专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）（几何模型讲义）数学湘教版九年级上册

专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 相似三角形是初中数学几何中的重要模块，想要学好相似三角形，就必须掌握相似三角形的特殊模型，通过观察几何图形中的隐藏的模型，可以快速找到解决几何问题的技巧；相似三角形考查时一般会出现在压轴题中，难度比较大，其中常见的模型又以“母子型”应用较为广泛；本专题带我们深入理解模型的内涵，灵活运用相关结论可以显著提高我们做题的效率和正确率，同时也为其他模型的学习打下坚实的基础。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 4 13 相似三角形的比例性质源于欧几里得《几何原本》，但未明确形成“母子模型”的命名。其核心原理（如共角共边的三角形相似性）已蕴含其中。后来在直角三角形中，斜边上的高将原三角形分割为两个小直角三角形，三者互为相似形，由此衍生出‌射影定理‌，构成母子模型的数学内核。此时尚未出现“母子”的拟人化命名。 直到20世纪80年代现代教学归纳出‌形象化命名“母子模型”。‌后来该模型被纳入初中数学教材，作为相似三角形证明的核心模型之一。其核心价值在于简化比例证明，例如通过母子关系直接推导线段比例式。 （2025·浙江杭州·二模）如图，在等腰中，，D为中点，E在边上且． (1)求证：； (2)，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、相似三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度． （1）连接，由，D为中点，得，因为于点E，所以，证明，所以，则； （2）因为，，所以，由勾股定理得，由，求得． 【详解】（1）证明：连接， ，D为中点， ， 于点E， ， ， ， ， ； （2）解：，， ∴， ， ， ， ， ， 的长是． （2025·河南·模拟预测）我校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，发现直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形都相似，从而进行了深入研究． （一）拓展探究如图1，在中，，，垂足为， （1）兴趣小组的同学得出了三个结论：①，②，③．请选择其中一个进行证明． （2）如图2，为线段延长线上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）是直角三角形；理由见解析；（3） 【分析】（1）选①，先证明，再列出比例式，变形即可得； 选②，先证明，再列出比例式，变形即可得； 选③，先证明，再列出比例式，变形即可得； （2）先判定是直角三角形，再说理，先证明，再列出比例式，变形即可得，再证明，从而可得，再利用垂直的意义得出，从而可得，最后可判断是直角三角形； （3）先写出结论线段的长为，再说明理由，先证明，再利用垂直的意义得出，从而可求得，再证明，列出比例式和，从而可得，求得，从而可得是定值，且是定值，再得出当时，取得最小值， 此时与重合，求得，从而可利用勾股定理求得． 【详解】解：（1）选①证明：，， ， ， ， ， ； 选②证明：，， ， ， ， ， ； 选③证明：，， ， ， ， ， ， ； （2）是直角三角形；理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形； （3）线段的长为．理由如下： 是直角三角形，，，，如图，过作交的延长线于， 过作交于，过作交于， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 解得：， 是定值，且是定值， 在直线上运动， 当时，取得最小值， 此时与重合， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 故当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形有关的动点问题，解题关键是找准相似三角形求出相关线段． “母子型”模型（共边共角模型）：（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 母子型相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 例1（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在中，，，，点在边上，且，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形，勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意求得，，作高于点，证得，根据相似三角形的性质可得，，由图可得，再由勾股定理即可解得． 【详解】解：中，，，， ， , ， 如图，作高于点， ，， ，， ， ，， 即，， ， ． 故答案为：． 例2（24-25八年级下·山东·期末）已知，如图，中， (1)求证：； (2)为线段上一点，，， ①求证： ②求． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②6 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）证明得到，即可证明； （2）①先计算得到，证明，等量代换即可证明； ②根据求出，由计算即可． 【详解】（1）证明：，． ， ， 即； （2）①证明：，， ， ， 又， 由（1）得 ②解：由（1）得， 由①得 例3（24-25九年级下·陕西安康·阶段练习）如图，在中，，D是边上一点，，若，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理等知识，先根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质得出，然后代入数值求解即可． 【详解】解∶∵， ， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选∶D． 例4（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）已知：如图，中，D为边上的点，连接，，，当时，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．证明，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故选：B 例5（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，D是的边上的点，且，，，则的长等于 ． 【答案】9 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质．证明，则，求出，即可得到的长． 【详解】解：∵，， ∴ ∴, ∵，， ∴, ∴， ∴； 故答案为：9． 例6（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，点D、E分别在、上，，如果，的面积为9，四边形的面积为16，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角分别相等的两三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，相似三角形面积的比等于相似比的平方．由，，根据相似三角形的判定得到，根据相似的性质得，然后把三角形面积代入计算即可． 【详解】解：∵， 而， ∴， ∴， ∵的面积为9，四边形的面积为16， ∴的面积， ∴，而， ∴． 故答案为． 例7（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，中，于点D，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据于点D，得出，，结合勾股定理算出，再证明，然后把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵于点D， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 例8（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，，，． (1)与相似吗？请说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （）通过，，，可得，然后证明即可； （）由可得，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：，理由： ∵，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 例9（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，点分别是的边上的点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由补角性质可得，进而即可求证； （）由得，进而根据相似三角形的性质解答即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ， ∴， ∴． 例10（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质可证、，根据平行线的性质可证，根据垂直平的性质可证，根据有两个角对应相等的三角形的两相似，可证，根据相似三角形的性质可证结论成立； （2）设，则，，利用勾股定理可得，因为，所以可得，所以可得，根据，可得关于的方程，解方程求出的值，根据矩形的性质即可求出的长； （3）连接，分别延长，交于点，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证结论成立． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 即； （2）解：，点为的中点， ． ， ， 设，则，， ， 由（1）知， ，即， ， ，且， ， 解得：， ， 的长是； （3）证明：如图，连接，分别延长，交于点， ∵， ，． 在和中，， ， ， ，是的中点， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据矩形的性质找到相等的角和边，从而证明三角形相似或全等，利用相似三角形或全等三角形的性质证明结论成立． 1．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，中，作交边于点D，使，若，，则的长为（　　） A． B．5 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先根据两组角分别对应相等的三角形是相似三角形，故，再代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C 2．（2025·贵州遵义·二模）如图，已知且．若，则值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在中，，和分别为的高和角平分线，和相交于点，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决此题的关键．设，，由勾股定理得出，判定，推出，由和分别为的高和角平分线推出，判定，推出，进而即可得解． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵和分别为的高和角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（2025·上海奉贤·三模）从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，那么的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定和等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意可得，先求出，再根据即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．（2025·安徽淮北·三模）如图，在中，点D在边上，， 平分，分别交于点E，F．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质．证明，可得，，再证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得：， ∵ 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B 6．（2025·四川凉山·模拟预测）如图，已知是黄金三角形（顶角为的等腰三角形），，为上一点，将沿折叠，使得点落在延长线上的点处，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解一元二次方程方程．设，由折叠的性质知，结合三角形内角和定理，证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：设， ∵，， ∴， 由折叠的性质知， ∴，，， ∴， ∴，则， ∵，， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∴， 故答案为：． 7．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，中，，是的平分线交于D，若，则的值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形和相似三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，关键在于巧妙构造辅助线以及利用三角形的性质进行推导． 通过在上截取，利用角平分线性质和全等三角形判定得到一些边和角的关系，再结合已知条件推出三角形相似，从而求解的值． 【详解】在上截取，连接．    ∵是的平分线， ∴． ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴，． 又∵，， ∴， ∴． ∴． ∵，且． ∴． 又∵，即， 解得，． ∴，． 在和中， ，， ∴． 设，． ∵，， ∴，． ， ∴，． 由可得，即， 设，则，即． 解得；． ∵（，为线段长度）， ∴，即． 故答案为：． 8．（2025·重庆·三模）如图，在中，，是斜边边上的中线，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，再由勾股定理求出的长，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，是斜边边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级下·上海宝山·阶段练习）如图，在中，点是的黄金分割点，如果，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据黄金分割的定义得，然后利用等量代换可得，再结合可得，最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：点是的黄金分割点， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在中，，点是线段的黄金分割点（），若，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，作的角平分线交于D，根据等边对等角和三角形内角和定理得到，则由角平分线的定义得到，据此可证明，，则，证明，可推出，则点是线段的黄金分割点，可得． 【详解】解：如图所示，作的角平分线交于D， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴ 又∵， ∴， ∴，即， ∴点是线段的黄金分割点， ∴， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，过点B作，使边交于点D． (1)求证：． (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，而，则，求得． 【详解】（1）证明：在和中，， ． （2）解：， ， ， 即， ， ． 12．（2025·安徽安庆·三模）如图，中，边上的中线与的平分线交于点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（）根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，再利用三角形外角性质可证明，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （）过点作交于点，如图，利用平行线分线段成比例定理， 由得到，由得到，则，所以； （）先证明，得到，则利用 ，，，得到，则，由于，所以，然后把与相加得到，然后解方程即可． 【详解】（1）证明： 如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：过点作交于点，如图， ∵为中线， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ，即， ∵， ∴，即， 得， 解得． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边对等角，角平分线定义，三角形的外角性质，平行线分线段成比例，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 13．（2019九年级·全国·专题练习）如图，中，，点为上一点，且．交于，交的延长线于． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】(1)见解析;(2). 【分析】(1)根据已知条件得到，，所以，根据余角的性质得到，得到∽，根据相似三角形的性质得到，等量代换即可得到结论; (2)根据得到,根据勾股定理得到,根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结果. 【详解】（1）∵，∴． 又∵，，∴． 而，，∴，∴，∴． 又，，∴∽， ∴，∴，∴． （2）由（1）可知，而，， ∴，∴， ∴在中根据勾股定理可知． ∵∽，∴，． 【点睛】本题是考查相似三角形的判定定理和性质，能够熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键 14．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图1，在中，，D在上，，，垂足为点H，交于点E． (1)求证：； (2)如图2，取的中点F，连接交于点G，若． （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）5 【分析】（1）得到和都为直角三角形，然后证明； （2）（ⅰ）如图，过A作交的延长线于点M，则，证明出，得到，求出，然后证明出，得到； （ⅱ）由（ⅰ）知，勾股定理求出，证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴和都为直角三角形， 在和中， ， ∴； （2）（ⅰ）如图，过A作交CD的延长线于点M，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （ⅱ）由（ⅰ）知， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 15．（2025·河南·模拟预测）我校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，发现直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形都相似，从而进行了深入研究． （一）拓展探究如图1，在中，，，垂足为， （1）兴趣小组的同学得出了三个结论：①，②，③．请选择其中一个进行证明． （2）如图2，为线段延长线上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）是直角三角形；理由见解析；（3） 【分析】（1）选①，先证明，再列出比例式，变形即可得； 选②，先证明，再列出比例式，变形即可得； 选③，先证明，再列出比例式，变形即可得； （2）先判定是直角三角形，再说理，先证明，再列出比例式，变形即可得，再证明，从而可得，再利用垂直的意义得出，从而可得，最后可判断是直角三角形； （3）先写出结论线段的长为，再说明理由，先证明，再利用垂直的意义得出，从而可求得，再证明，列出比例式和，从而可得，求得，从而可得是定值，且是定值，再得出当时，取得最小值， 此时与重合，求得，从而可利用勾股定理求得． 【详解】解：（1）选①证明：，， ， ， ， ， ； 选②证明：，， ， ， ， ， ； 选③证明：，， ， ， ， ， ， ； （2）是直角三角形；理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形； （3）线段的长为．理由如下： 是直角三角形，，，，如图，过作交的延长线于， 过作交于，过作交于， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 解得：， 是定值，且是定值， 在直线上运动， 当时，取得最小值， 此时与重合， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 故当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形有关的动点问题，解题关键是找准相似三角形求出相关线段． 16．（2025·湖北武汉·模拟预测）（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上，若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在平行四边形中，E为上的一点，F为延长线上一点，且．若，，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G，若，，求的长． 【答案】（1）见详解；（2）；（3）． 【分析】（1）证明，得到，得出； （2）由平行四边形的性质得出，证明，得出，求出，进而求出； （3）连接，证明，得出，即，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ； （2）解：∵四边形是平行四边形， ， 又 ∵， ， 又 ∵， ， ， ， ； （3）解：连接， ∵四边形为菱形， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，负值舍去， ， ， ， ∴为直角三角形，， ， ∴在中根据勾股定理得：， ， ， ， ， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 17．（2025·湖北孝感·二模）【基础巩固】 （1）如图1，在中，D为上一点，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，，若，，求的长； 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形中，E为上一点，F为内一点，，，连接，．若，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，作辅助线构造相似三角形是解题关键． （1）根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）根据平行四边形的性质，证明，求出，即可得出的长； （3）先证明四边形为平行四边形，再结合菱形的性质，证明，得到，即可求解． 【详解】解：（1）证明：在和中， ∵，， ∴． （2）解：∵是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：．理由如下： 如图，延长与的延长线交于点G， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 在菱形中，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（2025·安徽蚌埠·三模）在四边形中， ，，对角线交于点O，E是边上一点，连接交于点F，． (1)求证：①四边形是矩形； (2)若，求的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质、一元二次方程的求解等知识，熟练掌握矩形的性质和判定、证明三角形相似是解题的关键； （1）①根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； ②根据矩形的性质和平行线分线段成比例定理可得，，进而可得，于是可得结论； （2）根据题意可得，根据矩形的性质可得，设，证明，利用相似三角形的性质列方程求出x，进一步计算即可求出结果． 【详解】（1）证明：①∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形为矩形． ②∵， ∴ ∵四边形为矩形， ∴， ， ∴ ， 即 （2）解：∴， ∴． ∵四边形为矩形， ∴． 设． ∵， ∴ ∴ 即 解得 (不合题意，舍去)， 19．（2025·河南漯河·二模）综合与实践 在学习“探索三角形相似的条件”的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“自相似点”进行研究． 定义：点是内部或边上的点（顶点除外），在中，如果至少有一个三角形与相似，那么称点是的“自相似点”． 例：如图，点在内部，，则，故点为的自相似点． 【推理判断】 （1）如图1，在中，，点是上一点且在的垂直平分线上，则点____________（填“是”或“不是”）的自相似点． 【初步运用】 （2）如图2，若为钝角三角形，点是的自相似点，且点在上，．求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，为锐角三角形，若点是的自相似点，且相似三角形中，点与点对应，点在的平分线上．若，请直接写出的长． 【答案】（1）是；（2）见解析；（3）或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，正确理解题意是解题的关键． （1）由等边对等角和三角形内角和定理得到，由线段垂直平分线的性质得到，则，则可证明，据此可证明则，点是的自相似点； （2）根据题意可得，则，据此可证明结论； （3）分和两种情况，通过证明求出的长，进而利用相似三角形的性质列出比例式即可求出答案． 【详解】解（1）∵， ∴， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点是的自相似点； （2）∵为钝角三角形，点是的自相似点，且点在上，， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）； （3）∵点E是的自相似点，点A与点B是对应点， ∴当时，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时，则， ∴，即， ∴； 综上所述，的长为或． 20．（2025·江西景德镇·一模）马超同学在上一期探究矩形中的动点问题时，意识到“子母型”相似是一种有效的解题手段，于是，他继续针对相似问题中的“子母型”问题展开综合探究！ (1)如图①，中，，；分别为边、上的点， ①若，且点是的中点，则______； ②若点与点重合，且，则______； (2)如图②，点分别为等腰直角三角形的两直角边上的动点，直角边且始终满足，以点为圆心，的长为半径画弧并交线段于点，连接；若四边形是菱形，则的长是多少？ (3)当图②中的点运动到如图③所示位置时，取的中点，连接，若满足，则此时的长是多少？ 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①证明，推出，即可求解；②同理①即可解答； （2）根据等腰直角三角形的性质结合菱形的性质可得，推出是等腰直角三角形，设，则，在根据，建立方程求解即可； （3）根据题意得，，设，则， ，，证明，推出，进而得到，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴， ∵，且点是的中点， ∴， ∴， ∴； ②同理①得， ∴， ∵，点与点重合， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据题意得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：根据题意得， ∵点是的中点， ∴， 设，则， ，， ∴， ∵，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解一元二次方程，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 21．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）设一个钝角三角形的两个锐角为与，如果满足条件，那么我们称这样的三角形为“倍余子母形”． (1)若是“倍余子母形”，．按所给条件填写角的度数． ①当时， ______； ②当时， ______； (2)如图1，在中，，．若是的平分线，则易证是“倍余子母形”，试问在边上是否存在点（异于点），使得也是“倍余子母形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． (3)如图2，在四边形中，，过点作交边于点，，连接．当是“倍余子母形”时，求的长． 【答案】(1)①；②或 (2)存在， (3) 【分析】（1）①根据材料提示的计算方法分类讨论“或”计算，结合实际情况取值，即可求解；②根据材料提示，分类讨论“或”，即可求解； （2）证明，可得，由此即可求解； （3）证明可得，，证明可得，，设，由此列式即可求解． 【详解】（1）解：∵是“倍余子母形”， ， ∴①当时， 第一种情况，，即， 解得，； 第二种情况，，即， 解得，，不符合题意，舍去； 故答案为：； ②当时， 第一种情况，，即， 解得，； 第二种情况，，即， 解得，； 故答案为：或； （2）解：存在，，理由如下， 如图所示，假设上有一点，满足是“倍余子母形”， ∵是“倍余子母形”， ∴只有当， ∵， ∴，且， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴存在，； （3）解：在四边形中， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当是“倍余子母形”时， ∵，但， ∴只有， ∴，且， ∴， ∴，即， 设， ∴， 解得，或（不符合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，新定义，角度的和差计算等知识的综合，理解材料中“倍余子母形”的含义，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 相似三角形是初中数学几何中的重要模块，想要学好相似三角形，就必须掌握相似三角形的特殊模型，通过观察几何图形中的隐藏的模型，可以快速找到解决几何问题的技巧；相似三角形考查时一般会出现在压轴题中，难度比较大，其中常见的模型又以“母子型”应用较为广泛；本专题带我们深入理解模型的内涵，灵活运用相关结论可以显著提高我们做题的效率和正确率，同时也为其他模型的学习打下坚实的基础。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 4 13 相似三角形的比例性质源于欧几里得《几何原本》，但未明确形成“母子模型”的命名。其核心原理（如共角共边的三角形相似性）已蕴含其中。后来在直角三角形中，斜边上的高将原三角形分割为两个小直角三角形，三者互为相似形，由此衍生出‌射影定理‌，构成母子模型的数学内核。此时尚未出现“母子”的拟人化命名。 直到20世纪80年代现代教学归纳出‌形象化命名“母子模型”。‌后来该模型被纳入初中数学教材，作为相似三角形证明的核心模型之一。其核心价值在于简化比例证明，例如通过母子关系直接推导线段比例式。 （2025·浙江杭州·二模）如图，在等腰中，，D为中点，E在边上且． (1)求证：； (2)，，求的长． （2025·河南·模拟预测）我校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，发现直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形都相似，从而进行了深入研究． （一）拓展探究如图1，在中，，，垂足为， （1）兴趣小组的同学得出了三个结论：①，②，③．请选择其中一个进行证明． （2）如图2，为线段延长线上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，请直接写出线段的长． “母子型”模型（共边共角模型）：（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 母子型相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 例1（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在中，，，，点在边上，且，求的长． 例2（24-25八年级下·山东·期末）已知，如图，中， (1)求证：； (2)为线段上一点，，， ①求证： ②求． 例3（24-25九年级下·陕西安康·阶段练习）如图，在中，，D是边上一点，，若，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D． 例4（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）已知：如图，中，D为边上的点，连接，，，当时，则的长度为（    ） A． B． C． D． 例5（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，D是的边上的点，且，，，则的长等于 ． 例6（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，点D、E分别在、上，，如果，的面积为9，四边形的面积为16，则的值为 ． 例7（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，中，于点D，若，则 ． 例8（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，，，． (1)与相似吗？请说明理由； (2)若，求的长． 例9（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，点分别是的边上的点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 例10（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，求证：． 1．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，中，作交边于点D，使，若，，则的长为（　　） A． B．5 C． D．6 2．（2025·贵州遵义·二模）如图，已知且．若，则值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在中，，和分别为的高和角平分线，和相交于点，已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·上海奉贤·三模）从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，那么的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·安徽淮北·三模）如图，在中，点D在边上，， 平分，分别交于点E，F．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 6．（2025·四川凉山·模拟预测）如图，已知是黄金三角形（顶角为的等腰三角形），，为上一点，将沿折叠，使得点落在延长线上的点处，若，则的长为 ． 7．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，中，，是的平分线交于D，若，则的值是 ．    8．（2025·重庆·三模）如图，在中，，是斜边边上的中线，且，若，则 ． 9．（24-25九年级下·上海宝山·阶段练习）如图，在中，点是的黄金分割点，如果，，则 ． 10．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在中，，点是线段的黄金分割点（），若，则的长为 （结果保留根号）． 11．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，过点B作，使边交于点D． (1)求证：． (2)若，求线段的长． 12．（2025·安徽安庆·三模）如图，中，边上的中线与的平分线交于点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求． 13．（2019九年级·全国·专题练习）如图，中，，点为上一点，且．交于，交的延长线于． （1）求证：； （2）若，，求． 14．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图1，在中，，D在上，，，垂足为点H，交于点E． (1)求证：； (2)如图2，取的中点F，连接交于点G，若． （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求的长． 15．（2025·河南·模拟预测）我校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，发现直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形都相似，从而进行了深入研究． （一）拓展探究如图1，在中，，，垂足为， （1）兴趣小组的同学得出了三个结论：①，②，③．请选择其中一个进行证明． （2）如图2，为线段延长线上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，请直接写出线段的长． 16．（2025·湖北武汉·模拟预测）（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上，若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在平行四边形中，E为上的一点，F为延长线上一点，且．若，，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G，若，，求的长． 17．（2025·湖北孝感·二模）【基础巩固】 （1）如图1，在中，D为上一点，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，，若，，求的长； 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形中，E为上一点，F为内一点，，，连接，．若，试判断与的数量关系，并说明理由． 18．（2025·安徽蚌埠·三模）在四边形中， ，，对角线交于点O，E是边上一点，连接交于点F，． (1)求证：①四边形是矩形； (2)若，求的值． 19．（2025·河南漯河·二模）综合与实践 在学习“探索三角形相似的条件”的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“自相似点”进行研究． 定义：点是内部或边上的点（顶点除外），在中，如果至少有一个三角形与相似，那么称点是的“自相似点”． 例：如图，点在内部，，则，故点为的自相似点． 【推理判断】 （1）如图1，在中，，点是上一点且在的垂直平分线上，则点____________（填“是”或“不是”）的自相似点． 【初步运用】 （2）如图2，若为钝角三角形，点是的自相似点，且点在上，．求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，为锐角三角形，若点是的自相似点，且相似三角形中，点与点对应，点在的平分线上．若，请直接写出的长． 20．（2025·江西景德镇·一模）马超同学在上一期探究矩形中的动点问题时，意识到“子母型”相似是一种有效的解题手段，于是，他继续针对相似问题中的“子母型”问题展开综合探究！ (1)如图①，中，，；分别为边、上的点， ①若，且点是的中点，则______； ②若点与点重合，且，则______； (2)如图②，点分别为等腰直角三角形的两直角边上的动点，直角边且始终满足，以点为圆心，的长为半径画弧并交线段于点，连接；若四边形是菱形，则的长是多少？ (3)当图②中的点运动到如图③所示位置时，取的中点，连接，若满足，则此时的长是多少？ 21．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）设一个钝角三角形的两个锐角为与，如果满足条件，那么我们称这样的三角形为“倍余子母形”． (1)若是“倍余子母形”，．按所给条件填写角的度数． ①当时， ______； ②当时， ______； (2)如图1，在中，，．若是的平分线，则易证是“倍余子母形”，试问在边上是否存在点（异于点），使得也是“倍余子母形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． (3)如图2，在四边形中，，过点作交边于点，，连接．当是“倍余子母形”时，求的长． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$