精品解析：2025年贵州省黔东南苗族侗族自治州从江县下江中学中考二模数学试题

从江县下江中学2025年第二次中考模拟 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 贵州文化源远流长，每一个城市的标志性建筑物都有自己独特的标志．以下文化场馆标志中，属于轴对称图形的是（ ） A. 贵州省地质博物馆 B. 贵州科技馆 C. 遵义大剧院 D. 贵州省民族博物馆 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，符合题意． 故选D． 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，注意若解集是“或”，则在数轴上用实心点表示，若解集是“或”，则在数轴上用空心点表示． 根据在数轴上表示不等式的解集，即可求解． 【详解】解：不等式的解集在数轴上表示为 ． 故选：C 4. 如图所示，小华同学使用直尺与三角板画平行线，在平移三角板的过程中，保持三角板的斜边与直尺的夹角相等，这种画平行线的依据是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 内错角相等，两直线平行 C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 同位角相等，两直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据图中三角形的两个位置，两个“斜边与直尺的夹角”的位置关系是同位角，根据“同位角相等，两直线平行”即可得出答案，正确识别图中三角板两个位置的斜边与直尺的夹角是同位角是解题的关键． 【详解】解：∵保持三角板的斜边与直尺的夹角相等， ∴三角板两个位置的斜边平行（同位角相等，两直线平行）， 故选：D． 5. 下列整式的运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方以及合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方以及合并同类项法则是解答本题的关键．分别根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方以及合并同类项法则判断出各选项即可． 【详解】解：A、，故此选项错误，不合题意； B、，故此选项错误，不合题意； C、与不是同类项，无法合并，故此选项错误，不合题意； D、，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 6. 已知一元二次方程的两根分别为，，根据一元二次方程的根与系数的关系可得为（ ） A. 2 B. 7 C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴． 故选D． 7. 不透明口袋里装有大小、形状完全一样的8个红球和5个白球，则下列说法不正确的是（ ） A. 从中随机摸出1个球，摸到红球的可能性更大 B. 从中随机摸出2个球，摸到1个红球和1个白球是随机事件 C. 从中随机摸出5个球，可能都是红球 D. 从中随机摸出6个球，可能都是白球 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了可能性的大小，正确理解概率的含义是解决本题的关键． 概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生． 【详解】解：A．从中随机摸出1个球，摸到红球的可能性更大，正确，此选项不符合题意； B．从中随机摸出2个球，摸到1个红球和1个白球是随机事件，正确，此选项不符合题意； C．从中随机摸出5个球，可能都是红球，正确，此选项不符合题意； D．从中随机摸出6个球，不可能都是白球，不正确，此选项符合题意． 故选：D． 8. 贵州的传统建筑多采用木结构，其中榫卯结构是一种常见的连接方式，不仅美观，而且具有很强的稳定性和耐久性．如图，工匠将两块全等的木楔水平钉入长为的长方形木条中（点在同一条直线上），若，则木楔的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是利用全等三角形对应边相等的性质，结合已知线段长度进行计算． 根据全等三角形得出，再结合和的长度，通过线段之间的关系求出的长． 【详解】解：， ， ∵，点在同一条直线上， ∴ 木楔的长为4cm． 故选：B． 9. 如图为遵义市某年连续7天的天气情况，这7天最高气温的中位数与众数分别为（ ） A. 25.5，27 B. 26，28 C. 26.5，27 D. 27，28 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数，明确题意、掌握众数和中位数是解题的关键． 根据这7天的最高气温，先按照从低到高排列，然后即可得到这组数据的中位数和众数，据此即可解答． 【详解】解：这7天最高气温从低到高排列是：23，24，25，26，27，28，28， 故这组数据的中位数是第4个26，28出现两次，次数最多，则众数是28． 故选：B． 10. 我国古典数学文献《算法统宗》中有一个“听客分银”的问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多4两，九两分之少半斤”其大意为：隔着墙听见客人在分银子，按每人7两分银子，余下4两；按每人9两分银子，又缺8两（这里半斤等于8两），设有客x人，银有y两，根据题意列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据按每人7两分银子，余下4两；按每人9两分银子，又缺8两，列出方程组即可． 【详解】解：设有客x人，银有y两，由题意，得： ； 故选B． 11. 如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线；分别以A，C为圆心， 大于长为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线，直线与相交于点O，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识成为解题的关键． 如图：连接，利用线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由作图可知：是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 12. 如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③关于的方程有两个不相等的实数根；④．其中正确的有（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口方向向下， ∴． ∵抛物线对称轴位于y轴右侧， ∴． ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵时，， ∴，故②正确； ③∵抛物线的最大值为4， ∴抛物线与直线无交点， ∴关于x的方程无实数根，故③错误； ④∵抛物线对称轴为直线， ∴，即，故④错误， 综上所述，正确的有①②． 故选：A． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 二次根式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数． 【详解】解：二次根式有意义， ， ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为，则点Q的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，解题的关键是熟练掌握点的坐标的表示方法． 根据平面直角坐标系中点Q的位置即可得出答案． 【详解】解：点Q的坐标为． 故答案为：． 15. 【跨学科·物理】在实验课上，小明利用小孔成像的原理进行实验．他将一支燃烧的蜡烛（竖直放置）通过小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．已知以下数据： ①蜡烛的高度为． ②小孔O到蜡烛的距离为． ③小孔O到屏幕上像的距离为． 则屏幕上像的高度是__________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了小孔成像中的相似三角形应用．解题的关键是根据小孔成像原理判断出蜡烛与像对应的三角形相似再利用相似三角形的对应边成比例求解像的高度． 根据小孔成像原理，蜡烛、小孔O与像构成两个相似三角形；利用相似三角形对应高的比等于对应距离的比，列出比例式，代入已知数据计算像的高度． 【详解】解：由小孔成像原理可知，蜡烛通过小孔O成像时与是相似三角形． 相似三角形的对应边成比例，即． 已知，代入比例式得： 化简得，解得． 故答案为：9． 16. 如图，正方形的边长为4，点是的中点，平分交于点F．则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出相似三角形是解题的关键．延长交的延长线于，根据线段中点的定义求出，再利用勾股定理列式求出，根据角平分线的定义求出，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，再求出，然后根据相似三角形对应边成比例可得，再求解即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于， 是的中点， ， 由勾股定理得， 平分， ， 正方形的对边， ， ， ， ， ， ， 即 ． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）请从①，②，③中选取两个式子相乘并化简，再将代入求值． 【答案】（1）1；（2）选①②，；选①③，，；选②③，，． 【解析】 【分析】（1）本题包含算术平方根计算、零指数幂计算、绝对值化简以及特殊三角函数值计算．需要分别根据相应规则算出各项值，再进行加减运算． （2）本题为分式的化简求值题，存在多种式子选法组合，需先对所选式子进行因式分解，通过约分完成化简，最后将代入化简后的式子求值． 【详解】解：（1） ； （2）选①②， ， 当时，原式； 选①③， ， 当时，原式； 选②③， ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了实数的运算、零指数幂、特殊三角函数值以及分式的化简求值．熟练掌握算术平方根、零指数幂、绝对值的运算规则，特殊三角函数值，还有分式的因式分解、约分以及代入求值的方法是解题的关键． 18. 如图，在矩形中，点E在边上，，，垂足为F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ，． ． 又， ． ， ． ∴． （2）16 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质．解题的关键是熟练运用矩形的性质推导角的关系，结合全等三角形的判定定理证明三角形全等，再利用特殊角度的直角三角形性质求解边长． （1）利用矩形对边平行和四个角为直角的性质，得到角相等的条件，结合垂直的定义和已知边相等，通过证明三角形全等，进而得出线段相等； （2）根据全等三角形的性质得到对应边相等，结合已知角度求出相关角的度数，再利用含角的直角三角形中斜边是直角边两倍的性质计算的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得， ． 又， ． ． ． 19. 2024年4月 25日20时59分，神舟十八号载人飞船成功发射，中国载人航天与空间站建设迎来全新的发展阶段．为了弘扬航天精神，某中学开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了八年级的部分同学的成绩进行整理． 数据分成五组， A组： ； B组： ； C组： ； D组： ； E组： ． 已知C组的数据为： 70， 71， 72， 72， 72， 74， 75， 76， 76， 77， 77， 79． 根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次随机抽查 名同学，并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角为 度； （3）现从E组里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加航天知识竞答决赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【答案】（1）50， 补全图形如下： （2）36 （3） 【解析】 【分析】（1）由D组的人数和所占百分比可求出总人数，利用总人数乘上B组的百分比求出B组的人数，即可补全统计图； （2）乘以C组人数所占的比例即可求解； （3）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好同时选中甲、乙两位同学的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【小问1详解】 本次随机抽查的学生人数：（人）， B组人数为（人）， 故答案为：50； 【小问2详解】 形统计图中，A 组所在扇形的圆心角度数为 故答案为∶ 36； 【小问3详解】 树状图如下： ∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种， ∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为P(选中甲、乙同学) 【点睛】本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，列表法或画树状图法求概率，根据题意找出所需数据是解题的关键． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合图象直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想解决问题是本题的关键． （1）将点，点坐标代入反比例函数解析式可求的值，用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据函数图象可求不等式的解集． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象过点， ． 反比例函数的解析式为． 一次函数的图象过， ，即． 一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：根据函数图象可得：不等式的解集为或． 21. 【新情境·红色研学】研学实践：为深入了解红军长征历史，培养学生勇于战胜困难的精神，学校组织研学活动．同学们来到贵州省余庆县“突破乌江”主题雕塑广场，在了解相关的历史背景后，利用测角仪、皮尺和平面镜测量雕塑的高度． 数据采集：如图，测试小组利用测角仪从点D处观测雕塑顶端A点的仰角为．在测角仪和雕塑之间水平光滑的地面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到雕塑顶端A在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时则得． 数据应用：已知测角仪的高度，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上． （1）根据平面镜成像原理，的值是__________． （2）求雕塑的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据题意可得，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得：，即可解答； （2）过点D作，垂足为F，根据题意可得，，然后设，在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：，，， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点D作，垂足为F， 由题意得：，， 设， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴雕塑的高度约为． 22. 2024年，随着《推动大规模设备更新和消费品以旧换新行动方案》等政策的出台，一系列优惠政策接踵而来．为此，某商场购进A，B两种型号的冰箱，据了解1台A型号冰箱、2台B型号冰箱进价共计9000元；2台A型号冰箱比1台B型号冰箱进价多500元． （1）求A，B两种型号的冰箱每台的进价； （2）由于需求不断增大，该商场准备购进两种型号的冰箱共100台，已知A型号冰箱的售价为2500元/台，B型号冰箱的售价为4100元/台，若购进A型号冰箱的数量不少于40台，设购进a台A型号冰箱，100台冰箱全部售完获利W（元），该商场应购进A，B两种型号的冰箱各多少台才能使W最大？W最大为多少元？ 【答案】（1）A，B两种型号的冰箱每台的进价分别为2000元，3500元 （2）A，B两种型号的冰箱分别购进40台、60台时W最大，W最大为56000元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，理解题意，正确列出方程组和函数关系式是解答的关键． （1）设A，B两种型号的冰箱每台的进价分别为x元、y元．根据题意列方程组求解即可； （2）根据题意列出函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A，B两种型号的冰箱每台的进价分别为x元、y元． 依题意得，解得． 答：A，B两种型号的冰箱每台的进价分别为2000元，3500元； 【小问2详解】 解：依题意得． ，， 当时，（元）． 即A，B两种型号的冰箱分别购进40台、60台时W最大，W最大为56000元． 23. 如图，是的外接圆，是直径且，的平分线交于点D，连接．过点C的切线交的延长线于点E，且． （1）在不添加辅助线的情况下，写出一个与相等的角：__________； （2）求阴影部分的面积； （3）求线段的长度． 【答案】（1）（或） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，不规则图形的面积，勾股定理等． （1）连接，由切线的性质可得．由直径所对的圆周角为90度可得，结合等腰三角形中等边对等角、三角形外角的性质，可求得，； （2）根据求解； （3）结合直径所对的圆周角为90度，证明是等腰直角三角形，设，利用勾股定理求出x的值即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， 是的切线， ． ， ． ， ． ． ； 是直径， ， ， ，， ， 故答案为：（或）； 【小问2详解】 解： 是的切线， ． ， ． ． 过点C作于点M． ， ． ． ， ． 【小问3详解】 解：连接． 是直径， ，． 平分， ． ． 是等腰直角三角形． 设，则． 解得（负值已舍去）． 即． 24. 如图（1），某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽，隧道顶端到地面的距离为，建立如图②所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式． （2）若隧道为单向行车道，一辆货车载一长方形集装箱，集装箱最高处到地面距离为，宽为，请问这辆货车能否安全通过？ （3）若隧道为双向行车道，且正中间有宽的隔离带．有一辆货车宽为，设货车的行驶位置与隔离带边缘的间距为，求货车能够通行的最大安全限高与的关系式，并计算当时的最大安全限高． 【答案】（1）； （2）这辆货车能安全通过． （3），时的最大安全限高h为米． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）易得抛物线的顶点坐标和点C的坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点C的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式； （2）判断出货车最左端的点的横坐标，代入（1）中得到的函数解析式，得到y的值，与5比较即可得到能否安全通过； （3）用含d的代数式判断出货车最右端的点的横坐标，代入（1）中得到的函数解析式，可得h与d的关系式，取，可得h的值． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，点， ∴设抛物线的解析式为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：这辆货车能安全通过． 理由：∵隧道为单向行车道，货车宽为, ∴货车最左端的点的横坐标为：， 当时，， ∴这辆货车能安全通过； 【小问3详解】 解：由题意得：货车最右端的点的横坐标为：, ∴， 当时，． 答：，时的最大安全限高h为米． 25. 如图，在中，，，点P是线段上的一个动点，过点B作交的延长线于点D，射线交直线AC于点E，连接． （1）若点P不与端点B，C重合，求证：； （2）求证：； （3）若点P在线段的延长线上时，用等式表示线段，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1） 证明：，， ∴，， ∴． （2） 证明：如图，过点作，交于点， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． （3）或，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质等知识，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键． （1）根据直角三角形的性质可得，，由此即可得证； （2）过点作，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再根据勾股定理可得，由此即可得证； （3）分三种情况：①当时，过点作，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再根据勾股定理可得，由此即可得；②当时，延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则可得，再根据勾股定理可得，由此即可得；③当时，先根据等腰三角形的性质可得，再求出，则可得点重合，这与过点作交的延长线于点相矛盾，由此即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：或，理由如下： ①如图，当时，过点作，交于点， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． ②如图，当时，延长至点，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴． ③当时， ∵在中，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点重合，这与过点作交的延长线于点相矛盾，舍去， 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 从江县下江中学2025年第二次中考模拟 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 贵州文化源远流长，每一个城市的标志性建筑物都有自己独特的标志．以下文化场馆标志中，属于轴对称图形的是（ ） A. 贵州省地质博物馆 B. 贵州科技馆 C. 遵义大剧院 D. 贵州省民族博物馆 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图所示，小华同学使用直尺与三角板画平行线，在平移三角板的过程中，保持三角板的斜边与直尺的夹角相等，这种画平行线的依据是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 内错角相等，两直线平行 C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 同位角相等，两直线平行 5. 下列整式的运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一元二次方程的两根分别为，，根据一元二次方程的根与系数的关系可得为（ ） A. 2 B. 7 C. 8 D. 7. 不透明口袋里装有大小、形状完全一样的8个红球和5个白球，则下列说法不正确的是（ ） A. 从中随机摸出1个球，摸到红球的可能性更大 B. 从中随机摸出2个球，摸到1个红球和1个白球是随机事件 C. 从中随机摸出5个球，可能都是红球 D. 从中随机摸出6个球，可能都是白球 8. 贵州的传统建筑多采用木结构，其中榫卯结构是一种常见的连接方式，不仅美观，而且具有很强的稳定性和耐久性．如图，工匠将两块全等的木楔水平钉入长为的长方形木条中（点在同一条直线上），若，则木楔的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图为遵义市某年连续7天的天气情况，这7天最高气温的中位数与众数分别为（ ） A. 25.5，27 B. 26，28 C. 26.5，27 D. 27，28 10. 我国古典数学文献《算法统宗》中有一个“听客分银”的问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多4两，九两分之少半斤”其大意为：隔着墙听见客人在分银子，按每人7两分银子，余下4两；按每人9两分银子，又缺8两（这里半斤等于8两），设有客x人，银有y两，根据题意列方程组为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线；分别以A，C为圆心， 大于长为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线，直线与相交于点O，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③关于的方程有两个不相等的实数根；④．其中正确的有（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①②③ 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 二次根式有意义，则的取值范围是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为，则点Q的坐标为__________． 15. 【跨学科·物理】在实验课上，小明利用小孔成像的原理进行实验．他将一支燃烧的蜡烛（竖直放置）通过小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．已知以下数据： ①蜡烛的高度为． ②小孔O到蜡烛的距离为． ③小孔O到屏幕上像的距离为． 则屏幕上像的高度是__________． 16. 如图，正方形的边长为4，点是的中点，平分交于点F．则的长为__________． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）请从①，②，③中选取两个式子相乘并化简，再将代入求值． 18. 如图，在矩形中，点E在边上，，，垂足为F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 2024年4月 25日20时59分，神舟十八号载人飞船成功发射，中国载人航天与空间站建设迎来全新的发展阶段．为了弘扬航天精神，某中学开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了八年级的部分同学的成绩进行整理． 数据分成五组， A组： ； B组： ； C组： ； D组： ； E组： ． 已知C组的数据为： 70， 71， 72， 72， 72， 74， 75， 76， 76， 77， 77， 79． 根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次随机抽查 名同学，并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角为 度； （3）现从E组里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加航天知识竞答决赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合图象直接写出关于x的不等式的解集． 21. 【新情境·红色研学】研学实践：为深入了解红军长征历史，培养学生勇于战胜困难的精神，学校组织研学活动．同学们来到贵州省余庆县“突破乌江”主题雕塑广场，在了解相关的历史背景后，利用测角仪、皮尺和平面镜测量雕塑的高度． 数据采集：如图，测试小组利用测角仪从点D处观测雕塑顶端A点的仰角为．在测角仪和雕塑之间水平光滑的地面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到雕塑顶端A在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时则得． 数据应用：已知测角仪的高度，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上． （1）根据平面镜成像原理，的值是__________． （2）求雕塑的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 22. 2024年，随着《推动大规模设备更新和消费品以旧换新行动方案》等政策的出台，一系列优惠政策接踵而来．为此，某商场购进A，B两种型号的冰箱，据了解1台A型号冰箱、2台B型号冰箱进价共计9000元；2台A型号冰箱比1台B型号冰箱进价多500元． （1）求A，B两种型号的冰箱每台的进价； （2）由于需求不断增大，该商场准备购进两种型号的冰箱共100台，已知A型号冰箱的售价为2500元/台，B型号冰箱的售价为4100元/台，若购进A型号冰箱的数量不少于40台，设购进a台A型号冰箱，100台冰箱全部售完获利W（元），该商场应购进A，B两种型号的冰箱各多少台才能使W最大？W最大为多少元？ 23. 如图，是的外接圆，是直径且，的平分线交于点D，连接．过点C的切线交的延长线于点E，且． （1）在不添加辅助线的情况下，写出一个与相等的角：__________； （2）求阴影部分的面积； （3）求线段的长度． 24. 如图（1），某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽，隧道顶端到地面的距离为，建立如图②所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式． （2）若隧道为单向行车道，一辆货车载一长方形集装箱，集装箱最高处到地面距离为，宽为，请问这辆货车能否安全通过？ （3）若隧道为双向行车道，且正中间有宽的隔离带．有一辆货车宽为，设货车的行驶位置与隔离带边缘的间距为，求货车能够通行的最大安全限高与的关系式，并计算当时的最大安全限高． 25. 如图，在中，，，点P是线段上的一个动点，过点B作交的延长线于点D，射线交直线AC于点E，连接． （1）若点P不与端点B，C重合，求证：； （2）求证：； （3）若点P在线段的延长线上时，用等式表示线段，，之间的数量关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $