精品解析：贵州省黔东南苗族侗族自治州从江县东朗中学2024-2025学年八年级下学期6月月考数学试题

从江县东朗中学2024-2025学年度第二学期6月素养评估 八年级数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的三边长的是（ ） A. 2，3，4 B. ，， C. 9，12，15 D. 7，20，24 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是平行四边形，添加下列一个条件不能判定四边形为矩形的是（　　） A. B. C. D. 5. 把的图像沿轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是（ ） A B. C. D. 6. 参加歌唱比赛的12位同学成绩各不相同，按成绩取前6位进入决赛，小颖要知道自己是否进入决赛，只需要知道这12位同学成绩的（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 7. 一次函数的图象经过点，则下列说法不正确的是（ ） A. y随x的增大而减小 B. 一定经过点 C. 图象不会经过原点 D. 图象不过第三象限 8. 如图，正方形ABCD的边长为1，以A点为圆心，以AC长为半径画圆弧，交数轴于点E，则E点对应的数为（ ） A. B. C. D. 1 9. 学习完“一次函数”，王老师出了一道题：已知，且，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，E为BC边上一点，若，，，则OE的长为（ ） A. B. 4 C. D. 3 11. 为了从甲、乙两名同学中选出一名同学代表班级参加学校的投篮比赛，对甲、乙两人进行了5次投篮试投比赛，试投每人每次投球10个，两人5次试投的成绩统计图如图所示．以下说法不正确的是（　　） A. 甲同学5次试投进球个数的众数是8 B. 甲、乙两名同学投篮成绩甲较稳定 C. 甲、乙同学5次试投进球个数的平均数相同 D. 乙同学5次试投进球个数中位数是8 12. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②EG＝EF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 14. 在平面直角坐标系中，点P（，）到原点的距离是 _____． 15. 如图，矩形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的周长是______． 16. 如图，点A的坐标为，正方形的顶点C、D都在y轴上，一次函数的图象经过点，且与正方形恰有2个交点，则k的取值范围是_____ ． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 已知正比例函数图像经过点，求： （1）这个函数的解析式； （2）判断点是否在这个函数图像上； （3）图像上两点，，如果，比较，大小． 19. 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE∥CF，且分别交对角线BD于点E，F．求证：AE＝CF． 20. 如图，用两根木棒、加固小树，木棒、与小树在同一平面内，且小树与地面垂直，，． （1）若，求的长； （2）若，求的长． 21. 如图，在中的垂直平分线分别交于点D，E，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 如图所示，点，的坐标分别为，，直线与坐标轴交于 ，两点． （1）求直线：与交点的坐标． （2）直接写出不等式解集． （3）求四边形的面积． 23. 为增强学生的安全意识，某校进行了安全知识宣传教育活动，为了解活动效果，并组织了测试．现从该校七、八年级学生中分别任意抽取了10名学生的测试成绩（测试满分为100分，七、八年级的学生总人数分别为240人和300人）如下： 七年级：96，85，90，86，93，92，95，81，75，81； 八年级：81，80，82，85，90，88，95，86，95，92． 经分析、整理获得如下不完整的数据分析表． 平均数 中位数 众数 方差 七年级 88 a 八年级 b 95 （1）a的值为______，b的值为______； （2）若成绩为85分（含85分）以上为良好，请估计该校七、八年级成绩为良好的学生人数； （3）根据以上信息，判断哪个年级的成绩较好，并说明理由．（仅需要从一个角度说明判断的合理性） 24. “戴口罩、勤洗手、常通风”已成为当下人们的生活习惯，某校为做好校园防护工作，计划采购一批洗手液．已知某超市推出以下两种优惠方案： 方案一：一律打八折． 方案二：购买量不超过100瓶时，按原价销售；超过100瓶时．超过部分打六折． 设学校计划从该超市购买x瓶洗手液，方案一的费用为y1元，方案二的费用为y2元，y1，y2关于x的函数图象如图所示． （1）该洗手液的原价为______元/瓶； （2）分别求出y1，y2关于x的函数解析式； （3）若该校计划购买220瓶洗手液，则选择哪种方案更省钱？请说明理由． 25. 【探究问题】 （1）如图，在正方形中，点E是边延长线上一点，连接，点F是上的一个动点，与边相交于点G．若，试猜想与的数量关系，并说明理由； 【拓展迁移】 （2）如图2，正方形中，点E、F分别是上的点，且，求证：； （3）在（2）的条件下，若正方形的边长为6，点E是边的中点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 从江县东朗中学2024-2025学年度第二学期6月素养评估 八年级数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，故A错误； B．，不是最简二次根式，故B错误； C．，不是最简二次根式，故C错误； D．是最简二次根式，故D正确． 故选：D． 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的三边长的是（ ） A. 2，3，4 B. ，， C. 9，12，15 D. 7，20，24 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．由勾股定理的逆定理，只要验证两较短边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A．∵，∴以2，3，4为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵，∴以，，为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵，∴以9，12，15为边能构成直角三角形，故本选项符合题意； D．∵，∴以7，20，24为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用二次根式的计算法则，逐个答案进行计算，即可得到正确答案． 【详解】A，故正确； B，故错误； C和不是同类二次根式，无法进行加减运算，故错误； D，故错误； 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握知识并在注意在计算过程中需注意的问题，仔细计算是本题的解题关键． 4. 如图，四边形是平行四边形，添加下列一个条件不能判定四边形为矩形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定，熟记矩形的判定方法是解本题的关键．根据给定的条件加上平行四边形条件，对每个选项进行分析证明，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，补充， ∴四边形是矩形，故A不符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，补充， ∴， ∴四边形是矩形，故B不符合题意； ∵四边形是平行四边形，补充， ∴四边形是矩形，故C不符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴不能判定四边形是矩形，故D符合题意； 故选：D． 5. 把的图像沿轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可． 【详解】将一次函数y=2x+1的图象沿y轴向下平移5个单位， 那么平移后所得图象的函数解析式为：y=2x+1-5， 化简得，y=2x-4． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练记忆函数平移规律是解题关键． 6. 参加歌唱比赛的12位同学成绩各不相同，按成绩取前6位进入决赛，小颖要知道自己是否进入决赛，只需要知道这12位同学成绩的（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数的定义判定即可． 【详解】解：参加歌唱比赛的12位同学成绩各不相同，按成绩取前6位进入决赛，小颖要知道自己是否进入决赛，只需要知道这12位同学成绩的中位数． 故选：A． 【点睛】本题主要考查数据集中趋势中的平均数、众数、中位数以及方差在实际问题中的正确应用． 7. 一次函数的图象经过点，则下列说法不正确的是（ ） A. y随x的增大而减小 B. 一定经过点 C. 图象不会经过原点 D. 图象不过第三象限 【答案】B 【解析】 【分析】先把点代入一次函数求出解析式，然后再根据一次函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】解：把点代入一次函数， 得，解得， ∴一次函数的解析式为， 且y随x增大而减小，故A正确，不符合题意， 当时，， ∴图象不经过点，故B不正确，符合题意， 当时，，图象不经过原点，故C正确，不符合题意， ∵，， ∴图象经过第一、二、四象限，故D正确，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 8. 如图，正方形ABCD的边长为1，以A点为圆心，以AC长为半径画圆弧，交数轴于点E，则E点对应的数为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AC的长，得到AE的长度，进而得到点E表示的数． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=， ∴AE=AC=， ∴E点对应的数为：-1， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，实数与数轴，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 9. 学习完“一次函数”，王老师出了一道题：已知，且，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据，且判断出k的正负，然后根据一次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴k<0， ∴一次函数图象经过一二四象限． 故先D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数y=kx+b（k为常数，k≠0），当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小．当b＞0，图象与y轴的正半轴相交，当b<0，图象与y轴的负半轴相交，当b=0，图象经过原点． 10. 如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，E为BC边上一点，若，，，则OE的长为（ ） A. B. 4 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】过点O作OF⊥BC于点F，根据矩形的性质可得BD=10，再由勾股定理可得CD=6，再证得△BFO∽△BCD，可得OF=3，BF=4，从而得到EF=1，然后由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作OF⊥BC于点F， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=OC=OD=OA=5， ∠BCD=90°， ∴BD=10， ∵BC=8， ∴， ∵OF⊥BC， ∴∠BFO=90°， ∴∠BFO=∠BCD=90°， ∴OF∥CD， ∴△BFO∽△BCD， ∴， ∴OF=3，BF=4， ∴CF=4， ∵CE=3， ∴EF= 1， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 11. 为了从甲、乙两名同学中选出一名同学代表班级参加学校的投篮比赛，对甲、乙两人进行了5次投篮试投比赛，试投每人每次投球10个，两人5次试投的成绩统计图如图所示．以下说法不正确的是（　　） A. 甲同学5次试投进球个数的众数是8 B. 甲、乙两名同学投篮成绩甲较稳定 C. 甲、乙同学5次试投进球个数的平均数相同 D. 乙同学5次试投进球个数的中位数是8 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数、方差的意义、平均数、中位数判断即可． 【详解】解：A、甲同学5次试投进球个数为8，7，8，9，8，众数是8，所以A选项正确，不符合题意； B、，，即甲方差小．所以甲同学投篮成绩波动较小，甲较稳定，所以B选项正确，不符合题意； C、甲的平均数＝×（7＋8＋8＋9＋8）＝8，乙的平均数＝×（7＋10＋6＋7＋10）＝8，所以C选项正确，不符合题意； D、乙同学5次试投进球个数从小到大排列为6，7，7，10，10，中位数为7，所以D选项不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数、中位数和众数． 12. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②EG＝EF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】证明△BCO是等腰三角形即可证明①正确；由EG=AB，EF=AB可证②成立；由中点的性质可得出EF∥CD，且EF=CD=BG，结合平行即可证得③结论成立；由三线合一可证明④成立；无法证明⑤成立；此题得解． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BD＝2BO，AD=BC， ∵BD＝2AD， ∴BD＝2BC， ∴BO=BC, ∵E为OC中点， ∴BE⊥AC，故①成立； ∵BE⊥AC，G是AB中点， ∴EG=AB， ∵E、F分别是OC、OD的中点， ∴EF∥CD，且EF=CD， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，且AB=CD， ∴EF=AB， ∴EF=EG，故②成立； ∵AB∥CD，EF∥CD， ∴EF∥AB, ∴∠FEG=∠BGE（两直线平行，内错角相等）， 在△EFG和△GBE中， ∵BG=FE，∠FEG=∠BGE，GE=EG， ∴△EFG≌△GBE（SAS），即③成立； ∵BG=FE，EF∥AB ∴四边形BEFG是平行四边形， ∵BE⊥AC， ∴GF⊥AC， ∵EF=EG， ∴∠AEG=∠AEF, 即EA平分∠GEF 故④正确， 若四边形BEFG是菱形 ∴BE＝BG＝AB， ∴∠BAC＝30° 与题意不符合 故⑤错误 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、中位线定理以及平行线的性质定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据二次根式中被开方数的非负性即可求得答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，点P（，）到原点的距离是 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据勾股定理直接计算即可． 【详解】解：由勾股定理可得，PO2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查勾股定理的知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 15. 如图，矩形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的周长是______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质．根据矩形的对角线互相平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，即可求出其周长． 【详解】解：∵四边形为矩形， ，，且， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形为菱形， ， ． 故答案为：20． 16. 如图，点A的坐标为，正方形的顶点C、D都在y轴上，一次函数的图象经过点，且与正方形恰有2个交点，则k的取值范围是_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，确定函数与正方形恰有2个交点的临界点为A、C，即可求解． 【详解】解： 将点E坐标代入一次函数得：， 解得：， 故一次函数的表达式为：， 当直线过点时，，解得：； 同理当直线过点时， 解得：， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】； ，． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、整式的化简求值． 根据指数幂的意义可得：，根据负整数指数幂的意义可得：，可得：原式，再根据合并同类二次根式的法则合并同类二次根式即可； 首先根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则，把整式化简，可得：原式，把代入化简后的整式计算即可． 【详解】解： ； 解： ， 当时， 原式 ． 18. 已知正比例函数图像经过点，求： （1）这个函数的解析式； （2）判断点否在这个函数图像上； （3）图像上两点，，如果，比较，大小． 【答案】（1） （2）不在 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，利用待定系数法求解； （2）将代入（1）中所求解析式，看y值是否为即可； （3）根据k值判断正比例函数图象的增减性，即可求解． 【小问1详解】 解：正比例函数的图象经过点， 时， 解得 这个函数的解析式为； 【小问2详解】 解：将代入中得：， 点不在这个函数图象上； 【小问3详解】 解：， 随x的增大而减小， 又 ． 【点睛】本题考查正比例函数的图象及性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式，根据比例系数判断函数图象的增减性． 19. 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE∥CF，且分别交对角线BD于点E，F．求证：AE＝CF． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先由四边形ABCD是平行四边形可得AD//BC，AD＝BC，进而得到∠ADE＝∠CBF；再根据AE//CF得到∠AEF＝∠CFE，进而得到∠AED＝∠CFB；再利用AAS得到三角形△ADE≌△CBF，最后利用全等三角形的对应边相等即可证明结论． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD//BC，AD＝BC， ∴∠ADE＝∠CBF， ∵AE//CF， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴∠AED＝∠CFB， ∴△ADE≌△CBF， ∴AE＝CF． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识点，证得△ADE≌△CBF是解本题的关键． 20. 如图，用两根木棒、加固小树，木棒、与小树在同一平面内，且小树与地面垂直，，． （1）若，求的长； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，直接运用勾股定理进行计算即可； （2）在和中，分别运用勾股定理表示出的长，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题可得：， ∴， 在中，； 【小问2详解】 解：在中，， 在中，， ∴ 解得：． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 21. 如图，在中的垂直平分线分别交于点D，E，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理（及逆定理）的应用，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到，进而通过边的关系转化证明直角或列方程求解． （1）连接，由垂直平分线性质得，结合已知等式转化为，利用勾股定理逆定理证； （2）设，用表示的长度，在中通过勾股定理列方程求解x． 【小问1详解】 证明：连接 ∵是的垂直平分线 ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ∵，且 ∴ 即 ∴是直角三角形，且（勾股定理的逆定理） 即 【小问2详解】 解：设的长为x ∵ ∴ ∵ ∴ 在中，由勾股定理得： 即 展开得： 化简得：,即 ∴ ∴的长为． 22. 如图所示，点，的坐标分别为，，直线与坐标轴交于 ，两点． （1）求直线：与交点的坐标． （2）直接写出不等式的解集． （3）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出直线的解析式，与构成方程组，求出方程组的解即可； （2）根据点的坐标和函数的图像即可得解； （3）求出点、的坐标，再求出和的面积，即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵直线：过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式是， 解方程组， 得：， ∴点的坐标是； 【小问2详解】 由图像可知：当时，的图像在的图像的上方， ∴不等式的解集； 【小问3详解】 对于直线， 当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，点到轴的距离为， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式，解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标等知识点，能求出点、、的坐标是解此的关键． 23. 为增强学生的安全意识，某校进行了安全知识宣传教育活动，为了解活动效果，并组织了测试．现从该校七、八年级学生中分别任意抽取了10名学生的测试成绩（测试满分为100分，七、八年级的学生总人数分别为240人和300人）如下： 七年级：96，85，90，86，93，92，95，81，75，81； 八年级：81，80，82，85，90，88，95，86，95，92． 经分析、整理获得如下不完整的数据分析表． 平均数 中位数 众数 方差 七年级 88 a 八年级 b 95 （1）a的值为______，b的值为______； （2）若成绩为85分（含85分）以上为良好，请估计该校七、八年级成绩为良好的学生人数； （3）根据以上信息，判断哪个年级的成绩较好，并说明理由．（仅需要从一个角度说明判断的合理性） 【答案】（1）81；87 （2）378（人） （3）八年级的成绩较好，两个年级平均成绩一样，但八年级成绩的方差较小，成绩稳定．（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】本题考查了数据的分析（众数、中位数的计算）、用样本估计总体以及根据统计量判断成绩优劣，解题的关键是掌握众数、中位数的定义和用样本估计总体的方法． （1）根据众数定义找出七年级成绩中出现次数最多的数得a；将八年级成绩排序后，取中间两个数的平均数得中位数b； （2）分别计算七、八年级样本中良好成绩的比例，再乘以对应年级总人数，求和得到估计的良好学生总人数； （3）从方差或众数、中位数角度对比两个年级成绩，说明判断理由． 【小问1详解】 解：七年级成绩中出现了2次，其他成绩均出现1次，故众数； 将八年级成绩排序：，中间两个数为和，中位数 ． 故答案为：． 【小问2详解】 七年级样本中良好成绩（分）有，共7人，比例为； 八年级样本中良好成绩有，共7人，比例为； 估计七年级良好学生人数：（人）； 估计八年级良好学生人数：（人）； 该校七、八年级良好学生总人数估计为：（人）． 答：估计该校七、八年级成绩为良好的学生人数为人． 【小问3详解】 八年级成绩较好． 理由：七、八年级平均数相同，但八年级方差小于七年级方差，说明八年级成绩更稳定． 24. “戴口罩、勤洗手、常通风”已成为当下人们的生活习惯，某校为做好校园防护工作，计划采购一批洗手液．已知某超市推出以下两种优惠方案： 方案一：一律打八折． 方案二：购买量不超过100瓶时，按原价销售；超过100瓶时．超过的部分打六折． 设学校计划从该超市购买x瓶洗手液，方案一的费用为y1元，方案二的费用为y2元，y1，y2关于x的函数图象如图所示． （1）该洗手液的原价为______元/瓶； （2）分别求出y1，y2关于x的函数解析式； （3）若该校计划购买220瓶洗手液，则选择哪种方案更省钱？请说明理由． 【答案】（1）30； （2）， ； （3）选择方案二更省钱，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）由图像列式计算即可解答； （2）根据优惠方案可得：，当时，，当时，即可解答； （3）求出当x＝220时，的值，然后比较即可解答． 【小问1详解】 解：由图像可得，洗手液的原价为每瓶（元）， 故答案为：30； 【小问2详解】 解：根据题意得，， 当时，， 当时，， ∴y2＝； 【小问3详解】 解：选择方案二更省钱，理由如下： 当x＝220时，， ∵， ∴选择方案二更省钱． 【点睛】本题主要考查了函数图像、一次函数的应用等知识点，理解题意、列出函数关系式是解题的关键． 25. 【探究问题】 （1）如图，在正方形中，点E是边延长线上一点，连接，点F是上的一个动点，与边相交于点G．若，试猜想与的数量关系，并说明理由； 【拓展迁移】 （2）如图2，正方形中，点E、F分别是上的点，且，求证：； （3）在（2）的条件下，若正方形的边长为6，点E是边的中点，求的长． 【答案】（1），证明见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）延长至G，使得，证明，则，，再证，则，即可得到结论；， （3）设，则，由点E是边的中点得到，由得到，由勾股定理得，解得，即可得到的长． 【详解】解：（1）解：. 理由如下：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． （2）延长至G，使得， ∵四边形为正方形， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，则根据题意，知：， ∵点E是边的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解之，得：， ∴． 即的长为5． 【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识， 熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$