第1章 勾股定理 单元测试题 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2025-2026学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》自主学习达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15 2．在中，，，的对边分别是a，b，c，且，则下列说法正确的是（    ） A．是直角 B．是直角 C．是直角 D．是钝角 3．已知，如果以x，y的长为直角边作一个直角三角形，那么这个直角三角形的斜边长是（   ） A．2.5 B．5 C．7 D．13 4．如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．64 B．36 C．12 D．6 5．如图，在中，为边上的中线，，，记，，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 6．将一根长的筷子置于底面圆直径为、高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，一根长为的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时的长为．如果梯子的顶端A沿墙下滑，那么梯子底端B外移的距离（    ） A．等于 B．大于 C．小于 D．以上都不对 8．如图，，点为边上的两点，且，连结，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（满分24分） 9．有一组勾股数，已知其中的两个数分别是20和15，则第三个数是 ． 10．直角三角形两直角边长分别为5和，则它斜边上的高为 ． 11．已知是的三边长，若，则的形状是 ． 12．中，，，高，则 13．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点、，连结，则的面积为 ． 14．《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为 尺．（1丈尺） 15．如图，在门上方离地面的墙上有一个由传感器A控制的灯，任何东西只要移至该灯及内，灯就会自动发光．小明身高，他走到点D处时（即），灯刚好发光，则 ． 16．如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘，点在上，．一位滑板爱好者从点出发滑到点，则他滑行的最短距离为 ． 三、解答题（满分72分） 17．已知． (1)当时，则以的值为三边长的三角形面积为_______； (2)小安猜想：当n取大于1的整数时，为勾股数，你认为小安的猜想正确吗？请说明理由． 18．为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，求出空地的面积． 19．如图，在一个长为20米、宽为18米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，已知该木块的较长边和草地宽AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块到达点C处需要走的最短路程是多少米？ 20．如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面的距离为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米? 21．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 22．如图1，，点，分别在直线，上，连接，，点在上． (1)若，求的度数； (2)若平分交于点，求证：点是的中点； (3)如图2，过点作交于点，猜想线段，，有何数量关系，并说明理由． 23．著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则． (1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 参考答案 1．解：A：不能构成直角三角形； B：能构成直角三角形； C：能构成直角三角形； D：能构成直角三角形． 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键； 将化为，根据勾股定理逆定理即可判定． 【详解】由可得，， 是直角三角形，且是直角． 故选：C． 3．D 【分析】两个非负的数相加为零，它们均为零，求出，再根据勾股定理即可求出答案． 【详解】由题意知，， 解得，， 在直角三角形中，由勾股定理知，， ， ∴斜边长为13， 故选：D． 4．B 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，那么． 根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， ∴正方形和正方形的面积和为 36 ， 故选：B． 5．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，运用完全平方公式进行运算，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 先证明和全等，可得,再由勾股定理得，，，进而得，据此即可得出答案． 【详解】解：延长到，使，连接，过点C作于点F，如图所示： ∵为边上的中线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴代数式的值不变，始终等于． 故选：D． 6．B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长；分别求出h的最大值和最小值即可． 【详解】解：如图1，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴； 如图2，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ∴， 此时， ∴h的取值范围是， 故选：B． 7．A 【分析】本题考查正确运用勾股定理．梯子的长是不变的，只要利用勾股定理解出梯子滑动前和滑动后的所构成的两直角三角形即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，根据勾股定理知，， 在中，根据勾股定理知，， 所以． 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键． 利用已知条件证明三角形全等从而得出边和角的关系是解题的关键，再利用三角形的性质判断各个结论的正确性即可． 【详解】解： ，， ， 在与中， ， ，故①正确； ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 在中，， ，故③正确； ， ， ， ， 在中，， ， ，故④正确； 由题干条件无法证明出， 综上所述，其中正确的有①③④，共3个． 故选C． 9．25 【分析】本题主要考查勾股数，勾股定理，分第三个数是直角边和斜边两种情况解答求出第三个数，再根据勾股数判定即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：设第三个数为x， 分两种情况：当x为直角边时， 有， 得不是正整数，需舍去； 当x为斜边时， 有， 解得． 综上所述，第三个数为25． 故答案为：25． 10． 【分析】本题考查了勾股定理，利用三角形的面积求高，解题关键是求出斜边长． 先利用勾股定理求出斜边长，再利用利用三角形的面积求出斜边上的高． 【详解】解：设它斜边上的高为， ∵直角三角形两直角边长分别为5和， ∴它斜边长为， 这个直角三角形的面积为， 解得：， 故答案为：． 11．解：∵，，，且， ∴ 解得 ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 12．解：∵是的高， ∴ 和均为直角三角形，． 在中，由勾股定理得： 即 解得（负值舍去）． 在中，由勾股定理得： 即 解得（负值舍去）． 分两种情况讨论： ①当在内部时， ②当在外部时，． 故答案为：或． 13． 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，先根据线段垂直平分线的性质得出，故，设，则，在中根据勾股定理求出x的值，利用面积公式计算即可． 【详解】解：垂直平分， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 则的面积， 故答案为：． 14．4.55 【分析】本题考查勾股定理的应用，设折断处离地面的高度为尺，在直角三角形中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为尺， ， 解得， 故答案为：． 15．4 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练地掌握勾股定理．过点C作于点E，则人离墙的距离为， 在中，根据勾股定理列式计算即可得到答案． 【详解】解：如图，传感器A距地面的高度为，人高， 过点C作于点E，则人离墙的距离为， 由题意可知，， 当人离传感器A的距离时，灯发光． 此时，在中，根据勾股定理可得， ， ∴， ∴， 即人走到离墙远时，灯刚好发光． 故答案为：． 16．30 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用—最短路径问题．通过将U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理求最短路径是解题的关键．将半圆面展开，连接．则是最短距离，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】将半圆面展开如答图所示，连接． 根据题意，得，． 在Rt中，由勾股定理，得， 所以他滑行的最短距离为． 故答案为：30． 17．(1)120 (2)小安的猜想正确，理由见解析 【分析】本题考查的是勾股数，满足 的三个正整数，称为勾股数． （1）把n的值代入a、b、c，求出值，根据勾股定理的逆定理得到以的值为三边长的三角形是直角三角形，根据直角三角形面积公式计算； （2）根据勾股数的概念证明． 【详解】（1）解：当时，，，，、 ， ∴， 以的值为三边长的三角形是直角三角形， 以的值为三边长的三角形面积为， 故答案为：120； （2）解：小安的猜想正确， 理由：， ， ， ∵是大于1的整数，所以都是正整数， 当n取大于1的整数时，为勾股数， 小安的猜想正确． 18．空地的面积 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是通过连接对角线AC，将四边形分割成两个直角三角形，分别计算面积后求和．连接，先在中用勾股定理求出的长度，再在中用勾股定理逆定理判断其为直角三角形，最后分别计算两个直角三角形的面积并求和得到四边形面积． 【详解】解：如图，连接， 在中，， 在中，，而，即， 为直角三角形， ， ， 答：空地的面积． 19．30米 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将图形展开，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如答图，将木块展开． 由题意可知，长相当于是（个正方形的边长）， ∴长为（米），宽为18米， 由勾股定理，得：最短路程为米． 答：最短路程是30米． 20．3米 【分析】先在中，根据勾股定理求出米，由题意得，则米．再在中，根据勾股定理求出米，进而可得的长为3米，即墙的高度． 本题主要考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：在中，米，米， ∴米， 由题意得， ∴米， 在中，米，米， ∴米， 又∵米， ∴米， ∴墙的高度为3米． 21．(1)海港C受台风影响，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点C作于D，可证明得到，利用等面积法求出的长，即可得到结论； （2）在线段上取两点E、F，使得，连接，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，据此可得答案． 【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴海港C受台风影响； （2）解：如图所示，在线段上取两点E、F，使得，连接， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵台风中心移动的速度为，且， ∴台风影响海港C持续的时间有， 答：台风影响海港C持续的时间有． 22．(1)； (2)见解析； (3)结论：，理由见解析． 【分析】（1）利用平角定义解题即可； （2）根据角平分线定义和平行线的性质得到，再利用等角的余角相等得到，利用等角对等边得到，即可得证； （3）连接，则有，再利用勾股定理推理即可． 【详解】（1）解： ，， ； （2）证明： 平分， ， 又 ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即点是的中点； （3）结论：，理由如下： 如图2，连接． ，点为的中点． 为的中垂线． ． 在中，． 由勾股定理得． ． 【点睛】本题考查了角的和差，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的性质，熟练运用以上性质推理是解题的关键． 23．(1)见解析 (2)新路比原路少0.2千米 【分析】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案． 【详解】（1）证明：梯形的面积为， 也可以表示为， ， 即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得， 即千米， （千米）， 答：新路比原路少0.2千米． 学科网（北京）股份有限公司 $$