 综上，直线l的方程为或． 故选：C. 12．已知三角形的三个顶点分别是，，，求三边所在直线的方程． 【答案】答案见解析 【详解】因为直线过点，， 所以所在直线的方程为，即; 因为直线过点，， 所以直线方程为，即; 因为直线过点，， 所以所在直线的方程为，即; 另解: 因为直线过点，， 所以直线的斜率为， 则边所在直线的方程为，整理得； 因为直线过点，， 所以直线的斜率为， 则边所在直线的方程为，整理得； 因为直线过点，， 所以直线的斜率为. 则边所在直线的方程为，整理得. 13．直线与轴、轴分别交于两点，则（为坐标原点）的平分线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】根据题意，直线与轴、轴分别交于两点， 令，可得，则的坐标为， 令，可得，则的坐标为， 如图： 设，为锐角）， 则，即， 则有，解可得或（舍）， 则的平分线所在直线的斜率， 其方程为，变形可得， 故选：B. 14．已知两条直线方程分别是和，过点，作直线与这两条直线交于点，且恰为中点，求这条直线的方程． 【答案】 【详解】在上取点，则点关于点的对称点必在上， 由，得， 得， 于是， 求得， 所以， 故所求直线的方程为：， 即． 题型四、直线过定点问题 15．不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】法一：直线方程可化为， 令，解得，即定点坐标为. 法二：直线方程可化为， 则，解得，即定点坐标为. 故选：B. 16．已知直线的方程为，若直线不经过第二象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】法一：方程化为斜截式：，斜率存在，且直线与轴的交点为， 当时，直线的方程为，满足题意； 当时，直线不经过第二象限，点需在轴非正半轴上， 且斜率，即，解得． 综上可得，的取值范围为． 故选：C 法二：方程化为点斜式为， 所以不论为何值，直线都过定点， 作直线经过定点且平行于轴，直线经过定点和，如图所示， 因为直线不经过第二象限，所以和是符合条件的临界位置，即， 所以的取值范围为． 故选：C 17．已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的斜率的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线的方程化为，由，解得， 因此直线过定点，线的斜率， 直线的斜率， 如下图所示，由直线与线段总有公共点，得直线的斜率有或， 又直线的斜率， 所以直线的斜率的范围为. 故选：A 题型五、两条直线的平行与垂直问题（重） 18．已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 直线恒过点． 因为的斜率为， 所以所求直线的斜率为，其方程为，即， 故选：A． 19．若直线与直线平行，则 . 【答案】2或 【详解】若，则，解得或，经检验，都成立. 故答案为：或. 20．已知点，直线．求： (1)过点且与直线平行的直线方程； (2)过点且与直线垂直的直线方程． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）直线的斜率为2，由直线的点斜式方程知过点且与直线平行的直线方程为， 即. （2）直线的斜率为2，过点且与直线垂直的直线斜率为， 由直线的点斜式方程知过点且与直线垂直的直线方程为， 即. 21．已知的顶点分别为，，，中点，求边的垂直平分线的方程. 【答案】 【详解】因为的顶点，， 所以中点，， 则边的垂直平分线的斜率为 ， 所以边的垂直平分线的方程为，即. 22．（多选）已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，直线恒过定点，故A正确， 对于B，因为，所以直线恒过定点，故B错误； 对于C，又因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，在直角三角形中， 由勾股定理可得：， 所以，当且仅当时取等，故D正确. 故选：ACD. 题型六、直线与坐标轴、三线围成的面积问题 23．已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不妨设直线分别交、轴于点、，则，， 所以，直线的截距式方程为，因为点在直线上，则， 由基本不等式可得，可得，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的面积的最小值为. 故选：C. 24．已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为 ． 【答案】/ 【详解】设直线与直线的交点分别为，且，则由题意可知，点关于点的对称点在上,所以，解得， 所以，所以． 因为直线过点，所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即． 联立的方程得解得的交点坐标为． 因为点到直线的距离， 所以这三条直线围成的三角形面积为． 故答案为：． 25．在平面直角坐标系xOy中，且过点的直线l与坐标轴交于A、B两点，的面积记为S. (1)当直线l在y轴上的截距为2，求S的值； (2)当，求直线l在x轴上的截距. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）直线l的斜率为， 故直线l的方程为，令得， 所以； （2）设直线l在x轴上的截距为， 当时，直线l与轴无交点，不合题意，舍去， 则直线l的斜率为，直线l的方程为， 中，令得， 故，解得 故直线l在x轴上的截距为. 题型七、距离公式的应用 26．已知，且，则 ． 【答案】 【详解】因为且，所以，解得 故答案为： 27．已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线可化为，设两条平行直线间的距离为，则. 故选：. 28．经过两直线和的交点，且和原点相距为1的直线方程为 ． 【答案】或 【详解】联立方程，解得， 可知两直线的交点坐标为，即所求直线过点， 若所求直线斜率不存在，则直线方程为，符合题意； 若所求直线斜率存在，设直线方程为，即. 则原点到该直线的距离，解得， 此时方程为. 综上所述：所求直线方程为或. 故答案为：或. 29．若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【答案】C 【详解】若，在直线的同侧，则，解得； 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点， 则，解得． 故选：C 30．若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设的中点的坐标为，则有， 又，分别在直线与上， ∴联立得，两式相加得， ∴，即， 即的中点在直线上移动， ∴到原点距离的最小值即原点到直线的距离． 故选：A. 31．已知直线和的交点为，则点到直线的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】联立，解得，即点的坐标为， 点到直线的距离， 当时，， 当时，，恒有，于是， 综上，点到直线的距离的取值范围是. 故选：C. 题型八、对称问题（重） 32．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点关于直线对称的点为，所以直线为线段的中垂线， 因为，中点为，且， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为即. 故选：D 33．在等腰直角中，是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】以为坐标原点，建立如图直角坐标系， 可得，故直线BC的方程为， 则的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过重心，代入得， 化简得或（舍去），故，所以. 故选：D 34．已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于直线对称，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】点与点关于轴对称，则； 点与点关于轴对称，则； 点与点关于直线对称，则． 故答案为：. 35．已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为 ． 【答案】 【详解】解法一：在直线上取一点，不妨取，则关于直线的对称点必在上． 设，则，解得即． 设与的交点为，则由，得，即． 又经过点，所以由两点式得直线的方程为， 即． 故答案为：． 解法二：直线：关于直线：对称的直线方程为 ， 即，所以直线的方程为． 故答案为：． 36．一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 ． 【答案】 【详解】设点关于直线的对称点为，则解得 所以．又点， 所以，直线的方程为， 由图可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 故答案为：. 题型九、线段和差的距离问题（重） 37．（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】AC 【详解】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 38．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 . 【答案】 【详解】设点关于对称点，则，解得， 即，所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：    39．已知点，点分别是x轴和直线上的两个动点，则的最小值等于 ． 【答案】 【详解】如图，作点关于轴的对称点，则， 此时最小值即为到直线的距离，即， 所以的最小值为， 故答案为：. 40．已知点在直线上，则的最小值为 【答案】4 【详解】， 表示直线上的点到定点和的距离和，如图， 点关于的对称点为，， 当点三点重合时，最小，最小值为4. 故答案为：4 41．已知直线的方程为. (1)当时，求点到直线的距离； (2)当时，为直线上一动点，若，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，直线的方程为， 所以点到直线的距离为. （2）当时，直线的方程为， 设点关于直线的对称点，如图所示， 则，解得，即， 所以， 故的最小值为. 1．在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】由解得，所以. 因为的平分线所在直线方程是，所以点关于直线的对称点在所在直线上， 所以直线的方程为，整理得. 又边上的高所在直线是，其斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理得. 由，解得，所以则点的坐标为. 故答案为：. 2．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】    建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据题干设出点P 的坐标，根据对称性和光的反射原理可知 四点共线，进而求出点的坐标，和直线的方程，进而求出点Q的坐标，即可求得结果. 3．已知直线，，点的坐标为.过点的直线的斜率为，且与，分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数），当（O为坐标原点）的值与k无关且为定值时，的最小值为（    ） A．13 B．12 C． D． 【答案】D 【详解】因为直线过点，且斜率为， 所以直线的方程为， 又直线与，分别交于点M，N，所以， 因此由，得，即， 由，得，即． 又M，N的纵坐标均为正数，所以，即， 而，因此，因此，， 所以． 又因为，所以当时，为定值， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D 4．已知为直线上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【详解】如图，为点到原点和到点的距离之和， 即． 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 则，当三点共线时，取到最小值， 且最小值为． 故选：D. 5．在平面直角坐标系中，集合，集合，已知点，点，记表示线段长度的最小值，则的最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】集合可以看作是表示直线上的点的集合， 由变形可得，， 由可得，， 所以直线过定点. 集合可看作是直线上的点的集合， 由变形可得，， 由可得，， 所以，直线过定点. 显然，当点与点分别重合，且线段与直线都垂直时，有最大值. 故选：D. 6．（2024·北京朝阳·模拟预测）（多选）已知，直线.若点不在直线上，则直线与相交的充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】C，因为点不在直线上，所以， 当时，点位于直线的异侧，故直线与相交， 所以是直线与相交的充分条件，故C正确； A，若，又，所以满足， 所以是直线与相交的充分条件，故A正确； B，由点到直线，， 由，可得，又同号，可得在直线的同侧， 所以直线，故是直线与相交的不充分条件，故B错误； D，由，可得同号，当时，可得， 故是直线与相交的不充分条件，故D错误. 故选：AC. 7．已知直线与相交于点，过点的直线与分别交于两点，写出一个使“”成立的直线的方程： ． 【答案】（或）（答案不唯一） 【详解】解方程组得点的坐标为，则， 则直线的方程为，即． 设点到直线的距离分别为． 当直线的斜率不存在时，方程为，则， 则，所以，符合题意． 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的方程为． 解得点的坐标为，则； 解得点的坐标为，则． 所以．解得， 所以直线的方程为，即． 综上，直线的方程为（或）． 故答案为：（或）（答案不唯一） 8．已知直线：，其中m，n都是正实数，，下列结论正确的是（   ） A．当时，直线的一个方向向量为（1，0） B．当变化时，所对应的直线均过同一个定点 C．当时，坐标原点（0，0）到直线的距离的最小值为 D．所有直线组成的平面区域可覆盖整个直角坐标平面 【答案】C 【详解】对于A，当时，直线的方程为，即，平行于轴，直线的方向向量与平行，故A不正确； 对于B，当时，得，即；当时，得，即，联立方程得，则两直线交于点，当时，得，显然点不在直线上，此时三条直线交于一点不成立，故当变化时，所对应的直线均过同一个定点不成立，故B不正确； 对于C，当时，坐标原点到直线的距离，而，则，故，即最小值为，故C正确； 对于D，由于点不满足方程，所以所有直线组成的平面区域不可能覆盖整个平面，故D不正确； 故选：C. 9．（ 2024·河北沧州·三模）光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率.如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为 . 【答案】 【详解】如图，入射角，设折射角为，，， 则，， 所以，则，， 所以，且. 该光线再次返回空气中时，其所在直线的倾斜角为， 则其所在直线的斜率为 ， 直线的方程为，整理得. 故答案为： 10．（多选）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（    ） A．若点，，则在轴上不存在点，使得 B．若点，点在直线上，则的最小值是2 C．若点在函数图象上，点在直线上，则的值可能是4 D．直线交于点，，，M，N与都不重合，且，若，则的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A选项，可根据题目给出的定义，，，由绝对值的几何意义，可得：，A选项正确； 对于B选项，设点，点在直线上，可得，， 可将此距离写成分段函数的形式：， 不难得到当时，距离的最小值为，B选项错误； 对于C选项，可取特殊点，满足题意，C选项正确； 对于D选项，，， 由基本不等式：，当且仅当时等号成立，即， 两边开平方后，，即； 计算 ，当且仅当时等号成立，可判断D选项正确. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解题干中的“曼哈顿距离”的定义，并结合不等式的相关性质解答. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 直线的方程及距离问题9大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、直线的倾斜角与斜率 1 题型二、直线与线段相交问题 1 题型三、求直线的方程 3 题型四、直线过定点问题 5 题型五、两条直线的平行与垂直问题（重） 8 题型六、直线与坐标轴、三线围成的面积问题 9 题型七、距离公式的应用 11 题型八、对称问题（重） 13 题型九、线段和差的距离问题（重） 15 B综合攻坚·能力跃升 17 题型一、直线的倾斜角与斜率 1．已知，，，不能构成三角形，则 ． 2．若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为 ． 4．如图，直线的斜率的大小关系是    5．设，则直线的倾斜角为 ． 题型二、直线与线段相交问题 6．经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 7．已知直线经过点，且在轴上的截距的取值范围为，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．设，若点在线段上，则的取值范围是 ． 9．已知点，直线与线段的延长线相交，求实数的取值范围． 题型三、求直线的方程 10．直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 11．已知直线l过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 12．已知三角形的三个顶点分别是，，，求三边所在直线的方程． 13．直线与轴、轴分别交于两点，则（为坐标原点）的平分线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D．或 14．已知两条直线方程分别是和，过点，作直线与这两条直线交于点，且恰为中点，求这条直线的方程． 题型四、直线过定点问题 15．不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 16．已知直线的方程为，若直线不经过第二象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 17．已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的斜率的范围为（    ） A． B． C． D． 题型五、两条直线的平行与垂直问题（重） 18．已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 19．若直线与直线平行，则 . 20．已知点，直线．求： (1)过点且与直线平行的直线方程； (2)过点且与直线垂直的直线方程． 21．已知的顶点分别为，，，中点，求边的垂直平分线的方程. 22．（多选）已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 题型六、直线与坐标轴、三线围成的面积问题 23．已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 24．已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为 ． 25．在平面直角坐标系xOy中，且过点的直线l与坐标轴交于A、B两点，的面积记为S. (1)当直线l在y轴上的截距为2，求S的值； (2)当，求直线l在x轴上的截距. 题型七、距离公式的应用 26．已知，且，则 ． 27．已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 28．经过两直线和的交点，且和原点相距为1的直线方程为 ． 29．若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 30．若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 31．已知直线和的交点为，则点到直线的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型八、对称问题（重） 32．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 33．在等腰直角中，是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 34．已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于直线对称，则点的坐标为 ． 35．已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为 ． 36．一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 ． 题型九、线段和差的距离问题（重） 37．（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 38．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 . 39．已知点，点分别是x轴和直线上的两个动点，则的最小值等于 ． 40．已知点在直线上，则的最小值为 41．已知直线的方程为. (1)当时，求点到直线的距离； (2)当时，为直线上一动点，若，，求的最小值. 1．在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为 ． 2．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 3．已知直线，，点的坐标为.过点的直线的斜率为，且与，分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数），当（O为坐标原点）的值与k无关且为定值时，的最小值为（    ） A．13 B．12 C． D． 4．已知为直线上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．3 5．在平面直角坐标系中，集合，集合，已知点，点，记表示线段长度的最小值，则的最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 6．（2024·北京朝阳·模拟预测）（多选）已知，直线.若点不在直线上，则直线与相交的充分条件为（    ） A． B． C． D． 7．已知直线与相交于点，过点的直线与分别交于两点，写出一个使“”成立的直线的方程： ． 8．已知直线：，其中m，n都是正实数，，下列结论正确的是（   ） A．当时，直线的一个方向向量为（1，0） B．当变化时，所对应的直线均过同一个定点 C．当时，坐标原点（0，0）到直线的距离的最小值为 D．所有直线组成的平面区域可覆盖整个直角坐标平面 9．（ 2024·河北沧州·三模）光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率.如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为 . 10．（多选）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（    ） A．若点，，则在轴上不存在点，使得 B．若点，点在直线上，则的最小值是2 C．若点在函数图象上，点在直线上，则的值可能是4 D．直线交于点，，，M，N与都不重合，且，若，则的最小值为 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$