广东省佛山市南海外国语学校2024-2025学年下学期九年级6月月考数学试卷

2024-2025学年广东省佛山市南海外国语学校 九年级（下）月考数学试卷（6月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.-5的倒数是（ ） A. B. C.-5 D.5 2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3.如图，在中，，.则的度数为（ ） A.30° B.45° C.50° D.55° 4.抛物线的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 5.在一个不透明的箱子里装有白球和红球共12个，这些球除颜色外完全相同.每次从箱子中摸出一个球，记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则箱子中红球的个数约是（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 6.苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的.随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的六边形（正六边形），图2是其平面示意图，则的度数为（ ） A.130° B.120° C.110° D.60° 7.如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8.对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A.开口向下 B.对称轴是直线 C.顶点坐标是 D.当时，y有最大值是1 9.若关于x，y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（ ） A.-3 B.-2 C.-1 D.0 10.如图，在矩形ABCD中，，，点E，F分别在边AB，BC上，，BD，EF交于点.若，则BG的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.分解因式：______. 12.若关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______. 13.如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了______cm.（结果保留） 14.将一个矩形纸片按如图所示折叠，若，则的度数是______. 15.如图，是的内接三角形，，过点C的圆的切线交BO于点P，则的度数为______. 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题8分） 解不等式组：. 17. （本小题8分） 先化简，再求值：，其中. 18. （本小题8分） 阅读下面材料，并完成相应的任务. “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性.观察下列各式： ；… （1）发现如下速算规律：十位数字是（是1至9的整数），个位数字是5的两位数平方的结果是：______（用含的代数式表示）. （2）我们可以用所学知识证明这个结论，这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理.请你证明（1）中的结论. 19. （本小题8分） 近十年来，研学旅行作为一种寓教于乐的教学方式多次被写入国家级政策文件.某校学生会负责计划本校学生在本学期的一次研学活动，为设计出同学们最感兴趣的研学路线，随机抽取了部分学生进行. 调查问卷 1.你（填“是”或“否”）喜欢研学活动. 2.你最感兴趣的研学类型是（单选）. A.研学+历史 B.研学+科学 C.研学+艺术 D.研学+农业 E.研学+外文 F.研学+工业 问卷调查，并将调查结果绘制成如图不完整的统计图. （1）补全条形统计图与扇形统计图； （2） “B”与“C”所在的扇形圆心角的度数和为______°； （3）本校共有3600名学生，请你估计对“研学+历史”最感兴趣的学生人数； （4）请结合山西著名景点及统计结果，帮他们设计一条合适的研学路线. 20.（本小题8分） 2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（sì）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红. （1）某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ （2）若A款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售A款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出A款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则A款吉祥物售价应降低多少元？ 21.（本小题8分） 火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备.图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点D，B，O在同一直线上，DO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，A，C在同一水平线上，其中BD可伸缩，套管OB的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，. （1）求BO的长； （2）消防人员在云梯末端点D高空作业时，将BD伸长到最大长度6m，云梯DO绕着点O顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了3m，求云梯OD旋转了多少度.（参考数据：，，，，，） 22.（本小题8分） 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动.如图1，在中，，，将绕点C逆时针旋转，使线段AB的对应线段恰好经过点B，得到图2，线段与AB相交于点. 初步分析：（1）判断的形状，并说明理由； 深入探究：（2）乐学组的同学将图2中的沿射线BA的方向平移得到（点E，F，G分别是点B，D，C的对应点），线段EG，FG分别与边AC相交于点M，. ①如图3，当点M恰好是线段EG的点时，他们发现，请证明这个结论； ②若，当点N恰好是线段AM的中点时，请直接写出平移的距离. 23.（本小题8分） 如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边OC在x轴上，，OC的长是一元二次方程的根，过点C作x轴的垂线，交对角线OB于点D，直线AD分别交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OD向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动.两点同时出发，设运动时间为t秒. （1）求直线AD的解析式； （2）连接MN，求的面积S与运动时间t的函数关系式； （3）点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形.若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由. 答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：因为， 所以-5的倒数是. 故选：B. 根据倒数的定义进行解答即可. 2.【答案】D 【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 故选：D. 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可. 3.【答案】C 【解析】解：∵，， ∴，∴. 故选：C. 根据题意可知，即可推出. 4.【答案】B 【解析】解：由图象可得：抛物线对称轴为，当时，， 根据抛物线的对称性可得：当时，， ∴若，则x的取值范围是， 故选：B. 根据抛物线的对称轴为得到另一个交点为，结合图象即可求出时的取值范围. 5.【答案】A 【解析】解：∵箱子里装有白球和红球共12个，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右， ∴箱子中红球的个数约是12×0.25=3（个）. 故选：A. 根据利用频率估计概率可知红球出现的概率为0.25，从而可以计算出红球的个数. 6.【答案】B 【解析】解：如图2，∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴，， ∴， 同理， ∴， 故选：B. 根据正六边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可. 7.【答案】B 【解析】解：∵一次函数与的图象交于点， ∴当时，， ∴关于x的不等式的解集为. 故选：B. 结合函数图象，写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可. 8.【答案】C 【解析】解：由得，开口向上， 故选项A不符合题意； 对称轴为直线， 故选项B不符合题意； 顶点坐标为， 故选项C符合题意； 当时，y有最小值为1， 故选项D不符合题意， 故选：C. 直接由顶点式得到对称轴、开口方向、顶点坐标和最值. 9.【答案】C 【解析】【分析】 方程组中的两个方程相减得出，根据已知得出不等式，求出不等式的解集即可. 【解答】 解：， ①-②得：， ∵关于x，y的方程组的解满足， ∴， 解得：， ∴的最小整数值为-1， 故选：C. 10.【答案】B 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，，，点E，F分别在边AB，BC上， ∴，， ∴， ∵，∴， ∵，EF交于点G，且， ∴， ∴， ∴， ∴，∴， ∴， 故选：B. 由矩形的性质得，，求得，而，则，因为，所以，则，即可证明，得，则，所以，于是得到问题的答案. 11.【答案】 【解析】解：原式. 故答案为：. 直接利用平方差公式分解因式得出答案. 12.【答案】 【解析】解：根据题意得， 解得， 即m的取值范围为. 故答案为：. 利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可. 13.【答案】 【解析】【分析】 根据弧长的计算方法计算半径为6cm，圆心角为120°的弧长即可. 【解答】 解：由题意得，重物上升的距离是半径为6cm，圆心角为120°所对应的弧长， 即， 故答案为：. 14.【答案】70° 【解析】解：如图， 由题意可得：， 由翻折可知：. 故答案为70° 结合平行线的性质得出：，再利用翻折变换的性质得出答案. 15.【答案】40° 【解析】解：如图所示：连接OC、CD， ∵是的切线， ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴. 故答案为：40°. 连接OC、CD，由切线的性质得出，由圆内接四边形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，求出，由直角三角形的性质即可得出结果. 16.【答案】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为. 【解析】先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可. 17.【答案】解：， 当时，原式. 【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据特殊角的三角函数值求出a的值代入化简后的式子计算即可. 18.【答案】； 见解答. 【解析】（1）解：十位数字是（是1至9的整数），个位数字是5的两位数平方的结果是：. 故答案为：. （3）证明：由题知，. 理由如下：左边， 右边， 所以左边=右边， 故此等式成立. （1）设十位数字为a，个位数字为5，则该数为.根据速算规律，平方结果为，即用代数式表示为.结果为； （2）将两位数平方展开，利用平方公式，其中，，展开后整理为的形式. . 19.【答案】见解答； 136.8； 900名； 见解析. 【解析】（1）样本容量为：100÷25%=400， 故C所占百分比为：， 所以D所占百分比为：1-25%-18%-20%-15%-12%=10%， D的人数为：400×10%=40， 补全条形统计图如下： （2）“B”与“C”所在的扇形圆心角的度数和为：360°×（18%+20%）=136.8°， 故答案为：136.8； （3）3600×25%=900（名）， 答：估计对“研学+历史”最感兴趣的学生人数有900名； （4）因为选择研学+历史路线的人数最多， 所以可以选择一条有关历史方面的研学路线，比如： ①到太原探访古都文化；②到平遥古城体验明清晋商文化；③到大同云冈石窟领略佛教艺术瑰宝；④到应县木塔探索古代建筑奇迹. （备注：景点数不限，言之有理即可给分） （1）根据A的人数及其所占百分比可得样本容量，用C的人数除以样本容量可得C所占百分比，再用“1”分别减去其它分别所占百分比可得D所占百分比；用样本容量乘D所占百分比可得D的人数，即可补全条形统计图与扇形统计图； （2）用360°乘“B”与“C”所占百分比之和即可； （3）利用样本估计总体列式解答即可； （4）结合山西著名景点及统计结果设计一条合适的研学路线即可. 20.【答案】A款吉祥物的单价为80元，B款吉祥物的单价为60元； 售价应降低20元. 【解析】解：（1）设B款吉祥物的单价为x元，则A款吉祥物的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：A款吉祥物的单价为80元，B款吉祥物的单价为60元； （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要尽量减少库存，∴， 答：售价应降低20元. （1）设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解； （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据题意即可列出等量关系求解. 21.【答案】解：（1）如图，过点B作于点E， 在中，，， ∴， 在中，，， ∵， ∴， 答：； （2）如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴，∴，∴， 即云梯OD大约旋转了27°. 【解析】（1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可； （2）求出旋转前点D的高度DF，进而求出旋转后点的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小，进而求出答案. 22.【答案】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴， 由旋转得：，， ∴是等边三角形； （2）①证明：如图3，连接EN， ∵是等边三角形，∴， 由旋转得：， ∴， ∴， 由平移得：，，， ∴，， ∵点M恰好是线段EG的中点， ∴，∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：设， ∵是AM的中点， ∴，， 由①得：，， ，， ∴， ∵，∴， 解得：， ∴， 由平移得：， 解得：. ∴，∴， ∴， 故平移的距离为. 【解析】（1）由旋转的性质得，，即可求解； （2）①连接，由直角三角形的特征得，由HL可判定，即可得证； ②设，由勾股定理得，同理可求，从而可求出，求出x，即可求解. 23.【答案】（1）解：解方程得：，， ∴， ∵四边形AOCB是菱形，， ∴，， ∴， ∴， 过点A作于H， ∵， ∴，， ∴， 设直线AD的解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴直线AD的解析式为； （2）解：由（1）知在中，，， ∴，， ∵直线与y轴交于点E， ∴，∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，∴， ①当点N在DF上，即时， 由题意得：，， 过点N作于P， 则， ∴； ②当点N在DE上，即时 由题意得：，， 过点N作于T， 则， ∴； 综上，； （3）解：存在，分情况讨论： ①如图，当AN是直角边时，则，过点N作于K， ∵，， ∴，， ∴，∴， ∴，， ∴将点N向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点C， ∴将点A向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点Q， ∵，∴； ②如图，当AN是对角线时，则，过点N作于L， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，∴， ∴，∴， ∴将点C向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到点N， ∴将点A向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到点Q， ∵，∴； ∴存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形，点Q的坐标是或. 【解析】（1）过点A作于H，解方程可得，然后解直角三角形求出CD、OH和AH的长，得到点A、D的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可； （2）首先证明是等边三角形，求出，然后分情况讨论：①当点N在DF上，即时，过点M作于P，②当点M在DE上，即时，过点M作于T，分别解直角三角形求出NP和NT，再利用三角形面积公式列式即可； （3）分情况讨论：①当AN是直角边时，则，过点M作于K，首先求出CN，然后解直角三角形求出CK和NK，再利用平移的性质得出点Q的坐标；②当AN是对角线时，则，过点M作于L，证明，可得，然后解直角三角形求出NL，再利用平移的性质得出点Q的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$