专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）（几何模型讲义）数学沪教版五四制九年级上册

专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 相似三角形是初中数学几何中的重要模块，想要学好相似三角形，就必须掌握相似三角形的特殊模型，通过观察几何图形中的隐藏的模型，可以快速找到解决几何问题的技巧；相似三角形考查时一般会出现在压轴题中，难度比较大，其中常见的模型又以“母子型”应用较为广泛；本专题带我们深入理解模型的内涵，灵活运用相关结论可以显著提高我们做题的效率和正确率，同时也为其他模型的学习打下坚实的基础。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 4 13 相似三角形的比例性质源于欧几里得《几何原本》，但未明确形成“母子模型”的命名。其核心原理（如共角共边的三角形相似性）已蕴含其中。后来在直角三角形中，斜边上的高将原三角形分割为两个小直角三角形，三者互为相似形，由此衍生出‌射影定理‌，构成母子模型的数学内核。此时尚未出现“母子”的拟人化命名。 直到20世纪80年代现代教学归纳出‌形象化命名“母子模型”。‌后来该模型被纳入初中数学教材，作为相似三角形证明的核心模型之一。其核心价值在于简化比例证明，例如通过母子关系直接推导线段比例式。 （2025·江苏南京·三模）如图，在中，，是高． (1)用直尺和圆规作，使与关于点D对称（保留作图的痕迹，不写作法），连接，求证：四边形是菱形； (2)若，则（1）中的菱形的高为__________． （2025·河南商丘·三模）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项积点”．如图1，在中，D是边上一点，连接AD，若，则称点D是中边上的“比中项积点”． (1)在中，，于点D，则点D______（填“是”或“不是”）中边上的“比中项积点”； (2)如图2，中，，点E为边上一点，连接交对角线于点F，点F恰好是中边上的“比中项积点”． ①求证：点F也是中边上的“比中项积点”； ②连接并延长，交于点G，若点F是中边上的“比中项积点”，且，直接写出边的长． “母子型”模型（共边共角模型）：（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 母子型相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 例1（24-25九年级下·陕西安康·阶段练习）如图，在中，，D是边上一点，，若，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D． 例2（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，是斜边上的高线，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 例3（24-25八年级下·甘肃定西·期末）如图，在中，，，，于点D，平分交于点F，交于点E，则线段的长为 ． 例4（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，，若，，则的大小为 ． 例5（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）某校数学兴趣小组的同学在学习三角形的相似后进行了深入研究．如图1，在中，，，垂足为． (1)兴趣小组的同学得出，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ∴． 请完成填空：_____________；_____________． (2)如图，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． 例6（24-25九年级下·安徽宣城·开学考试）如图，中，边上的中线与的平分线交于F点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求． 例7（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）在中，，点为的中点，点是线段上一动点，过点作分别交边于点． (1)如图，求证∽； (2)如图，若，求证：． 例8（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，，于D． (1)求证：； (2)已知，，求和的长． 1．（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图，点P在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，则添加的条件可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）已知：如图，中，D为边上的点，连接，，，当时，则的长度为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如下图，在中，，于D，若，，则为（   ） A．4 B．6 C．16 D．64 4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点．已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，于点D，如果，那么 ． 6．（19-20九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，，是的中点，点在上，分别连接、交于点．若，则 ． 7．（2024·浙江·一模）如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 ． ​ 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ． 9．（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为 ． 10．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝ ． 11．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图，在中，，正方形的顶点分别在的边上，在边上，则正方形的边长等于 ． 12．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，在等边三角形的边上各取一点P，Q，使，相交于点O，若，，则的长为 ，的长为 ． 13．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，，，，，则CD的长为 ． 14．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 15．（2025·安徽合肥·一模）如图1，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在的点处，与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若点，，在同一条直线上，如图2，求的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角） 16．（24-25九年级上·全国·课后作业）【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题： 中，是的中点，是上一点，延长、交于点，，，求的长． 小白的想法是：过点作交于，再通过相似三角形的性质得到、的比，从而得出的长．请你按照小白的思路完成解答． 【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题： 中，平分交于，为边上一点，，、为上两点，，，为上一点，连接交、于、，，猜想并验证与的数量关系． 17．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 18．（24-25九年级上·上海金山·期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 19．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 20．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 相似三角形是初中数学几何中的重要模块，想要学好相似三角形，就必须掌握相似三角形的特殊模型，通过观察几何图形中的隐藏的模型，可以快速找到解决几何问题的技巧；相似三角形考查时一般会出现在压轴题中，难度比较大，其中常见的模型又以“母子型”应用较为广泛；本专题带我们深入理解模型的内涵，灵活运用相关结论可以显著提高我们做题的效率和正确率，同时也为其他模型的学习打下坚实的基础。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 4 13 相似三角形的比例性质源于欧几里得《几何原本》，但未明确形成“母子模型”的命名。其核心原理（如共角共边的三角形相似性）已蕴含其中。后来在直角三角形中，斜边上的高将原三角形分割为两个小直角三角形，三者互为相似形，由此衍生出‌射影定理‌，构成母子模型的数学内核。此时尚未出现“母子”的拟人化命名。 直到20世纪80年代现代教学归纳出‌形象化命名“母子模型”。‌后来该模型被纳入初中数学教材，作为相似三角形证明的核心模型之一。其核心价值在于简化比例证明，例如通过母子关系直接推导线段比例式。 （2025·江苏南京·三模）如图，在中，，是高． (1)用直尺和圆规作，使与关于点D对称（保留作图的痕迹，不写作法），连接，求证：四边形是菱形； (2)若，则（1）中的菱形的高为__________． 【答案】(1)见解析； (2)6． 【分析】（1）按照要求作图，再证明四边形是平行四边形，由即可证明结论； （2）证明，利用相似的性质求出，勾股定理求出，,则菱形的边长为，求出，根据菱形面积的两种求法列方程，即可求出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 由作图可知，， ∴四边形是平行四边形， ∵是高． ∴， ∴四边形是菱形； （2）∵，是高． ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 解得或（不合题意，舍去） ∴， ∴, 即菱形的边长为， ∵四边形是菱形 ∴， 设菱形的高为h， 则， 即， 解得， 即菱形的高为． 故答案为： 【点睛】此题考查了轴对称的性质和基本作图、勾股定理、相似三角形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、菱形的判定和性质是关键． （2025·河南商丘·三模）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项积点”．如图1，在中，D是边上一点，连接AD，若，则称点D是中边上的“比中项积点”． (1)在中，，于点D，则点D______（填“是”或“不是”）中边上的“比中项积点”； (2)如图2，中，，点E为边上一点，连接交对角线于点F，点F恰好是中边上的“比中项积点”． ①求证：点F也是中边上的“比中项积点”； ②连接并延长，交于点G，若点F是中边上的“比中项积点”，且，直接写出边的长． 【答案】(1)是 (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了新定义、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确找出相似三角形探究线段间的关系是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质可得出，再根据“比中项妙点”的定义判断即可； （2）①根据“比中项妙点”的定义可得出，证明可得出，则，即，然后据“比中项妙点”的定义即可解答；②根据平行四边形的性质可可得、、、；证明、可得，即，解得：；再说明，然后证明结合可得，进而求得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵在中，，于点D， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D是中边上的“比中项积点”． 故答案为：是． （2）解：①证明：∵点F恰好是中边上的“比中项积点”， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴点F也是中边上的“比中项积点”． ②解：如图3， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵，即，即，， ∴， ， ∵， ∴， ， ，即，解得：， ∵点F是中边上的“比中项积点”， ∴，即， 又∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，即， ， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，     ∴， ． “母子型”模型（共边共角模型）：（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 母子型相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 例1（24-25九年级下·陕西安康·阶段练习）如图，在中，，D是边上一点，，若，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理等知识，先根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质得出，然后代入数值求解即可． 【详解】解∶∵， ， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选∶D． 例2（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，是斜边上的高线，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理的实际应用、完全平方公式的应用，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 根据两个对应角相等可证，，，再由相似三角形的性质可推得，，，可判断选项、选项、选项的正误；结合勾股定理、完全平方公式即可判断选项． 【详解】解：依题得：， ，， ，， ，，， ，，，则选项、选项错误； ， 即，则选项正确； 中，， 又， ， 即，则选项错误． 故选：． 例3（24-25八年级下·甘肃定西·期末）如图，在中，，，，于点D，平分交于点F，交于点E，则线段的长为 ． 【答案】3 【分析】作于点M，根据角平分线的性质得到，进而得到，根据等角对等边得到，证明，得到，证明，得到，代入计算即可． 【详解】解：如图，作于点M， 由题意得，，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ∴ ， ， ，， ∴ ，即， ， ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，等角对等边，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 例4（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，，若，，则的大小为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，相似三角形的性质，由三角形内角和定理得到，由相似三角形的性质即可得到，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 例5（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）某校数学兴趣小组的同学在学习三角形的相似后进行了深入研究．如图1，在中，，，垂足为． (1)兴趣小组的同学得出，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ∴． 请完成填空：_____________；_____________． (2)如图，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)是直角三角形，理由见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论； （）由，，证明，所以，则，由（）得，，故有，即，又，证明，然后通过相似三角形性质得出，从而求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：是直角三角形，理由， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 例6（24-25九年级下·安徽宣城·开学考试）如图，中，边上的中线与的平分线交于F点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，再利用三角形外角性质可证明，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）过E点作交于M点，如图，利用平行线分线段成比例定理，由得到，由得到，则，所以； （3）先证明得到，则利用， 得到，根据比例的性质得到①，由于，所以②，然后把①与②相加得到1，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过E点作交于M点，如图， ∵为中线， ∴， ∵， ∴1， 即， ∵， ∴， 而， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 即①， ∵， ∴， 即②， 得1， 解得． 例7（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）在中，，点为的中点，点是线段上一动点，过点作分别交边于点． (1)如图，求证∽； (2)如图，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． （1）根据题意可得，由直角三角形斜边中线的性质得出，则，推出，即可求证； （2）由（1）可知，，，根据，得出，结合相似三角形的性质，即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，点为的中点， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：由（1）可知，，， ∵， ∴， ∴， 即． 例8（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，，于D． (1)求证：； (2)已知，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识． （1）根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证； （2）根据相似三角形的性质求出，再利用勾股定理直接计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 1．（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图，点P在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，则添加的条件可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：在，中， ，不是夹角的两边对应成比例，不能判定，故选项A错误； ，即：，不是夹角的两边对应成比例，不能判定，故选项B错误； ，不是夹角的两边对应成比例，不能判定，故选项C错误； ，即，两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似，故能判定，故选项D正确； 故选D． 2．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）已知：如图，中，D为边上的点，连接，，，当时，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．证明，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故选：B 3．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如下图，在中，，于D，若，，则为（   ） A．4 B．6 C．16 D．64 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．由在中，，，易证得，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的长. 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A 4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点．已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由尺规作图可知平分，过点作，根据角平分线的定义可知，利用勾股定理可以求出，因为，，可证，根据相似三角形的性质可得：，从而可以求出的长度． 【详解】解：如下图所示，过点作， 由作图可知平分， ， ， ， 在中，， ，， ， 又在和中，，， ， ， ， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据作图的方法判断射线是的平分线，再根据角平分线的性质找边、角之间的关系． 5．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，于点D，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 由、及公共角，证，得；设，结合，表示出，代入得； 在中，用勾股定理算；最后求与的比值． 【详解】∵，， ∴， ∵是公共角， ∴． ，即． 设， ∵， ∴，则， ∴（为边长，取正值）． 在中， 根据勾股定理． ∴， 即． 故答案为：． 6．（19-20九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，，是的中点，点在上，分别连接、交于点．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形和平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，综合性较强，构造全等三角形，一线三直角模型是解题关键．以、为邻边作矩形，过点作交于点，过点作交的延长线于点，再过点作的平行线交、的延长线于点、，则四边形是矩形，结合矩形的性质，证明四边形是平行四边形，是等腰直角三角形，从而推出，求出，，再证明，即可求出的长． 【详解】解：如图，以、为邻边作矩形，过点作交于点，过点作交的延长线于点，再过点作的平行线交、的延长线于点、，则四边形是矩形， ，，，，， 是的中点， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（2024·浙江·一模）如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 ． ​ 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的有关知识.由等腰三角形的判定与性质知是等腰三角形的中垂线.根据相似三角形 的对应边成比例、等腰三角形的性质列出比例式，即 ，最后在直角中利用勾股定理来求的值． 【详解】，四边形是正方形, ， 又∵平分交于, ，, ， 在 和 中, ， ， 即 ， 即 , 即 ， 故答案为： ． 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】延长到，使，连接，可得等腰和等腰，，再证明，利用相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图所示，延长到，使，连接， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质和相似三角形的判定和性质，利用已知二倍角关系①构造等腰和②构造等腰是解题关键． 9．（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出，代入AC、AD的值可求出AB的长，再根据BD=AB-AD即可求出结论． 【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∴． ∵AC=，AD=1， ∴， ∴AB=3， ∴BD=AB-AD=3-1=2． 故答案为2 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键． 10．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝ ． 【答案】 【分析】证明△BCD∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACB＝∠CDB＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△BCD∽△BAC， ∴＝，即＝， ∴, ∵ ∴BC＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键． 11．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图，在中，，正方形的顶点分别在的边上，在边上，则正方形的边长等于 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出BC长，再根据相似，设出BE，DE，FC长，列方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形DEFG是正方形， ∴∠DEB=∠A=90°， ∠B=∠B， ∴△ABC∽△EBD， ∴， 即， 同理，， 设BE为3x，则DE为4x，FC为， 解得，， DE=4×=， 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题关键是根据相似三角形建立正方形边长与其他线段的关系，根据斜边长设未知数列方程． 12．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，在等边三角形的边上各取一点P，Q，使，相交于点O，若，，则的长为 ，的长为 ． 【答案】 4 【分析】证明△ABP和△ACQ全等，得到∠CAQ和∠ABP相等，即可得到∠AOP为60° 角，再证△AOP相似于△BAP，通过对应边成比例即可求得AP长；过A作AG⊥OP，在Rt△AOG和Rt△APG中，通过勾股定理得到等式，求出OG长，即可得到结论． 【详解】∵在△AQC和△BAP中， ∴ ∵ ∴ 过作的垂线与OP交于点G，在△中， 设OG=x，则AO=2x， 在Rt△AOG中，由勾股定理得AG2=AO2-OG2，即AG2=（2x）2-x2=3x2， 在Rt△APG中，由勾股定理得AG2=AP2-PG2，即AG2=42-（x-2）2， ∴3x2=42-（x-2）2解得x=，又x>0，∴x=， ， 故答案为：4，． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． 13．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，，，，，则CD的长为 ． 【答案】5 【分析】在CD上取点F，使，证明，求解 再证明，利用相似三角形的性质求解即可得到答案. 【详解】解：在CD上取点F，使， ，， 由， ， ，， 且， ， ， ∽， ， ， ， 又， ， ∽， ， 又， ， 或舍去， 经检验：符合题意， ． 故答案为：5． 本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，分式方程与一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键. 14．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，角直角三角形的性质等知识点，识别基本图形是解题的关键． （1）根据等角的余角相等得到，再结合，即可求证； （2）先根据角直角三角形性质得到，再解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，，而， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 15．（2025·安徽合肥·一模）如图1，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在的点处，与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若点，，在同一条直线上，如图2，求的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据旋转变换的性质得到旋转前后两个三角形全等，从而得到，根据，就能得到，然后利用平行可以得到内错角相等，最后加上，就可以通过边角边证明两个三角形全等． （2）根据旋转和第一小题的结论，可以得到，然后用等角对等边即可得到，又可以从前面的两个全等中得到，从而得到，那么和就是顶角互为对顶角的一组等腰三角形，所以就能得到底角相等，即，那么内错角相等，两直线平行即可证结论． （3）根据，，在同一条直线上，可以证明和全等，即可得到，那么就是中位线，则，加上第二小题结论就能得到四边形是平行四边形，那么，然后通过三角形外角的性质，可以证得，就能证和是一组子母型相似，然后根据相似比可得最终答案． 【详解】（1）解：将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）得，， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ，， 又， ， 即， ， （3）解：在和中， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的证明，平行线的判定以及利用相似三角形求线段长之比，解题时需要学会将多个小题的结论联系起来，把前面小题的结论用到后面小题的思路中，熟练寻找证明三角形全等或相似所需要的条件是解题的关键． 16．（24-25九年级上·全国·课后作业）【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题： 中，是的中点，是上一点，延长、交于点，，，求的长． 小白的想法是：过点作交于，再通过相似三角形的性质得到、的比，从而得出的长．请你按照小白的思路完成解答． 【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题： 中，平分交于，为边上一点，，、为上两点，，，为上一点，连接交、于、，，猜想并验证与的数量关系． 【答案】阅读理解，；解决问题，猜想：，理由见解析． 【分析】阅读理解，作，证明和，列比例式并根据，，可得结论； 解决问题，作，证明，得，设，则，再证明，得，代入可得结论． 【详解】解：阅读理解， 过点作交于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点，即， ∴， 同理得：， ∴， ∵， ∴； 解决问题， 猜想：，理由是： 如图，作交于点M， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形综合题，涉及到相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题． 17．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【答案】(1)为的理想点,理由见解析 (2)或 【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上． 【详解】（1）解：点是的“理想点”，理由如下： 是中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”； （2）①在上时，如图： 是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，， ， ， ， ②，， 有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图： 是的“理想点”， ， 又， ， ，即， ， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 18．（24-25九年级上·上海金山·期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】（1）由题意易得，则有，进而问题可求证； （2）由（1）及题意可知，然后可得，进而可证，最后问题可求证． 【详解】解：（1）∵DEBC， ∴， ∵， ∴， ∴DFBE； （2）∵AF＝2，EF＝4， ∴由（1）可知，，AE=6， ∵AB＝6， ∴， ∴， ∴， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△AEB． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 19．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可； （2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， AD是△ABC的中线， ， ，即：， ∴． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出是解题关键． 20．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4． 【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据相似三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后根据平行线分线段成比例定理即可得证； （3）先根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得的长，再根据相似三角形的判定可得，然后利用相似三角形的性质可求出的长，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】证明：（1）， ， ， ， 在和中，， ； （2）点为的中点， ， 由（1）已证：， ， 设，则，， ， （等腰三角形的三线合一）， ， 又， ， 即； （3）由（2）已证：， ， ， ， ，即， 解得， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 由（2）可知，设，则， ， 解得或（不符题意，舍去）， ， 则在中，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$