第03讲 证明 （知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（浙教版2024）

第03讲 证明 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1 证明的定义 2 三角形的外角 3 三角形的内角和定理的推论 （重点） 4 证明几何命题的一般格式 （难点） 题型巩固 一、定理与证明 二、写出一个命题的已知、求证及证明过程 三、三角形内角和定理的证明 四、三角形的外角的定义及性质 分层强化 一、单选题（5） 二、填空题（7） 三、解答题（6） 知识梳理 知识点1 证明的定义 1.定义：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论的成立，这样的推理过程叫做证明. 2.证明的格式： 证明的基本格式：因为 ……，所以 …… 或 ∵…… ， ∴……. 注意 ∵（因为）后面是已知条件，已证，定义、定理、基本事实，∴（所以）后面是由已知条件推出的结果. 知识点2 三角形的外角 1.三角形的外角的定义：三角形的外角是由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角.如图所示， ∠ACD 就是△ABC的外角. （1）一个三角形的每个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角； （2）三角形的外角和与它相邻的内角互补 2.外角的特征：（1）顶点是三角形的顶点； （2）一条边是三角形内角的一边； （3）另一条边是该内角另一边的反向延长线. 知识点3 三角形的内角和定理的推论 （重点） 由三角形的内角和定理直接推理可得到一个推论.推论也可以作为推理的依据. 内容 集合语言 图示 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 如图所示， ∵∠1 是 △ABC 的一个外角（已知）， ∴∠1=∠2+∠3 （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）. 知识点4 证明几何命题的一般格式 （难点） 1.证明的一般顺序和格式： 有些几何命题已经包括了相应的图形、已知及求证，那么直接写出证明的推理过程即可 （1）按题意画出图形；→标上必要的字母 （2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；→用字母、符号表示命题的条件和结论 （3）在“证明”中写出推理过程. 2.辅助线：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写入证明中. 辅助线通常画成虚线 题型巩固 题型一、定理与证明 1．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）下列语句中，是定义的是（    ） A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角 C．同角的余角相等 D．延长至D使 2．写出四个数学名词的定义． 3．下列说法正确的是（　　） A．命题一定有逆命题 B．真命题一定是定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 题型二、写出一个命题的已知、求证及证明过程 4．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 题型三、三角形内角和定理的证明 5．已知中，，则图中的度数为（    ） A．180° B．220° C．230° D．240° 6．如图，，，分别平分和． (1)求证：； (2)求证：． 7．如图，已知三角形． (1)用直尺和三角尺作图：过点A画； (2)在（1）的条件下，求证：． 8．在学习了“三角形的内角和等于180°”的知识后，老师让同学们用不同的方法说明这个结论是正确的．聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．请你帮他完成解题过程吧． 9．小刚同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程：在的边上任取一点，过点作交于点，作交于点以下是他的推理过程，请你在横线上补充其推理过程或理由． 因为 所以 ______（理由：两直线平行同位角相等） （理由：______） 因为 所以 ______（理由：______） ______（理由：______） 因为 ______ 所以． 10．在人教版义务教育数学教科书八上第12页曾经探索了“三角形的内角和是”，小莹在研究完上面的问题后，对这个图形进行了深入的研究，她的研究过程如下： 【图形再现】（1）请补充下述证明过程． 已知：（图1）， 求证：， 证明：如图1，延长到点， 过点作的平行线． （______）． ______． ______． 【图形探究】（2）如图2，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作，在射线上，且，的延长线与的延长线交于点． ①与是否互余，请说明理由； ②探究与的数量关系． 【图形思考】（3）如图3，在中，，，过点作，直线与相交于点右侧的点，．绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周停止运动，同时，绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，当与重合时以原速返回，当停止运动时，也随之停止运动．设运动的时间为秒，在旋转过程中，是否存在，若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 题型四、三角形的外角的定义及性质 11．如图，，点在直线的上方，的平分线与的平分线的反向延长线交于点，的延长线交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 12．如图，将沿，翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段，若，则 ． 13．如图，一条公路修到湖边时需绕道，第一次拐角，第二次拐角，为了保持公路与平行，则第三次拐角的度数应为 ． 14．如图，现有一张三角形纸片，点D，E分别是边上的一点，将该纸片沿折叠，使得点A落在四边形的外部点的位置，且点与点C在直线的异侧．若，，且，则的度数为 ． 15．如图，在四边形中，． (1)求的度数； (2)在边上取一点，连接．若，求证：． 分层强化 一、单选题 1．根据图中的数据，可得的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 3．将一个直尺和一个三角尺如图叠放，三角尺的直角顶点落在直尺下边缘上，直尺上边缘经过三角尺的顶点和边上一点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，是的角平分线，，交于点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．一副三角板按如图所示放置，将含角的三角板固定，含角的三角板绕点旋转，保持为锐角，旋转过程中有下列结论：①；②若，则．③若，则；④若，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 6．如图，，，则∠B= ° 7．如图，，交于点M，交于点N，点P在的延长线上，的平分线与的平分线交于点O，则 ． 8．如图，，，，则 ． 9．一副三角板按如图所示的方式摆放，，，，若，则的度数为 ． 10．如图，直线，点E、F分别为直线和上的点，点P为两条平行线间的一点，连接和，过点P作的平分线交直线于点G，过点F作，垂足为H，若，则 °． 11．已知：如图，，若为平面内一点．当点在直线之间时，于平分，连接，使，设，请写出与之间的数量关系 ． 12．将一副三角板按如图的方式摆放，已知，则的度数为 三、解答题 13．我们都知道三角形有三个内角，其实三角形除了内角，还有外角，三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角．请同学们画出三角形的一个外角，并证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 已知：__________________ 求证：__________________ 证明： 14．如图，中，D为边上一点，过点D作，交于点E，F为边上一点，连接并延长，交的延长线于点G，且． (1)试说明平分； (2)若，，求的度数． 15．如图，，，且．若，求的度数． 16．如图①，E是直线，内部一点，，连结，． (1)探究猜想： ①若，，则　　； ②猜想图①中，，的关系，并说明理由． (2)拓展应用： 如图②，射线与，交于分别交于点E、F，，a，b，c，d分别是被射线隔开的4个区域（不含边界），其中区域a，b位于直线上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：，，的关系（任写出两种，并直接写出答案）． 17．一副三角板按如图方式摆放，在边上，． (1)求的度数． (2)如图2，点G，P分别在线段，上，连结，，． ①当，平分时，请说明的理由． ②记，，．若，求，，之间的数量关系． 18．数学探究活动中，阿青同学为了验证：长条纸片上下边沿与是否平行，把纸片沿着折叠（如图1），并用量角器测出的度数； (1)若，则．你认为阿青同学的做法正确吗？请说明理由； (2)在（1）的条件下，阿青同学在纸条下上取点（如图2），连结并沿着折叠纸片使得与重合，过作于点，设，． ①当点在点之间时，若，求的度数； ②当点在上的运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．（选其中一种情况证明） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 证明 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1 证明的定义 2 三角形的外角 3 三角形的内角和定理的推论 （重点） 4 证明几何命题的一般格式 （难点） 题型巩固 一、定理与证明 二、写出一个命题的已知、求证及证明过程 三、三角形内角和定理的证明 四、三角形的外角的定义及性质 分层强化 一、单选题（5） 二、填空题（7） 三、解答题（6） 知识梳理 知识点1 证明的定义 1.定义：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论的成立，这样的推理过程叫做证明. 2.证明的格式： 证明的基本格式：因为 ……，所以 …… 或 ∵…… ， ∴……. 注意 ∵（因为）后面是已知条件，已证，定义、定理、基本事实，∴（所以）后面是由已知条件推出的结果. 知识点2 三角形的外角 1.三角形的外角的定义：三角形的外角是由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角.如图所示， ∠ACD 就是△ABC的外角. （1）一个三角形的每个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角； （2）三角形的外角和与它相邻的内角互补 2.外角的特征：（1）顶点是三角形的顶点； （2）一条边是三角形内角的一边； （3）另一条边是该内角另一边的反向延长线. 知识点3 三角形的内角和定理的推论 （重点） 由三角形的内角和定理直接推理可得到一个推论.推论也可以作为推理的依据. 内容 集合语言 图示 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 如图所示， ∵∠1 是 △ABC 的一个外角（已知）， ∴∠1=∠2+∠3 （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）. 知识点4 证明几何命题的一般格式 （难点） 1.证明的一般顺序和格式： 有些几何命题已经包括了相应的图形、已知及求证，那么直接写出证明的推理过程即可 （1）按题意画出图形；→标上必要的字母 （2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；→用字母、符号表示命题的条件和结论 （3）在“证明”中写出推理过程. 2.辅助线：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写入证明中. 辅助线通常画成虚线 题型巩固 题型一、定理与证明 1．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）下列语句中，是定义的是（    ） A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角 C．同角的余角相等 D．延长至D使 【答案】B 【知识点】定理与证明 【分析】本题考查了全是与定理的知识，利用定义的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A. 若两角之和为，则这两个角互余，不是定义，不符合题意； B.相等的角是对顶角，是定义，符合题意； C.同角的余角相等，不是定义，不符合题意； D. 延长至D使，不是定义，不符合题意； 故选：B 2．写出四个数学名词的定义． 【答案】答案不唯一，见解析 【知识点】定理与证明 【分析】结合所学的数学知识，写出4个数学名词概念即可． 【详解】（1）二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程； （2）因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解； （3）一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程； （4）点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 【点睛】本题考查对数学名词的概念，解题的关键是熟记其定义． 3．下列说法正确的是（　　） A．命题一定有逆命题 B．真命题一定是定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【答案】A 【知识点】判断命题真假、定理与证明、写出命题的逆命题 【分析】本题考查命题与定理、命题的真假判断、逆命题的概念，解题的关键是掌握：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题；定理是通过逻辑推理证明为真的命题或公式．据此判断即可． 【详解】解：A．命题一定有逆命题，故此选项符合题意； B．真命题不一定是定理，故此选项不符合题意； C．真命题的逆命题不一定是真命题，故此选项不符合题意； D．假命题的逆命题不一定是假命题，故此选项不符合题意． 故选：A． 题型二、写出一个命题的已知、求证及证明过程 4．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)见解析 【知识点】写出命题的题设与结论、写出一个命题的已知、求证及证明过程 【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且． 求证：． 证明：． ． 又和是同位角， ∴． 题型三、三角形内角和定理的证明 5．已知中，，则图中的度数为（    ） A．180° B．220° C．230° D．240° 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的证明、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件． 6．如图，，，分别平分和． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的证明、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质，角平分线定义，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键． （1）根据角平分线定义得，进而即可得证； （2）由，得，进而结合角平分线得，，再根据，即可求得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴，， ∵分别平分和 ∴，， ∵， ∴， ∴． 7．如图，已知三角形． (1)用直尺和三角尺作图：过点A画； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形内角和定理的证明、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查了平行线的作法，平行线的性质，及平角的性质，熟悉相关性质是解题的关键． （1）平移过点A，画即可； （2）利用平行线的性质，推出，，再利用平角的性质即可求证． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求： （2）证明：， ，， ， ， 即． 8．在学习了“三角形的内角和等于180°”的知识后，老师让同学们用不同的方法说明这个结论是正确的．聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．请你帮他完成解题过程吧． 【答案】见详解 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形内角和定理的证明 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．由平行线的性质得出，，，，等量代换可得出，再根据平角的定义得出，等量代换可得出． 【详解】证明：在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F． ∵， ∴，， ∵ ∴，， ∴, ∵， ∴． 9．小刚同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程：在的边上任取一点，过点作交于点，作交于点以下是他的推理过程，请你在横线上补充其推理过程或理由． 因为 所以 ______（理由：两直线平行同位角相等） （理由：______） 因为 所以 ______（理由：______） ______（理由：______） 因为 ______ 所以． 【答案】；两直线平行，内错角相等 ；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，同位角相等； 【知识点】两直线平行同位角相等、三角形内角和定理的证明、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，牢记各平行线的性质定理是解题的关键．由，利用平行线的性质，可得出，，由，利用平行线的性质，可得出，，结合，即可得出． 【详解】解：因为 所以理由：两直线平行，同位角相等 理由：两直线平行，内错角相等 因为 所以理由：两直线平行，同位角相等 理由：两直线平行，同位角相等 因为 所以． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，两直线平行，同位角相等，． 10．在人教版义务教育数学教科书八上第12页曾经探索了“三角形的内角和是”，小莹在研究完上面的问题后，对这个图形进行了深入的研究，她的研究过程如下： 【图形再现】（1）请补充下述证明过程． 已知：（图1）， 求证：， 证明：如图1，延长到点， 过点作的平行线． （______）． ______． ______． 【图形探究】（2）如图2，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作，在射线上，且，的延长线与的延长线交于点． ①与是否互余，请说明理由； ②探究与的数量关系． 【图形思考】（3）如图3，在中，，，过点作，直线与相交于点右侧的点，．绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周停止运动，同时，绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，当与重合时以原速返回，当停止运动时，也随之停止运动．设运动的时间为秒，在旋转过程中，是否存在，若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）两直线平行，同位角相等；；；（2）①互余，理由见解析；②；（3）10秒或16秒． 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的证明、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）由平行线的性质得到，，等量代换即可得到； （2）①利用平行线的性质及角平分线的定义推出，再利用平角的性质即可求解； ②在中，，由三角形的外角性质推出，结合①的结论得到，据此计算即可求解； （3）旋转一周运动停止，求得总时间为20秒，与重合时间为10秒，分在前10秒内和后10秒内，两种情况讨论，根据与平行的次数，求解即可． 【详解】（1）证明；如图1，延长到点， 过点作的平行线． （两直线平行，同位角相等）． ． ； 故答案为：两直线平行，同位角相等；；； （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴，即与互余； ②∵是的角平分线， ∴， 在中，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴，   ∴； （3）∵旋转一周运动停止， ∴总时间（秒）， ∵与重合时再以原速返回， ∴重合时间为（秒），此时，延长交于点Q， ∵在前10秒内，由逐渐减少，由逐渐减少至， 又∵当秒时，旋转至，此时，而由逐渐减少至， ∴在前10秒内，与仅一次平行，即与重合时，此时秒； 同理，后10秒，由逐渐增至，由逐渐增加至，与仅可能一次平行，如图所示， 有， 解得， ∴（秒）， 综上，的值为10秒或16秒． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是三角形内角和定理，掌握平行线的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 题型四、三角形的外角的定义及性质 11．如图，，点在直线的上方，的平分线与的平分线的反向延长线交于点，的延长线交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，平角的定义，延长交于M，设，，根据三角形外角的性质以及平行线的性质即可求解． 【详解】解：延长交于M， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的平分线与的平分线的反向延长线交于点G， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 12．如图，将沿，翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段，若，则 ． 【答案】 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，由折叠的性质可得，，可得，由三角形内角和定理可得，，，则可证明，即可求的度数． 【详解】解：如图所示，连接， 将沿，翻折，顶点，均落在点处， ，， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， 又∵ ∴， ， ， 故答案为：． 13．如图，一条公路修到湖边时需绕道，第一次拐角，第二次拐角，为了保持公路与平行，则第三次拐角的度数应为 ． 【答案】或140度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 先延长，交于点F，根据平行线的性质，得出，再根据，可得，根据进行计算即可． 【详解】解：如图，延长，交于点F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，现有一张三角形纸片，点D，E分别是边上的一点，将该纸片沿折叠，使得点A落在四边形的外部点的位置，且点与点C在直线的异侧．若，，且，则的度数为 ． 【答案】/30度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的性质．连接，根据三角形内角和定理可得的度数，再由折叠的性质可得，从而得到，，然后根据三角形外角的性质可得，再由平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴ 由折叠的性质得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 15．如图，在四边形中，． (1)求的度数； (2)在边上取一点，连接．若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）利用两直线平行，同旁内角互补，列式计算即可； （2）根据同旁内角互补，两直线平行，证明即可． 本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 分层强化 一、单选题 1．根据图中的数据，可得的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形外角定理，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 2．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质求出，根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．将一个直尺和一个三角尺如图叠放，三角尺的直角顶点落在直尺下边缘上，直尺上边缘经过三角尺的顶点和边上一点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先由三角形内角和定理求出，再由平行线的性质得到，则可求出的度数，再由三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，是的角平分线，，交于点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形的外角性质，由，则，再由角平分线的定义可得，最后通过三角形的外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5．一副三角板按如图所示放置，将含角的三角板固定，含角的三角板绕点旋转，保持为锐角，旋转过程中有下列结论：①；②若，则．③若，则；④若，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，平行线的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解决问题是解本题的关键．由同角的余角相等可判断①，求解从而可判断②，证明可判断③，画好的示意图，证明可判断④，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：， ，故①符合题意； 如图，，， ， ， 与不平行，故②不符合题意； ，， ， ∴，故③符合题意； 如图，当时， ， ， ， ， ，故④符合题意； 故选：B． 二、填空题 6．如图，，，则∠B= ° 【答案】 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和这一性质即可求解． 【详解】 ，， ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查三角形的外角的性质，熟悉性质是解题的关键． 7．如图，，交于点M，交于点N，点P在的延长线上，的平分线与的平分线交于点O，则 ． 【答案】2 【分析】利用平行线的性质，三角形外角性质，解答即可． 本题考查了平行线的性质，角的平分线，三角形外角性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设与交于点F， ∵， ∴， ∵的平分线与的平分线交于点O， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 8．如图，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．连接并延长至点，利用，，得，即，代入，，即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长至点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 9．一副三角板按如图所示的方式摆放，，，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角相等，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据三角板得出，，根据，得出，再根据三角形外角的性质和对顶角相等即可求解． 【详解】如图； ，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．如图，直线，点E、F分别为直线和上的点，点P为两条平行线间的一点，连接和，过点P作的平分线交直线于点G，过点F作，垂足为H，若，则 °． 【答案】30 【分析】过点P作，则，根据平行线的性质与角平分线定义得 ，再根据三角形的外角定理，结合已知条件，得，由，根据三角形内角和定理得，由平角定义得，进而便可求得结果． 【详解】解：过点P作，则， ∴， ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂线的性质，三角形的外角定理，角平分线的定义．关键是作平行线建立已知角与未知角之间的联系． 11．已知：如图，，若为平面内一点．当点在直线之间时，于平分，连接，使，设，请写出与之间的数量关系 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线的定义． 延长交延长线于M，延长交于E，根据平行线的性质和三角形的内角和定理得到，结合平角定义和角平分线的定义得到，根据三角形外交的性质求出，列等式计算即可． 【详解】解：如图，延长交延长线于M，延长交于E， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∵，， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 12．将一副三角板按如图的方式摆放，已知，则的度数为 【答案】 【分析】本题考查了三角板的认识，平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 由平行线的性质可得的度数，从而可得，根据三角形外角的性质，计算即可． 【详解】解：根据三角板各角的度数可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．我们都知道三角形有三个内角，其实三角形除了内角，还有外角，三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角．请同学们画出三角形的一个外角，并证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 已知：__________________ 求证：__________________ 证明： 【答案】三角形的内角和是；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；证明过程见解析 【分析】根据三角形的内角和，结合平角的定义，利用等量代换即可求证． 【详解】解：    ∵ ∴ 【点睛】本题考查了三角形的外角的定义及性质证明．掌握三角形的内角和及平角的定义是解题关键． 14．如图，中，D为边上一点，过点D作，交于点E，F为边上一点，连接并延长，交的延长线于点G，且． (1)试说明平分； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理；解题的关键是能融会贯通综合运用这些性质和定理． （1）根据得到，结合，得到即可． （2）先求得，结合，三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，， 因为， 所以， 所以平分． （2）解：因为，， 所以，， 因为， 所以， 所以． 15．如图，，，且．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形外角的定义及性质，由三角形外角的定义及性质得出，根据平行线的判定与性质证明出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．如图①，E是直线，内部一点，，连结，． (1)探究猜想： ①若，，则　　； ②猜想图①中，，的关系，并说明理由． (2)拓展应用： 如图②，射线与，交于分别交于点E、F，，a，b，c，d分别是被射线隔开的4个区域（不含边界），其中区域a，b位于直线上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：，，的关系（任写出两种，并直接写出答案）． 【答案】(1)；，详见解析 (2)当P在a区域时，；当P点在b区域时；当P点在区域c时，；当P点在区域d时， 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）①过E作，根据平行线的性质求出，代入求出即可；②根据①中的方法可得出结论； （2）有四种情况，分别画出图形，运用平行线的性质、三角形内角和、三角形外角的性质以及角的和差去分析解答． 【详解】（1）解：①过E作， ，，， ， ，， ， 故答案为：70； ②，理由如下： 方法一： 过E作， ， ， ，， ； 方法二： 如图，延长交于F， ， ， ， ． （2）解：当P在a区域时，如图， ， ， ，， ， ， ； 当P点在b区域时，如图， ， ， ， ； 当P点在区域c时，如图， 过P点作， ， ， ，， ， ， ； 当P点在区域d时，如图， 过P点作， ， ， ，， ， ， ； 综上，当P在a区域时，；当P点在b区域时；当P点在区域c时，；当P点在区域d时，． 17．一副三角板按如图方式摆放，在边上，． (1)求的度数． (2)如图2，点G，P分别在线段，上，连结，，． ①当，平分时，请说明的理由． ②记，，．若，求，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）过点D作，得到，由平行线的性质得到，，进而求解即可； （2）①如图所示，延长交于点H，首先求出，然后利用三角形外角得到，推出，然后得到即可证明； ②首先得到由三角形外角的性质，然后得到，结合等量代换求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点D作 ∵ ∴ ∴， ∴； （2）解：①如图所示，延长交于点H ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴； ②∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，三角形外角的性质角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 18．数学探究活动中，阿青同学为了验证：长条纸片上下边沿与是否平行，把纸片沿着折叠（如图1），并用量角器测出的度数； (1)若，则．你认为阿青同学的做法正确吗？请说明理由； (2)在（1）的条件下，阿青同学在纸条下上取点（如图2），连结并沿着折叠纸片使得与重合，过作于点，设，． ①当点在点之间时，若，求的度数； ②当点在上的运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．（选其中一种情况证明） 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)①②，证明见解析 【分析】（1）由翻折的性质可得，则，进而可得； （2）①由折叠的性质可得，，由题意知，，，得，进而可得的值；②分在左侧时，当在右侧两种情况求解即可． 【详解】（1）解：正确，理由如下： 由翻折的性质可得， ∵， ∴， ∴； （2）①解：由折叠的性质可得，， 由题意知， ， ∵， ∴， 即， 得，解得， ∴的度数为； ②解：猜想；证明如下： 由题意知，分两种情况讨论，①在左侧时，，证明过程同（1）； ②当在右侧，如下图， 由折叠的性质可得，， 由题意知， ， ∵， ∴，即， 得，解得； 综上所述，和之间的数量关系为． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系. 学科网（北京）股份有限公司 $$