第09讲 逆命题和逆定理（知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（浙教版2024）

第09讲 逆命题和逆定理（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳 理 1 互逆命题 2 互逆定理 3 线段垂直平分线性质定理的逆定理 题型巩 固 一、写出命题的逆命题 二、判断是否为互逆命题 三、互逆定理 四、线段垂直平分线的判定 分层强 化 一、单选题（5） 二、填空题（4） 三、解答题（10） 知识梳理 知识点1 互逆命题 互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题. 注意： （1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系； （2）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然. 知识点2 互逆定理 互逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理. 注意 （1）任何命题都有逆命题，但不一定每个定理都有逆定理.只有当原定理的逆命题能被证明是真命题时，才能称这个逆命题为原定理的逆定理. （2） 互逆命题不一定都是真命题，但互逆定理一定都是真命题. 知识点3 线段垂直平分线性质定理的逆定理 内容 几何语言 图示 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 如图， ∵PA=PB ，∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 题型巩固 题型一、写出命题的逆命题 1．（24-25八年级上·浙江·期末）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（    ） A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两个角互余的三角形是等腰三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D．如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形 【答案】C 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】此题考查命题的逆命题，一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，则该命题是原命题的逆命题．根据逆命题的定义直接解答即可． 【详解】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形， 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是 ． 【答案】有三条对称轴的三角形是等边三角形 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题主要考查了逆命题的概念，熟练掌握逆命题就是把原命题中的条件和结论互换位置得到的新命题是解决此题的关键，根据逆命题的概念解答即可． 【详解】解：∵原命题“等边三角形有三条对称轴”， ∴条件是“一个三角形是等边三角形”，结论是“这个三角形有三条对称轴”， ∴命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是有三条对称轴的三角形是等边三角形， 故答案为：有三条对称轴的三角形是等边三角形． 3．已知命题“等腰三角形底边上的高线与顶角的平分线重合”． （1）请写出它的逆命题； （2）判断该逆命题的真假，若为假命题，请说明理由，若为真命题，请证明． 【答案】（1）底边上的高线和顶角的角平分线重合的三角形是等腰三角形；（2）该逆命题是真命题，证明见解析． 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】（1）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题；据此写出逆命题即可； （2）由（1）中写出的逆命题判断其真假，根据证明的步骤，先写出已知、求证，再写出证明过程即可． 【详解】（1）原命题的条件是：三角形是等腰三角形；结论是：底边上的高线和顶角的角平分线重合， ∴逆命题是：底边上的高线和顶角的角平分线重合的三角形是等腰三角形． （2）该逆命题是真命题，证明如下： 如图，已知：△ABC中，AD是BC边的高线也是顶角∠BAC的角平分线． 求证：AB=AC． ∵AD是BC边的高， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD， 在△BAD和△CAD中，， ∴AB=AC． 【点睛】本题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 题型二、判断是否为互逆命题 4．下列命题：①若，则；②两直线平行，内错角相等；③对顶角相等.它们的逆命题一定成立的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】判断是否为互逆命题 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再根据性质定理进行判断，即可得出答案． 【详解】①若x=y，则|x|=|yt|的逆命题是如果|x|=|y|，则x=y，错误； ②两直线平行,内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，正确； ③对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，错误. 故选B. 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 5．命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是 命题． 【答案】互逆 【知识点】判断是否为互逆命题 【分析】根据互逆命题的定义直接得出的答案，在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】根据互逆命题的定义可知命题1与命题2是互逆命题， 故答案为：互逆 【点睛】本题考查了互逆命题的定义，理解定义是解题的关键． 6．写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】判断命题真假、写出命题的题设与结论、写出命题的逆命题、判断是否为互逆命题 【分析】本题考查命题书写及判断真假： （1）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； （2）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， “若p，则q ”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等， ∵三角形全等对应边相等， ∴该命题是真命题， 逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等，是真命题； （2）解：由题意可得， “若p，则q”的形式：若两个数互为相反数，则它们的和为零， ∵两个互为相反的数和为0， ∴是真命题， 逆命题：若两个数的和为零，则它们互为相反数，是真命题． 题型三、互逆定理 7．（23-24八年级上·浙江温州·期中）定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（    ） A．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形 B．不是等腰三角形的两个角不相等． C．有两个底角相等的三角形是等腰三角形 D．有两个角相等的三角形是等腰三角形． 【答案】D 【知识点】互逆定理 【分析】本题主要考查了一个定理的逆定理，交换定理的题设和结论得到的命题如果正确就是原定理的逆定理，据此求解即可． 【详解】解：定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”， 故选D． 8．请写出一个存在逆定理的定理： ． 【答案】两直线平行，同位角相等（答案不唯一） 【知识点】互逆定理 【分析】写出任意一个存在逆定理的定理即可． 【详解】“两直线平行，同位角相等”的逆定理为“同位角相等，两直线平行” 故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一） 【点睛】本题考查逆定理，熟记各种定理是解题的关键． 9．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． (1)等腰三角形的两个底角相等． (2)内错角相等，两直线平行． (3)对顶角相等． 【答案】(1)有逆定理，逆定理为：两个底角相等的三角形是等腰三角形 (2)有逆定理，逆定理为：两直线平行，内错角相等 (3)没有逆定理 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题、互逆定理 【分析】先写出对应命题的逆命题，然后判断真假即可得到答案． 【详解】（1）解：命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题为“两个角相等的三角形是等腰三角形”，是真命题，故定理“等腰三角形的两个底角相等”有逆定理； （2）解：命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题为“两直线平行，内错角相等”，是真命题，故定理“内错角相等，两直线平行”有逆定理； （3）解：命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题， 故定理“对顶角相等”没有逆定理． 【点睛】本题主要考查了互逆命题和互逆定理，正确写出每个命题的逆命题并判断真假是解题的关键． 题型四、线段垂直平分线的判定 10．如图，有A，B，C三个村庄，现打算修建一个基站P，使得该基站到三个村庄A，B，C的距离相等，则点P应设计在（    ） A．三个角的平分线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查中垂线的判定，根据到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上，进行判断即可． 【详解】解：∵基站到三个村庄A，B，C的距离相等， ∴点P应设计在三条边的垂直平分线的交点上； 故选C． 11．已知，在中，，如图①，分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在A点的另一侧相交于点D，连接，，作直线交于点E．请解答下列问题： (1)你认为与有什么关系？请说明理由． (2)如图②，若点P是直线上的任意一点，与有什么关系？为什么？ 【答案】(1)垂直平分线段，证明见解析 (2)，理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的判定与性质； （1）由，由作图可得：，从而可得答案； （2）根据是线段的垂直平分线可得答案. 【详解】（1）解：垂直平分线段，理由如下： ∵，由作图可得：， ∴是线段的垂直平分线； ∴垂直平分线段； （2）解：，理由如下： 由（1）得：是线段的垂直平分线；点P是直线上的任意一点， ∴. 12．（1）如图1，在，，为内一点，且，求证：直线垂直平分，以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程． 要证直线垂直平分，只要证点、点都在的垂直平分线上，即要证 ______=_____，______=_____ （2）如图（2），在中，，点、分别在、上，且，请你只用无刻度的直尺画出边的垂直平分线，并说明理由． （3）如图3，在五边形中，，，，请你只利用无刻度的直尺画出边的垂直平分线． 【答案】（1），，，；（2）见解析；（3）见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质与判定是解题的关键； （1）利用线段垂直平分线定理的逆定理； （2）连接、，它们相交于点，延长交于，如图（2），证明得到，则，然后根据线段垂直平分线的判定定理可判断垂直平分； （3）如图（3），连接、、、，与相交于，延长交于，则为所作． 【详解】（1）证明：∵，， 直线垂直平分； 故答案为，； （2）如图，连接、，它们相交于点，延长交于，如图（2），则为的垂直平分线． 理由如下： ， ， ，， ， ， ， 而， 垂直平分； （3）如图（3），为所作． 分层强化 一、单选题 1．下列命题的逆命题中正确的是（   ） A．直角都相等 B．同旁内角相等 C．全等三角形的对应角相等 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．根据直角的定义对A进行判断；根据平行线的判定方法对B、D进行判断；根据全等三角形的性质对C进行判断；首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 【详解】解：A、直角都相等的逆命题是：相等的角是直角，错误，不符合题意； B、同旁内角相等的逆命题是：相等的角是同旁内角，错误，不符合题意； C、全等三角形的对应角相等的逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，错误，不符合题意； D、同旁内角互补，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，正确，符合题意； 故选：D． 2．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等 C．如果，那么 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查了逆命题、判断命题真假，涉及对顶角、全等三角形的性质、垂直平分线的性质与判定等知识，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．分别写出每个命题的逆命题，并判断逆命题的真假即可得出答案． 【详解】解：A、原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，存在相等的角并非对顶角的情况，故逆命题为假命题，不符合题意； B、原命题“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，面积相等但形状不同的三角形不全等，故逆命题为假命题，不符合题意； C、原命题“若，则”的逆命题为“若，则”，存在使得，故逆命题为假命题，不符合题意； D、原命题“线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的逆命题为“到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上”，逆命题为真命题，符合题意； 故选：D． 3．下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．等腰三角形的两底角相等 C．对顶角相等 D．有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，写出各定理的逆命题，再判断真假，逆命题为假命题的即符合题意． 【详解】解：A、直角三角形的两个锐角互余的逆命题是“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”，逆命题为真命题，故A不符合题意； B 、等腰三角形的两个底角相等的逆命题是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，逆命题为真命题，故B不符合题意； C 、对顶角相等的逆命题是“相等的两个角是对顶角”，逆命题是假命题，故C符合题意； D 、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形逆命题是等边三角形有一个角等于，且三角形是等腰三角形，逆命题是真命题，故D不符合题意； 故选：C． 4．如图，在四边形中，，点为边的中点，连接，且，延长交的延长线于点．若，，则的长为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， 故选：A． 5．下列三个定理中，①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应角相等；③同位角相等，两直线平行；存在逆定理的有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是命题与定理，把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，判断正误，得出结论． 【详解】解：①有两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是等腰三角形有两个角相等，逆命题正确，存在逆定理； ②全等三角形的对应角相等，逆命题是对应角相等的三角形全等，逆命题不正确，不存在逆定理； ③同位角相等，两直线平行，逆命题是两直线平行，同位角相等，逆命题正确，存在逆定理； 综上，存在逆定理的是①③，一共2个， 故选：C． 二、填空题 6．“内错角相等，两直线平行”的逆命题是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】真 【分析】本题考查了命题真假的判断，逆命题，解本题的关键在熟练掌握平行线的性质定理，难度比较小．先写出命题的逆命题，再利用平行线的性质定理，对命题进行判断即可得出答案． 【详解】解：“内错角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，内错角相等”，是真命题． 故答案为：真． 7．请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了逆定理，根据题意，将题设与结论交换位置即可． 【详解】解：定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”， 故答案为：内错角相等，两直线平行 ． 8．写出命题“全等三角形的面积相等”的逆命题 ． 【答案】面积相等的三角形全等 【分析】本题考查了命题的逆命题，对于两个命题，如果一个命题的题设和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，据此解答即可求解，找出命题的题设和结论是解题的关键． 【详解】解：“全等三角形的面积相等”的逆命题是面积相等的三角形全等， 故答案为：面积相等的三角形全等． 9．命题“如果，那么”的逆命题是 ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 如果，那么， 假 【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．注意，判定一个命题是假命题举反例． 先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据有理数的平方判断即可． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么，是假命题， 例如：当时，， 故答案为：如果，那么，假． 三、解答题 10．写出下列命题的逆命题： (1)如果，那么； (2)同角的余角相等； (3)如果，那么； (4)等腰三角形的两个底角相等． 【答案】(1)如果，那么 (2)相等的两个角是同一个角的余角 (3)如果，那么 (4)有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】本题考查了逆命题的概念，熟练掌握逆命题的概念是解决本题的关键． （1）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解； （2）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解； （3）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解； （4）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解． 【详解】（1）解：如果，那么的逆命题为：如果，那么； （2）解：同角的余角相等的逆命题为：相等的两个角是同一个角的余角； （3）解：如果，那么的逆命题为：如果，那么； （4）解：等腰三角形的两个底角相等的逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 11．风筝起源于东周春秋时期，距今已2000多年，到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．如图1，小祺制作了一个风筝．风筝的骨架示意图如图2所示，其中，．求证：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】此题考查了垂直平分线的判定，全等三角形的性质和判定， 首先证明出，得到，然后结合即可得到垂直平分． 【详解】∵，， ∴ ∴ 又∵ ∴垂直平分． 12．如图，在中，是上一点，且，，平分，求证：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，由平行线的性质和角平分线的定义可证明，进而得到，再由，即可证明垂直平分． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分． 13．如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接．证明：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，垂直平分线的逆定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． 证明，可得，，从而得到点A和点D在的垂直平分线上，即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 14．如图，在中，点D是边的中点，连接，．E是边上任意一点（不与点A、C重合），连接并延长至点F，连接，，． 【问题提出】（1）求的度数； 【问题探究】（2）连接，若，请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键。 （1）根据线段中点的定义和已知条件可得，则，，再由三角形内角和定理可得，即． （2）由平行线的性质得到，，证明，得到，，证明垂直平分，可得，据此可得结论． 【详解】解：（1）∵点D是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即． （2），理由： ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，即， ∴垂直平分， ∴， ∴， 即． 15．如图，已知，与相交于点E． (1)请你添加一个条件使，并加以证明， (2)在第（1）问的条件下延长、交于点P，直线是线段的垂直平分线吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)添加条件为：，证明见解析 (2)是，证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）添加条件为：，然后证明出即可； （2）延长、交于点P，根据题意证明出，得到，，判断出点E在的垂直平分线上，然后证明出，得到，判断出点P在的垂直平分线上，即可证明直线是线段的垂直平分线． 【详解】（1）添加条件为： ∵，， ∴； （2）是，证明如下： 如图所示，延长、交于点P， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴点E在的垂直平分线上 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点P在的垂直平分线上 ∴直线是线段的垂直平分线． 16．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，MN交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （2）先根据垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：如图所示：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上； （2）解：，，   ，，，   ，   设，，   ，，，，   ，，   ，   ，   ∴，   ，   ，   ． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，，对顶角相等等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 17．如图，在四边形中，，． (1)求证：． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，面积公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）证明垂直平分即可； （）先证明是等边三角形，由垂直平分，则有，然后根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵，是不同的两点， ∴垂直平分， ∴； （2）解：∵， ∴是等边三角形， ∵垂直平分， ∴是的中点， ∴， ∵ ∴ ， ∴四边形的面积为． 18．如图，在与中，，，，过点作，交于，交于，连结，交于． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求证：平分； (3)若，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)见解析 (3)． 【分析】本题考查了平行线的性质，线段垂直平分线的逆定理，等边三角形的性质和判定等知识，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键． （1）证明是等边三角形，可得，再由平行线的性质可得，则结论得证； （2）由题意可证是的垂直平分线，由是等边三角形，可得，可得平分； （3）由，是等边三角形，可得，可得的长． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：∵， ∴是的垂直平分线， 即． ∵， ∴． ∴平分； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴． 19．数学课上，李老师提出了如下问题：尺规作图：作中边上的高线．下面是小婷设计的“作中边上的高线”的尺规作图过程． 作法： ①以点为圆心，以长为半径作弧，以点为圆心，以长为半径作弧，两弧在交于点； ②连接交于点，则线段是中边上的高线， 李老师肯定了小婷的作法，请你根据她设计的尺规作图过程，完成下列问题， (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）． (2)小齐和小郭两位同学对小婷的作法给出了证明，请将证明过程补充完整．小齐证明：连接，． ，， 点，分别在线段的垂直平分线上（① ）， 垂直平分线段． 线段是中边上的高线． 小郭证明： 连接，． ，，， ． ． 又， （② ）． 线段是中边上的高． (3)若，，求的度数． 【答案】(1)图见解析； (2)①到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②三线合一； (3)． 【分析】（1）根据题目中的步骤画图即可； （2）根据两位同学的证明过程判断所用的依据； （3）结合等边对等角、三角形内角和定理、三角形高线的定义即可得解． 【详解】（1）解：如下图所示： （2）解：小齐证明：连接，． ，， 点，分别在线段的垂直平分线上（① 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 ）， 垂直平分线段． 线段是中边上的高线． 小郭证明： 连接，． ，，， ． ． 又， （② 三线合一 ）． 线段是中边上的高． 故答案为：①到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②三线合一． （3）解：，， ， 线段是中边上的高线， ， 中，． 【点睛】本题考查的知识点是尺规作图—做垂线、垂直平分线的判定、三线合一、等边对等角、三角形内角和定理、三角形高线的定义，解题关键是理解题意． 学科网（北京）股份有限公司 $$第09讲 逆命题和逆定理(知识点+题型+分层强化) 目录 知识梳 理 1 互逆命题 2 互逆定理 3 线段垂直平分线性质定理的逆定理 题型巩 固 一、写出命题的逆命题 二、判断是否为互逆命题 三、互逆定理 四、线段垂直平分线的判定 分层强 化 一、单选题(5) 二、填空题(4) 三、解答题(10) 知识梳理 知识点1 互逆命题 互逆命题:在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做它的逆命题. 注意: (1)任何一个命题都有逆命题,它们互为逆命题,“互逆”是指两个命题之间的关系; (2)原命题成立,它的逆命题不一定成立,反之亦然. 知识点2 互逆定理 互逆定理:如果一个定理的逆命题能被证明是真命题,那么就叫它是原定理的逆定理,这两个定理叫做互逆定理. 注意 (1)任何命题都有逆命题,但不一定每个定理都有逆定理.只有当原定理的逆命题能被证明是真命题时,才能称这个逆命题为原定理的逆定理. (2) 互逆命题不一定都是真命题,但互逆定理一定都是真命题. 知识点3 线段垂直平分线性质定理的逆定理 内容 几何语言 图示 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 如图, ∵PA=PB ,∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 题型巩固 题型一、写出命题的逆命题 1.(24-25八年级上 浙江 期末)“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是( ) A.在同一个三角形中,等边对等角 B.两个角互余的三角形是等腰三角形 C.如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形 D.如果一个三角形有两条边相等,那么这个三角形是等腰三角形 2.(24-25八年级上 浙江宁波 期末)命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是 . 3.已知命题“等腰三角形底边上的高线与顶角的平分线重合”. (1)请写出它的逆命题; (2)判断该逆命题的真假,若为假命题,请说明理由,若为真命题,请证明. 题型二、判断是否为互逆命题 4.下列命题:①若,则;②两直线平行,内错角相等;③对顶角相等.它们的逆命题一定成立的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5.命题1:如果直角三角形的两条直角边长分别为,,斜边长为,那么.命题2:如果一个三角形的三条边长分别为,,,且,那么这个三角形是直角三角形.则命题1与命题2是 命题. 6.写出下列命题“若p,则q”的形式,写出它的逆命题并判断它们的真假. (1)全等三角形的对应边相等; (2)互为相反数的两个数的和为零. 题型三、互逆定理 7.(23-24八年级上 浙江温州 期中)定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是( ) A.有两个角不相等的三角形不是等腰三角形 B.不是等腰三角形的两个角不相等. C.有两个底角相等的三角形是等腰三角形 D.有两个角相等的三角形是等腰三角形. 8.请写出一个存在逆定理的定理: . 9.下列定理中,哪些有逆定理?如果有逆定理,说出它的逆定理. (1)等腰三角形的两个底角相等. (2)内错角相等,两直线平行. (3)对顶角相等. 题型四、线段垂直平分线的判定 10.如图,有A,B,C三个村庄,现打算修建一个基站P,使得该基站到三个村庄A,B,C的距离相等,则点P应设计在( ) A.三个角的平分线的交点 B.三角形三条高的交点 C.三条边的垂直平分线的交点 D.三角形三条中线的交点 11.已知,在中,,如图①,分别以点B和点C为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧在A点的另一侧相交于点D,连接,,作直线交于点E.请解答下列问题: (1)你认为与有什么关系?请说明理由. (2)如图②,若点P是直线上的任意一点,与有什么关系?为什么? 12.(1)如图1,在,,为内一点,且,求证:直线垂直平分,以下是小明的证明思路,请补全框中的分析过程. 要证直线垂直平分,只要证点、点都在的垂直平分线上,即要证 _=_,_=_ (2)如图(2),在中,,点、分别在、上,且,请你只用无刻度的直尺画出边的垂直平分线,并说明理由. (3)如图3,在五边形中,,,,请你只利用无刻度的直尺画出边的垂直平分线. 分层强化 一、单选题 1.下列命题的逆命题中正确的是( ) A.直角都相等 B.同旁内角相等 C.全等三角形的对应角相等 D.同旁内角互补,两直线平行 2.下列命题的逆命题是真命题的是( ) A.对顶角相等 B.全等三角形的面积相等 C.如果,那么 D.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 3.下列命题的逆命题是假命题的是( ) A.直角三角形的两个锐角互余 B.等腰三角形的两底角相等 C.对顶角相等 D.有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 4.如图,在四边形中,,点为边的中点,连接,且,延长交的延长线于点.若,,则的长为( ) A.14 B.13 C.12 D.11 5.下列三个定理中,①有两个角相等的三角形是等腰三角形;②全等三角形的对应角相等;③同位角相等,两直线平行;存在逆定理的有( )个 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题 6.“内错角相等,两直线平行”的逆命题是 (填“真”或“假”)命题. 7.请写出定理“两直线平行,内错角相等”的逆定理: . 8.写出命题“全等三角形的面积相等”的逆命题 . 9.命题“如果,那么”的逆命题是 ,该逆命题是 命题(填“真”或“假”). 三、解答题 10.写出下列命题的逆命题: (1)如果,那么; (2)同角的余角相等; (3)如果,那么; (4)等腰三角形的两个底角相等. 11.风筝起源于东周春秋时期,距今已2000多年,到了宋代的时候,放风筝成为人们喜爱的户外活动.如图1,小祺制作了一个风筝.风筝的骨架示意图如图2所示,其中,.求证:垂直平分. 12.如图,在中,是上一点,且,,平分,求证:垂直平分. 13.如图,在中,D是上的一点,连接,作交于点E,交于点F,且平分,连接.证明:垂直平分. 14.如图,在中,点D是边的中点,连接,.E是边上任意一点(不与点A、C重合),连接并延长至点F,连接,,. 【问题提出】(1)求的度数; 【问题探究】(2)连接,若,请探究线段、、之间的数量关系,并说明理由. 15.如图,已知,与相交于点E. (1)请你添加一个条件使,并加以证明, (2)在第(1)问的条件下延长、交于点P,直线是线段的垂直平分线吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由. 16.如图,在中,,的垂直平分线分别交,于点E,F,的垂直平分线分别交,于点M,N,直线,MN交于点P. (1)求证:点P在线段的垂直平分线上; (2)已知,求的度数. 17.如图,在四边形中,,. (1)求证:. (2)若,,求四边形的面积. 18.如图,在与中,,,,过点作,交于,交于,连结,交于. (1)判断的形状,并说明理由; (2)求证:平分; (3)若,求的长. 19.数学课上,李老师提出了如下问题:尺规作图:作中边上的高线.下面是小婷设计的“作中边上的高线”的尺规作图过程. 作法: ①以点为圆心,以长为半径作弧,以点为圆心,以长为半径作弧,两弧在交于点; ②连接交于点,则线段是中边上的高线, 李老师肯定了小婷的作法,请你根据她设计的尺规作图过程,完成下列问题, (1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹). (2)小齐和小郭两位同学对小婷的作法给出了证明,请将证明过程补充完整.小齐证明:连接,. ,, 点,分别在线段的垂直平分线上(① ), 垂直平分线段. 线段是中边上的高线. 小郭证明: 连接,. ,,, . . 又, (② ). 线段是中边上的高. (3)若,,求的度数. 学科网(北京)股份有限公司 $$