精品解析：2025年广东省深圳市罗湖外语学校中考数学三模试卷

2025年广东省深圳市罗湖外语学校中考数学三模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义和图案特点即可解答． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意； C、是中心对称图形，故选项正确，符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据单项式乘单项式法则、同底数幂的除法法则、合并同类项法则、幂的乘方法则分别计算判断即可． 【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B、，故选项计算错误，不符合题意； C、，故选项计算正确，符合题意； D、，故选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式乘单项式、同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3. 截至年月日，动画电影《哪吒之魔童闹海》全球累计票房已破亿元，暂列全球影史票房榜前五．“亿”这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的表现形式是解题的关键．科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于1时是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：亿， ， 故选：C． 4. 自行车尾灯内部的角反射器是由许多垂直的平面镜组成，其工作原理如图2所示，平面镜，当光线射向镜面时，经过两次反射后，光线沿平行于的方向射出，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线性质，垂直定义等．根据题意先作，再利用平行线性质得，继而再利用平行线性质即可得到答案． 【详解】解：作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 原不等式组的解集为：， 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：． 6. 如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=25°，则∠AOD等于（ ） A. 155° B. 140° C. 130° D. 110° 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB， ∴， ∵∠CAB=25°， ∴∠BOD=50°， ∴∠AOD=130°． 故选：C． 7. 某车间有名工人生产太阳镜，名工人每天可生产镜片片或镜架个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题关键．根据题意，找出等量关系，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意，得：， 故选：A． 8. 如图，将ABC绕顶点A顺时针旋转60后，得到△ABC，且C为BC的中点，则CD:DB（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】旋转60°后，AC=AC，旋转角∠CAC=60°，可证△AC C为等边三角形；再根据BC=CC=AC，证明△BCD为含30°角的直角三角形，寻找线段CD与DB之间的数量关系． 【详解】解：根据旋转的性质可知：AC=AC， ∵旋转角是60°，即， ∴为等边三角形， ∴=A C，∠C=∠A C B =60°， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 因式分解：__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 10. 江豚素有“水中大熊猫”之称，为了解洞庭湖现有江豚数量，考察队先从湖中捕捞10头江豚并做上标记，然后放归湖内．经过一段时间与群体充分混合后，再从中多次捕捞，并算得平均每32头江豚中有2头有标记，则估计洞庭湖现有江豚数量约为______头． 【答案】160 【解析】 【分析】本题主要考查用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体是解题的关键．根据题意列式计算即可． 【详解】解：依题意可得洞庭湖现有江豚数量约为． 故答案为：． 11. 年墨西哥“世界杯”使用的足球采用了不同以往的革命性构造设计，至今仍是各种足球的原型．其由块手缝嵌面组成（块黑色的正五边形和块白色的正六边形），这种构造使足球拥有更浑圆更完美的外形，如图是其侧面展开图局部，则图中度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角，先求出正五边形和正六边形的每个内角，进而根据镶嵌的定义即可求出，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ∵正五边形的每个内角为， 正六边形的每个内角为， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】 12. 如图，的边在x轴正半轴上，，点D是的中点，双曲线经过点C和点D，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、求反比例函数解析式等知识．作于M，设C的横坐标为m，求出，得到，，由双曲线y经过点C和点D得到，解得或（舍去），得到即可． 【详解】解：作于M， 设C的横坐标为m， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∵点D是的中点， ∴， ∵双曲线y经过点C和点D， ∴ 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，平分，交于点，点为边上一点，连接，交于点，当时，的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，过点作交于点，过点作交的延长线于点，先利用角平分线的性质和三角形面积公式求得，再证明，求得，最后利用即可解答，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交于点，过点作交的延长线于点， ， ， ， 平分， ， 根据三角形面积公式可得， 即， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. （）计算：； （）先化简，再求值：，其中． 【答案】（）；（）， 【解析】 【分析】（）根据零指数幂、特殊角的三角函数值及负整数指数幂先化简，然后相加减即可； （）利用分式的性质和运算法则进行化简，再将的值代入到化简后的结果中计算即可； 本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （）原式 ， 当时，原式 15. 某市为强化学生体质健康管理，进一步增强学生的身体素质，某校决定在篮球、足球、排球、乒乓球、游泳选择一门户外运动课程．为了解学生需求，该校随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生有_______名，并补全条形统计图； （2）若全校共有1000名学生，则全校选择游泳的学生约有多少人？ （3）在选择足球的4名学生中，有2名男生2名女生，从这4名同学中随机抽取2名学生，用列表法或树状图求恰好抽到一名男生一名女生的概率． 【答案】（1）40， 补全条形统计图如图所示： （2）全校选择游泳的学生约有500人 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，，用样本估计总体，求概率，从统计图中有效的获取信息，掌握概率公式，是解题的关键． （1）用足球的人数除以其所占百分比，即可求出调查的学生总人数，求出乒乓球的人数，即可补全条形统计图； （2）用全校人数乘以选择游泳人数所占百分比，即可解答； （3）画出树状图，利用概率公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：（名）， 故答案为：40， （名） 【小问2详解】 解：（人）， 答：全校选择游泳的学生约有500人． 【小问3详解】 解：画出树状图如图所示： 一共有12种情况，恰好抽到一名男生一名女生的有8种情况， ∴恰好抽到一名男生一名女生的概率． 16. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在处看塔顶，仰角为，然后向后走米（），到达处，此时看塔顶，仰角为，求该主塔的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作于点，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：如图，过点作 于点， 根据题意得： ， ， ， ， 米 在中， 米． 即该主塔的高度是 米． 17. 骑行电动自行车时佩戴安全头盔非常重要．某商店销售甲、乙两种不同型号的头盔，已知甲种型号头盔的单价比乙种型号头盔贵10元，且用120元购买的甲种型号头盔的数量与用90元购买的乙种型号头盔数量相同． （1）求甲、乙两种型号头盔的单价； （2）某企业计划购进甲、乙两种头盔共300个，若购买的甲种型号的头盔的数量不少于乙种型号的，为使购买头盔的总费用最小，那么应购买甲、乙两种型号头盔各多少个？最少费用为多少元？ 【答案】（1）甲、乙两种型号头盔的单价分别是40元、30元 （2）购买75个甲种头盔，225个乙种头盔时，总费用最少，最少费用为9750元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用及一次函数的应用，关键是正确列出方程、不等式与函数关系式． （1）设乙种型号头盔的单价是x元，则甲种头盔的单价是元，根据等量关系开出分式方程即可求解； （2）设购买m个甲种头盔，根据不等关系列出关于m的一元一次不等式，求出m的取值范围；设该企业购买甲乙两种头盔共花费w元，根据总价、单价与数量的关系列出函数关系式，利用一次函数的性质即可求解最值． 【小问1详解】 解：设乙种型号头盔的单价是x元，则甲种头盔的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以（元）； 答：甲、乙两种型号头盔的单价分别是40元、30元； 【小问2详解】 解：设购买m个甲种头盔，则购买个乙种头盔， 由题意得：， 解得：； 设该企业购买甲乙两种头盔共花费w元， 则， ，， 随m的增大而增大， 当时，w取得最小值，最小值为（元），此时（个）． 答：当购买75个甲种头盔，225个乙种头盔时，总费用最少，最少费用为9750元． 18. 如图，以为直径的交于点D，，垂足为． （1）若，求证：为的切线； （2）在（1）的条件下，若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图：连接OD， 为直径， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， 是的半径， 为的切线． （2）的半径为． 【解析】 【分析】（1）如图：连接OD，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，求得，根据切线的判定定理即可证明结论； （2）根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质列比例求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 的半径为． 【点睛】本题主要考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理、三角形中位线定理、勾股定理、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 19. 在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G，抛物线G与抛物线的图象关于x轴对称． （1）抛物线G与y轴的交点坐标为______，抛物线G的对称轴为直线______； （2）当时，求抛物线的表达式； （3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G与抛物线围成的中间封闭区域不包括边界为． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 【答案】（1），1； （2）； （3）①，，共3个；②或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． （1）利用对称轴公式以及y轴上点的坐标特征求得即可； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特征即可得出答案； （3）①根据图象即可求得； ②时，抛物线经过点时，区域W内恰有5个整点，结合①即可得出；当时，如图2，抛物线经过点和时，区域W内恰有5个整点，结合图象即可求得，从而求得如果区域W内恰有5个整点，则或 【小问1详解】 解：二次函数， 对称轴为直线， 令，则， 图象与y轴的交点坐标为； 故答案为：，1； 【小问2详解】 解：抛物线G：， 抛物线：， 即， 当时，； 【小问3详解】 解：①当时，则抛物线G：， 顶点为， 令，解得：，， 图象与y轴的交点坐标为， 区域W内的整点有，，共3个； ②当时，如图2， 抛物线经过点时，区域W内恰有5个整点， ， 解得：， 结合①可得：； 当时，如图2，抛物线经过点和时，区域W内恰有5个整点． 经过点时，， 解得：， 经过点时，， 解得：， ， 故如果区域W内恰有5个整点，则或 20. 综合与实践 定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形． （1）概念理解： 当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（）与长的比值是_________． （2）操作验证： 用正方形纸片进行如下操作（如图（2））： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为； 第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为． 试说明：矩形是1阶奇妙矩形． 　　 　　 　　 （3）方法迁移： 用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注． （4）探究发现： 小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由． 【答案】（1）； （2）如图（2），连接， 设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得 设，则 根据折叠，可得，， 在中，， ∴， 在中， ∴ 解得： ∴ ∴矩形是1阶奇妙矩形． （3）矩形是2阶奇妙矩形， （4），理由： 如图（4），连接诶，设正方形的边长为1，设，则， 设，则 根据折叠，可得，， 在中，， ∴， 在中， ∴ 整理得， ∴四边形的边长为 矩形的周长为， ∴四边形的周长与矩形的周长比值总是定值 【解析】 【分析】（1）将代入，即可求解． （2）设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得，设，则，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （3）仿照（2）的方法得出2阶奇妙矩形． （4）根据（2）的方法，分别求得四边形的周长与矩形的周长，即可求解． 【详解】解：（1）当时，， 故答案为：． （2）略 （3）用正方形纸片进行如下操作（如图）： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，再对折，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为； 第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为． 理由如下，连接，设正方形的边长为，根据折叠可得，则， 设，则 根据折叠，可得，， 在中，， ∴， 在中， ∴ 解得： ∴ 当时， ∴矩形是2阶奇妙矩形． （4）略 【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省深圳市罗湖外语学校中考数学三模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 截至年月日，动画电影《哪吒之魔童闹海》全球累计票房已破亿元，暂列全球影史票房榜前五．“亿”这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 自行车尾灯内部的角反射器是由许多垂直的平面镜组成，其工作原理如图2所示，平面镜，当光线射向镜面时，经过两次反射后，光线沿平行于的方向射出，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=25°，则∠AOD等于（ ） A. 155° B. 140° C. 130° D. 110° 7. 某车间有名工人生产太阳镜，名工人每天可生产镜片片或镜架个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将ABC绕顶点A顺时针旋转60后，得到△ABC，且C为BC的中点，则CD:DB（） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 因式分解：__________ 10. 江豚素有“水中大熊猫”之称，为了解洞庭湖现有江豚数量，考察队先从湖中捕捞10头江豚并做上标记，然后放归湖内．经过一段时间与群体充分混合后，再从中多次捕捞，并算得平均每32头江豚中有2头有标记，则估计洞庭湖现有江豚数量约为______头． 11. 年墨西哥“世界杯”使用的足球采用了不同以往的革命性构造设计，至今仍是各种足球的原型．其由块手缝嵌面组成（块黑色的正五边形和块白色的正六边形），这种构造使足球拥有更浑圆更完美的外形，如图是其侧面展开图局部，则图中度数为______． 12. 如图，的边在x轴正半轴上，，点D是的中点，双曲线经过点C和点D，则________________． 13. 如图，在中，平分，交于点，点为边上一点，连接，交于点，当时，的长为______． 三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. （）计算：； （）先化简，再求值：，其中． 15. 某市为强化学生体质健康管理，进一步增强学生的身体素质，某校决定在篮球、足球、排球、乒乓球、游泳选择一门户外运动课程．为了解学生需求，该校随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生有_______名，并补全条形统计图； （2）若全校共有1000名学生，则全校选择游泳的学生约有多少人？ （3）在选择足球的4名学生中，有2名男生2名女生，从这4名同学中随机抽取2名学生，用列表法或树状图求恰好抽到一名男生一名女生的概率． 16. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在处看塔顶，仰角为，然后向后走米（），到达处，此时看塔顶，仰角为，求该主塔的高度． 17. 骑行电动自行车时佩戴安全头盔非常重要．某商店销售甲、乙两种不同型号的头盔，已知甲种型号头盔的单价比乙种型号头盔贵10元，且用120元购买的甲种型号头盔的数量与用90元购买的乙种型号头盔数量相同． （1）求甲、乙两种型号头盔的单价； （2）某企业计划购进甲、乙两种头盔共300个，若购买的甲种型号的头盔的数量不少于乙种型号的，为使购买头盔的总费用最小，那么应购买甲、乙两种型号头盔各多少个？最少费用为多少元？ 18. 如图，以为直径的交于点D，，垂足为． （1）若，求证：为的切线； （2）在（1）的条件下，若，，求的半径． 19. 在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G，抛物线G与抛物线的图象关于x轴对称． （1）抛物线G与y轴的交点坐标为______，抛物线G的对称轴为直线______； （2）当时，求抛物线的表达式； （3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G与抛物线围成的中间封闭区域不包括边界为． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 20. 综合与实践 定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形． （1）概念理解： 当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（）与长的比值是_________． （2）操作验证： 用正方形纸片进行如下操作（如图（2））： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为； 第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为． 试说明：矩形是1阶奇妙矩形． 　　 　　 　　 （3）方法迁移： 用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注． （4）探究发现： 小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $