1.1认识三角形 第2课时教案2025-2026学年 浙教版八年级 数学上册

配套初中数学浙教版（新课标） 第1章 三角形的初步认识 1.1认识三角形(第2课时）   一、教材分析 《认识三角形(第2课时）》是浙教版初中数学八年级上册第一章《三角形的初步认识》第一节的内容，本节课承接三角形的基本概念，重点讲解三角形的角平分线、中线和高线的概念、作法及性质，是后续学习三角形内心、重心等知识的基础，也为解决三角形角度、面积计算等问题提供工具．   二、教学目标 1．理解三角形的角平分线、中线、高线的概念． 2．会利用量角器、三角尺等工具画三角形的角平分线、中线和高线，进一步提升学生的直观感知能力． 3．会利用三角形的角平分线、中线和高线的概念，解决有关角度、面积计算等问题，强化学生的应用能力． 4．通过观察和操作，培养学生比较、概括、判断、推理的能力，发展学生的空间想象．   三、教学重难点 重点：理解三角形角平分线、中线、高线的概念，掌握其作法及符号语言表达． 难点：三角形高线的画法及不同类型三角形高线位置的理解．   四、教学过程 复习回顾 1．角的平分线的定义： 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 2．线段中点的定义： 把一条线段分成两条相等的线段的点． 3．垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线． 师生活动：教师提问角的平分线、线段中点、垂线的定义，引导学生回忆相关知识；学生思考并回答，师生共同核对答案． 设计意图：通过复习旧知，为学习三角形的角平分线、中线和高线奠定基础，实现知识的自然衔接，帮助学生快速进入新课学习状态． · 探究新知 活动一：探究三角形的角平分线 探究：如图，在一张纸上任意画出△ABC，将它的一个角(∠BAC)对折，使角的两边AC与AB重合，然后把纸展开，画出折痕AD．问∠CAD与∠BAD之间有怎样的大小关系？ ∵折叠时，∠CAD与∠BAD重合 ∴∠CAD=∠BAD. 折痕AD就是内角∠BAC的角平分线. 概念： 1.定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 如图，的平分线交BC于点D，线段AD就是的一条角平分线． 2.符号语言：因为线段AD是的一条角平分线， 所以或． 注意：三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线． 任意剪一个三角形，用折叠的方法(如图)，作出这个三角形的三条角平分线．你发现了什么？(请与你的同伴交流) 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点（称为内心）． 师生活动：教师结合图形讲解角平分线定义及符号语言，演示用量角器作图，引导学生观察三条角平分线的交点位置；学生通过作图和折叠操作，发现三条角平分线交于三角形内部一点． 设计意图：通过直观操作和符号表达，帮助学生理解角平分线的概念与性质，培养观察与归纳能力． 活动二：探究三角形的中线 操作：1.每人拿出一个三角形纸片，比如这个△ABC .大家先找到边BC，尝试用尺子把BC分成两段相等的部分，即找BC的中点D. 2.用铅笔连接顶点A和刚找到的中点D，得到线段AD. 3.观察一下，这条线段AD在三角形里有什么特别的？ 连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点. 概念： 1.定义：连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫做三角形的中线． 如图，D为BC的中点，线段AD就是的BC边上的中线． 2．符号语言：因为线段AD是的BC边上的中线，所以或． 注意：三角形的中线是线段 任意剪一个三角形，用折叠的方法(如图)，找出三条边的中点，作出三条中线．你发现了什么？(请与你的同伴交流) 三角形的三条中线都在三角形的内部，并且三条中线交于三角形内一点（称为重心）． 师生活动：教师以中点定义引出中线概念，强调中线等分对边的性质，演示找中点的方法；学生通过折叠三角形找中点并作中线，观察到三条中线交于内部一点． 设计意图：结合线段中点知识，让学生理解中线与面积的关系，为后续面积计算铺垫． 活动三：探究三角形的高线 探究：如图，在△ABC中，点D是BC边上的一个动点，连接AD，点D从点B到点C的运动过程中，回答下列问题： 1.AD的长度、AD与BC的夹角如何变化？ AD的长度先变短再变长， AD与BC的夹角先变大再变小. 2.在点D的运动过程中，AD和BC有怎样的特殊位置关系？ 当点D运动到点F处时，AD最短，AD与BC夹角最大，此时AD与BC垂直，即AD⊥BC. 概念： 1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线． 如图，于点D，AD就是的BC边上的高线． 2.符号语言：因为线段AD是的BC边上的高线，所以或于点D． 做一做 （1）用三角尺分别作出锐角三角形ABC，直角三角形DEF和钝角三角形PQR的各边上的高线． 如图： 　　（2）观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，你发现高线的位置与三角形的类型有什么关系？ 　　锐角三角形的高线的交点在三角形的内部；直角三角形的高线的交点为直角顶点；钝角三角形的高线的交点在三角形的外部． 师生活动：教师通过直角三角尺演示高线画法，区分锐角、直角、钝角三角形高线的位置差异；学生动手作图，对比不同三角形中高线交点的位置，总结规律． 设计意图：突破高线画法及位置的难点，通过分类讨论培养学生的空间观念和分类思想． · 应用新知 例1．下列图形中，线段BE是的高线的是(　 ) 分析：根据三角形的高线的定义知，过点B作AC的垂线，垂足为E，此时线段BE是的高线. 总结：判断一条线段是不是三角形的高线的方法 一看顶点：三角形的高线一定过顶点. 二看垂足：三角形的高线的垂足在顶点的对边或对边延长线上. 故选：D． 例2． 如图，在中，AD是的高线，AE是的角平分线．已知，，求的大小． 分析：依据角平分线性质得到的度数，利用三角形内角和是180°算出，最后通过角的差求出.这些性质和定理是解决三角形角度问题的重要工具，在本题中相互配合，逐步推导得出结果. 解：因为AE是的角平分线，且， 所以． 因为AD是的高线，可得． 根据“三角形三个内角的和等于180°”， 知， 故有． 所以． 师生活动：教师讲解例题，引导学生利用角平分线、高线的性质进行角度计算；学生通过分析例题步骤，掌握结合三角形内角和定理解决问题的方法． 设计意图：强化知识的应用能力，让学生学会整合多个定理解决实际问题． · 课堂练习 1．如图，已知． （1）用刻度尺画BC边上的中线． （2）用量角器画以点C为一个端点的的角平分线． 解：（1）如图所示，AD即为所求． 　（2）如图所示，CE即为所求． 　　 　2．如图，在中，AD是BC边上的中线． 　　（1），有没有共同的高线？如果有，作出这条高线． 　　（2）与的面积相等吗？请说明理由． 　　 　　解：（1）因为，有公共顶点A，过点A作，则，所以AE是，共同的高线． 　　如图所示：AE即为所求． 　　 　　（2）相等，理由如下： 　　因为AD是BC边上的中线，所以， 　　所以， 　　即：与的面积相等． 3．如图，在 中，，，BD平分交AC于点D，，交BC于点E，则 的度数是( ) 　　A． B． 　　 C． 　　　　　D． 　　解：因为在 中， ，， 　　所以． 　　因为BD平分，所以． 　　因为， 　　所以 ． 故选：B． 4．如图，在中，CD为的高线，AE为的角平分线，CD交AE于点G，， ，求的大小． 解： 因为， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 因为AE为的角平分线，所以， 所以． 5．如图，在中，，AD为BC边上的中线． （1） （填“＞”“＜”或“=”）； （2）若的周长比的周长多4，且，求AB，AC的长． 解：（1）如图，过点A作于点M ． 因为AD为BC边上的中线，所以． 因为， 所以． （2） 因为，所以， 即①.又②， ，得，解得， ，得，解得． 6．三角形的一条中线分得的两个三角形的面积及周长关系 面积：如本题图所示，AD为的中线，=（等底同高）. 周长：如本题图所示，AD为的中线，. 师生活动：教师布置画图、计算类题目，如作中线和角平分线、求角度及面积关系等，巡视指导学生规范作图与解题；学生独立完成练习，同桌交流思路，教师针对共性问题集中讲解． 设计意图：通过针对性练习巩固三线的画法与性质应用，强化角度计算和面积分析能力，及时查漏补缺． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1．本节课你学到了什么？ 2．三角形的角平分线、中线、高线的定义分别是什么？它们的本质区别是什么？ 3．作图时，画高线需要注意什么？与角平分线、中线的画法有何不同？ 设计意图：通过师生共同梳理知识框架，帮助学生构建完整的认知体系，强化对三线概念、性质及应用的理解． 学科网（北京）股份有限公司 $$