九年级数学上学期第一次月考（浙教版第1章～第2章，高效培优·提升卷）

2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 提升卷·参考答案 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A C A A B D A D 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．． 12．42． 13．． 14．． 15． 16． ， 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题8分）（1）解：∵此函数的图象经过点， ∴将代入， ∴；(4分) （2）解：二次函数，令，则有， 解得， 故二次函数图象与x轴的交点坐标为．(4分) 18．（本题8分）（1）解：∵ 盒子里一共有个乒乓球，其中红球有个 ∴ 摸到红球的概率 (3分) （2）解：列表如下： 第一次摸球第二次摸球 1（白球） 2（红球） 2（红球） 3（黑球） 1（白球） 2（红球） 2（红球） 3（黑球） 总共有种等可能的结果，其中至少得分的结果有种 ∴ 小亮至少得分的概率 (5分) 19．（本题8分）（1）解：在中，令，得， ． 把代入二次函数， 得， ． 二次函数的图象的对称轴为， ， 解得， 该二次函数的解析式为．(4分) （2）解：抛物线与直线相交于点，， 由图象可得，当时，的取值范围是或．(4分) 20．（本题8分）（1）解：类有人，所占扇形的圆心角为， 这次被调查的学生共有：（人）； 故答案为； ∴项目对应人数为：（人）； 补充如图． (3分) （2）（人） 答：这名学生中有人参加了羽毛球社团；(2分) （3）画树状图得： 共有种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有种， （选中甲、乙）．(3分) 21．（本题8分）（1）解：计划降价为x元，则可以多销售200x千克水果，因此可得到实际销售水果为400+200x，可知．因为销售单价不得低于5元，9.6－x≥5，x≤4.6，所以0≤x≤4.6。(4分) （2），因为0≤x≤4.6，所以当x=1.9时，w最大，最大为3042元。所以每天销售利润w最大为3042元，此时单价为7.7元.(4分) 22．（本题10分）（1）解：∵， ∴， ∵的面积为8， ∴，解得， ∴， 将，代入得： ，解得， 抛物线的函数表达式为；(2分) （2）解：设直线为，将代入得：，解得， 直线为， ，，D是中点， ， 过点P作轴交于点Q，如图： 设，则， ， ， ，， 时，有最大值，最大值为2； 即面积的最大值是2；(3分) （3）解：由得抛物线的对称轴为直线， 根据题意，设， ∴，C， 当C时，求，解得t=﹣1，所以G（1，﹣1）.(3分) 23．（本题10分）（1）解：设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式为；(3分) （2）解：当时，， 解得，， ∴， ∵第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的拋物线形状相同，第二次弹起的最大高度为． ∴设第二次弹起的运行路线的抛物线为， 把代入，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， 把代入，得， 解得，， ∴乒乓球到轴的距离为或；(4分) （3）解：把代入，得， 解得，（舍去） 把代入，得， 解得，（舍去）， ∴的取值范围为：， 故答案为：．(3分) 24．（本题12分）（1）①解：将代入二次函数的解析式， ∴． ∴． ∴二次函数的解析式．(4分) ②解：抛物线顶点式为， 抛物线开口向上，顶点为， 当时，；当时，。 因此，在区间时，y的取值范围为。(4分) （2）证明：∵点，，是函数图象上两点， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点A，B是图象上不同两点， ∴， ∴．(4分) 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版九年级上册第1章~第2章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列关于的函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握定义是解决问题的关键．根据二次函数定义进行分析即可． 【详解】解：A、是二次函数，故此选项符合题意； B、中x的最高次是1次，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、中x的次数为，故此选项不符合题意； D、，x的最高次是1次，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．下列说法正确的是（    ） A．“明天降雨的概率是”表示明天有的时间都在降雨 B．“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件 C．“彩票中奖的概率为”情况下买了一张彩票就能中奖是不可能事件 D．“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为”这一事件发生的频率稳定在附近 【答案】D 【分析】本题考查了概率的含义，事件的分类，频率估计概率．概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．据此解答即可． 【详解】解：A、“明天下雨的概率为”指的是明天下雨的可能性是，故原说法错误，不符合题意； B、“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是随机事件，故原说法错误，不符合题意； C、“彩票中奖的概率为”情况下买了一张彩票就能中奖是可能事件，故原说法错误，不符合题意； D、“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为”这一事件发生的频率稳定在附近，原说法正确，符合题意； 故选：D． 3．若，，则二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：， ∵，， ∴抛物线的开口向上，与轴交于负半轴， ∵二次函数的对称轴为y轴， ∴二次函数的图象大致是： ． 故选：A． 4．已知二次函数，下列结论正确的是（   ） A．其图像的开口向上 B．当时，随的增大而增大 C．图像的对称轴为直线 D．函数有最小值 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项分析即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数中，，∴图像开口向下，故A不正确； ∵，∴对称轴为直线，故C正确； ∵图像开口向下，对称轴为直线，∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，故B不正确； ∵，∴顶点坐标是，∴函数的最大值为，故选项D不正确． 故选C． 5．若点，在抛物线上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次函数的函数值，比较二次函数函数值的大小，先求出，的值，比较大小即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点，在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， 故选：A． 6．如图，正方形的边长为2，阴影部分是正方形的内切圆．若在正方形内任取一点，则该点落在阴影部分的概率为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率，用圆的面积除以正方形的面积即可得解，解题的关键是熟练掌握几何概率求法． 【详解】解：∵正方形的边长为2， ∴圆的半径为1， ∴若在正方形内任取一点，则该点落在阴影部分的概率为， 故选：A． 7．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质．先求出二次函数对称轴，求出当时，函数取得最小值，当时，函数值与时相同，再根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：二次函数对称轴为：直线， 即当时，函数取得最小值，当时，函数值与时相同． ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴ 解得：， 故选：B． 8．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为m，面积为S，其中．有下列结论： ①与之间的函数关系为； ②的取值范围为； ③的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为； ④矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论是（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答本题的关键．表示出面积化简可以判断①；根据墙长为，列不等式组，解不等式组即可求出自变量x的取值范围，从而可判断②；根据矩形的面积列出方程，解方程求x的值，可以判断③；根据二次函数性质求出最大值判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，故①正确； 设这个菜园垂直于墙的一边的长为，则的长为， ∵墙长为， ∴， 解得：， ∴x的取值范围为，故②错误； 当时，即， 解得， ∵， ∴， ∴的长只有1个值满足该矩形菜园的面积为，故③正确； ∵， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为，故④正确． 故选：D． 9．如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，，，将点代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴， ∴，，． ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10．如图1，在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿的方向匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点A时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段的长为（   ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象、二次函数的应用、求二次函数解析式、勾股定理等知识点，求得抛物线的解析式成为解题的关键． 在中，，，则，再求得的长，然后用待定系数法求得函数解析式，易得，最后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：在中，，，则． 当时，，解得∶（负值已舍去）， ， 抛物线经过点．由图象知抛物线顶点为． 设抛物线解析式为， 将代入，得，解得， ． 当时，，解得或（舍去）， ． 在中，由勾股定理得． 故选D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标“若二次函数的顶点式为，则它的顶点坐标为”，熟练掌握求二次函数的顶点坐标的方法是解题关键．直接根据二次函数的顶点式求解即可得． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 12．一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的红蓝两种小球共60个，每次从袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，经过多次摸球，发现摸到红球的频率稳定在0.7左右，由此可以推断袋中有 个红球． 【答案】42 【分析】本题考查了利用频率估计概率，掌握实验次数较大时，事件发生的频率等于事件发生的概率是解题的关键． 根据概率公式计算解题． 【详解】解：红球的个数为 (个) 故答案为：42． 13．二次函数，当时，y的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出对称轴，然后确定和2哪个离对称轴较远，从而代入确定y的范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴是直线，抛物线开口向上， ∴当时有最小值是7， ∵， 当时有最大值是， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 14．中国古代的四大名著又称四大小说，是指《三国演义》《西游记》《水浒传》及《红楼梦》四部中国古典章回体小说，是汉语文学中不可多得的作品若从这四部著作中随机抽取两本先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本，则抽取的两本恰好是《西游记》和《水浒传》的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了画树状图或列表法求等可能事件的概率，掌握相应方法是解题的关键．用画树状图或列表法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好是西游记和水浒传的可能结果，再利用概率公式求出即可． 【详解】解：记三国演义西游记水浒传及红楼梦分别为、、、，根据题意，画树状图如下： 由树状图可知：共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是西游记和水浒传的结果有种， 抽取的两本恰好是西游记和水浒传的概率是． 故答案为：． 15．有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示，已知米，距离点2米处的棚高为米，若借助横梁建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁的长度是 米． 【答案】 【分析】此题主要考查二次函数的性质及用待定系数法求出函数的解析式，比较简单，要学会设合适的函数解析式．先用待定系数法求出函数函数解析式，求出当时的自变量的值，即可求出答案． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过，， 故， 解得：， 故抛物线解析式为： 由题意可得：当时， ， 解得： ∴米． 故答案为： 16．如图，已知，，，…，是x轴上的点，且，分别过点，，，…，作x轴的垂线交二次函数的图像于点，，，…，，若记的面积为，过点作于点，记的面积为，过点作于点，记的面积为……依次进行下去，则 ，记的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征∶二次函数图像上点的坐标满足其解析式，也考查了三角形面积公式．先根据二次函数图象上点的坐标特征，求出，则根据三角形面积公式计算出，同样可得；，，所有相应三角形的面积等于分母为4，分子为奇数的分式，从而得到． 【详解】解：当时， ，则，所以； 当时， ，则，所以， 当时，，则，所以； 同样方法可得，所以． 故答案为： ， 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题8分）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)求二次函数图象与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)二次函数图象与轴的交点坐标为 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次与坐标轴的交点，掌握以上知识及其计算是关键． （1）把点代入计算即可求解； （2）二次函数，令，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵此函数的图象经过点， ∴将代入， ∴； （2）解：二次函数，令，则有， 解得， 故二次函数图象与x轴的交点坐标为． 18．（本题8分）在一个不透明的盒子里装有红，白，黑三种颜色的乒乓球4个（除颜色外其他均相同），其中红球2个，白球，黑球各1个． (1)从盒子中随机摸一个，事件“摸到红球”的概率是 ． (2)若摸到白球得1分，摸到红球得2分，摸到黑球得3分，小亮随机从中摸一球，记下分值后再放回，摇匀后，再摸一球，请用列表法或画树状图法说明小亮至少得4分概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式以及用列表法求概率是解题的关键． （1）根据概率公式，即某事件发生的概率等于该事件所包含的基本事件数除以总的基本事件数，计算摸到红球的概率． （2）通过列表法列出两次摸球所有可能的结果，再找出至少得4分的结果数，最后根据概率公式计算其概率． 【详解】（1）解：∵ 盒子里一共有个乒乓球，其中红球有个 ∴ 摸到红球的概率 （2）解：列表如下： 第一次摸球第二次摸球 1（白球） 2（红球） 2（红球） 3（黑球） 1（白球） 2（红球） 2（红球） 3（黑球） 总共有种等可能的结果，其中至少得分的结果有种 ∴ 小亮至少得分的概率 19．（本题8分）如图，二次函数的图象的对称轴为，与直线 相交于点和点，其中A点轴上． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，根据图象写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求法，二次函数的图象和性质，理解相关知识是解答关键． （1）先求出点的坐标，再把点的坐标代入二次函数求出，根据二次函数的对称轴求出即可求解． （2）根据抛物线与直线相交于点，，观察图形来求解． 【详解】（1）解：在中，令，得， ． 把代入二次函数， 得， ． 二次函数的图象的对称轴为， ， 解得， 该二次函数的解析式为． （2）解：抛物线与直线相交于点，， 由图象可得，当时，的取值范围是或． 20．（本题8分）某校为了解学生参加“第二课堂”社团活动的情况，对报名参加A：足球，B：象棋，C：羽毛球，D：舞蹈这四项社团活动的学生（每人必选且只能选修一项）中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中A所占扇形的圆心角为． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这次被调查的学生共有_______人．并将条形统计图补充完整； (2)若该校共有1000学生加入“第二课堂”社团活动，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团； (3)在象棋社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加市级象棋大赛、用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】(1)200，图见解析 (2)这名学生中有人参加了羽毛球社团； (3) 【分析】本题考查的是概率，统计图的应用，熟练掌握统计图和树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）根据扇形统计图得出足球所占的比，再用即可确定总人数，用调查总人数减去各个社团人数即可，然后补全统计图即可； （2）用1000乘以羽毛球人数所占的百分比即可求解； （3）根据题意利用列表法或树状图法求概率即可． 【详解】（1）解：类有人，所占扇形的圆心角为， 这次被调查的学生共有：（人）； 故答案为； ∴项目对应人数为：（人）； 补充如图． （2）（人） 答：这名学生中有人参加了羽毛球社团； （3）画树状图得： 共有种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有种， （选中甲、乙）． 21．（本题8分）随着“直播助农”的不断展开，网络直播销售进入到新的可持续赛道，“直播助农”为全国各地脱贫致富开辟了一条创新道路。姜叔叔是做“直播助农”的，他了解到西北地区某村一种水果目前在直播时非常受网友欢迎，便希望将其作为“直播助农”的目标。经过调查他发现： 直播市场现状 直播市场规律 ①该水果直播卖9.6元/千克，平均每天可卖出400千克； ②折合种植、人工和快递成本3.8元/千克 ①单价每降低1元，每天可多卖出200千克； ②由于不可预测的其他成本，售卖单价不得低于5元； 姜叔叔由此给到直播的果农们更好的销售建议。设计划降价为x元，每天销售利润为w元，那么： （1）请表示出w关于x的函数关系式，并求出x的取值范围。 （2）姜叔叔应该如何建议果农们制定合适的价格，才能使利润w最大，此时水果的单价为多少元？ 【答案】(1) 0≤x≤4.6 （2）每天销售利润w最大为3042元，此时单价为7.7元. 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的最值问题，掌握列式，求系数复杂的二次函数最值这些知识点是解题的关键． （1）先用x分别表示出每千克的销售获利，表示出此时可卖出的重量，然后相乘，即得到w的表达式，化简即可，x的取值范围既要符合实际x≥0，又要符合“售卖单价不得低于5元”； （2）将（1）中的到的表达式求最值，可以用顶点式，也可以用公式法，得到当x取某值时，w的最值，并检验x在取值范围内即可． 【详解】（1）解：计划降价为x元，则可以多销售200x千克水果，因此可得到实际销售水果为400+200x，可知．因为销售单价不得低于5元，9.6－x≥5，x≤4.6，所以0≤x≤4.6。 （2），因为0≤x≤4.6，所以当x=1.9时，w最大，最大为3042元。所以每天销售利润w最大为3042元，此时单价为7.7元. 22．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且的面积为8，D是中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值． (3)若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是以BC为底的等腰三角形，请直接写出点G 的坐标 【答案】(1) (2)2 (3)（1，﹣1） 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、二次函数的图象与性质、两点坐标距离公式等知识，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）先求得点B坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先由待定系数法可得直线的函数解析式为为，而D是中点，有，过点P作轴交于点Q，设，则，即得，则，由二次函数性质可得面积的最大值是2； （3）设，根据求直角三角形斜边的方式分别表示出BG²和CG²，列式求解t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的面积为8， ∴，解得， ∴， 将，代入得： ，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线为，将代入得：，解得， 直线为， ，，D是中点， ， 过点P作轴交于点Q，如图： 设，则， ， ， ，， 时，有最大值，最大值为2； 即面积的最大值是2； （3）解：由得抛物线的对称轴为直线， 根据题意，设， ∴，C， 当C时，求，解得t=﹣1，所以G（1，﹣1）. 23．（本题10分）贝贝和馨宝做弹球游戏，如图1，贝贝向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的拋物线形状相同．馨宝在地面竖立一块高度为的木板，然后以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，收单位长度为，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为． (1)求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； (2)当乒乓球第二次弹起高度为时，求乒乓球到轴的距离； (3)馨宝需将水板立在距斜坡底端多远的范围内，才能使球第二次下落过程中碰到木板，直接写出OC的取值范围________________． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是求出乒乓球第一次、第二次弹起运行路线的抛物线的解析式． （1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出B的坐标，然后根据待定系数法求出第二次运行路线的解析式，然后把代入求解即可； （3）把和代入第二次运行的抛物线解析式，解方程求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得，， ∴， ∵第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的拋物线形状相同，第二次弹起的最大高度为． ∴设第二次弹起的运行路线的抛物线为， 把代入，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， 把代入，得， 解得，， ∴乒乓球到轴的距离为或； （3）解：把代入，得， 解得，（舍去） 把代入，得， 解得，（舍去）， ∴的取值范围为：， 故答案为：． 24．（本题12分）已知二次函数． (1)当该抛物线过点． ①求该抛物线的解析式； ②当时，求y的范围． (2)若函数图象上有两个不同的点，，且．求证：． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】本题主要考查了二次函数图像和性质，二次函数与一元二次方程，本题解题关键在于准确理解题意、灵活运用二次函数的性质、学会代数运算能力和逻辑推理能力，以及综合分析能力。 （1）直接将点代入求解即可； （2）首先把抛物线的解析式转化为了顶点式，然后根据抛物线的开口方向、顶点坐标以及给定的x的取值范围，求出了y的取值范围， （3）把，代入抛物线表示出，再根据，可得，再根据图象，即可得出结论。 【详解】（1）①解：将代入二次函数的解析式， ∴． ∴． ∴二次函数的解析式． ②解：抛物线顶点式为， 抛物线开口向上，顶点为， 当时，；当时，。 因此，在区间时，y的取值范围为。 （2）证明：∵点，，是函数图象上两点， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点A，B是图象上不同两点， ∴， ∴． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 提升卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版九年级上册第1章~第2章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列关于的函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．“明天降雨的概率是”表示明天有的时间都在降雨 B．“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件 C．“彩票中奖的概率为”情况下买了一张彩票就能中奖是不可能事件 D．“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为”这一事件发生的频率稳定在附近 3．若，，则二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 4．已知二次函数，下列结论正确的是（   ） A．其图像的开口向上 B．当时，随的增大而增大 C．图像的对称轴为直线 D．函数有最小值 5．若点，在抛物线上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．如图，正方形的边长为2，阴影部分是正方形的内切圆．若在正方形内任取一点，则该点落在阴影部分的概率为（　　）    A． B． C． D． 7．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为m，面积为S，其中．有下列结论： ①与之间的函数关系为； ②的取值范围为； ③的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为； ④矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论是（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 9．如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ） A． B． C． D．1 10．如图1，在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿的方向匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点A时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段的长为（   ） A．7 B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．抛物线的顶点坐标是 ． 12．一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的红蓝两种小球共60个，每次从袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，经过多次摸球，发现摸到红球的频率稳定在0.7左右，由此可以推断袋中有 个红球． 13．二次函数，当时，y的取值范围为 ． 14．中国古代的四大名著又称四大小说，是指《三国演义》《西游记》《水浒传》及《红楼梦》四部中国古典章回体小说，是汉语文学中不可多得的作品若从这四部著作中随机抽取两本先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本，则抽取的两本恰好是《西游记》和《水浒传》的概率为 ． 15．有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示，已知米，距离点2米处的棚高为米，若借助横梁建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁的长度是 米． 16．如图，已知，，，…，是x轴上的点，且，分别过点，，，…，作x轴的垂线交二次函数的图像于点，，，…，，若记的面积为，过点作于点，记的面积为，过点作于点，记的面积为……依次进行下去，则 ，记的面积为，则 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题8分）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)求二次函数图象与轴的交点坐标． 18．（本题8分）在一个不透明的盒子里装有红，白，黑三种颜色的乒乓球4个（除颜色外其他均相同），其中红球2个，白球，黑球各1个． (1)从盒子中随机摸一个，事件“摸到红球”的概率是 ． (2)若摸到白球得1分，摸到红球得2分，摸到黑球得3分，小亮随机从中摸一球，记下分值后再放回，摇匀后，再摸一球，请用列表法或画树状图法说明小亮至少得4分概率． 19．（本题8分）如图，二次函数的图象的对称轴为，与直线 相交于点和点，其中A点轴上． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，根据图象写出的取值范围． 20．（本题8分）某校为了解学生参加“第二课堂”社团活动的情况，对报名参加A：足球，B：象棋，C：羽毛球，D：舞蹈这四项社团活动的学生（每人必选且只能选修一项）中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中A所占扇形的圆心角为． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这次被调查的学生共有_______人．并将条形统计图补充完整； (2)若该校共有1000学生加入“第二课堂”社团活动，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团； (3)在象棋社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加市级象棋大赛、用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 21．（本题8分）随着“直播助农”的不断展开，网络直播销售进入到新的可持续赛道，“直播助农”为全国各地脱贫致富开辟了一条创新道路。姜叔叔是做“直播助农”的，他了解到西北地区某村一种水果目前在直播时非常受网友欢迎，便希望将其作为“直播助农”的目标。经过调查他发现： 直播市场现状 直播市场规律 ①该水果直播卖9.6元/千克，平均每天可卖出400千克； ②折合种植、人工和快递成本3.8元/千克 ①单价每降低1元，每天可多卖出200千克； ②由于不可预测的其他成本，售卖单价不得低于5元； 姜叔叔由此给到直播的果农们更好的销售建议。设计划降价为x元，每天销售利润为w元，那么： （1）请表示出w关于x的函数关系式，并求出x的取值范围。 （2）姜叔叔应该如何建议果农们制定合适的价格，才能使利润w最大，此时水果的单价为多少元？ 22．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且的面积为8，D是中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值． (3)若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是以BC为底的等腰三角形，请直接写出点G 的坐标 23．（本题10分）贝贝和馨宝做弹球游戏，如图1，贝贝向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的拋物线形状相同．馨宝在地面竖立一块高度为的木板，然后以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，收单位长度为，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为． (1)求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； (2)当乒乓球第二次弹起高度为时，求乒乓球到轴的距离； (3)馨宝需将水板立在距斜坡底端多远的范围内，才能使球第二次下落过程中碰到木板，直接写出OC的取值范围________________． 24．（本题12分）已知二次函数． (1)当该抛物线过点． ①求该抛物线的解析式； ②当时，求y的范围． (2)若函数图象上有两个不同的点，，且．求证：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$